1-1 Cop
yri
gh
t W
an
g Y
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2009-7-21
Optical fiber
communications 第五节 光学谐振腔光学谐振腔对光波进行选频，反馈，放大，例如在激光器中。
光学谐振强有各种形式。 F-P腔是最简单的一种。实际 Laser 所用的光学谐振腔要比 F-P腔复杂，对实际的谐振腔进行严格的分析是十分困难的，下面采取两种近似方法，均匀平面波近似和金属闭合腔近似。
一,均匀平面波近似由于光波波长极短，故光学谐振腔的尺寸一般远大于波长，这是光学谐振腔与微波谐振腔的基本区别之一，在这种情况下可假定腔肉电磁波是均匀平面波，并认为他平行腔的轴线传播，即认为垂直端面反射镜入射的，这种分析方法实际上是把上述光学腔看作一个简单的 F-P腔，实际情况当然不是这样简单，但这样的假设可为我们提供一个关于腔中模式的粗糙的，然而很有用的图像。
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Optical fiber
communications
A,谐振频率与谐振波长
q
nl
oq
q
nl
oq
oqf
2
2
＝
为模指数
B,纵模
L=q?oq/2n=?qq/2?q 介质中波长在谐振情况下，腔长是介质中波长的整数倍，（ q个半驻波，对应与不同的 q值，得到不同的纵向分布，形成不同的腔的模式。由于这种场分布发生在场的纵向，
所以称为纵模。
纵模频率间隔?fq=c/(2nl)等间隔的。
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Optical fiber
communications
二,金属闭腔近似（理想导体近似）
介质光学谐振腔与具有理想导电壁的金属谐振腔有类似之处。
金属腔各壁的反射系数都为 1，电磁波在理想导体界面处发生全发射，介质腔两端 的全反膜有接近 1的反射系数，光在这里产生全发射，另外由于光学腔的折射指数较高，因此在侧面上很容易发生全反射。如果只注意那些与腔的轴线夹角不大，以致在侧面上的入射角大于临界角的光束是，则腔的侧面也可以当作闭合的金属腔来近似处理。
矩形谐振腔的尺寸 a,b,L,在矩形腔中有一序列互相兼并的 TE
及 TM振荡模式，各模式有自己的场分布，谐振频率及传播方向。
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Optical fiber
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1,传播方向
x
kz
x
x
ky
y
x
kx
x
yx
kk
kk
kk
kzkkk
c o s c o s
c o s c o s
c o s c o s
(
222
平面波色散方程
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communications
l
q
z
b
n
y
a
m
x
qlk
bk
mak
z
y
x
k
kor n
k
m,n,q =0,1,2,…,叫做振荡模的波指数,它表明腔中的对应方向上出现完整驻波的个数,相应的振荡模式 TEmnq,TMmnq
由于边界条件的要求,各模式的传输方向叫是不连续的,只有在方向余玄满足下式的那些波才能在腔中存在。
在谐振的情况下，沿腔的 x,y,z三个方向都应出现完整的驻波,即沿腔各边的相位变化都应是?的整数倍。
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222
222
222
222
)()()(
/
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/
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/
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2
)(
2
)(
2
)(
c o s
c o s
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l
q
b
n
a
m
lq
l
q
b
n
a
m
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l
q
b
n
a
m
am
l
q
b
n
a
m
l
q
b
n
a
m
k
R发散角,波的传播方向与 Z轴之间的夹角
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2
)(
2
)(
2
1
]
2
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2
)[()(
2
1
1,
]
)(
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1[
2
)(
2
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2
2
2
1
2
22
c o s
b
n
a
m
q
l
r
r
bn
n
m
q
l
nm
l
q
bn
n
m
l
q
b
n
a
m
lq
－较小时上式＝当
对于 r很小的旁轴光,当 m,n 一定时改变 q,r基本不变 (q 是极大的整数 ),当 q一定时,改变 m,n,r明显改变。
对于傍轴光,m,n,为小整数,q为大整数,波的传播方向主要由
m,n 决定,m,n 越小,传播方向越 靠近 Z轴,发散角越小。
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2,谐振频率谐振频率）
谐振波长）
真空中的波长）＝
(
2
)(
2
)(
2
)(
2
(
2
)(
2
)(
2
)(
2
(
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22
2
222
l
q
b
n
a
m
r
c
m n q
c
m n q
l
q
b
n
a
m
r
rm n q
l
q
b
n
a
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f
k
对傍轴模式 ]}2)(2)[(
2{2 b
n
a
m
q
l
l
q
r
cm n qf
由于 q>>m,n,所以谐振频率主要决定余 q,而 m,n,的响极小。
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3 闭腔模在闭腔内不存在像自由空间那样的横电磁波，而 只能存在 TM波或 TE波,在微波波段,通常激发低阶模式,m,n,q,都是小整数,kx,
ky,kz有相同的数量级,因而横向场分量与纵向场分量有相同的数量级,
在光波波段,由于采用介质腔,轴向角?较大的光线不满足全反射条件,他们将很快逸出腔外,只有 m,n为小整数 （ kx,ky,kz较小）
角较小的 徬 轴光能留在腔内。又由于波长极短，故波数 k极大,kz
极大所以 kx,ky<<kz,这说明腔中的电磁波基本上是平行与腔轴的，
腔中各模式的纵向场比横向场小得多。因此常把他近似的看做横电磁波，把由波指数 m,n,q确定的模式记作 TEMmnq模。
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光学谐振腔的这种特性称为场的准横性。
A.场的准横性,TEMmnq (见上 )
B.横模 纵模每组 m,n,q的组合,决定了一个谐振腔的模式,每个模式有一定的传播方向及谐振频率。
(1)横模,在腔的横截面内的场分布,m,n,横模指数；
(2)纵模,沿腔的纵向的场分布,q为纵模指数,模式的谐振频率主要由 q决定；
(3) 当 m,n一定时,q可取一系列不同的值,即有一系列的纵模与同一横模对应,这些模式的特点,有相同的横向场分布及传播方向,
但有不同的谐振频率。
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近似的一段FPlrcm n qqmnq fff21,
(4)当 q,一定时,m,n可取不同的值,有一系列的横模与同一纵模对应。
特点,具有相近的谐振频率,但横向场分布及传播方向不同。
当 q,m一定 n变化,相邻模式的谐振频率间隔为
q
m
a
l
qn
mnq
q
n
b
l
qqnmqnmn
ff
ffff
2
12
,
2
12
2
2
,,,1,
2
2
变化一定当相邻纵模的频率间隔
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由于 q>>m,n 故?fm,? fn<<? fq
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菲涅耳数
),l,(a
2
F
2
波长腔长腔的横截面积 l
a?
当 F>10时,近似成立 (金属分布腔近似 )
一般光学谐振腔 F都满足 F>10(由于?很小 )
5.谐振腔的损耗,光子寿命,品质因数
A.损耗 1.几何偏折损耗
2.衍射损耗
3.反射镜的透射损耗
4.其他 (材料吸收,散射等）
B.平均衰减系数?
将腔的损耗看作沿腔均匀分布的 (实际并非如此 ),
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则光强随传播距离的增加而指数衰减
I(z)=I0exp(-?z) I0输入端的光强
C.光子寿命
I=I0exp(-?z)
若光子密度为 S,则 I=sh?即光强与光子数密度成正比。
s=s0exp(-?z)
s0 z=0处的光子密度 z=(ct)/n
s=s0exp(-?ct/n)=s0exp(-t/?R)
这里?R=n/(?c) 光子在腔中的寿命
D.品质因数 Q
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值的光学谐振腔一般有极高谐振频率则单位时间内消耗的能量腔内总储能弧度的平均耗能场相位变化腔内总储能
＝
Q
0
2
1/
)/e x p (1
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0
0
0
Q
Q
Q
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communications 第五节 光学谐振腔光学谐振腔对光波进行选频，反馈，放大，例如在激光器中。
光学谐振强有各种形式。 F-P腔是最简单的一种。实际 Laser 所用的光学谐振腔要比 F-P腔复杂，对实际的谐振腔进行严格的分析是十分困难的，下面采取两种近似方法，均匀平面波近似和金属闭合腔近似。
一,均匀平面波近似由于光波波长极短，故光学谐振腔的尺寸一般远大于波长，这是光学谐振腔与微波谐振腔的基本区别之一，在这种情况下可假定腔肉电磁波是均匀平面波，并认为他平行腔的轴线传播，即认为垂直端面反射镜入射的，这种分析方法实际上是把上述光学腔看作一个简单的 F-P腔，实际情况当然不是这样简单，但这样的假设可为我们提供一个关于腔中模式的粗糙的，然而很有用的图像。
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A,谐振频率与谐振波长
q
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oq
q
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2
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＝
为模指数
B,纵模
L=q?oq/2n=?qq/2?q 介质中波长在谐振情况下，腔长是介质中波长的整数倍，（ q个半驻波，对应与不同的 q值，得到不同的纵向分布，形成不同的腔的模式。由于这种场分布发生在场的纵向，
所以称为纵模。
纵模频率间隔?fq=c/(2nl)等间隔的。
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二,金属闭腔近似（理想导体近似）
介质光学谐振腔与具有理想导电壁的金属谐振腔有类似之处。
金属腔各壁的反射系数都为 1，电磁波在理想导体界面处发生全发射，介质腔两端 的全反膜有接近 1的反射系数，光在这里产生全发射，另外由于光学腔的折射指数较高，因此在侧面上很容易发生全反射。如果只注意那些与腔的轴线夹角不大，以致在侧面上的入射角大于临界角的光束是，则腔的侧面也可以当作闭合的金属腔来近似处理。
矩形谐振腔的尺寸 a,b,L,在矩形腔中有一序列互相兼并的 TE
及 TM振荡模式，各模式有自己的场分布，谐振频率及传播方向。
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1,传播方向
x
kz
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平面波色散方程
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m,n,q =0,1,2,…,叫做振荡模的波指数,它表明腔中的对应方向上出现完整驻波的个数,相应的振荡模式 TEmnq,TMmnq
由于边界条件的要求,各模式的传输方向叫是不连续的,只有在方向余玄满足下式的那些波才能在腔中存在。
在谐振的情况下，沿腔的 x,y,z三个方向都应出现完整的驻波,即沿腔各边的相位变化都应是?的整数倍。
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R发散角,波的传播方向与 Z轴之间的夹角
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2
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2
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2
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－较小时上式＝当
对于 r很小的旁轴光,当 m,n 一定时改变 q,r基本不变 (q 是极大的整数 ),当 q一定时,改变 m,n,r明显改变。
对于傍轴光,m,n,为小整数,q为大整数,波的传播方向主要由
m,n 决定,m,n 越小,传播方向越 靠近 Z轴,发散角越小。
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2,谐振频率谐振频率）
谐振波长）
真空中的波长）＝
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由于 q>>m,n,所以谐振频率主要决定余 q,而 m,n,的响极小。
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3 闭腔模在闭腔内不存在像自由空间那样的横电磁波，而 只能存在 TM波或 TE波,在微波波段,通常激发低阶模式,m,n,q,都是小整数,kx,
ky,kz有相同的数量级,因而横向场分量与纵向场分量有相同的数量级,
在光波波段,由于采用介质腔,轴向角?较大的光线不满足全反射条件,他们将很快逸出腔外,只有 m,n为小整数 （ kx,ky,kz较小）
角较小的 徬 轴光能留在腔内。又由于波长极短，故波数 k极大,kz
极大所以 kx,ky<<kz,这说明腔中的电磁波基本上是平行与腔轴的，
腔中各模式的纵向场比横向场小得多。因此常把他近似的看做横电磁波，把由波指数 m,n,q确定的模式记作 TEMmnq模。
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光学谐振腔的这种特性称为场的准横性。
A.场的准横性,TEMmnq (见上 )
B.横模 纵模每组 m,n,q的组合,决定了一个谐振腔的模式,每个模式有一定的传播方向及谐振频率。
(1)横模,在腔的横截面内的场分布,m,n,横模指数；
(2)纵模,沿腔的纵向的场分布,q为纵模指数,模式的谐振频率主要由 q决定；
(3) 当 m,n一定时,q可取一系列不同的值,即有一系列的纵模与同一横模对应,这些模式的特点,有相同的横向场分布及传播方向,
但有不同的谐振频率。
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近似的一段FPlrcm n qqmnq fff21,
(4)当 q,一定时,m,n可取不同的值,有一系列的横模与同一纵模对应。
特点,具有相近的谐振频率,但横向场分布及传播方向不同。
当 q,m一定 n变化,相邻模式的谐振频率间隔为
q
m
a
l
qn
mnq
q
n
b
l
qqnmqnmn
ff
ffff
2
12
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2
12
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2
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变化一定当相邻纵模的频率间隔
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菲涅耳数
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2
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2
波长腔长腔的横截面积 l
a?
当 F>10时,近似成立 (金属分布腔近似 )
一般光学谐振腔 F都满足 F>10(由于?很小 )
5.谐振腔的损耗,光子寿命,品质因数
A.损耗 1.几何偏折损耗
2.衍射损耗
3.反射镜的透射损耗
4.其他 (材料吸收,散射等）
B.平均衰减系数?
将腔的损耗看作沿腔均匀分布的 (实际并非如此 ),
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则光强随传播距离的增加而指数衰减
I(z)=I0exp(-?z) I0输入端的光强
C.光子寿命
I=I0exp(-?z)
若光子密度为 S,则 I=sh?即光强与光子数密度成正比。
s=s0exp(-?z)
s0 z=0处的光子密度 z=(ct)/n
s=s0exp(-?ct/n)=s0exp(-t/?R)
这里?R=n/(?c) 光子在腔中的寿命
D.品质因数 Q
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值的光学谐振腔一般有极高谐振频率则单位时间内消耗的能量腔内总储能弧度的平均耗能场相位变化腔内总储能
＝
Q
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