经济预测与决策第四章 时间序列分析预测法时间序列分析预测法
时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。
本章学习目的与要求通过本章的学习，了解时间序列的概念；掌握移动平均法和指数平滑法。
本章学习重点和难点重点是移动平均法；
难点是指数平滑法。
本章内容提示
第一节 时间序列
第二节 移动平均法
第三节 指数平滑法第一节 时间序列
一、时间序列
二、时间序列的影响因素
三、时间序列因素的组合形式
四、时间序列预测的步骤一、时间序列
时间序列是指某种经济统计指标的数值，
按时间先后顺序排列起来的数列。
时间序列是时间 t的函数，若用 Y表示，
则有：
Y=Y（ t）。
时间序列
时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。
绝对数时间序列是基本序列。可分为时期序列和时点序列两种。
时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标所构成的序列。如各个年度的国民生产总值。
时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定时点上的发展状况的指标所构成的序列。如各个年末的人口总数。
二、时间序列的影响因素
一个时间序列是多种因素综合作用的结果。
这些因素可以分为四种：
1.长期趋势变动
2.季节变动
3.循环变动
4.不规则变动
1.长期趋势变动
长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着经济的发展，在相当长的持续时间内，单方向的上升、下降或水平变动的因素。
它反映了经济现象的主要变动趋势。
长期趋势变动是时间 t的函数，它反映了不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用 T表示,T=T（ t）。
2.循环变动
循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周期性变动。
即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。
循环变动是时间的函数，通常用 C表示，
C=C（ t）。
3.季节变动
季节变动是指以一年为周期的周期性变动。
季节变动是时间的函数，通常用 S表示，
S=S（ t）。
4.不规则变动
不规则变动是指由各种偶然因素引起的随机性变动。
不规则变动通常用 I表示,I=I（ t）。
三、时间序列因素的组合形式
时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、循环变动和不规则变动四种因素综合作用的结果。四种因素组合的形式有多种，有以下两种基本形式。
1,加法型
Y=T+C+S+I
2,乘法型
Y=T · C · S · I
四、时间序列预测的步骤
时间序列预测的一般步骤是：
1.根据已知时间序列，分解各变动因素，
并找出其随时间变动的规律。
2.根据各变动因素的规律，组合分析，求得时间序列的变动规律。
3.根据时间序列的变动规律进行预测。
第二节 移动平均法
移动平均法是根据时间序列，逐项推移，
依次计算包含一定项数的移动平均数，
据以进行预测的方法。
移动平均法主要有：
一次移动平均法
二次移动平均法一、一次移动平均法
设时间序列为,Y1? Y2? Yt? 。 一次移动平均数的计算公式为：
1)-(4 N t,
N
YYYM 1Nt1tt( 1 )
t?
一次移动平均数的递推公式
3)-4
N
YY
MM Ntt)1( 1t)1(t （
一次移动平均法预测公式为：
即以第 t期的一次移动平均数作为下一期
（ t+1期）的预测值。
4)-(4 MY? )1(t1t
项数 N的选择
N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，
有利于消除不规则变动的影响，但同时周期变动难于反映出来；反之,N选取得越小，修匀性越差，不规则变动的影响不易消除，趋势变动不明显。
N的选择
但 N应取多大，应根据具体情况作出决定。
实践中，通常选用几个 N值进行试算，通过比较在不同 N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差最小的 N值作为移动平均的项数。
均方误差
预测误差可以通过均方误差 MSE来度量。
式中,K—— 时间序列的项数
K
1Nt
2
tt )Y
Y(
NK
1
M S E
例 4-1
某农机公司某年 1月至 12月某种农具的销售量如表 4-1。试用一次移动平均法预测次年 1月的销售量。
表 4-1 一次移动平均数计算表 单位：件月份数 实际销售量 一次移动平均数 Mt
t Yt N=3 N=5
1 423
2 358
3 434 405
4 445 412
5 527 469 437
6 429 467 439
7 426 461 452
8 502 452 466
9 480 469 473
10 384 455 446
11 427 430 444
12 446 419 448
解：
分别取 N=3,N=5,计算各月的一次移动平均数。
计算两种 N值下的均方误差：
由计算结果可见,MSE3>MSE5,故选取
N=5,预测次年 1月该农具的销售量为 448
件。
表 4-2 误差平方和计算表
月份数 实际销售量 N=3 N=5
t Yt 预测销售量 误差平方 预测销售量 误差平方
1 423
2 358
3 434
4 445 405 1600
5 527 412 13225
6 429 469 1600 437 64
7 426 467 1681 439 169
8 502 461 1681 452 2500
9 480 452 784 466 196
10 384 469 7225 473 7921
11 427 455 784 446 361
12 446 430 256 444 4
419 448
28836 11215
二、二次移动平均法
当时间序列没有明显的趋势变动时，可以采用一次移动平均法进行短期预测。
当时间序列出现线性变动趋势时，可以采用二次移动平均法进行预测。
1.二次移动平均数
在一次移动平均数的基础上，再进行一次移动平均，其值称为二次移动平均数。
2.二次移动平均法预测公式
若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋势预测模型：
式中：
t —— 当前时期数
T—— 当前时期至预测期的时期数
at—— 对应于当前时期的线性方程的截距系数
bt—— 对应于当前时期的线性方程的斜率系数
8)-(4 1,2,T TbaY? ttTt
at,bt的估计式
由于已知的时间序列具有线性变动规律,
所以有：
1 3)-(4 MM2a
1 2)-(4 )MM(
1N
2
b
)2(
t
)1(
tt
)2(
t
)1(
tt
线性趋势预测模型
根据式（ 4-12）、（ 4-13）就可以通过一次移动平均数和二次移动平均数求出线性预测模型（ 4-8）的参数，建立线性趋势预测模型。
例 4-2
已知某商品连续 12个月的市场需求量如表 4-3所示，试用二次移动平均法预测
5个月后的市场需求量。（取 N=5）
表 4-3 单位：千吨
时期数 需求量 一次移动平均数 二次移动平均数
t Yt M t（ 1） M t（ 2）
1 50
2 50
3 53
4 56
5 59
6 62
7 65
8 68 62
9 71 65
10 74 68
11 77 71
12 80 74 68
解：
分别计算当前时期 t=12的一次移动平均数 Mt（ 1） 和 二次移动平均数 Mt（ 2） 。
得,M12（ 1） =74,M12（ 2） =68
由式（ 4-12）、（ 4-13）得：
8068742MM2aa )2(12)1(1212t
3)6874(
15
2 )MM(
1N
2bb )2(
12
)1(
1212t
预测
即估计 5个月后市场需求量是 95千吨。
（千吨）
：时，求
955380Y?
Y? 5T
512
512
第三节 指数平滑法移动平均法具有简便易行的优点，但受 N
的大小影响较大，对于早期的历史资料较少考虑或根本不加以利用。指数平滑法改进了这一缺点，它充分利用了历史资料，又考虑到各期数据的重要性，是目前应用较为广泛的预测方法之一。
指数平滑法
指数平滑法根据平滑次数不同，
可分为：
一次指数平滑法、
二次指数平滑法、
三次指数平滑法等。
一、一次指数平滑法
1.一次指数平滑值
2.一次指数平滑法预测模型
3．平滑系数
4．初始值的确定
1.一次指数平滑值
对一次移动平均数的递推公式（ 4-3）加以改进，用 Mt-1（ 1） 代替 Yt-N,同时用 St（ 1）
表示 Mt（ 1）,则：
式中：
—— 平滑系数，且 01。
15 )-(4 S )1(YS
14 )-(4 M)1(YS
( 1 )
1-tt
( 1 )
t
)1(
1tt
( 1 )
t
或：
2.一次指数平滑法预测模型
一次指数平滑法的预测模型为：
由式（ 4-18）可见，利用一次指数平滑法进行预测，其值的大小受前一期的观测值和预测值的影响，这两部分所占的比重由平滑系数?加以调整。
)184 Y?)1(YY? tt1t （
3．平滑系数
由预测模型可见,?起到一个调节器的作用。
如果?值选取得越大，则越加大当前数据的比重，预测值受近期影响越大；如果?值选取得越小，则越加大过去数据的比重，预测值受远期影响越大。因此,?值大小的选取对预测的结果关系很大。如何选取?值呢？通常?值的选取类似于移动平均法中对值 N的选取，即多选几个?值进行试算，选择使预测误差小的?值。
4．初始值的确定
式中 S0（ 1） 称为初始值，不能通过式（ 4-
15）求得，一般是事先指定或估计。指定或估计的方法有两种：当时间序列的项数较多时，初始值对最终的预测结果影响相对小一些，可以指定第一项的值为初始值，即 S0（ 1） =Y1； 当时间序列的项数较少时，初始值的大小对最终预测结果的影响就不容忽视，通常是选取前几项的平均值作为初始值。
例 4-3
已知某企业 2000年 1至 12月利润额，试取平滑系数?=0.1,0.5,0.9，分别求出该企业每月利润的指数平滑值，并预测 2001
年 1月的利润额。（指定初始值 S0（ 1） =Y1）
解：
当?=0.1,S0（ 1） =51.3时：
S1（ 1） =0.1? 51.3? (1? 0.1)? 51.3 = 51.3
S2（ 1） =0.1? 35.7? (1? 0.1)? 51.3 = 49.7
S3（ 1） =0.1? 27.9? (1? 0.1)? 49.7 = 47.6
同理,分别计算出?=0.5,?=0.9时各指数平滑值列于表 (4-4)中。
表 4-4 各月利润额及指数平滑值 单位：千元月份 利润额 指数平滑值
t Yt?=0.1?=0.5?=0.9
1 51.3 51.3 51.3 51.3
2 35.7 49.7 43.5 37.3
3 27.9 47.6 35.7 28.8
4 32.3 46.0 34.0 32.0
5 48.2 46.2 41.1 46.6
6 54.6 47.1 47.9 53.8
7 52.0 47.6 49.9 52.2
8 47.5 47.6 48.7 48.0
9 42.3 47.0 45.5 42.9
10 45.8 46.9 45.7 45.5
11 43.9 46.6 44.8 44.1
12 47.2 46.7 46.0 46.9
预测
与一次移动平均法类时，一次指数平滑法仅适用于近期预测。 2001年 1月的预测值可根据
2000年 12月的一次指数平滑值估计。即：
当取?=0.1时，估计 2001年 1月的利润额为 46.7
（千元）；
当取?=0.5时，估计 2001年 1月的利润额为 46.0
（千元）；
当取?=0.9时，估计 2001年 1月的利润额为 46.9
（千元）。
二、二次指数平滑法
当时间序列的变动呈线性趋势时，可采用二次指数平滑法。
二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。
二次指数平滑值计算式：
参照一次指数平滑值的计算，二次指数平滑值可采用下式计算：
19)-(4 S )1(SS ( 2 )1-t( 1 )t( 2 )t
线性趋势预测模型：
若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可以建立线性趋势预测模型：
2 0 )-(4 1,2T TbaY? ttTt
at,bt的估计式
SS2a 2t1tt ）（）（
]SS[
1
b 2t1tt ）（）（?
例 4-4
已知某商品最近 12个月的国际市场需求量，取平滑系数?=0.3，试用二次指数平滑法预测 6个月之后国际市场的需求量。
解：
根据式（ 4-15）计算各一次指数平滑值列于表 4-5的第三列，根据式（ 4-19）计算各二次指数平滑值列于表 4-5的第四列。
表 4-5 某商品的需求量及指数平滑值 单位：万吨月份 市场需求量 一次指数平滑值 二次指数平滑值
t Yt St（ 1） St（ 2）
1 50 50.00 50.00
2 52 50.60 50.18
3 47 49.52 49.98
4 51 49.96 49.97
5 49 49.67 49.88
6 48 49.17 49.67
7 51 49.72 49.68
8 40 46.80 48.82
9 48 47.16 48.32
10 52 48.61 48.41
11 51 49.33 48.68
12 59 52.23 49.75
计算
06.1)75.4923.52(
3.01
3.0
]S[S
1
b
71.5475.4923.522SS2a
75.49S23.52S,12t
( 2 )
12
( 1 )
1212
( 2 )
12
( 1 )
1212
( 2 )
12
( 1 )
12
。，时当预测
建立二次指数平滑法预测模型为：
预测 6个月后的需求量为：
T06.171.54Y? T12
)(07.61606.171.54Y? 612 万吨
三、三次指数平滑法
当时间序列的变动呈现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法进行预测。
三次指数平滑法是在二次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。
参照一次指数平滑值和二次指数平滑值的计算，三次指数平滑值采用下式计算：
23) - (4 S ) 1 ( S S (3) 1 - t (2) t (3) t
三次指数平滑法的预测模型为：
T c TbaY? 2tttTt
24)-(4 1,2T
at,bt,ct的估计式
]SS2S[
)1(2
c
]S)34(S)45(2S)56[(
)1(2
b
S S3S3a
3
t
2
t
1
t2
2
t
3
t
2
t
1
t2t
3
t
2
t
1
tt
）（）（）（
）（）（）（
）（）（）（
例 4-5
某地区近年来国有企业固定资产投资总额列于表 4-6，试用三次指数平滑法预测
2002年固定资产投资总额。（取?=0.3）
表 4-6 固定资产投资总额及指数平滑值单位：亿元年份 时期数 投资总额 一次指数平滑值 二次指数平滑值 三次指数平滑值
t Yt St（ 1） St（ 2） St（ 3）
1990 1 20.04 21.37 21.77 21.89
1991 2 20.06 20.98 21.53 21.78
1992 3 25.72 22.40 21.79 21.78
1993 4 34.61 26.06 23.07 22.17
1994 5 51.77 33.78 26.28 23.40
1995 6 55.92 40.42 30.53 25.54
1996 7 80.65 52.49 37.11 29.01
1997 8 131.11 76.07 48.80 34.95
1998 9 148.58 97.83 63.51 43.52
1999 10 162.67 117.28 79.64 54.35
2000 11 232.26 151.77 101.28 68.43
解：
由式（ 4-15）、（ 4-19）、（ 4-23）计算 St（ 1）,St（ 2）,
St（ 3） 各值列于表 4-6中。
当 t=11时，由式（ 4-25）、（ 4-26）、（ 4-27）得：
a11=3?151.77?3?101.28+68.43=219.90
62.1)43.6828.1 0 1277.1 5 1(
)3.01(2
3.0
c
38.38
]43.68)3.034(28.1 0 1)3.045(
277.1 5 1)3.056[(
)3.01(2
3.0
b
2
2
11
211
预测
由式 (4-24)的预测模型：
2002年为 2000年之后两年，即 T=2，
即预计到 2002年固定资产的投资总额将达到 303.14亿元。
)(14.303262.1238.3890.219Y? 2211 亿元
时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。
本章学习目的与要求通过本章的学习，了解时间序列的概念；掌握移动平均法和指数平滑法。
本章学习重点和难点重点是移动平均法；
难点是指数平滑法。
本章内容提示
第一节 时间序列
第二节 移动平均法
第三节 指数平滑法第一节 时间序列
一、时间序列
二、时间序列的影响因素
三、时间序列因素的组合形式
四、时间序列预测的步骤一、时间序列
时间序列是指某种经济统计指标的数值，
按时间先后顺序排列起来的数列。
时间序列是时间 t的函数，若用 Y表示，
则有：
Y=Y（ t）。
时间序列
时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。
绝对数时间序列是基本序列。可分为时期序列和时点序列两种。
时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标所构成的序列。如各个年度的国民生产总值。
时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定时点上的发展状况的指标所构成的序列。如各个年末的人口总数。
二、时间序列的影响因素
一个时间序列是多种因素综合作用的结果。
这些因素可以分为四种：
1.长期趋势变动
2.季节变动
3.循环变动
4.不规则变动
1.长期趋势变动
长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着经济的发展，在相当长的持续时间内，单方向的上升、下降或水平变动的因素。
它反映了经济现象的主要变动趋势。
长期趋势变动是时间 t的函数，它反映了不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用 T表示,T=T（ t）。
2.循环变动
循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周期性变动。
即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。
循环变动是时间的函数，通常用 C表示，
C=C（ t）。
3.季节变动
季节变动是指以一年为周期的周期性变动。
季节变动是时间的函数，通常用 S表示，
S=S（ t）。
4.不规则变动
不规则变动是指由各种偶然因素引起的随机性变动。
不规则变动通常用 I表示,I=I（ t）。
三、时间序列因素的组合形式
时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、循环变动和不规则变动四种因素综合作用的结果。四种因素组合的形式有多种，有以下两种基本形式。
1,加法型
Y=T+C+S+I
2,乘法型
Y=T · C · S · I
四、时间序列预测的步骤
时间序列预测的一般步骤是：
1.根据已知时间序列，分解各变动因素，
并找出其随时间变动的规律。
2.根据各变动因素的规律，组合分析，求得时间序列的变动规律。
3.根据时间序列的变动规律进行预测。
第二节 移动平均法
移动平均法是根据时间序列，逐项推移，
依次计算包含一定项数的移动平均数，
据以进行预测的方法。
移动平均法主要有：
一次移动平均法
二次移动平均法一、一次移动平均法
设时间序列为,Y1? Y2? Yt? 。 一次移动平均数的计算公式为：
1)-(4 N t,
N
YYYM 1Nt1tt( 1 )
t?
一次移动平均数的递推公式
3)-4
N
YY
MM Ntt)1( 1t)1(t （
一次移动平均法预测公式为：
即以第 t期的一次移动平均数作为下一期
（ t+1期）的预测值。
4)-(4 MY? )1(t1t
项数 N的选择
N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，
有利于消除不规则变动的影响，但同时周期变动难于反映出来；反之,N选取得越小，修匀性越差，不规则变动的影响不易消除，趋势变动不明显。
N的选择
但 N应取多大，应根据具体情况作出决定。
实践中，通常选用几个 N值进行试算，通过比较在不同 N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差最小的 N值作为移动平均的项数。
均方误差
预测误差可以通过均方误差 MSE来度量。
式中,K—— 时间序列的项数
K
1Nt
2
tt )Y
Y(
NK
1
M S E
例 4-1
某农机公司某年 1月至 12月某种农具的销售量如表 4-1。试用一次移动平均法预测次年 1月的销售量。
表 4-1 一次移动平均数计算表 单位：件月份数 实际销售量 一次移动平均数 Mt
t Yt N=3 N=5
1 423
2 358
3 434 405
4 445 412
5 527 469 437
6 429 467 439
7 426 461 452
8 502 452 466
9 480 469 473
10 384 455 446
11 427 430 444
12 446 419 448
解：
分别取 N=3,N=5,计算各月的一次移动平均数。
计算两种 N值下的均方误差：
由计算结果可见,MSE3>MSE5,故选取
N=5,预测次年 1月该农具的销售量为 448
件。
表 4-2 误差平方和计算表
月份数 实际销售量 N=3 N=5
t Yt 预测销售量 误差平方 预测销售量 误差平方
1 423
2 358
3 434
4 445 405 1600
5 527 412 13225
6 429 469 1600 437 64
7 426 467 1681 439 169
8 502 461 1681 452 2500
9 480 452 784 466 196
10 384 469 7225 473 7921
11 427 455 784 446 361
12 446 430 256 444 4
419 448
28836 11215
二、二次移动平均法
当时间序列没有明显的趋势变动时，可以采用一次移动平均法进行短期预测。
当时间序列出现线性变动趋势时，可以采用二次移动平均法进行预测。
1.二次移动平均数
在一次移动平均数的基础上，再进行一次移动平均，其值称为二次移动平均数。
2.二次移动平均法预测公式
若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋势预测模型：
式中：
t —— 当前时期数
T—— 当前时期至预测期的时期数
at—— 对应于当前时期的线性方程的截距系数
bt—— 对应于当前时期的线性方程的斜率系数
8)-(4 1,2,T TbaY? ttTt
at,bt的估计式
由于已知的时间序列具有线性变动规律,
所以有：
1 3)-(4 MM2a
1 2)-(4 )MM(
1N
2
b
)2(
t
)1(
tt
)2(
t
)1(
tt
线性趋势预测模型
根据式（ 4-12）、（ 4-13）就可以通过一次移动平均数和二次移动平均数求出线性预测模型（ 4-8）的参数，建立线性趋势预测模型。
例 4-2
已知某商品连续 12个月的市场需求量如表 4-3所示，试用二次移动平均法预测
5个月后的市场需求量。（取 N=5）
表 4-3 单位：千吨
时期数 需求量 一次移动平均数 二次移动平均数
t Yt M t（ 1） M t（ 2）
1 50
2 50
3 53
4 56
5 59
6 62
7 65
8 68 62
9 71 65
10 74 68
11 77 71
12 80 74 68
解：
分别计算当前时期 t=12的一次移动平均数 Mt（ 1） 和 二次移动平均数 Mt（ 2） 。
得,M12（ 1） =74,M12（ 2） =68
由式（ 4-12）、（ 4-13）得：
8068742MM2aa )2(12)1(1212t
3)6874(
15
2 )MM(
1N
2bb )2(
12
)1(
1212t
预测
即估计 5个月后市场需求量是 95千吨。
（千吨）
：时，求
955380Y?
Y? 5T
512
512
第三节 指数平滑法移动平均法具有简便易行的优点，但受 N
的大小影响较大，对于早期的历史资料较少考虑或根本不加以利用。指数平滑法改进了这一缺点，它充分利用了历史资料，又考虑到各期数据的重要性，是目前应用较为广泛的预测方法之一。
指数平滑法
指数平滑法根据平滑次数不同，
可分为：
一次指数平滑法、
二次指数平滑法、
三次指数平滑法等。
一、一次指数平滑法
1.一次指数平滑值
2.一次指数平滑法预测模型
3．平滑系数
4．初始值的确定
1.一次指数平滑值
对一次移动平均数的递推公式（ 4-3）加以改进，用 Mt-1（ 1） 代替 Yt-N,同时用 St（ 1）
表示 Mt（ 1）,则：
式中：
—— 平滑系数，且 01。
15 )-(4 S )1(YS
14 )-(4 M)1(YS
( 1 )
1-tt
( 1 )
t
)1(
1tt
( 1 )
t
或：
2.一次指数平滑法预测模型
一次指数平滑法的预测模型为：
由式（ 4-18）可见，利用一次指数平滑法进行预测，其值的大小受前一期的观测值和预测值的影响，这两部分所占的比重由平滑系数?加以调整。
)184 Y?)1(YY? tt1t （
3．平滑系数
由预测模型可见,?起到一个调节器的作用。
如果?值选取得越大，则越加大当前数据的比重，预测值受近期影响越大；如果?值选取得越小，则越加大过去数据的比重，预测值受远期影响越大。因此,?值大小的选取对预测的结果关系很大。如何选取?值呢？通常?值的选取类似于移动平均法中对值 N的选取，即多选几个?值进行试算，选择使预测误差小的?值。
4．初始值的确定
式中 S0（ 1） 称为初始值，不能通过式（ 4-
15）求得，一般是事先指定或估计。指定或估计的方法有两种：当时间序列的项数较多时，初始值对最终的预测结果影响相对小一些，可以指定第一项的值为初始值，即 S0（ 1） =Y1； 当时间序列的项数较少时，初始值的大小对最终预测结果的影响就不容忽视，通常是选取前几项的平均值作为初始值。
例 4-3
已知某企业 2000年 1至 12月利润额，试取平滑系数?=0.1,0.5,0.9，分别求出该企业每月利润的指数平滑值，并预测 2001
年 1月的利润额。（指定初始值 S0（ 1） =Y1）
解：
当?=0.1,S0（ 1） =51.3时：
S1（ 1） =0.1? 51.3? (1? 0.1)? 51.3 = 51.3
S2（ 1） =0.1? 35.7? (1? 0.1)? 51.3 = 49.7
S3（ 1） =0.1? 27.9? (1? 0.1)? 49.7 = 47.6
同理,分别计算出?=0.5,?=0.9时各指数平滑值列于表 (4-4)中。
表 4-4 各月利润额及指数平滑值 单位：千元月份 利润额 指数平滑值
t Yt?=0.1?=0.5?=0.9
1 51.3 51.3 51.3 51.3
2 35.7 49.7 43.5 37.3
3 27.9 47.6 35.7 28.8
4 32.3 46.0 34.0 32.0
5 48.2 46.2 41.1 46.6
6 54.6 47.1 47.9 53.8
7 52.0 47.6 49.9 52.2
8 47.5 47.6 48.7 48.0
9 42.3 47.0 45.5 42.9
10 45.8 46.9 45.7 45.5
11 43.9 46.6 44.8 44.1
12 47.2 46.7 46.0 46.9
预测
与一次移动平均法类时，一次指数平滑法仅适用于近期预测。 2001年 1月的预测值可根据
2000年 12月的一次指数平滑值估计。即：
当取?=0.1时，估计 2001年 1月的利润额为 46.7
（千元）；
当取?=0.5时，估计 2001年 1月的利润额为 46.0
（千元）；
当取?=0.9时，估计 2001年 1月的利润额为 46.9
（千元）。
二、二次指数平滑法
当时间序列的变动呈线性趋势时，可采用二次指数平滑法。
二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。
二次指数平滑值计算式：
参照一次指数平滑值的计算，二次指数平滑值可采用下式计算：
19)-(4 S )1(SS ( 2 )1-t( 1 )t( 2 )t
线性趋势预测模型：
若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可以建立线性趋势预测模型：
2 0 )-(4 1,2T TbaY? ttTt
at,bt的估计式
SS2a 2t1tt ）（）（
]SS[
1
b 2t1tt ）（）（?
例 4-4
已知某商品最近 12个月的国际市场需求量，取平滑系数?=0.3，试用二次指数平滑法预测 6个月之后国际市场的需求量。
解：
根据式（ 4-15）计算各一次指数平滑值列于表 4-5的第三列，根据式（ 4-19）计算各二次指数平滑值列于表 4-5的第四列。
表 4-5 某商品的需求量及指数平滑值 单位：万吨月份 市场需求量 一次指数平滑值 二次指数平滑值
t Yt St（ 1） St（ 2）
1 50 50.00 50.00
2 52 50.60 50.18
3 47 49.52 49.98
4 51 49.96 49.97
5 49 49.67 49.88
6 48 49.17 49.67
7 51 49.72 49.68
8 40 46.80 48.82
9 48 47.16 48.32
10 52 48.61 48.41
11 51 49.33 48.68
12 59 52.23 49.75
计算
06.1)75.4923.52(
3.01
3.0
]S[S
1
b
71.5475.4923.522SS2a
75.49S23.52S,12t
( 2 )
12
( 1 )
1212
( 2 )
12
( 1 )
1212
( 2 )
12
( 1 )
12
。，时当预测
建立二次指数平滑法预测模型为：
预测 6个月后的需求量为：
T06.171.54Y? T12
)(07.61606.171.54Y? 612 万吨
三、三次指数平滑法
当时间序列的变动呈现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法进行预测。
三次指数平滑法是在二次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。
参照一次指数平滑值和二次指数平滑值的计算，三次指数平滑值采用下式计算：
23) - (4 S ) 1 ( S S (3) 1 - t (2) t (3) t
三次指数平滑法的预测模型为：
T c TbaY? 2tttTt
24)-(4 1,2T
at,bt,ct的估计式
]SS2S[
)1(2
c
]S)34(S)45(2S)56[(
)1(2
b
S S3S3a
3
t
2
t
1
t2
2
t
3
t
2
t
1
t2t
3
t
2
t
1
tt
）（）（）（
）（）（）（
）（）（）（
例 4-5
某地区近年来国有企业固定资产投资总额列于表 4-6，试用三次指数平滑法预测
2002年固定资产投资总额。（取?=0.3）
表 4-6 固定资产投资总额及指数平滑值单位：亿元年份 时期数 投资总额 一次指数平滑值 二次指数平滑值 三次指数平滑值
t Yt St（ 1） St（ 2） St（ 3）
1990 1 20.04 21.37 21.77 21.89
1991 2 20.06 20.98 21.53 21.78
1992 3 25.72 22.40 21.79 21.78
1993 4 34.61 26.06 23.07 22.17
1994 5 51.77 33.78 26.28 23.40
1995 6 55.92 40.42 30.53 25.54
1996 7 80.65 52.49 37.11 29.01
1997 8 131.11 76.07 48.80 34.95
1998 9 148.58 97.83 63.51 43.52
1999 10 162.67 117.28 79.64 54.35
2000 11 232.26 151.77 101.28 68.43
解：
由式（ 4-15）、（ 4-19）、（ 4-23）计算 St（ 1）,St（ 2）,
St（ 3） 各值列于表 4-6中。
当 t=11时，由式（ 4-25）、（ 4-26）、（ 4-27）得：
a11=3?151.77?3?101.28+68.43=219.90
62.1)43.6828.1 0 1277.1 5 1(
)3.01(2
3.0
c
38.38
]43.68)3.034(28.1 0 1)3.045(
277.1 5 1)3.056[(
)3.01(2
3.0
b
2
2
11
211
预测
由式 (4-24)的预测模型：
2002年为 2000年之后两年，即 T=2，
即预计到 2002年固定资产的投资总额将达到 303.14亿元。
)(14.303262.1238.3890.219Y? 2211 亿元
