Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
第二章 光导纤维的传输原理
2 阶跃光纤 SIF－ Step-Index Fiber
A:由于光纤的低损耗及造价低引起了通讯革命
B:光纤的制作工序,1，制作光纤预制棒 (1－ 3cm),2，拉丝。
C:拉丝的过程控制的很好，纤芯和包层的直径非常均匀
D:光纤的均匀性非常好，在大多数情况下，我们可以认为光纤是完美的圆柱状光波导。
E:我们假定包层是无限大的，这样光纤的结构参数归纳为 3个：纤芯半径 a，纤芯和包层的折射率
ncore和 ncladding
F:在加上光场的波失，这些参数就决定了光在光纤中的传播
b
MMF:(阶跃多模光纤 ) 2a=50?m,2b=125?m
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
第二章 光导纤维的传输原理
Ray Picture of Optical Fibers (N.A)
A:Numerical Aperture:反映了光纤搜集射线的能力
22
0
0
1
c oss in
c l a dc o r e
i
c o r e
ext
nn
n
NA
n
n
NA
0
22
2
s i n
2
n
n
NA
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n
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c o r ec l a dc o r e
c o r e
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B:
coren
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cladn
ext?
in? i?i?
10?n
C:实际光纤中传输模型比较复杂，按上式确定的 NA必有差异，数值孔径往往由测试值确定
7/21/2009 3
２ 阶跃光纤的波动理论解法第二章 光导纤维的传输原理
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
一,Maxwell’sequations
麦克斯韦方程给出了电场和磁场之间的关系。
在线性的、各相同性的电介质中，没有电流和自由电荷，麦克斯韦方程式可以表示为如下形式：
0
0
B
D
t
D
H
t
B
E
参数 ε 是介质的电容率（或称介电常数）,μ 是介质的磁导率,
HB
ED
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
二,Wave equations in cylindrical coordinates
光纤中的光场满足 Helmholtz方程
问题归结于把圆柱坐标系下求解矢量 Helmholtz方程，满足边界条件的场的解。
02202 EnkE
0202 HnkH
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
三．矢量解法（纵向分量法）
２ 求解 EZ,HZ的标量 H方程
３ 根据各场分量之间的关系进行求解
１ 求解 EZ,HZ的标量 H方程
ET,HT二维矢量
二维 Laplace算子
纵向分量 EZ,HZ的方程是标量 H方程，可以作为求解的出发点
2?
0k 22 TT EE 0k 22 TT HH
0k 22 ZZ EE 0k 22 ZZ HH
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
四,标量近似解的特点射线几乎是与光纤的轴平行，这样的波类似于一个横电场波
（ TEM波）。
１ 弱导条件
２ 弱导条件下光纤中的场的特点
① 由于电磁场是与波矢量垂直的，因而光纤轴近于垂直。其轴向分量 EZ,HZ极小，横向场 ET,HT占优势。
② 边界的存在只是构成内部全反射，并不影响场的偏振态，因而场的横向分量是线偏振的。
③ 弱场条件下，横向电场 ET和横向磁场 HT都满足标量波动方程。
④各分量在波导边界上连续。边界条件
1
1
2?nn 2/)(s in
1
21 nnc
0)12 EEn （
0)12 HHn （
SDDn )12
（
0)12 BBn （
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
五,标量解的场方程（一）
Z
X
Y E
y
选择电场的偏振方向沿 y轴方向在圆柱坐标系中展开分离变量
Ey满足标量 Helmhotz方程,022
02 yy EnkE
011 202
2
2
2
22
2
yyyyy EnkZEEEE
)()()( Zry ZARE
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Coordinate system for modes in an optical fiber
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
五,标量解的场方程（二）
A,Z(Z) 导波沿 Z方向呈行波状态,相位常数?，
B,Ey沿圆周方向应是以 2?为周期的函数，
)e x p ()( ZjZ Z
)(
m
m
s in
c o s
)(
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
m,Bessel函数的阶。
五,标量解的场方程（三）
C,R(r) 导波在光纤芯子中应是振荡解,取 Besel函数，
导波在光纤包层中应是衰减解,第二类修正的 Besel函数
D,E(y)
rknK
rkn
m
2
1
2
0
2
2
2
2
1
22
0
2
1mJ
rR
ar?
ar?
rknKA
rknJA
2
1
2
0
2
1
2
m2
2
1
22
0
2
1m1
y
s i n m
c o s m
zje x pE
ar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
六．光纤的归一化参数
１ 归一化径向相位常数
３ 归一化频率
２ 归一化径向衰减常数径向归一化衰减常数
w衡量某一模式是否截止 。 对于导波,场在纤芯外是衰减的,
w2>0；当 w2<0时,场在纤芯外不再衰减,
出现辐射模 。
aknU 2122021
aknW 2120222
2122 wuV
aknaknn 01210212221 2
rknKA
rknJA
2
1
2
0
2
1
2
m2
2
1
22
0
2
1m1
y s i n m
c o s m
zje x pE
ar?
ar?
aWrKA
aUrJA
/
/
s i n m
c o s mzje x p
m2
m1
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
七．场的各分量边界条件,r＝ a处，
A,E(y) 取 的解，
A1Jm(u)=A2Km(w)=A
A1=A/J m(u),A2= A/ Km(w)
21 |E|E
ary
0
ary |E|E
mc o s)(
aWrKA
aUrJAm
/
/c o szje x pE
m2
m1
y
ar?
ar?
ar?
ar
wKawrK
uJaurJmA
mm
mm
y //
//c o szje x pE
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Z0,Z1=Z0/n1,Z2=Z0/n2,分别是自由空间，光子 Z0层中平面波的波阻抗。
B,H(x) 横向磁场只包含 Hx分量，可根据 Ey直接写出，
c o s mWK/aWKZAnZ
E
c o s mUJ/aUJZAnZ
E
H
mm
0
2
2
y
mm
0
1
1
y
x
r
rar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
C,E(Z) 根据 Maxwell方程中场分量的关系求出，
1ms i nUK/
a
Wr
K
n
W
1ms i nUK/
a
Wr
K
n
W
1ms i nUJ/
a
Ur
J
n
U
1ms i nUJ/
a
Ur
J
n
U
2
m1m
2
m1m
2
m1-m
1
m1m
1
0
ak
jA
E
Z
ar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
D,H(Z) 根据 Maxwell方程中场分量的关系求出，
1mc osUK/
a
Wr
K
n
W
1mc osUK/
a
Wr
K
n
W
1mc osUJ/
a
Ur
J
n
U
1mc osUJ/
a
Ur
J
n
U
2
m1m
2
m1m
2
m1-m
1
m1m
1
0
ak
jA
H
Z
ar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
八．标量解的特征方程
特性方程根据边界条件得出。在 r=a处，
=
2z1z |E|E?
1ms i nUJ/aUrJnU1ms i nUJ/aUrJnU m1-m
1m1m1
1ms i nWK/aKnW1ms i nUK/aKnW m1m
2m1m2
WrWr
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
弱导条件,n1=n2=n
=
=
两等式实际上相同 。 弱导光纤标量解得特征方程 。 可以从中解出 U（ 或 W）,进而确定 W（ 或 U） 和相位常数 β,从而决定光纤中的场及其特性 。
UJ/UUJ m1mWK/WWK m1m?
UJ/UUJ m1mWK/WWK- m1m?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
九．大 V值情况下的 U值（远离截止）
==
V→ ∞ v=2?n1(2Δ)1/2a/λ0 a/λ0→ ∞
光波相当于在折射率为 n1的无限大空间传播，相位常数 β→k 0n1
W=（ β2- k02n22） 1/2a→ ∞
Km（ W） =（? /2w） 1/2exp（ -w）
特征方程：
→ ∞
大 V值情况下的特征方程
Bessel函数的零点远离截止时的 U值第 m阶 Bessel函数的第 n个根
UJ/UUJ m1mWK/WWK- m1m? W-
0UJ m?
mnU
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an0 1 2
1 2.40483 3.83171 5.13562
2 5.52008 7.01559 8.41724
3 8.65373 10.17347 11.61984
m
n
表 2-1 大 V值情况下的 LPmn模的 u值
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
A．标量线性偏振模 (横向 )
九,LPmn模（ Linearly Polarized Modes）
LP01 m=0,n=1,U=μ01=2.40483
LP11 m=1,n=1,U=μ11=3.83171
对于一对确定的 m,n值，有一确定的 U值，从而有确定的 W及 β
值，对应着一确定的场分布和传播特性。这个独立的场就叫做光纤中的一个模式，称为标量模，记作 模。
LP(Linearly Polarization) 是线偏振的意思，它表示弱导波光纤中的模式基本上是线偏振波。下标 m,n是模指数。
mnLP
ze x paUrJc o s mUJAE mmy j
ze x paUrJc o s mE m0 jze x paUrJE 00?j
ze x paUrJc o sE 10 jE y
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an角向：
m=0,Θ(θ)=1,在圆周方向电场无变化，电场在角向出现的最大值的对数是 0。
m：场沿角向（圆周）的最大值有 m对
B,场在横截面上的分布
m=2,Θ(θ)=cos2θ,在圆周出现最大值 θ= （ 0°,90°,
180°,270° ）
m=1,Θ(θ)=cosθ,在圆周出现最大值 θ= （ 0°,180° ）
电场在角向出现的最大值的对数是 1。
电场在角向出现的最大值的对数是 2。
c o s m0
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
r=0,R（ r） =J0（ 0） =1 最大
r=a,R（ r） =J0（ 2.40483） =0
径向：
m=0,LP0n
n=1,LP01，,
电场在径向出现最大值的个数是 1。
r=0,R（ 0） =J0（ 0） =1 最大
r=a,R（ a） =J0（ 2.40483） =0
n=2,LP02，
电场在径向出现最大值的个数是 2。
( ) ( / )mR r J u r a?
)/()( 0 aUrJrR?
4 0 4 8 3.201U )/4 0 4 8 3.2()( 0 arJrR?
5 2 0 0 8.502U )/5 2 0 0 8.5()( 0 arJrR?
ar 52 00 8.5 40 48 3.2? 0)4 0 4 8 3.2()5 2 0 0 8.5 4 0 4 8 3.2( 0 JaR
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十,LP01模的场分布
m=0，电场在角向出现的最大值的对数是 0。
n＝ 1，电场在径向出现最大值的个数是 1 。
ze x paUrJE 00?jE y
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十一,LP11模的场分布
m=1，电场在角向出现的最大值的对数是 1。
n＝ 1，电场在径向出现最大值的个数是 1 。
ze x paUrJc o sE 10 jE y
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
m=2，电场在角向出现的最大值的对数是 2。
n＝ 1，电场在径向出现最大值的个数是 1 。
ze x paUrJc o s 2E 10 jE y
十二,LP21模的场分布
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
m=0，电场在角向出现的最大值的对数是 0。
n＝ 2，电场在径向出现最大值的个数是 2 。
ze x paUrJE 00?jE y
十三,LP02模的场分布
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Irradiance patterns for some low order linearly
polarized modes
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
0wKwKwJ/uJu m1Mmc1mc特性方程十四,LP0n模的归一化截止频率
A,临界条件
B,归一化临界截止频率
W2>0 导波 W2?0 辐射模
W2=0
Vc2=Uc2+Wc2=Uc2
Vc=Uc
C,归一化临界截止相位常数 （由特征方程推导）
W→ 0
m=0,J-1（ Uc） = -J1（ Uc） =0
当 uc≠0时,Jm-1（ Uc） =0,Uc是 m-1阶 Bessel方程的根。
m≠0,Jm-1（ Uc） =0
Uc=?1,n-1=0,3.83171,7.01559,10.17347……
Uc=? m-1,n,m-1阶 Bessel方程的第 n个根。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
n m 0 1 2
1
2
3
0
3.83171
7.01559
2.40483
5.52008
8.65373
3.83171
7.01559
10.17347
截止情况下 LPmn模的 Uc值
LP21和 LP02模有相同的截止频率（弱导），但这两个模式并不兼并因为这两个模式有不同的特征方程。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
A,LPmn的归一化截止频率十五,SIF标量近似解的截止波长基模 LP01的归一化截面频率 Vc=Uc=0
二阶模 LP11 Vc=Uc=2.40483
三阶模 LP21 Vc=Uc=3.83171
B,截止波长
Vc=2?n1a（ 2Δ） 1/2/λc
λc=2?n1a（ 2Δ） 1/2/Vc
对某一模式，不同光纤的 λc 不同，而 Vc却不因光纤而改变，对阶跃光纤是通用的，这也是利用归一化频率的好处。
若光纤中只有一种传输模式，则 V单纤，这种光纤没有模式色散，
其频带很宽，适用于长距离大容量的通信，是大力发展应用的光纤条件 V<Vc（ Q11） =2.40483，所以一般 SMF光纤很细,2a=4~10um
C,单模光纤
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十六,纵向相位常数?和归一化纵向相位常数
A 归一化相位常数
10
knn
nk
v
wb
1020
2
0
2
2
2
1
2
2
2
0
2
2
2
远离截止截止
b
nKnK?
B 纵向相位常数
2
1
2
2
2
2
2
1
20
212
2
2
1
2
20
212
2
2
0
2
0
2
2
2
1 n
bnn1nkbnnnknkknnb
])([ 2110 bnnnk
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
阶跃光纤 LPmn模的归一化相位常数 b随 V的变化曲线
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十七 LP模的功率
A．功率因数：
波导效率：
t m n
T m n
P
P
mn ＝总功率纤芯中传播的功率
t m n
o m nmn1
P
P＝
总功率包层中传输的功率＝－?
wKwK
wK
w
u
v
w
uJuJ
uJ
v
w
P
P
mm
m
mm
m
t m n
T m n
11
2
2
2
2
2
11
2
2
2
mn
1
1?
B,V很大，远离截面,W≈V,η mn＝ 1 Jm(U)=0能量集中在光纤的芯子中。
C,W＝ 0 截面 Vc=Uc UcJm-1/Jm(Uc)=0
m=0,1 η mn＝ 0,对 m＝ 0,1的低阶模，截面状态下，能量完全转到包层中去了。
m>1 η mn＝ 1-1/m 对 m>1的低阶模，截面状态下，能量在芯子中还有相当大的比例。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
作业 2：阶跃光纤结构参数为,a＝ 4u,none＝ 1.45，
ndading＝ 1.444,参照课本 P59,图 2－ 24 回答下列问题：
对 λ 0＝ 1um的光波,该光纤支持几个模式,（ 计算兼并模 ） 分别是？ 画出其场沿半径的变化曲线,并作出电场在横截面上的分布图形 。 若工作波长进一步增加,会发现什么现象？ 记录下一些特殊的波长值 。
十八,多模光纤中的模数量
M＝ v2/2
V=(n12-n22)k02a2
作业 1：设单模光纤由熔融石英制成，其包层折射率指数为 n2=1.578，纤芯折射率指数为 n1=1.015,n2≈1.541,纤芯直径为 2a=4um，试求出其中与模量最临近的高模式的临界波长。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
整数阶 BESSEL函数（ 0,?1,?2）
-2 0 -1 8 -1 6 -1 4 -1 2 -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
J
-
2
,
-
1
,
0
,
1
,
2
(x
)
X
J
0
(x )
y =0
J
1
(x )
J
2
(x )
J
-1
(x )
J
-2
(x )
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
-20 -10 0 10 20
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
J
0
,y
=0
X
J0x
y =0
0阶 BESSEL函数
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
1阶 BESSEL函数
-20 -10 0 10 20
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
J
1
,J
-1
X
y =0
J
1
J
-1
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
2整数阶 BESSEL函数
-20 -10 0 10 20
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
J
1
,J
-1
X
y =0
J
2
J
-2
py
rig
ht
W
an
g Y
an
第二章 光导纤维的传输原理
2 阶跃光纤 SIF－ Step-Index Fiber
A:由于光纤的低损耗及造价低引起了通讯革命
B:光纤的制作工序,1，制作光纤预制棒 (1－ 3cm),2，拉丝。
C:拉丝的过程控制的很好，纤芯和包层的直径非常均匀
D:光纤的均匀性非常好，在大多数情况下，我们可以认为光纤是完美的圆柱状光波导。
E:我们假定包层是无限大的，这样光纤的结构参数归纳为 3个：纤芯半径 a，纤芯和包层的折射率
ncore和 ncladding
F:在加上光场的波失，这些参数就决定了光在光纤中的传播
b
MMF:(阶跃多模光纤 ) 2a=50?m,2b=125?m
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
第二章 光导纤维的传输原理
Ray Picture of Optical Fibers (N.A)
A:Numerical Aperture:反映了光纤搜集射线的能力
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0
0
1
c oss in
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c o r e
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nn
n
NA
n
n
NA
0
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2
s i n
2
n
n
NA
nnn
n
nn
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c o r ec l a dc o r e
c o r e
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B:
coren
cladn
cladn
ext?
in? i?i?
10?n
C:实际光纤中传输模型比较复杂，按上式确定的 NA必有差异，数值孔径往往由测试值确定
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２ 阶跃光纤的波动理论解法第二章 光导纤维的传输原理
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
一,Maxwell’sequations
麦克斯韦方程给出了电场和磁场之间的关系。
在线性的、各相同性的电介质中，没有电流和自由电荷，麦克斯韦方程式可以表示为如下形式：
0
0
B
D
t
D
H
t
B
E
参数 ε 是介质的电容率（或称介电常数）,μ 是介质的磁导率,
HB
ED
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
二,Wave equations in cylindrical coordinates
光纤中的光场满足 Helmholtz方程
问题归结于把圆柱坐标系下求解矢量 Helmholtz方程，满足边界条件的场的解。
02202 EnkE
0202 HnkH
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
三．矢量解法（纵向分量法）
２ 求解 EZ,HZ的标量 H方程
３ 根据各场分量之间的关系进行求解
１ 求解 EZ,HZ的标量 H方程
ET,HT二维矢量
二维 Laplace算子
纵向分量 EZ,HZ的方程是标量 H方程，可以作为求解的出发点
2?
0k 22 TT EE 0k 22 TT HH
0k 22 ZZ EE 0k 22 ZZ HH
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
四,标量近似解的特点射线几乎是与光纤的轴平行，这样的波类似于一个横电场波
（ TEM波）。
１ 弱导条件
２ 弱导条件下光纤中的场的特点
① 由于电磁场是与波矢量垂直的，因而光纤轴近于垂直。其轴向分量 EZ,HZ极小，横向场 ET,HT占优势。
② 边界的存在只是构成内部全反射，并不影响场的偏振态，因而场的横向分量是线偏振的。
③ 弱场条件下，横向电场 ET和横向磁场 HT都满足标量波动方程。
④各分量在波导边界上连续。边界条件
1
1
2?nn 2/)(s in
1
21 nnc
0)12 EEn （
0)12 HHn （
SDDn )12
（
0)12 BBn （
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
五,标量解的场方程（一）
Z
X
Y E
y
选择电场的偏振方向沿 y轴方向在圆柱坐标系中展开分离变量
Ey满足标量 Helmhotz方程,022
02 yy EnkE
011 202
2
2
2
22
2
yyyyy EnkZEEEE
)()()( Zry ZARE
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Coordinate system for modes in an optical fiber
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
五,标量解的场方程（二）
A,Z(Z) 导波沿 Z方向呈行波状态,相位常数?，
B,Ey沿圆周方向应是以 2?为周期的函数，
)e x p ()( ZjZ Z
)(
m
m
s in
c o s
)(
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
m,Bessel函数的阶。
五,标量解的场方程（三）
C,R(r) 导波在光纤芯子中应是振荡解,取 Besel函数，
导波在光纤包层中应是衰减解,第二类修正的 Besel函数
D,E(y)
rknK
rkn
m
2
1
2
0
2
2
2
2
1
22
0
2
1mJ
rR
ar?
ar?
rknKA
rknJA
2
1
2
0
2
1
2
m2
2
1
22
0
2
1m1
y
s i n m
c o s m
zje x pE
ar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
六．光纤的归一化参数
１ 归一化径向相位常数
３ 归一化频率
２ 归一化径向衰减常数径向归一化衰减常数
w衡量某一模式是否截止 。 对于导波,场在纤芯外是衰减的,
w2>0；当 w2<0时,场在纤芯外不再衰减,
出现辐射模 。
aknU 2122021
aknW 2120222
2122 wuV
aknaknn 01210212221 2
rknKA
rknJA
2
1
2
0
2
1
2
m2
2
1
22
0
2
1m1
y s i n m
c o s m
zje x pE
ar?
ar?
aWrKA
aUrJA
/
/
s i n m
c o s mzje x p
m2
m1
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
七．场的各分量边界条件,r＝ a处，
A,E(y) 取 的解，
A1Jm(u)=A2Km(w)=A
A1=A/J m(u),A2= A/ Km(w)
21 |E|E
ary
0
ary |E|E
mc o s)(
aWrKA
aUrJAm
/
/c o szje x pE
m2
m1
y
ar?
ar?
ar?
ar
wKawrK
uJaurJmA
mm
mm
y //
//c o szje x pE
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Z0,Z1=Z0/n1,Z2=Z0/n2,分别是自由空间，光子 Z0层中平面波的波阻抗。
B,H(x) 横向磁场只包含 Hx分量，可根据 Ey直接写出，
c o s mWK/aWKZAnZ
E
c o s mUJ/aUJZAnZ
E
H
mm
0
2
2
y
mm
0
1
1
y
x
r
rar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
C,E(Z) 根据 Maxwell方程中场分量的关系求出，
1ms i nUK/
a
Wr
K
n
W
1ms i nUK/
a
Wr
K
n
W
1ms i nUJ/
a
Ur
J
n
U
1ms i nUJ/
a
Ur
J
n
U
2
m1m
2
m1m
2
m1-m
1
m1m
1
0
ak
jA
E
Z
ar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
D,H(Z) 根据 Maxwell方程中场分量的关系求出，
1mc osUK/
a
Wr
K
n
W
1mc osUK/
a
Wr
K
n
W
1mc osUJ/
a
Ur
J
n
U
1mc osUJ/
a
Ur
J
n
U
2
m1m
2
m1m
2
m1-m
1
m1m
1
0
ak
jA
H
Z
ar?
ar?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
八．标量解的特征方程
特性方程根据边界条件得出。在 r=a处，
=
2z1z |E|E?
1ms i nUJ/aUrJnU1ms i nUJ/aUrJnU m1-m
1m1m1
1ms i nWK/aKnW1ms i nUK/aKnW m1m
2m1m2
WrWr
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
弱导条件,n1=n2=n
=
=
两等式实际上相同 。 弱导光纤标量解得特征方程 。 可以从中解出 U（ 或 W）,进而确定 W（ 或 U） 和相位常数 β,从而决定光纤中的场及其特性 。
UJ/UUJ m1mWK/WWK m1m?
UJ/UUJ m1mWK/WWK- m1m?
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
九．大 V值情况下的 U值（远离截止）
==
V→ ∞ v=2?n1(2Δ)1/2a/λ0 a/λ0→ ∞
光波相当于在折射率为 n1的无限大空间传播，相位常数 β→k 0n1
W=（ β2- k02n22） 1/2a→ ∞
Km（ W） =（? /2w） 1/2exp（ -w）
特征方程：
→ ∞
大 V值情况下的特征方程
Bessel函数的零点远离截止时的 U值第 m阶 Bessel函数的第 n个根
UJ/UUJ m1mWK/WWK- m1m? W-
0UJ m?
mnU
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an0 1 2
1 2.40483 3.83171 5.13562
2 5.52008 7.01559 8.41724
3 8.65373 10.17347 11.61984
m
n
表 2-1 大 V值情况下的 LPmn模的 u值
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
A．标量线性偏振模 (横向 )
九,LPmn模（ Linearly Polarized Modes）
LP01 m=0,n=1,U=μ01=2.40483
LP11 m=1,n=1,U=μ11=3.83171
对于一对确定的 m,n值，有一确定的 U值，从而有确定的 W及 β
值，对应着一确定的场分布和传播特性。这个独立的场就叫做光纤中的一个模式，称为标量模，记作 模。
LP(Linearly Polarization) 是线偏振的意思，它表示弱导波光纤中的模式基本上是线偏振波。下标 m,n是模指数。
mnLP
ze x paUrJc o s mUJAE mmy j
ze x paUrJc o s mE m0 jze x paUrJE 00?j
ze x paUrJc o sE 10 jE y
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an角向：
m=0,Θ(θ)=1,在圆周方向电场无变化，电场在角向出现的最大值的对数是 0。
m：场沿角向（圆周）的最大值有 m对
B,场在横截面上的分布
m=2,Θ(θ)=cos2θ,在圆周出现最大值 θ= （ 0°,90°,
180°,270° ）
m=1,Θ(θ)=cosθ,在圆周出现最大值 θ= （ 0°,180° ）
电场在角向出现的最大值的对数是 1。
电场在角向出现的最大值的对数是 2。
c o s m0
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
r=0,R（ r） =J0（ 0） =1 最大
r=a,R（ r） =J0（ 2.40483） =0
径向：
m=0,LP0n
n=1,LP01，,
电场在径向出现最大值的个数是 1。
r=0,R（ 0） =J0（ 0） =1 最大
r=a,R（ a） =J0（ 2.40483） =0
n=2,LP02，
电场在径向出现最大值的个数是 2。
( ) ( / )mR r J u r a?
)/()( 0 aUrJrR?
4 0 4 8 3.201U )/4 0 4 8 3.2()( 0 arJrR?
5 2 0 0 8.502U )/5 2 0 0 8.5()( 0 arJrR?
ar 52 00 8.5 40 48 3.2? 0)4 0 4 8 3.2()5 2 0 0 8.5 4 0 4 8 3.2( 0 JaR
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十,LP01模的场分布
m=0，电场在角向出现的最大值的对数是 0。
n＝ 1，电场在径向出现最大值的个数是 1 。
ze x paUrJE 00?jE y
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十一,LP11模的场分布
m=1，电场在角向出现的最大值的对数是 1。
n＝ 1，电场在径向出现最大值的个数是 1 。
ze x paUrJc o sE 10 jE y
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
m=2，电场在角向出现的最大值的对数是 2。
n＝ 1，电场在径向出现最大值的个数是 1 。
ze x paUrJc o s 2E 10 jE y
十二,LP21模的场分布
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
m=0，电场在角向出现的最大值的对数是 0。
n＝ 2，电场在径向出现最大值的个数是 2 。
ze x paUrJE 00?jE y
十三,LP02模的场分布
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
Irradiance patterns for some low order linearly
polarized modes
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
0wKwKwJ/uJu m1Mmc1mc特性方程十四,LP0n模的归一化截止频率
A,临界条件
B,归一化临界截止频率
W2>0 导波 W2?0 辐射模
W2=0
Vc2=Uc2+Wc2=Uc2
Vc=Uc
C,归一化临界截止相位常数 （由特征方程推导）
W→ 0
m=0,J-1（ Uc） = -J1（ Uc） =0
当 uc≠0时,Jm-1（ Uc） =0,Uc是 m-1阶 Bessel方程的根。
m≠0,Jm-1（ Uc） =0
Uc=?1,n-1=0,3.83171,7.01559,10.17347……
Uc=? m-1,n,m-1阶 Bessel方程的第 n个根。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
n m 0 1 2
1
2
3
0
3.83171
7.01559
2.40483
5.52008
8.65373
3.83171
7.01559
10.17347
截止情况下 LPmn模的 Uc值
LP21和 LP02模有相同的截止频率（弱导），但这两个模式并不兼并因为这两个模式有不同的特征方程。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
A,LPmn的归一化截止频率十五,SIF标量近似解的截止波长基模 LP01的归一化截面频率 Vc=Uc=0
二阶模 LP11 Vc=Uc=2.40483
三阶模 LP21 Vc=Uc=3.83171
B,截止波长
Vc=2?n1a（ 2Δ） 1/2/λc
λc=2?n1a（ 2Δ） 1/2/Vc
对某一模式，不同光纤的 λc 不同，而 Vc却不因光纤而改变，对阶跃光纤是通用的，这也是利用归一化频率的好处。
若光纤中只有一种传输模式，则 V单纤，这种光纤没有模式色散，
其频带很宽，适用于长距离大容量的通信，是大力发展应用的光纤条件 V<Vc（ Q11） =2.40483，所以一般 SMF光纤很细,2a=4~10um
C,单模光纤
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十六,纵向相位常数?和归一化纵向相位常数
A 归一化相位常数
10
knn
nk
v
wb
1020
2
0
2
2
2
1
2
2
2
0
2
2
2
远离截止截止
b
nKnK?
B 纵向相位常数
2
1
2
2
2
2
2
1
20
212
2
2
1
2
20
212
2
2
0
2
0
2
2
2
1 n
bnn1nkbnnnknkknnb
])([ 2110 bnnnk
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
阶跃光纤 LPmn模的归一化相位常数 b随 V的变化曲线
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
十七 LP模的功率
A．功率因数：
波导效率：
t m n
T m n
P
P
mn ＝总功率纤芯中传播的功率
t m n
o m nmn1
P
P＝
总功率包层中传输的功率＝－?
wKwK
wK
w
u
v
w
uJuJ
uJ
v
w
P
P
mm
m
mm
m
t m n
T m n
11
2
2
2
2
2
11
2
2
2
mn
1
1?
B,V很大，远离截面,W≈V,η mn＝ 1 Jm(U)=0能量集中在光纤的芯子中。
C,W＝ 0 截面 Vc=Uc UcJm-1/Jm(Uc)=0
m=0,1 η mn＝ 0,对 m＝ 0,1的低阶模，截面状态下，能量完全转到包层中去了。
m>1 η mn＝ 1-1/m 对 m>1的低阶模，截面状态下，能量在芯子中还有相当大的比例。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
作业 2：阶跃光纤结构参数为,a＝ 4u,none＝ 1.45，
ndading＝ 1.444,参照课本 P59,图 2－ 24 回答下列问题：
对 λ 0＝ 1um的光波,该光纤支持几个模式,（ 计算兼并模 ） 分别是？ 画出其场沿半径的变化曲线,并作出电场在横截面上的分布图形 。 若工作波长进一步增加,会发现什么现象？ 记录下一些特殊的波长值 。
十八,多模光纤中的模数量
M＝ v2/2
V=(n12-n22)k02a2
作业 1：设单模光纤由熔融石英制成，其包层折射率指数为 n2=1.578，纤芯折射率指数为 n1=1.015,n2≈1.541,纤芯直径为 2a=4um，试求出其中与模量最临近的高模式的临界波长。
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
整数阶 BESSEL函数（ 0,?1,?2）
-2 0 -1 8 -1 6 -1 4 -1 2 -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
J
-
2
,
-
1
,
0
,
1
,
2
(x
)
X
J
0
(x )
y =0
J
1
(x )
J
2
(x )
J
-1
(x )
J
-2
(x )
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
-20 -10 0 10 20
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
J
0
,y
=0
X
J0x
y =0
0阶 BESSEL函数
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
1阶 BESSEL函数
-20 -10 0 10 20
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
J
1
,J
-1
X
y =0
J
1
J
-1
Co
py
rig
ht
W
an
g Y
an
2整数阶 BESSEL函数
-20 -10 0 10 20
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
J
1
,J
-1
X
y =0
J
2
J
-2
