1-1 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理一,Optical Fibers
1.光纤的结构
b
SMF:2a=4-10?m,2b=125
理论分析中，可以认为包层是无限大的
MMF:(阶跃多模光纤 )
2a=50?m,2b=125
2.阶跃光纤和渐变光纤 Step-Index Fiber & Graded-Index Fiber
3.光纤制作 reading:P15-P19
1-2 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理二,几何光学 Geometrical Optics
4.When all apertures are much larger than a wavelength,
we can model the light as ray traveling in straight lines
perpendicular to the wavefront
1.Speed of light
in a medium of
refractive index
n,v=c/n
2.Law of
reflection:?i=?r
3.Snell’s
law:nt?sin?t=
ni?sin?ioy:normal line.o-xz:boundary
1-3 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理三,Uniform plane wave 均匀平面波
A:Maxwell Equations
(fundamental equations)
t
J
D
J
t
D
H
t
B
E
B:在稳态简谐条件下，线性各项同性非色散，不导电媒质中 Maxwell Equations
0
0
H
E
EjH
HjE
HB
ED
1-4 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
C,Helmholtz方程
0
0
22
22
HkH
EkE
]e x p [,
]e x p [,
0
0
kztjHtzH
kztjEtzE
y
x
x
y z
22?k
1.时间参量,角频率?，周期 T，频率 f。
21.22
fTTf
2.空间参量,纵向相移常数或角波数 kz，波长?z，波数 1/?z,
where
z
zk?
2?
1-5 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
3.空间与时间的联系,相速度 phase velosity
fkv z
z
p?
均匀平面波的纵向相移常数等于空间相移常数 kk
z其相速度等于光速
1?pv
4.电磁联系,波阻抗
H
E
H
E?
对于均匀平面波
真空中 370120
00
均匀平面波是电磁波的最基本的形式，它是沿固定方向传播的等幅行波，垂直于传播方向的平面是等相面或称波阵面。其等相位面同时是等振幅面，其电场和磁场都垂直于传播方向且互相垂直，
故称为横电磁波 (TEM:Transverse Electromagnetic wave)波。
同时是等幅波，即振幅不随传播距离而增加或衰减，等幅均匀平面波中电场与磁场同相，波阻抗为实数。
1-6 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
若在空间垂直于电场的面放置两块平行的导体平板，则因在导体表面切向电场为 0，两导体板不影响平面波的传播。这就形成双平板传输线中的 TEM模式的行波，它是双平板传输线中的主模，
或称最低模。
TE:transverse electric wave.TM:transverse magnetic
wave
1-7 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Plane Waves at a Dielectric Interface
1.Consider a
monochromatic
plane wave
incident on a
dielectric
interface
described by the
surface normal S
2.The plane wave
takes the form:
rktEE iiiic o s0
1-8 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
4.Maxwell’s Equations tell us that the tangential
component of the electric field must be continuous at
the interface,so we have:
Plane Waves at a Dielectric Interface
tttt
rrrriii
tri
rktES
rktESrktES
ESESES
c os
c osc os
0
00
3.The corresponding
reflected and transmitted
fields are:
ttttt
rrrrr
rktEE
rktEE
c os
c os
0
0
where?r and?t are phase constants.Non-zero values of
the phase constants can be interpreted as a spatial shift.
1-9 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Laws of Refraction
Similarly we find from the second of the two equations:
ttitti rkkrkrk
It follows that kt is also in the incident plane,and
ttiittii nnkk s i ns i ns i ns i n
00, pp vcnvk
This is Snell’s law of refraction.
1.The laws of reflection and refraction forms the basis for
Geometrical optics
2.Geometrical optics also assumes collimated optical
beams (rays),which are unphysical
3.Geometrical optics is nevertheless very useful for
modeling a large number of optical devices and
phenomena
1-10 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Lenses – Ray Picture
The rays are deflected
at the air-lens interface
due to the higher index
of the lens,
The
effect of
the ray
deflectio
n is that
all the
rays pass
through
the focus
Collimated
(parallel)
optical
beam
If the lens is thin,we
consider both
deflections to take
place at the center
plane of the lens.
1.The operation of lenses can be understood by tracing individual
rays through the lens
2.The rays all bend in different ways at the air-lens interface
3.The shape of the lens surfaces is chosen such that each ray
passes through the focus
1-11 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Lenses – Wave Picture
Collimated
(parallel) incident
optical beam
The lens is thinner on the periphery,so the
peripheral parts of the beam are delay less than
the center part,resulting in curved phase fronts
The curvature of the
wavefronts focus the beam
to a point
1.we can also consider
the wavefronts of the
light passing through
the lens to understand
its operation
2.The lens is delaying the center part of the beam with respect to
the sides such that all parts of the beam arrive at the focus in
phase
3.In other words,all parts of the beam are interfering
constructively at the focus,which leads to high intensity at this
point
1-12 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Diffraction limits resolution
In the ray-optics (geometrical-
optics) approximation,the focus is
a point
In reality,diffraction limits
the focusing ability of the lens
1.Ray optics is a useful
approximation for
many considerations,
but the fact that it does
not consider diffraction
gives it some major
flaws
2.The main one is that it predicts that a
lens focuses light to a mathematical point
3.This is not possible (even for a perfect lens) with wave phenomena
of finite wavelength
4.The central spot of the focus of a perfect,uniformly illuminated
lens is d=2.44?λ?f/D,where λ is the wavelength,f is the focal length,
and D the lens diameter
1-13 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Ray Tracing in Ideal Lenses
To trace rays through ideal lenses we need only two simple facts:
1.Each ray goes through the focal plane at the same point as
its parallel central ray
2.Central rays are not deflected
This is very useful for first order analysis of lens systems
1-14 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Imaging
Thin lens equation,1/a +1/b = 1/f
Magnification,b/a
a<f => diverging beams,no imaging
a=f => collimation
f<a<2f => Imaging according to the lens equation with M>1
a=2f => Imaging according to the lens equation with M=1
a>2f => Imaging according to the lens equation with M<1
1-15 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Fresnel Law
rkjEE
rkjEE
rkjEE
ttt
rrr
iii
e x p
~~
e x p
~~
e x p
~~
0
0
0
tri EEE 000 ~,~,~
A:
是入射光，反射光和透射光的矢量复数振幅反射系数 R
传递系数 T
2
0
0
1
0
0
2e x p~
~
2e x p~
~
jT
E
E
T
jR
E
E
R
i
t
i
r
B:
模表示强度，幅角表示相位
C:水平偏振波 TE横电波
iH
rH
tH
iE
rE
tE
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik
rk
tk
ti
ti
ti
nn
n
T
nn
nn
R
c osc os
c os2
c osc os
c osc os
21
11
21
21
1-16 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
ti
i
ti
ti
nn
n
T
nn
nn
R
c osc os
c os2
c osc os
c osc os
12
1
21
12
itt nn 22212 s i n1s i n1c o s
iH
rH?
tH
iE
rE?
tE
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik
rk
tk
D:垂直偏振波 TM 横磁波
Fresnel Law
1-17 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Tatal Internal Reflection
A,n1>n2 &?c<?i<900,?c=arcsin(n2/n1)
B:waves in
medium one 1s i n1s i nc o s 22212221 iit nnjnnj
1s i nc o s
1s i nc o s
22
2121
22
2121
ii
ii
nnnjn
nnnjnR
|R|=1,2?R=
i
ci
i
i nn
c o s
s i ns i na r c t a n
c o s
s i na r c t a n 222122
在临界状态下,?c＝?i,2?R＝ 0，反射不引起相位突变,?i?900,cos?i?0，
2?R＝ 1800，有半波损失。
TE wave:
TM wave,
1s i nc o s
1s i nc o s
c o sc o s
c o sc o s
22
2112
22
2112
12
12
ii
ii
ti
ti
nnnjn
nnnjn
nn
nnR
|R|=1,2?R=
i
ci
n
n
c o s
s ins ina r c t a n2 222
2
1
Attension:全反射时,TE,TM的位相变化是不相同的
1-18 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Wave in medium 1:TE wave
A,Incident wave takes the form as
zjkxjkE
rkjEE
izixi
iii
e x pe x p
e x p
0
0?
iH?
rH?
tH?
iE? rE?
tE?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik?
rk?
tk?
iiix nkkk c o sc o s 101
iiiz nkkk s ins in 101
入射波在 x方向的相位常数入射波的纵向相移常数
B,The corresponding reflected wave will take the form:
zjkxjkjzEzjkxjkEE izixrTEiizixrr e x pe x pe x pe x pe x p 00
ttt
iir
iii
kzkxk
kzkxk
kzkxk
s in?c o s?
s in?c o s?
s in?c o s?
22
11
11
001111
22
22
211
22
1
vcn
kk
1-19 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
rTEiixrTEiixrTEiizi
r
TEiiz
r
TEiixi
r
TEiiz
r
TEiixi
ri
kjkjkjE
kkjE
kkjE
EEE
c o se x pc o se x ps i ne x p
s i nc o se x p
s i nc o se x p
0
0
0
C:讨论,波的状态
Z方向,
rTEiizkj s ine x p
rTEiixkc o sc o s
行波，相位常数
iz nkk s in101
X方向,驻波
x
z
1-20 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Wave in medium 2,TE wave
rTE
c
i
ii
iT
TE jnnjnn
njTT?
e x p
c o s
c o s2
1s i nc o s
c o s22e x p
22
2121
1?
由上式可以看出传输系数的模值及其幅角。
zkjxkjjTErkjTEE zxrTEiit 22020 e x pe x pe x pe x p
212210222120202 s i n1s i nc o s nnnjknnnjknkk iitx
令 2
12210 s in nnnk i
xnnnxkxjk ix e x ps i ne x pe x p 2122102
zz knknkk 12201102 s ins in
rTEzit zkjxTEE 10 e x pe x p
1-21 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Z方向,z方向是行波状态，且相位常数与介质 1中的相同，相位常数相同意味着相速相同，这是因为介质 1中的波和介质 2中的波是一个统一波形的两部分，
它们必须有相同的传播速度。
rTEzit zkjxTEE 10 e x pe x p
X方向,说明波的幅度随离开界面的距离按指数形式减小，减小的快慢以参数?
决定,?叫做 x方向的衰减常数，它是由介质参数 n1,n2及入射角?i决定媒质 2中存在透射场，透射场沿平行与界面的方向 z为行波，而沿垂直与界面的
x方向为衰减场。场在界面处最强，沿离开界面的法线方向逐渐减弱，在无穷远处消失。这种场称为,渐消场,,这种振幅沿横向渐消，沿纵向传播的行波，
它的场集中早表面附近，故称为表面波。
场沿法向的逐渐减弱并非由于媒质的吸收，只是场的指数渐弱分布：衰逝波渐消场中,Hx与 Ey相差 900，即无界面法线方向即 x方向的有功功率流。
cind 2210 s ins in21有效穿透深度渐消场的出现说明，不能简单的认为全反射介质 2中完全不存在波场，实际上在界面附近波长量级的厚度内自然有场，入射波的能量不是在严格的界面上全部反射，而是穿透到介质 2内一定的深度。
1-22 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理复习
iH?
rH?
tH?
iE? rE?
tE?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik?
rk?
tk?
iH? rH?
tH?
iE?
rE?
tE?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik?
rk?
tk?
TE TM
B,n1>n2 &?c<?i<900,?c=arcsin(n2/n1)
C:TE wave:
i
cijjR
c o s
s i ns i na r c t a n2e x p2e x p 22
1
r
TE
c
i jT?
e x p
c o s
c o s2?
D:Wave in medium 1:TE wave
rTEiixrTEiixrTEiizi kjkjkjEE c o se x pc o se x ps i ne x p0
E:Wave in medium 2:TE wave
rTEzit zkjxTEE 10 e x pe x p
A:
1-23 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
i?
t?
r?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
1-24 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Total Internal Reflection
The transmission angle must be < π/2
No transmission,but instead Total Internal Reflection (TIR) if:
ni?sin?i=nt?sin?t>nt=>sin?TIR>nt/ni
=> No transmission
Note the Goos-Hanchen shift
The G-H shift is important in many optical components,including
waveguides and fibers
1-25 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
ci
x nkd 22
0 s ins in
11
ci
i
t nkdz
220 s i ns i n
t a n1t a n2
xd
x
z
i?
t?
1-26 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Ray picture of waveguides
We find the numerical aperture of the
fiber or waveguide by requiring that
the internal angle,?i,must exceed the
critical angle for Total Internal
Reflection
tc l a dic o r e nn s ins in
c l a dic o r et nn s in2
22
2 1
1c o ss i n c l a dc o r e
c o r ec o r e
c l a d
i
c o r e
c l a d
i nnnn
n
n
n
ic o r ec o r eext nnn c o ss i ns i n i n t0
22
00
1c o ss i n
c l a dc o r ei
c o r e
ext nnnNAn
nNA
0
22 2s i n2
n
nNAnnn
n
nn c o r e
extc o r ec l a dc o r e
c o r e
c l a dc o r e
实际光纤中传输模型比较复杂，按上式确定的 NA必有差异，数值孔径往往由测试值确定
1-27 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Modal Dispersion – Ray Picture
The different path lengths
through an optical fiber give rise
to pulse spreading
This effect is referred to as
modal dispersion
(intermodal dispersion in the
book)
Modal dispersion,as well as material and waveguide
dispersion (both referred to as chromatic dispersion in the
book),limits the useful bandwidth of optical fibers
It is often repeated mistake to assume that the modal dispersion
can be found by calculating the difference in path length using a
simple geometrical optics approach
coren
cladn
cladn
ext?
in? i?i?
1-28 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Modal Dispersion with GH shift
A.The wave picture of optical fiber propagation shows that
significant parts of the optical power propagated in the cladding
B.In the geometrical-optics picture,this effect is modeled as the
Goos-Hanchen shift
C.Close to cut-off most of the optical power propagates in the
cladding so that the efective index is lower than for the
fundamental mode
1-29 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Diffraction Invalidates Ray Picture
A.As the optical beam propagates,it spreads (diffraction)
B.At each reflection from the core-cladding interface there will
be parts of the beam that is beyond the TIR angle
C.The beam will therefore spread and lose energy until only
the part of the incoming beam that can be expanded on he
guided mode(s) is left
1-30 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Wave picture of waveguides
A.The step-index profile provide focusing just like lenses and
GRIN materialsB.The guides modes of the fiber are those that propagate without
changing their profile
C.The guided modes are those intensity profiles,for which the
focusing,due to the index profile,exactly matches the diffraction
D.In the core is small,only one such mode exists (single mode fiber)
1-31 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导行波 Guided Traveling Wave
A.全反射时介质 1和介质 2中的波时一个统一体，是一个波形的两个部分，沿纵向 z方向，它们都是以相同的相位常数 k1z在传播。沿 x方向，介质 1中的电磁波的幅度按三角函数规律变化，是驻波分布。介质 2 中的电磁波幅度按指数规律衰减，是衰减波，渐逝场。如果衰减常数?足够大，介质 2中的波将只存在于介质 1表面。由于电磁能量集中于介质 1及其表面附近，因而把这种波叫做表面波。又因为它是与界面平行的方向传播，是由介质表面导行的，因而也叫导行波，简称导波。
B:相位常数及传播速度 z向,?＝ k1z=k0n1sin?i
全反射,?c<?i<900 n2/n1<sin?i<1,K0n2< K0n1 sin?I< K0n1 或者 k2<?<k1
导波在传播方向的相位常数是介于两介质的波数之间的，比第二介质的波数 k2
大，比第一介质的波数 k1小。导行波的传播速度为 v=?/?,因而导行波的速度
/k1<v<?/k2,导行波的传播速度介于两介质中平面波的传播速度之间。由于其速度小于第二介质中的平面波的相速度，所以也称慢波。
等相位面,导波相位只沿 z方向变化，令 z为常数，就得到等相位面，所以等相位面是与传播方向垂直的一系列平面。
1-32 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
C:幅度变化规律在无损介质中，导波幅度沿 z方向是不变的，但沿下方向却按一定的规律变化。将电场幅度用 Em表示，则在介质一中,Em正比于
cos(k1xx+?1).显驻波分布。
x
zd
1.d与?i有关,?1=?c,?=0,d=?,?i=900,
022212 nn
2.?=n1-n2有关,2
2210 2 nnd
在界面 x=0处,Em正比于 cos(?1),k1x是 x方向的相位常数,?x=2?/k1x 是 x方向的波长,入射角?i越小,k1x
越大,?x越小,驻波节点越密集。
在介质 2中，幅度按 exp(-?x)规律衰减，其幅度变化规律在 x=0处，幅度曲线是连续的，衰减速度取决于衰减常数
cii nknnnk 2210212210 s i ns i n/s i n
越大，衰减越快,
1-33 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理穿透深度 d
1.与入射角?I有关,临界状态时,?1=?c,?=0,d=?,不衰减。
i=900,
022212 nn 22210 2 nnd
2.与两介质的折射率有关，差别越大，衰减越快。
3.与工作波长?0有关,?0越小,?越大,d越小。对电磁波集中越有利等振幅面,x为常数导波的等振幅面与等相位面时相互垂直的，这与均匀平面波不同。
cind 2210 s ins in21
1-34 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
D.辐射波的概念,radiated wave
平面波入射到两介质分界面上，当不满足全反射条件时，就产生了部分反射，一部分能量反射回介质 1中，只一部分能力返回到介质 2中，这种波叫辐射波。对于介质波导来说，这种波远没有导波重要。
对于 TE波zjkxjkErkjEE zxttt 22020 e x pe x pe x p
ix nnnknkk 2221202202 s i n1c o s
K2x为实数，故沿 x方向产生相移而不产生衰减，与导波不同
=k2z=k1z=k0n1sin?I 对于辐射波 sin?I<sin?c=n2/n1,?<k0n2<
k0n1.z方向相速度 v>v2>v1 快波。
TM波与此类似
Summary 当平面波由光密到光疏介质时
I>?c 导行波 能量集中于光密介质及其界面附近
I<?c 辐射波 有一部分能量辐射的光疏介质中
1-35 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理薄膜波导 Step Index Slab Waveguides
x
y
z
d 1?
3n
321 nnn
2n
敷层薄膜衬底上界面下界面
1n
下界面,薄膜与衬底的交界面，全反射临界角
1212 /a r c s in nnc
上界面,薄膜与敷层的交界面，全反射临界角
1313 /a r c s in nnc
The typical slab waveguide consists of a substrate,a thin dielectric
film,and a cladding layer,The substrate and cladding are assumed
to both be infinitely thick,while the film (core) has a finite thickness,
h.
A:
1-36 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
B:导波条件,平面波在上，下界面都要产生全反射,0
1213 90 ccc
或,1s in
1213 innnn?
如果 n1和 n2差别不大,?I将只限于接近 900的很小角度范围内，
即平面波的传播方向与 z轴几乎是平行的。
C:辐射模当形成导波的条件被破坏时，将有能量自模中辐射出去。
1213 cic
下边界的全反射条件被破坏
1213 cci
上下边界的全反射条件被破坏
We are searching for solutions to the wave equation withamplitudes
that are independent of z,i.e,solutions of the
zjxEzxE yy e x p,
where βis the longitudinal wave vector
1-37 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理薄膜波导中的导波
A:导波的波形－ TE波和 TM波
TE波,横电波 电场强度矢量 E在波导的横截面上，在传播方向上只有磁场强度分量 M
TM波,横磁波 x
y
z
E?
H?
E?
H?
TE波 TM波
B:导波的特征方程
1.?1>?c.在此范围内的任一?都可以形成导波？
2.特征方程
A
'A
B
'B
'C
C
D
'D
d
1?
3n
2n
1n
射线 等相面
1-38 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
A
'A
B
'B
'C
C
D
'D
d
1?
3n
2n
1n
射线 等相面
x
y
z
射线 ABCD与 A’B’C’D’中,BB’,CC’分别在不同的等相面上，由 B到 C和由 B’到 C’
各经历了不同的相位变化，但两射线相位变化之差应为 2?的整数倍。
射线 ABCD:由 B到 C所经历的相位变化为
32101 22 nkBC 10nkBC为在 BC路程上所引起的相位变化,2?
2,2?3分别为在上，下界面处全反射引起的相位突变射线 A’B’C’D’:由 B’到 C’所经历的相位变化为
10''2 nkCB
相位差为 mCBBCnk 222
32''1021
由图,
idCBBC?c o s2''
所以 mdnk
i 222c o s2 321021
各参数的意义。当波导和波长给定时，上式时关于?I的方程，它确定了形成波导的入射角?i的条件，因而叫薄膜波导的特征方程，有时也叫薄膜波导的色散方程，特征方程有很重要的意义，它是讨论导波特性的基础
1-39 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理对于 TE波
i
ci
i
i nn
c o s
s i ns i na r c t a n
c o s
s i na r c t a n 12222122
2
i
ci
i
i nn
c o s
s i ns i na r c t a n
c o s
s i na r c t a n 13222132
3
对于 TE波
i
ci
i
i
n
nnn
n
n
c o s
s i ns i n
a r c t a n
c o s
s i n
a r c t a n 12
222
2
1
2
12
22
2
1
2
i
ci
i
i
n
nnn
n
n
c o s
s i ns i n
a r c t a n
c o s
s i n
a r c t a n 13
222
3
1
2
13
22
3
1
3
1-40 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
C:特征方程的另一种形式
ix nkk?c o s101?
薄膜中波矢量在 x方向的分量，为横向相位常数。
代入特征方程, mdk
x 2222 32121
mdk x 321或者,
1-41 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波的模式
A:波指数 m 当 m＝ 0,1,2,3… 可得到 TE0,TM0;TE1,TM1; TE2,TM2;
TE3,TM3… 模。 M表明各模式的特点，叫做波指数。
B:模参数纵向相位常数横向相位常数衬底衰减常数敷层衰减常数
iz nkk s in101
ix nkk c o s101
1222102122102 s i ns i ns i n cii nknnnk
1322102132103 s i ns i ns i n cii nknnnk
导波模式的纵向传播规律，表明了它们的传播特性导波模式在薄膜内的横向驻波规律导波在衬底中的横向衰减规律导波在敷层中的横向衰减规律
1-42 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波模式的横向分布规律,按驻波规律分布跨过薄膜的宽度为 d，其相位变化为 k1xd=k0n1cos?i,由特征方程得 k1xd=m?+?2+?3.
B:当 m＝ 0,TE0模,TM0模 00<k1xd=?2+?3<?,因此其场沿 x方向得变化不足半个驻波当 m＝ 1,TE1模,TM1模? <k1xd=?2+?3<2?,因此其场沿 x方向得变化不足两个,半个驻波,
m表示导波场沿薄膜横向出现得完整得半驻波个数,m越大，导波得模次越高
A:
3n
1n
2n TE0 TE1 TE2
1-43 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Zero Order Mode
Plane wave picture of the fundamental mode of a slab waveguide,
The fundamental mode has the smallest transversal wavevector,
and only one maximum in the field pattern created by the
interference of the two planes waves
1-44 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
First Order Mode
Plane wave picture of the first order mode on an optical waveguide,
This mode has a larger transversal wavevector than the
fundamental mode,and two maxima,as well as one null,in the
field profile.
1-45 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
m=0时，薄膜中横向完整得,半驻波,个数为 0,m＝ 1时，薄膜中得完整得,半驻波,数为 1。故 m表示了导波场沿薄膜横向出现得完整得半驻波数 (波节数 ),m越大，导波得模数越高。
特征方程
mdnk i 222c o s2 321021
在其它条件不变得情况下,m越大,cos?i越大,?i越小高次模是由入射角?i较小得平面波构成得。当?i越小时，平面波得射线倾斜得比较严重，其横向相位常数 k1x大，驻波密集。
在衬底和敷层中，以衰减系数?2,?3按指数规律衰减，在穿透深度 d2＝ 1/?2和 d3＝ 1/?3处，电磁场衰减为表面处得 1/e.
Q:高阶模的衰减情况由于高次模的?i小,?值也小，因而衰减慢，能量集中差,TE0，
TM0模的模次最低,?值最大，能量集中最好。
1-46 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波模式的轴向相位常数轴向相位常数
iz nkk s in101
102012120 s i n190 nknknnici
对于给定的模式，有确定的?i值，因而也有确定的相位常数?。由特征方程求出?i值，就可确定各模式的?值。但特征方程时超越方程，得不到解析解，因而只能确定性讨论?得一些变化规律。
对给定得波导和工作波长，模次越高,?i越小，其?值越小，在所有得模式中,TE0,TM0模额模次最低，因而其?值最大。
对给定得模式，其?值随工作波长 (或频率 )而变，由特征方程可以看出，当 m给定时，工作波长越长,k0越小,?i值越小，故?
值也越小。
1-47 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理下图给出了几个较低模式得?-?曲线，它表明了?的变化范围及变化规律,?不能大于 k0n2，否则将给出辐射模,?也不能大于 k0n1。 故对于导波，其?时限制在 k0n1-?和 k0n2-?两条直线所夹的区域中。
m=0,1,2时导波的?-?曲线
k
v
k
nk
n
k
k
222
00
22
0020
00
00
22
0
22
禁区
10nk
20nk
0 1 2
辐射模
1-48 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理特征方程 mnknkdnk cicii 13221012221010 s i ns i ns i ns i nc o s
ink s in10?
10201212120 s i ns i n190 nknknncici
m=0,1,2时导波的?-?曲线禁区
10nk
20nk
0 1 2
辐射模
0? 1? 2?
200220000 knnkk
m增大,?i减小,?值减小。
m=0,
0s ins in
s ins inc o s
13
22
12
22
ci
ciid
ii nnk s ins in 10010
一定,m增大,?i减小,?值减小,所有模式中,TE0,TM0模次最低,?最大
m一定,?增大,?增大 0
截止波长
1-49 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波的截止波长
Q:在金属波导中，什么情况下导波截止。
Q:在介质波导中，什么情况下平面波截止。
A:导波截止的临界状态?c12=?i,sin?i=n2/n1
1
2
2
2
12
121c o s n
nnnn
i
B:截止波长
Q:如何求截止频率或波长。 A:特征方程
A,?=0
A:全反射条件破坏
mdnk i 3210 c o s
导波截止的临界状态?c12=?i,sin?i=n2/n1
1
2
2
2
12
121c o s n
nnnn
i
下边界处于全反射的临界状态,对 TE和 TM波有?2＝ 0，上边界处于全反射状态?3
22212322
12
13
2
12
2
3 a r c t a nc o s
s i ns i na r c t a n nnnn
c
cc
222123222
3
1
12
13
2
12
22
3
1
3 a r c t a nc o s
s i ns i na r c t a n nnnn
n
n
n
n
c
cc
TE:
TM:
1-50 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
3
2
2
2
12
m
nnd
c
TE:
TM:
22212322
2
2
2
1
a r c t a n
2
nnnnm
nnd
c
22212322
2
3
1
2
2
2
1
a r c t a n
2
nnnn
n
n
m
nnd
c
讨论：
1，各模式的截止波长完全取决也波导参数 n1,n2,n3，和 d。
2，不同模式有不同的截止波长
3，波指数 m相同的 TEm模和 TMm模的截止波长不同
4,TE0模的截止波长最长
1-51 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理单模传输 Single Mode Operation
对每个模式来说，只有当工作波长小于其截止波长时才能在波导中传输。 TE0模的截止波长最长，它的截止条件最容易满足。
A:基模,TE0
B:单模传输,如果设计波导结构或选择工作波长，使只允许
TE0模传输，而其它高次模都截止，则可实现单模传输。
C:单模传输的条件,?c(TM0)<?0<?c(TE0)
D:当 n1和 n3差别不大时,TM0和 TE0模的截止波长非常接近，实际上很难分开。在介质光波导中，单模传输的概念常常不是那么严格，因而，就是在 TM0和 TE0模同时存在时可使用单模传输的术语
1-52 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理对称薄膜波导
A:n2=n3,?3=?2
B:特征方程, mdnk i 210 2c o s
C:截止波长?2＝ 0
m
nnd
c
2
2
2
12
D:TEm和 TMm是兼并模，具有相同波指数的 TE和 TM模具有相同的截止波长
E:TE0和 TM0的截止波长。基模的截止波长为无穷大，此时无截止现象。
题目,平板波导 n1=1.5,n2=1.45,n3=1.4,d=5?m
1，求出其最低的 3个模式的截止波长。 2，作出其?-?曲线。 3，
对?0=1?m的光波，画出其最低的 3个模式的场分布。 4，用作图法求出区特征方程
1-53 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Ray Picture of Optical Fibers (N.A)
A:Numerical Aperture:
反映了光纤搜集射线的能力
22
0
0
1
c oss in
c l a dc o r e
i
c o r e
ext
nn
n
NA
n
n
NA
0
22
2
s i n
2
n
n
NA
nnn
n
nn
c o r e
ext
c o r ec l a dc o r e
c o r e
c l a dc o r e
B:
coren
cladn
cladn
ext?
in? i?i?
10?n
C:实际光纤中传输模型比较复杂，按上式确定的 NA必有差异，数值孔径往往由测试值确定
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理一,Optical Fibers
1.光纤的结构
b
SMF:2a=4-10?m,2b=125
理论分析中，可以认为包层是无限大的
MMF:(阶跃多模光纤 )
2a=50?m,2b=125
2.阶跃光纤和渐变光纤 Step-Index Fiber & Graded-Index Fiber
3.光纤制作 reading:P15-P19
1-2 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理二,几何光学 Geometrical Optics
4.When all apertures are much larger than a wavelength,
we can model the light as ray traveling in straight lines
perpendicular to the wavefront
1.Speed of light
in a medium of
refractive index
n,v=c/n
2.Law of
reflection:?i=?r
3.Snell’s
law:nt?sin?t=
ni?sin?ioy:normal line.o-xz:boundary
1-3 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理三,Uniform plane wave 均匀平面波
A:Maxwell Equations
(fundamental equations)
t
J
D
J
t
D
H
t
B
E
B:在稳态简谐条件下，线性各项同性非色散，不导电媒质中 Maxwell Equations
0
0
H
E
EjH
HjE
HB
ED
1-4 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
C,Helmholtz方程
0
0
22
22
HkH
EkE
]e x p [,
]e x p [,
0
0
kztjHtzH
kztjEtzE
y
x
x
y z
22?k
1.时间参量,角频率?，周期 T，频率 f。
21.22
fTTf
2.空间参量,纵向相移常数或角波数 kz，波长?z，波数 1/?z,
where
z
zk?
2?
1-5 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
3.空间与时间的联系,相速度 phase velosity
fkv z
z
p?
均匀平面波的纵向相移常数等于空间相移常数 kk
z其相速度等于光速
1?pv
4.电磁联系,波阻抗
H
E
H
E?
对于均匀平面波
真空中 370120
00
均匀平面波是电磁波的最基本的形式，它是沿固定方向传播的等幅行波，垂直于传播方向的平面是等相面或称波阵面。其等相位面同时是等振幅面，其电场和磁场都垂直于传播方向且互相垂直，
故称为横电磁波 (TEM:Transverse Electromagnetic wave)波。
同时是等幅波，即振幅不随传播距离而增加或衰减，等幅均匀平面波中电场与磁场同相，波阻抗为实数。
1-6 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
若在空间垂直于电场的面放置两块平行的导体平板，则因在导体表面切向电场为 0，两导体板不影响平面波的传播。这就形成双平板传输线中的 TEM模式的行波，它是双平板传输线中的主模，
或称最低模。
TE:transverse electric wave.TM:transverse magnetic
wave
1-7 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Plane Waves at a Dielectric Interface
1.Consider a
monochromatic
plane wave
incident on a
dielectric
interface
described by the
surface normal S
2.The plane wave
takes the form:
rktEE iiiic o s0
1-8 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
4.Maxwell’s Equations tell us that the tangential
component of the electric field must be continuous at
the interface,so we have:
Plane Waves at a Dielectric Interface
tttt
rrrriii
tri
rktES
rktESrktES
ESESES
c os
c osc os
0
00
3.The corresponding
reflected and transmitted
fields are:
ttttt
rrrrr
rktEE
rktEE
c os
c os
0
0
where?r and?t are phase constants.Non-zero values of
the phase constants can be interpreted as a spatial shift.
1-9 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Laws of Refraction
Similarly we find from the second of the two equations:
ttitti rkkrkrk
It follows that kt is also in the incident plane,and
ttiittii nnkk s i ns i ns i ns i n
00, pp vcnvk
This is Snell’s law of refraction.
1.The laws of reflection and refraction forms the basis for
Geometrical optics
2.Geometrical optics also assumes collimated optical
beams (rays),which are unphysical
3.Geometrical optics is nevertheless very useful for
modeling a large number of optical devices and
phenomena
1-10 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Lenses – Ray Picture
The rays are deflected
at the air-lens interface
due to the higher index
of the lens,
The
effect of
the ray
deflectio
n is that
all the
rays pass
through
the focus
Collimated
(parallel)
optical
beam
If the lens is thin,we
consider both
deflections to take
place at the center
plane of the lens.
1.The operation of lenses can be understood by tracing individual
rays through the lens
2.The rays all bend in different ways at the air-lens interface
3.The shape of the lens surfaces is chosen such that each ray
passes through the focus
1-11 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Lenses – Wave Picture
Collimated
(parallel) incident
optical beam
The lens is thinner on the periphery,so the
peripheral parts of the beam are delay less than
the center part,resulting in curved phase fronts
The curvature of the
wavefronts focus the beam
to a point
1.we can also consider
the wavefronts of the
light passing through
the lens to understand
its operation
2.The lens is delaying the center part of the beam with respect to
the sides such that all parts of the beam arrive at the focus in
phase
3.In other words,all parts of the beam are interfering
constructively at the focus,which leads to high intensity at this
point
1-12 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Diffraction limits resolution
In the ray-optics (geometrical-
optics) approximation,the focus is
a point
In reality,diffraction limits
the focusing ability of the lens
1.Ray optics is a useful
approximation for
many considerations,
but the fact that it does
not consider diffraction
gives it some major
flaws
2.The main one is that it predicts that a
lens focuses light to a mathematical point
3.This is not possible (even for a perfect lens) with wave phenomena
of finite wavelength
4.The central spot of the focus of a perfect,uniformly illuminated
lens is d=2.44?λ?f/D,where λ is the wavelength,f is the focal length,
and D the lens diameter
1-13 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Ray Tracing in Ideal Lenses
To trace rays through ideal lenses we need only two simple facts:
1.Each ray goes through the focal plane at the same point as
its parallel central ray
2.Central rays are not deflected
This is very useful for first order analysis of lens systems
1-14 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Imaging
Thin lens equation,1/a +1/b = 1/f
Magnification,b/a
a<f => diverging beams,no imaging
a=f => collimation
f<a<2f => Imaging according to the lens equation with M>1
a=2f => Imaging according to the lens equation with M=1
a>2f => Imaging according to the lens equation with M<1
1-15 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Fresnel Law
rkjEE
rkjEE
rkjEE
ttt
rrr
iii
e x p
~~
e x p
~~
e x p
~~
0
0
0
tri EEE 000 ~,~,~
A:
是入射光，反射光和透射光的矢量复数振幅反射系数 R
传递系数 T
2
0
0
1
0
0
2e x p~
~
2e x p~
~
jT
E
E
T
jR
E
E
R
i
t
i
r
B:
模表示强度，幅角表示相位
C:水平偏振波 TE横电波
iH
rH
tH
iE
rE
tE
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik
rk
tk
ti
ti
ti
nn
n
T
nn
nn
R
c osc os
c os2
c osc os
c osc os
21
11
21
21
1-16 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
ti
i
ti
ti
nn
n
T
nn
nn
R
c osc os
c os2
c osc os
c osc os
12
1
21
12
itt nn 22212 s i n1s i n1c o s
iH
rH?
tH
iE
rE?
tE
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik
rk
tk
D:垂直偏振波 TM 横磁波
Fresnel Law
1-17 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Tatal Internal Reflection
A,n1>n2 &?c<?i<900,?c=arcsin(n2/n1)
B:waves in
medium one 1s i n1s i nc o s 22212221 iit nnjnnj
1s i nc o s
1s i nc o s
22
2121
22
2121
ii
ii
nnnjn
nnnjnR
|R|=1,2?R=
i
ci
i
i nn
c o s
s i ns i na r c t a n
c o s
s i na r c t a n 222122
在临界状态下,?c＝?i,2?R＝ 0，反射不引起相位突变,?i?900,cos?i?0，
2?R＝ 1800，有半波损失。
TE wave:
TM wave,
1s i nc o s
1s i nc o s
c o sc o s
c o sc o s
22
2112
22
2112
12
12
ii
ii
ti
ti
nnnjn
nnnjn
nn
nnR
|R|=1,2?R=
i
ci
n
n
c o s
s ins ina r c t a n2 222
2
1
Attension:全反射时,TE,TM的位相变化是不相同的
1-18 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Wave in medium 1:TE wave
A,Incident wave takes the form as
zjkxjkE
rkjEE
izixi
iii
e x pe x p
e x p
0
0?
iH?
rH?
tH?
iE? rE?
tE?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik?
rk?
tk?
iiix nkkk c o sc o s 101
iiiz nkkk s ins in 101
入射波在 x方向的相位常数入射波的纵向相移常数
B,The corresponding reflected wave will take the form:
zjkxjkjzEzjkxjkEE izixrTEiizixrr e x pe x pe x pe x pe x p 00
ttt
iir
iii
kzkxk
kzkxk
kzkxk
s in?c o s?
s in?c o s?
s in?c o s?
22
11
11
001111
22
22
211
22
1
vcn
kk
1-19 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
rTEiixrTEiixrTEiizi
r
TEiiz
r
TEiixi
r
TEiiz
r
TEiixi
ri
kjkjkjE
kkjE
kkjE
EEE
c o se x pc o se x ps i ne x p
s i nc o se x p
s i nc o se x p
0
0
0
C:讨论,波的状态
Z方向,
rTEiizkj s ine x p
rTEiixkc o sc o s
行波，相位常数
iz nkk s in101
X方向,驻波
x
z
1-20 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Wave in medium 2,TE wave
rTE
c
i
ii
iT
TE jnnjnn
njTT?
e x p
c o s
c o s2
1s i nc o s
c o s22e x p
22
2121
1?
由上式可以看出传输系数的模值及其幅角。
zkjxkjjTErkjTEE zxrTEiit 22020 e x pe x pe x pe x p
212210222120202 s i n1s i nc o s nnnjknnnjknkk iitx
令 2
12210 s in nnnk i
xnnnxkxjk ix e x ps i ne x pe x p 2122102
zz knknkk 12201102 s ins in
rTEzit zkjxTEE 10 e x pe x p
1-21 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Z方向,z方向是行波状态，且相位常数与介质 1中的相同，相位常数相同意味着相速相同，这是因为介质 1中的波和介质 2中的波是一个统一波形的两部分，
它们必须有相同的传播速度。
rTEzit zkjxTEE 10 e x pe x p
X方向,说明波的幅度随离开界面的距离按指数形式减小，减小的快慢以参数?
决定,?叫做 x方向的衰减常数，它是由介质参数 n1,n2及入射角?i决定媒质 2中存在透射场，透射场沿平行与界面的方向 z为行波，而沿垂直与界面的
x方向为衰减场。场在界面处最强，沿离开界面的法线方向逐渐减弱，在无穷远处消失。这种场称为,渐消场,,这种振幅沿横向渐消，沿纵向传播的行波，
它的场集中早表面附近，故称为表面波。
场沿法向的逐渐减弱并非由于媒质的吸收，只是场的指数渐弱分布：衰逝波渐消场中,Hx与 Ey相差 900，即无界面法线方向即 x方向的有功功率流。
cind 2210 s ins in21有效穿透深度渐消场的出现说明，不能简单的认为全反射介质 2中完全不存在波场，实际上在界面附近波长量级的厚度内自然有场，入射波的能量不是在严格的界面上全部反射，而是穿透到介质 2内一定的深度。
1-22 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理复习
iH?
rH?
tH?
iE? rE?
tE?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik?
rk?
tk?
iH? rH?
tH?
iE?
rE?
tE?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
ik?
rk?
tk?
TE TM
B,n1>n2 &?c<?i<900,?c=arcsin(n2/n1)
C:TE wave:
i
cijjR
c o s
s i ns i na r c t a n2e x p2e x p 22
1
r
TE
c
i jT?
e x p
c o s
c o s2?
D:Wave in medium 1:TE wave
rTEiixrTEiixrTEiizi kjkjkjEE c o se x pc o se x ps i ne x p0
E:Wave in medium 2:TE wave
rTEzit zkjxTEE 10 e x pe x p
A:
1-23 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
i?
t?
r?
i?
t?
r?
1n
2n
x
z
1-24 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Total Internal Reflection
The transmission angle must be < π/2
No transmission,but instead Total Internal Reflection (TIR) if:
ni?sin?i=nt?sin?t>nt=>sin?TIR>nt/ni
=> No transmission
Note the Goos-Hanchen shift
The G-H shift is important in many optical components,including
waveguides and fibers
1-25 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
ci
x nkd 22
0 s ins in
11
ci
i
t nkdz
220 s i ns i n
t a n1t a n2
xd
x
z
i?
t?
1-26 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Ray picture of waveguides
We find the numerical aperture of the
fiber or waveguide by requiring that
the internal angle,?i,must exceed the
critical angle for Total Internal
Reflection
tc l a dic o r e nn s ins in
c l a dic o r et nn s in2
22
2 1
1c o ss i n c l a dc o r e
c o r ec o r e
c l a d
i
c o r e
c l a d
i nnnn
n
n
n
ic o r ec o r eext nnn c o ss i ns i n i n t0
22
00
1c o ss i n
c l a dc o r ei
c o r e
ext nnnNAn
nNA
0
22 2s i n2
n
nNAnnn
n
nn c o r e
extc o r ec l a dc o r e
c o r e
c l a dc o r e
实际光纤中传输模型比较复杂，按上式确定的 NA必有差异，数值孔径往往由测试值确定
1-27 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Modal Dispersion – Ray Picture
The different path lengths
through an optical fiber give rise
to pulse spreading
This effect is referred to as
modal dispersion
(intermodal dispersion in the
book)
Modal dispersion,as well as material and waveguide
dispersion (both referred to as chromatic dispersion in the
book),limits the useful bandwidth of optical fibers
It is often repeated mistake to assume that the modal dispersion
can be found by calculating the difference in path length using a
simple geometrical optics approach
coren
cladn
cladn
ext?
in? i?i?
1-28 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Modal Dispersion with GH shift
A.The wave picture of optical fiber propagation shows that
significant parts of the optical power propagated in the cladding
B.In the geometrical-optics picture,this effect is modeled as the
Goos-Hanchen shift
C.Close to cut-off most of the optical power propagates in the
cladding so that the efective index is lower than for the
fundamental mode
1-29 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Diffraction Invalidates Ray Picture
A.As the optical beam propagates,it spreads (diffraction)
B.At each reflection from the core-cladding interface there will
be parts of the beam that is beyond the TIR angle
C.The beam will therefore spread and lose energy until only
the part of the incoming beam that can be expanded on he
guided mode(s) is left
1-30 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Wave picture of waveguides
A.The step-index profile provide focusing just like lenses and
GRIN materialsB.The guides modes of the fiber are those that propagate without
changing their profile
C.The guided modes are those intensity profiles,for which the
focusing,due to the index profile,exactly matches the diffraction
D.In the core is small,only one such mode exists (single mode fiber)
1-31 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导行波 Guided Traveling Wave
A.全反射时介质 1和介质 2中的波时一个统一体，是一个波形的两个部分，沿纵向 z方向，它们都是以相同的相位常数 k1z在传播。沿 x方向，介质 1中的电磁波的幅度按三角函数规律变化，是驻波分布。介质 2 中的电磁波幅度按指数规律衰减，是衰减波，渐逝场。如果衰减常数?足够大，介质 2中的波将只存在于介质 1表面。由于电磁能量集中于介质 1及其表面附近，因而把这种波叫做表面波。又因为它是与界面平行的方向传播，是由介质表面导行的，因而也叫导行波，简称导波。
B:相位常数及传播速度 z向,?＝ k1z=k0n1sin?i
全反射,?c<?i<900 n2/n1<sin?i<1,K0n2< K0n1 sin?I< K0n1 或者 k2<?<k1
导波在传播方向的相位常数是介于两介质的波数之间的，比第二介质的波数 k2
大，比第一介质的波数 k1小。导行波的传播速度为 v=?/?,因而导行波的速度
/k1<v<?/k2,导行波的传播速度介于两介质中平面波的传播速度之间。由于其速度小于第二介质中的平面波的相速度，所以也称慢波。
等相位面,导波相位只沿 z方向变化，令 z为常数，就得到等相位面，所以等相位面是与传播方向垂直的一系列平面。
1-32 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
C:幅度变化规律在无损介质中，导波幅度沿 z方向是不变的，但沿下方向却按一定的规律变化。将电场幅度用 Em表示，则在介质一中,Em正比于
cos(k1xx+?1).显驻波分布。
x
zd
1.d与?i有关,?1=?c,?=0,d=?,?i=900,
022212 nn
2.?=n1-n2有关,2
2210 2 nnd
在界面 x=0处,Em正比于 cos(?1),k1x是 x方向的相位常数,?x=2?/k1x 是 x方向的波长,入射角?i越小,k1x
越大,?x越小,驻波节点越密集。
在介质 2中，幅度按 exp(-?x)规律衰减，其幅度变化规律在 x=0处，幅度曲线是连续的，衰减速度取决于衰减常数
cii nknnnk 2210212210 s i ns i n/s i n
越大，衰减越快,
1-33 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理穿透深度 d
1.与入射角?I有关,临界状态时,?1=?c,?=0,d=?,不衰减。
i=900,
022212 nn 22210 2 nnd
2.与两介质的折射率有关，差别越大，衰减越快。
3.与工作波长?0有关,?0越小,?越大,d越小。对电磁波集中越有利等振幅面,x为常数导波的等振幅面与等相位面时相互垂直的，这与均匀平面波不同。
cind 2210 s ins in21
1-34 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
D.辐射波的概念,radiated wave
平面波入射到两介质分界面上，当不满足全反射条件时，就产生了部分反射，一部分能量反射回介质 1中，只一部分能力返回到介质 2中，这种波叫辐射波。对于介质波导来说，这种波远没有导波重要。
对于 TE波zjkxjkErkjEE zxttt 22020 e x pe x pe x p
ix nnnknkk 2221202202 s i n1c o s
K2x为实数，故沿 x方向产生相移而不产生衰减，与导波不同
=k2z=k1z=k0n1sin?I 对于辐射波 sin?I<sin?c=n2/n1,?<k0n2<
k0n1.z方向相速度 v>v2>v1 快波。
TM波与此类似
Summary 当平面波由光密到光疏介质时
I>?c 导行波 能量集中于光密介质及其界面附近
I<?c 辐射波 有一部分能量辐射的光疏介质中
1-35 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理薄膜波导 Step Index Slab Waveguides
x
y
z
d 1?
3n
321 nnn
2n
敷层薄膜衬底上界面下界面
1n
下界面,薄膜与衬底的交界面，全反射临界角
1212 /a r c s in nnc
上界面,薄膜与敷层的交界面，全反射临界角
1313 /a r c s in nnc
The typical slab waveguide consists of a substrate,a thin dielectric
film,and a cladding layer,The substrate and cladding are assumed
to both be infinitely thick,while the film (core) has a finite thickness,
h.
A:
1-36 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
B:导波条件,平面波在上，下界面都要产生全反射,0
1213 90 ccc
或,1s in
1213 innnn?
如果 n1和 n2差别不大,?I将只限于接近 900的很小角度范围内，
即平面波的传播方向与 z轴几乎是平行的。
C:辐射模当形成导波的条件被破坏时，将有能量自模中辐射出去。
1213 cic
下边界的全反射条件被破坏
1213 cci
上下边界的全反射条件被破坏
We are searching for solutions to the wave equation withamplitudes
that are independent of z,i.e,solutions of the
zjxEzxE yy e x p,
where βis the longitudinal wave vector
1-37 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理薄膜波导中的导波
A:导波的波形－ TE波和 TM波
TE波,横电波 电场强度矢量 E在波导的横截面上，在传播方向上只有磁场强度分量 M
TM波,横磁波 x
y
z
E?
H?
E?
H?
TE波 TM波
B:导波的特征方程
1.?1>?c.在此范围内的任一?都可以形成导波？
2.特征方程
A
'A
B
'B
'C
C
D
'D
d
1?
3n
2n
1n
射线 等相面
1-38 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
A
'A
B
'B
'C
C
D
'D
d
1?
3n
2n
1n
射线 等相面
x
y
z
射线 ABCD与 A’B’C’D’中,BB’,CC’分别在不同的等相面上，由 B到 C和由 B’到 C’
各经历了不同的相位变化，但两射线相位变化之差应为 2?的整数倍。
射线 ABCD:由 B到 C所经历的相位变化为
32101 22 nkBC 10nkBC为在 BC路程上所引起的相位变化,2?
2,2?3分别为在上，下界面处全反射引起的相位突变射线 A’B’C’D’:由 B’到 C’所经历的相位变化为
10''2 nkCB
相位差为 mCBBCnk 222
32''1021
由图,
idCBBC?c o s2''
所以 mdnk
i 222c o s2 321021
各参数的意义。当波导和波长给定时，上式时关于?I的方程，它确定了形成波导的入射角?i的条件，因而叫薄膜波导的特征方程，有时也叫薄膜波导的色散方程，特征方程有很重要的意义，它是讨论导波特性的基础
1-39 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理对于 TE波
i
ci
i
i nn
c o s
s i ns i na r c t a n
c o s
s i na r c t a n 12222122
2
i
ci
i
i nn
c o s
s i ns i na r c t a n
c o s
s i na r c t a n 13222132
3
对于 TE波
i
ci
i
i
n
nnn
n
n
c o s
s i ns i n
a r c t a n
c o s
s i n
a r c t a n 12
222
2
1
2
12
22
2
1
2
i
ci
i
i
n
nnn
n
n
c o s
s i ns i n
a r c t a n
c o s
s i n
a r c t a n 13
222
3
1
2
13
22
3
1
3
1-40 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
C:特征方程的另一种形式
ix nkk?c o s101?
薄膜中波矢量在 x方向的分量，为横向相位常数。
代入特征方程, mdk
x 2222 32121
mdk x 321或者,
1-41 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波的模式
A:波指数 m 当 m＝ 0,1,2,3… 可得到 TE0,TM0;TE1,TM1; TE2,TM2;
TE3,TM3… 模。 M表明各模式的特点，叫做波指数。
B:模参数纵向相位常数横向相位常数衬底衰减常数敷层衰减常数
iz nkk s in101
ix nkk c o s101
1222102122102 s i ns i ns i n cii nknnnk
1322102132103 s i ns i ns i n cii nknnnk
导波模式的纵向传播规律，表明了它们的传播特性导波模式在薄膜内的横向驻波规律导波在衬底中的横向衰减规律导波在敷层中的横向衰减规律
1-42 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波模式的横向分布规律,按驻波规律分布跨过薄膜的宽度为 d，其相位变化为 k1xd=k0n1cos?i,由特征方程得 k1xd=m?+?2+?3.
B:当 m＝ 0,TE0模,TM0模 00<k1xd=?2+?3<?,因此其场沿 x方向得变化不足半个驻波当 m＝ 1,TE1模,TM1模? <k1xd=?2+?3<2?,因此其场沿 x方向得变化不足两个,半个驻波,
m表示导波场沿薄膜横向出现得完整得半驻波个数,m越大，导波得模次越高
A:
3n
1n
2n TE0 TE1 TE2
1-43 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Zero Order Mode
Plane wave picture of the fundamental mode of a slab waveguide,
The fundamental mode has the smallest transversal wavevector,
and only one maximum in the field pattern created by the
interference of the two planes waves
1-44 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
First Order Mode
Plane wave picture of the first order mode on an optical waveguide,
This mode has a larger transversal wavevector than the
fundamental mode,and two maxima,as well as one null,in the
field profile.
1-45 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
m=0时，薄膜中横向完整得,半驻波,个数为 0,m＝ 1时，薄膜中得完整得,半驻波,数为 1。故 m表示了导波场沿薄膜横向出现得完整得半驻波数 (波节数 ),m越大，导波得模数越高。
特征方程
mdnk i 222c o s2 321021
在其它条件不变得情况下,m越大,cos?i越大,?i越小高次模是由入射角?i较小得平面波构成得。当?i越小时，平面波得射线倾斜得比较严重，其横向相位常数 k1x大，驻波密集。
在衬底和敷层中，以衰减系数?2,?3按指数规律衰减，在穿透深度 d2＝ 1/?2和 d3＝ 1/?3处，电磁场衰减为表面处得 1/e.
Q:高阶模的衰减情况由于高次模的?i小,?值也小，因而衰减慢，能量集中差,TE0，
TM0模的模次最低,?值最大，能量集中最好。
1-46 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波模式的轴向相位常数轴向相位常数
iz nkk s in101
102012120 s i n190 nknknnici
对于给定的模式，有确定的?i值，因而也有确定的相位常数?。由特征方程求出?i值，就可确定各模式的?值。但特征方程时超越方程，得不到解析解，因而只能确定性讨论?得一些变化规律。
对给定得波导和工作波长，模次越高,?i越小，其?值越小，在所有得模式中,TE0,TM0模额模次最低，因而其?值最大。
对给定得模式，其?值随工作波长 (或频率 )而变，由特征方程可以看出，当 m给定时，工作波长越长,k0越小,?i值越小，故?
值也越小。
1-47 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理下图给出了几个较低模式得?-?曲线，它表明了?的变化范围及变化规律,?不能大于 k0n2，否则将给出辐射模,?也不能大于 k0n1。 故对于导波，其?时限制在 k0n1-?和 k0n2-?两条直线所夹的区域中。
m=0,1,2时导波的?-?曲线
k
v
k
nk
n
k
k
222
00
22
0020
00
00
22
0
22
禁区
10nk
20nk
0 1 2
辐射模
1-48 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理特征方程 mnknkdnk cicii 13221012221010 s i ns i ns i ns i nc o s
ink s in10?
10201212120 s i ns i n190 nknknncici
m=0,1,2时导波的?-?曲线禁区
10nk
20nk
0 1 2
辐射模
0? 1? 2?
200220000 knnkk
m增大,?i减小,?值减小。
m=0,
0s ins in
s ins inc o s
13
22
12
22
ci
ciid
ii nnk s ins in 10010
一定,m增大,?i减小,?值减小,所有模式中,TE0,TM0模次最低,?最大
m一定,?增大,?增大 0
截止波长
1-49 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理导波的截止波长
Q:在金属波导中，什么情况下导波截止。
Q:在介质波导中，什么情况下平面波截止。
A:导波截止的临界状态?c12=?i,sin?i=n2/n1
1
2
2
2
12
121c o s n
nnnn
i
B:截止波长
Q:如何求截止频率或波长。 A:特征方程
A,?=0
A:全反射条件破坏
mdnk i 3210 c o s
导波截止的临界状态?c12=?i,sin?i=n2/n1
1
2
2
2
12
121c o s n
nnnn
i
下边界处于全反射的临界状态,对 TE和 TM波有?2＝ 0，上边界处于全反射状态?3
22212322
12
13
2
12
2
3 a r c t a nc o s
s i ns i na r c t a n nnnn
c
cc
222123222
3
1
12
13
2
12
22
3
1
3 a r c t a nc o s
s i ns i na r c t a n nnnn
n
n
n
n
c
cc
TE:
TM:
1-50 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
3
2
2
2
12
m
nnd
c
TE:
TM:
22212322
2
2
2
1
a r c t a n
2
nnnnm
nnd
c
22212322
2
3
1
2
2
2
1
a r c t a n
2
nnnn
n
n
m
nnd
c
讨论：
1，各模式的截止波长完全取决也波导参数 n1,n2,n3，和 d。
2，不同模式有不同的截止波长
3，波指数 m相同的 TEm模和 TMm模的截止波长不同
4,TE0模的截止波长最长
1-51 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理单模传输 Single Mode Operation
对每个模式来说，只有当工作波长小于其截止波长时才能在波导中传输。 TE0模的截止波长最长，它的截止条件最容易满足。
A:基模,TE0
B:单模传输,如果设计波导结构或选择工作波长，使只允许
TE0模传输，而其它高次模都截止，则可实现单模传输。
C:单模传输的条件,?c(TM0)<?0<?c(TE0)
D:当 n1和 n3差别不大时,TM0和 TE0模的截止波长非常接近，实际上很难分开。在介质光波导中，单模传输的概念常常不是那么严格，因而，就是在 TM0和 TE0模同时存在时可使用单模传输的术语
1-52 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理对称薄膜波导
A:n2=n3,?3=?2
B:特征方程, mdnk i 210 2c o s
C:截止波长?2＝ 0
m
nnd
c
2
2
2
12
D:TEm和 TMm是兼并模，具有相同波指数的 TE和 TM模具有相同的截止波长
E:TE0和 TM0的截止波长。基模的截止波长为无穷大，此时无截止现象。
题目,平板波导 n1=1.5,n2=1.45,n3=1.4,d=5?m
1，求出其最低的 3个模式的截止波长。 2，作出其?-?曲线。 3，
对?0=1?m的光波，画出其最低的 3个模式的场分布。 4，用作图法求出区特征方程
1-53 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 第二章 光导纤维的传输原理
Ray Picture of Optical Fibers (N.A)
A:Numerical Aperture:
反映了光纤搜集射线的能力
22
0
0
1
c oss in
c l a dc o r e
i
c o r e
ext
nn
n
NA
n
n
NA
0
22
2
s i n
2
n
n
NA
nnn
n
nn
c o r e
ext
c o r ec l a dc o r e
c o r e
c l a dc o r e
B:
coren
cladn
cladn
ext?
in? i?i?
10?n
C:实际光纤中传输模型比较复杂，按上式确定的 NA必有差异，数值孔径往往由测试值确定
