1-1 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
A。自聚焦现象：全部的射线以相同的轴向速度在光纤中传播，
对模式色散
B。 GIF的作用：减小多模光纤的模式色散起了均衡作用，从而消除色散。
相对折射指数 Δ＝ [n2(0)-n22]/[2n2(0)]
自聚焦透镜组（耦合元件） 最重要的耦合元件
3 渐变光纤
1-2 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
光纤中的光波经第一自聚焦棒透镜扩束变为平行光光纤中的光波经第二自聚焦棒透镜聚焦后再进入光纤由于两透镜间距平行,因而两透镜可推开 20mm左右的距离而不会引起明显的光路损耗,这就可以将体块型元件置于间隙之中与光纤进行有效的耦合 。
1-3 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 二,本地数值孔径
A.由于渐变光纤芯子的 折射率指数是变化的。纤芯剖面上不同点收集光线的能力不同。因此，光纤的数值孔径也因 r而变，这就需要引入本地数值孔径的概念；本地
NA就是指光纤剖面上某点的数值孔径，它表示该点收集光线的能力。
B.功率的横向分布
222
2
2
2
2
2
000 nn
nrn
NA
rNA
P
rP
P(0)纤芯处的功率宽度,P(r)离轴线处功率宽度。
1-4 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 三,平方折射指数分布光纤
A,光纤的折射率分布
2121 10210 Arnarnrn
n(0),r=0处的折射率
a
2 21?＝A
α 位移指数，折射率分布指数
α→∞ 阶跃
α ＝ 2 平方律型 抛物线型
1-5 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
212
1
10210 Arnarnrn
a
2 21?＝A
自聚焦棒透镜＝
242 2110812110 ArnArArn?
1-6 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
B,射线轨迹方程
010
1
2122
2
n
Arndz
rd
0
10
1
2122
2
n
Arndz
rd
0rdz
dr
1-7 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
周期函数，空间周期
a
AP 2
22
只与光纤参数有关，而与射线的初始条件（ r0,r0’）无关，
即不同的射线有相同的空间周期 P。
1-8 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
A,
2110 Arnrn
2nrn?
r≤a
r≥a
近似认为在 r≥a 处折射率指数仍按平方规律变化，一直伸展到无穷远处，矢量 Helmholtz方程
02202nkE?
四,抛物线型分布光纤的标量近似解（只有抛物线型分布光纤的标量有近似解）
1-9 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
zjyx e x p
02210
22
22
02
2
2
2
2
2
ayaxnkzyx
Z向变化规律因子,exp(-jβz) 表示，相位常数为 β 。
1-10 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
x,y方向的分量：
2
2
2
22
02
2
021 raxnkdx xdx x方向相位常数
2
2
2
22
02
2
021 aynkdy ydy
y方向相位常数
0220222 nkr
002
2
222
02
2
2
x
a
xnkr
dx
xd
1-11 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
avnk
a 212
1
0
0
2
20
2?
令
04
4
0
2
2
2
2
xxr
dx
xd?
变参数的二阶常微分方程
Weber方程 012 2
2
2
wxmdx wd
m＝ 0,1,2,…
1-12 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
方程的解为 Hermier-Gauss Fuction
xHxCw mm 2e x p 2
mmmm dx xdxH 22 e x pe x p1
m=0 H0(x)=1
m=1 H1(x)=2x
m=2 H2(x)=4x2-2
m=3 H3(x)=8x3-12x
w是含两个 x因子的乘积 。 其中 exp（ -x2/2） 按 Gaussian形式变化 。 用分离变量法,在抛物线横坐标中解波动方程或 Laplace方程时,会导致 Weber方程 。 量子力学中谐振子的 schrodinger方程也是这种方程 。
1-13 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
将 0)(4)(
4
0
2
2
2
2?
xsxrdx xd 变成 Weber形式其中令
0
2 SxX?
0
2)()()(
SdX
xd
dx
dX
dX
xd
dx
xd则：
0)()2(
)(
)(22)()(
22
0
2
2
2
2
2
00
2
2
2
2
xXSr
dX
xd
dX
xd
SSdx
dX
dX
xd
dx
xd
令
0)()12()(
)12(2122
2
2
2
2
0
22
0
2
xXmdX xd
SmrmSr
1-14 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
)e x p()/2()/2()/e x p(
)e x p()()(
/)12(2
)/2()/(e x p)(
)/2()/(e x p
)()2/e x p()(
00
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
zjSyHSxHSrA
zjyx
Sn
SyHSyDy
SxHSxC
xHXCx
nmmn
nn
mm
mm
与 m,n有关的常数。
mnA
00LP
模是 2 的无界光纤的基模－单模运转
00LP
的场2
000 e x p SrA
00LP
模的场是按 Gaussion Function规律分布的
1-15 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
00LP
模的场分布：
r
0S
的物理意义：
0Sr?
则
eA00
0S
是场强减少为光纤轴线处的 1/e或光强减少为光纤轴线处
21 e
时的位置。
0S
叫做
00LP
模的模场半径。
1-16 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
Gaussion Vs
01LP
mode
0 2 4 6 8 10 12 14?r
01LP
Gaussion approximation to
11HE
Mode
Fiber parameters:
V-number:v=2.166
Core radius a=3.955m?
Wavelength,m 3 1 0.1?
I
1-17 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
显然 2 的平方光纤和 的阶跃光纤 Index分布差别很大，但基模场的分布差别却不大，都是钟型函数。因此推断：其它折射指数分布光纤，其基模场分布也是钟形的。
这正是将实际 SMF光纤的场分布用 Gaussian or Bessel mo-
tion 近似的前提。
6,The two mode shapes are well matched,but
that the Gaus-sian falls off quicker at large radius.
B,The energy in the tail is important in cross-talk
calculat-ions.
Gaussian beam 远场发散角,越大，光束发散角越小，准直
0?
性就好。
1-18 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
当
，
束。弧度，基本上是平行光
00
3
0 /10,10 0 0/
nZZ
tg
远场发散角越小，在长距离空间光通信中，采用短波长 Gaussian beam 是有利的。（地 → 月）
五．导波的纵向相位常数
)1(
22
1
/)1(4
)(
00
2
)0(
2
0
2
0
2
)0(
2
0
222
)0(
2
0
2
nm
ank
nk
Snmnk
rnk
mn
av
nk
a
S
S
n
S
m
r
2
1
2
1
00
0
2
0
2
2
0
2
/2
2
2
)12(2
)12(2
1-19 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
or
2
1
)0(0
)0(000
2
1
)0(0
)0(0
22
1
)1(
22
1
ank
nk
nm
ank
nk
mn
m=0,n=3 1
m=1,n=2 2
m=2,n=1 3
m=3,n=0 4
相同的位相常数六．模式群和模数量
A：令 p=m+n
2
1
)0(0
)0(0 )1(
221
p
ank
nkp?
只由 p决定，但同样的 p可由不同的 m,n组合而成，这就是
p?
说，对不同的 m,n组合的模式，可得到相同的位相常数。可
1-20 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
按照位相常数将光纤中的模式分组。
模式群：所有位相常数相同的模归为一组。
p?
的范围：
20)0(0 nknk pB：
2
1
m a x
)0(0
)0(0
2
1
)0(020
20
)1(
22
1
)21(
p
ank
nk
nknk
nk
cc
c
2/
2
21
2
2 )0(0)0(0
m a x v
ankankp
1-21 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
p=1,m=0,n=1
m=1,n=0
p=2,m=0,1,2
n=2,1,0
P模式群中的模数量,M(p)=2(p+1) 2(p+1)
p=3,m=0,1,2,3
n=3,2,1,0
2(p+1)
考虑每个模式都有两个互相垂直的两种偏振形式。
C：模数量（ p以下的所有模式群中所包含的模数量）
2
0
)1(2)( pppM
p
p
总的模数量：
4
2
2
m a x
VpM
1-22 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
第二类变型（虚变量） Bessel Fuction
zIzI2 s in vzk rrv
2
T3
v
2
Tv3
2
T
v
2
Tv
zeJe
zeJe
zI r
-п<argz<п/2
п/2<argz<п
Z=0是 Kn（ z）的奇点：
K0(z)~—mz/2 n=0
n
n 2
z
2
!1n~zk
n≥1
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
A。自聚焦现象：全部的射线以相同的轴向速度在光纤中传播，
对模式色散
B。 GIF的作用：减小多模光纤的模式色散起了均衡作用，从而消除色散。
相对折射指数 Δ＝ [n2(0)-n22]/[2n2(0)]
自聚焦透镜组（耦合元件） 最重要的耦合元件
3 渐变光纤
1-2 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
光纤中的光波经第一自聚焦棒透镜扩束变为平行光光纤中的光波经第二自聚焦棒透镜聚焦后再进入光纤由于两透镜间距平行,因而两透镜可推开 20mm左右的距离而不会引起明显的光路损耗,这就可以将体块型元件置于间隙之中与光纤进行有效的耦合 。
1-3 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 二,本地数值孔径
A.由于渐变光纤芯子的 折射率指数是变化的。纤芯剖面上不同点收集光线的能力不同。因此，光纤的数值孔径也因 r而变，这就需要引入本地数值孔径的概念；本地
NA就是指光纤剖面上某点的数值孔径，它表示该点收集光线的能力。
B.功率的横向分布
222
2
2
2
2
2
000 nn
nrn
NA
rNA
P
rP
P(0)纤芯处的功率宽度,P(r)离轴线处功率宽度。
1-4 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications 三,平方折射指数分布光纤
A,光纤的折射率分布
2121 10210 Arnarnrn
n(0),r=0处的折射率
a
2 21?＝A
α 位移指数，折射率分布指数
α→∞ 阶跃
α ＝ 2 平方律型 抛物线型
1-5 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
212
1
10210 Arnarnrn
a
2 21?＝A
自聚焦棒透镜＝
242 2110812110 ArnArArn?
1-6 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
B,射线轨迹方程
010
1
2122
2
n
Arndz
rd
0
10
1
2122
2
n
Arndz
rd
0rdz
dr
1-7 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
周期函数，空间周期
a
AP 2
22
只与光纤参数有关，而与射线的初始条件（ r0,r0’）无关，
即不同的射线有相同的空间周期 P。
1-8 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
A,
2110 Arnrn
2nrn?
r≤a
r≥a
近似认为在 r≥a 处折射率指数仍按平方规律变化，一直伸展到无穷远处，矢量 Helmholtz方程
02202nkE?
四,抛物线型分布光纤的标量近似解（只有抛物线型分布光纤的标量有近似解）
1-9 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
zjyx e x p
02210
22
22
02
2
2
2
2
2
ayaxnkzyx
Z向变化规律因子,exp(-jβz) 表示，相位常数为 β 。
1-10 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
x,y方向的分量：
2
2
2
22
02
2
021 raxnkdx xdx x方向相位常数
2
2
2
22
02
2
021 aynkdy ydy
y方向相位常数
0220222 nkr
002
2
222
02
2
2
x
a
xnkr
dx
xd
1-11 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
avnk
a 212
1
0
0
2
20
2?
令
04
4
0
2
2
2
2
xxr
dx
xd?
变参数的二阶常微分方程
Weber方程 012 2
2
2
wxmdx wd
m＝ 0,1,2,…
1-12 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
方程的解为 Hermier-Gauss Fuction
xHxCw mm 2e x p 2
mmmm dx xdxH 22 e x pe x p1
m=0 H0(x)=1
m=1 H1(x)=2x
m=2 H2(x)=4x2-2
m=3 H3(x)=8x3-12x
w是含两个 x因子的乘积 。 其中 exp（ -x2/2） 按 Gaussian形式变化 。 用分离变量法,在抛物线横坐标中解波动方程或 Laplace方程时,会导致 Weber方程 。 量子力学中谐振子的 schrodinger方程也是这种方程 。
1-13 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
将 0)(4)(
4
0
2
2
2
2?
xsxrdx xd 变成 Weber形式其中令
0
2 SxX?
0
2)()()(
SdX
xd
dx
dX
dX
xd
dx
xd则：
0)()2(
)(
)(22)()(
22
0
2
2
2
2
2
00
2
2
2
2
xXSr
dX
xd
dX
xd
SSdx
dX
dX
xd
dx
xd
令
0)()12()(
)12(2122
2
2
2
2
0
22
0
2
xXmdX xd
SmrmSr
1-14 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
)e x p()/2()/2()/e x p(
)e x p()()(
/)12(2
)/2()/(e x p)(
)/2()/(e x p
)()2/e x p()(
00
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
zjSyHSxHSrA
zjyx
Sn
SyHSyDy
SxHSxC
xHXCx
nmmn
nn
mm
mm
与 m,n有关的常数。
mnA
00LP
模是 2 的无界光纤的基模－单模运转
00LP
的场2
000 e x p SrA
00LP
模的场是按 Gaussion Function规律分布的
1-15 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
00LP
模的场分布：
r
0S
的物理意义：
0Sr?
则
eA00
0S
是场强减少为光纤轴线处的 1/e或光强减少为光纤轴线处
21 e
时的位置。
0S
叫做
00LP
模的模场半径。
1-16 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
Gaussion Vs
01LP
mode
0 2 4 6 8 10 12 14?r
01LP
Gaussion approximation to
11HE
Mode
Fiber parameters:
V-number:v=2.166
Core radius a=3.955m?
Wavelength,m 3 1 0.1?
I
1-17 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
显然 2 的平方光纤和 的阶跃光纤 Index分布差别很大，但基模场的分布差别却不大，都是钟型函数。因此推断：其它折射指数分布光纤，其基模场分布也是钟形的。
这正是将实际 SMF光纤的场分布用 Gaussian or Bessel mo-
tion 近似的前提。
6,The two mode shapes are well matched,but
that the Gaus-sian falls off quicker at large radius.
B,The energy in the tail is important in cross-talk
calculat-ions.
Gaussian beam 远场发散角,越大，光束发散角越小，准直
0?
性就好。
1-18 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
当
，
束。弧度，基本上是平行光
00
3
0 /10,10 0 0/
nZZ
tg
远场发散角越小，在长距离空间光通信中，采用短波长 Gaussian beam 是有利的。（地 → 月）
五．导波的纵向相位常数
)1(
22
1
/)1(4
)(
00
2
)0(
2
0
2
0
2
)0(
2
0
222
)0(
2
0
2
nm
ank
nk
Snmnk
rnk
mn
av
nk
a
S
S
n
S
m
r
2
1
2
1
00
0
2
0
2
2
0
2
/2
2
2
)12(2
)12(2
1-19 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
or
2
1
)0(0
)0(000
2
1
)0(0
)0(0
22
1
)1(
22
1
ank
nk
nm
ank
nk
mn
m=0,n=3 1
m=1,n=2 2
m=2,n=1 3
m=3,n=0 4
相同的位相常数六．模式群和模数量
A：令 p=m+n
2
1
)0(0
)0(0 )1(
221
p
ank
nkp?
只由 p决定，但同样的 p可由不同的 m,n组合而成，这就是
p?
说，对不同的 m,n组合的模式，可得到相同的位相常数。可
1-20 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
按照位相常数将光纤中的模式分组。
模式群：所有位相常数相同的模归为一组。
p?
的范围：
20)0(0 nknk pB：
2
1
m a x
)0(0
)0(0
2
1
)0(020
20
)1(
22
1
)21(
p
ank
nk
nknk
nk
cc
c
2/
2
21
2
2 )0(0)0(0
m a x v
ankankp
1-21 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
p=1,m=0,n=1
m=1,n=0
p=2,m=0,1,2
n=2,1,0
P模式群中的模数量,M(p)=2(p+1) 2(p+1)
p=3,m=0,1,2,3
n=3,2,1,0
2(p+1)
考虑每个模式都有两个互相垂直的两种偏振形式。
C：模数量（ p以下的所有模式群中所包含的模数量）
2
0
)1(2)( pppM
p
p
总的模数量：
4
2
2
m a x
VpM
1-22 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
an
2009-7-21
Optical fiber
communications
第二类变型（虚变量） Bessel Fuction
zIzI2 s in vzk rrv
2
T3
v
2
Tv3
2
T
v
2
Tv
zeJe
zeJe
zI r
-п<argz<п/2
п/2<argz<п
Z=0是 Kn（ z）的奇点：
K0(z)~—mz/2 n=0
n
n 2
z
2
!1n~zk
n≥1
