经济预测与决策经济预测与决策第七章马尔柯夫预测法本章学习目的与要求通过本章的学习，了解马尔柯夫预测法的基本概念，
运用马尔柯夫预测法进行市场销售预测、市场占有率预测。
本章学习重点和难点重点是运用马尔柯夫预测法进行市场销售预测、市场占有率预测。
难点是稳定状态 市场占有率预测。
本章内容提示第一节 马尔柯夫过程分析的基本原理第二节 马尔柯夫预测法的分析步骤第三节 市场占有率预测马尔柯夫预测法
马尔柯夫预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法研究分析有关经济现象的现状及变化规律，并籍此预测未状况的预测方法。
马尔柯夫过程
对于一个系统，在由一种状态随机地转移至另一种状态的转移过程中，存在着转移概率，这种转移概率可以依据其前一种状态推算出来，而与该系统的原始状态和此次转移以前的有限次或无限次转移无关，系统的这种由一种状态至另一种状态的转移过程为马尔柯夫过程，
其整体转移过程称为马尔柯夫链。
马尔柯夫分析
对于某一预测对象的马尔柯夫过程或马尔柯夫链的运动、变化进行研究分析，进而推测预测对象的未来状况和变化趋势的工作过程，称为马尔柯夫分析。
第一节 马尔柯夫过程分析的基本原理一、概率向量二、概率矩阵三、系统的稳定状态四、状态转移概率矩阵一、概率向量
任意一个行向量 U,如果内部各元素均非负，并且总和为 1，则此向量称为概率向量。
概率向量中的各元素，可以用整数,
分数、小数或百分数表示。
二、概率矩阵
在一个 n?n矩阵 P中，对于任意一个元素 Pij均有 Pij?0(i=1,2,……,n；
j=1,2,……,n)。 并且
Pi1+Pi2+……+P in=1,则矩阵 P 叫做概率矩阵。即，由概率行向量构成的方阵。
概率矩阵性质：
1.如果 A和 B皆为概率矩阵，则乘积
AB亦为概率矩阵。从而推论 P的 m次方幂 Pm也是概率矩阵。
概率矩阵性质：
2.若概率矩阵 P的有限次方幂 Pm的所有元素均为正（非零非负），则 P为正规概率矩阵。
如概率矩阵,A2及 Am（ m?2） 中各元素均为正值，所以 A为正规矩阵。
但是，如果 Am中有为零的元素存在，
则 A不是正规概率矩阵。
概率矩阵性质：
3.任意非零行向量 U=（ u1,u2,……,
un）,乘以某一方阵 A所得的结果仍然为 U,则称 U为方阵 A的固定点，
或固定向量。记作 UA=U。
对于正规概率矩阵 P和概率向量 U，
如果 UP=U成立，则称 U为 P的固定概率向量。并且 P只有一个固定概率向量。
例
设 P的固定概率向量为
U=（ x 1-x），
则有,UP=U，
所以 U=（ 1/3 2/3）,为 P的唯一的固定概率向量。
2/11/ 2
10
P?
已知概率矩阵三、系统的稳定状态
一个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转移可以使系统达到某一稳定状态。在这种情况下，处于状态 i的概率如用 Si表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：
S=（ S1,S2,……,Sn）
系统的稳定状态
系统的稳定状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。
即,SP=S
式中,P是反映状态转移的正规概率矩阵，
S称为对 P的稳定状态概率向量。若知正规概率矩阵 P,就可以根据以上关系式求出系统的稳定状态概率向量 S。
求稳定状态概率向量
若已知概率矩阵
所求的稳定状态概率向量 S=（ S1，
S2,……,Sn）。
nn2n1n
n22221
n11211
PPP
PPP
PPP
P
根据公式有：
根据公式有：
并且 S1+S2+……+S n=1
)SSS(
PPP
PPP
PPP
)SSS(
n 2 1
nn2n1n
n22221
n11211
n 2 1
从而有：
P11S1+P21S2+……+P n1Sn=S1
P12S1+P22S2+……+P n2Sn=S2
… … … … … …
P1 nS1+P2 nS2+……+P n nSn=Sn
S1+S2+……+S n=1
由前 n个方程中去掉一个不独立的方程，求解联立方程组，解得 S1,S2,……,Sn。
四、状态转移概率矩阵
如果系统的状态共有 n个，系统的状态 i一次转移到状态 j的概率为 Pij,则系统一次转移概率的全体组成一个矩阵，称为状态转移概率矩阵，记为,P。
矩阵的每一行为一概率向量，它表示由状态 i转移到其它状态的概率。
多步转移概率矩阵
如果系统的状态不止经过一次转移，
而是经过多次转移，则可用多步转移概率矩阵来描述。设系统的状态经过 K次转移，则用 K步转移概率矩阵来描述。
设 K步转移概率矩阵为 P（ K）,
即：
)K(
nn
)K(
2n
)K(
1n
)K(
n2
)K(
22
)K(
21
)K(
n1
)K(
12
)K(
11
( K )
PPP
PPP
PPP
P
由定义可知：
P（ K） =P（ K-1） P
=P（ K-2） P2
=P（ K-3） P3
……
=P（ K-K+1） PK-1
=PPK-1
=PK
即,K步转移概率矩阵就是一步转移概率矩阵的
K次方。
S（ K） 的计算
设系统互不相容的状态有 n个，系统的初始状态用概率向量 S（ 0） 表示，则：
经过一次转移，系统达到 S（ 1） 状态，则有：
S（ 1） =S（ 0） P
经过二次转移，系统达到 S（ 2） 状态，则有：
S（ 2） =S（ 1） P=S（ 0） P2
S（ K） 的计算
依此类推，可得递推关系式：
S（ 3） =S（ 2） P=S（ 0） P3
……
S（ K） =S（ 0） PK
即经过 K步转移后的状态取决于转移前的初始状态 S（ 0）,一步转移概率矩阵 P和转移的次数 K。
表示成矩阵形式：
K
nn2n1n
n22221
n11211
)0(
n
)0(
2
)0(
1
( K )
PPP
PPP
PPP
)S S S(S
第二节 马尔柯夫预测法的分析步骤
马尔柯夫链作为一种基本的预测模型，
用来预测客观经济事件的未来状态。当分析研究由一种状态转移为另一种状态时，可以使用这种模型。
应用条件
应用马尔柯夫预测法进行预测时，首先必须将研究的问题归纳成独立的状态；
其次是要确定经过一个时期后，时间由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：
1.只与目前状态有关；
2.与具体的时间周期无关；
3.预测期间，状态的个数必须保持不变。
步骤如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下：
第一步，确定系统的状态；
第二步，确定转移概率矩阵；
第三步，进行预测。
例 7-1
某公司将最近 20个月的商品销售额统计如下，试预测第 21个月的商品销售额。
表 7-1 各月商品销售额 单位：万元月 数 1 2 3 4 5 6 7 8
销售额 40 45 80 120 110 38 40 50
月 数 9 10 11 12 13 14 15 16
销售额 62 90 110 130 140 120 55 70
月 数 17 18 19 20
销售额 45 80 110 120
解：
划分状态。
按销售额多少作为划分状态的标准。
状态 1—— 滞销：销售额?60万元；
状态 2—— 平销,60万元?销售额?100万元；
状态 3—— 畅销：销售额?100万元。
则各状态出现的次数 Mi为：
M1=7；
M2=5；
M3=8。
根据统计数据计算比例数，建立状态转概率矩阵。
由状态 i转移为状态 j的次数记为 Mij，
则有：
M11=3； M12=4； M13=0；
M21=1； M22=1； M23=3；
M31=2； M32=0； M33=5。
在计算时，最后一个数据转移到哪个状态时未知的，所以不参加计算。
转移概率
以转移次数 Mij与状态次数 Mi之比作为转移概率，则转移概率 Pij= Mij / Mi。
各转移概率为：
P11=3/7； P12=4/7； P13=0；
P21=1/5； P22=1/5； P23=3/5；
P31=2/7； P32=0； P33=5/7。
预测第 21月的销售额
因为第 20月的销售属状态 3，而状态 3经过一步转移达到状态 1,2,3的概率分别为 2/7,0,5/7,P33?P31?P32,所以第 21月仍处于状态 3的概率最大，即销售额超过
100万元的可能性最大。
第三节 市场占有率预测
在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。市场占有率的预测是企业经营管理中的一项重要工作。下面利用马尔柯夫预测法进行关于市场占有率的预测的分析。
条件
设市场中提供某种商品的厂商共有 n家。
当前的市场占有率,即本期市场占有率为：
用 Pij代表经过一个时期后 i厂商丧失的顾客转移到 j厂商的概率，或 j厂商得到由 i
厂商转来的顾客的概率。特别是当 i=j时，
Pij代表 i厂商保留上期顾客的概率。这样
Pij即为市场占有率的转移概率。
转移概率矩阵
对于整个市场中各厂商的顾客的转移概率，可用转移概率矩阵表示：
PPP
PPP
PPP
P
nn2n1n
n22221
n11211
市场占有率
对于未来一个时期的市场占有率，
有：
nn
)t(
n2n
)t(
21n
)t(
1
1)(t
n
n2
)t(
n22
)t(
212
)t(
1
1)(t
2
n1
)t(
n21
)t(
211
)t(
1
1)(t
1
PS PS PSS
PS PS PSS
PS PS PSS
上式表明，
对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。
将上式写成矩阵形式，有：
nn2n1n
n22221
n11211
)t(
n
)t(
2
)t(
1
)1t(
n
)1t(
2
)1t(
1
PPP
PPP
PPP
)S S S()S S S(
结论
即,S（ t+1） =S（ t） P
下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。
同理，
若 S（ t-1） 表示上期市场占有率,S（ t） 表示本期市场占有率，
则 S（ t） =S（ t-1） P。
本期市场占有率取决于上期市场占有率和转移概率，而与上期以前时期的市场占有率无关。
，对市场占有率的预测是符合马尔柯夫原理的，因此可以利用马尔柯夫的理论和方法进行市场占有率的预测。
K期市场占有率的预测
设当前状态为初始状态，那么对于下一期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过一步转移所达到的状态。
即,S（ 1） =S（ 0） P。
若假定各期的转移概率不变，则那么对于下 K期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过 K步转移所达到的状态。
即,S（ K） =S（ 0） PK。
例 7-2
已知市场上有 A,B,C三种品牌的洗衣粉，上月的市场占有率分布为（ 0.3
0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
试求本月和下月的市场占有率。
8.01.00,1
2.07.00,1
2.02.00,6
P
解：
依题意，设上月市场占有率为初始概率向量，即 S（ 0） =(0.3 0.4 0.3），
则本月市场占有率为 S（ 1）,下月市场占有率为 S（ 2）,
由马尔柯夫预测法有：
本月市场占有率 S（ 1） =S（ 0） P
=（ 0.25 0.37 0.38）
下月市场占有率 S（ 2） =S（ 1） P
=（ 0.225 0.347 0.428）
计算结果表明 A,B,C三种品牌的洗衣粉，本月的市场占有率分别为,25%,37%和 38%；
下月的市场占有率分别为,22.5%,34.7%和
42.8%。
S（ 2） 的计算亦可采用下式
S（ 2） =S（ 1） P=S（ 0） P2
即可认为是在初始状态经过二步转移后所达到的状态。
那么对于 K个时期后的市场占有率的预测，
则可由初始状态 S（ 0） 与市场的转移概率矩阵 P的 K次方的乘积求得。即：
S（ K） =S（ 0） PK。
例 7-3
有 A,B,C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为,052、
030,018。根据市场调查情况，每 1000
户顾客中分别购买 A,B,C三家企业产品的变化情况如表 7-3。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。
表 7-3 企业占有顾客变化情况 单位：人企业 上月占有顾客数 本月流动情况
A B C
A 520 312 156 52
B 300 105 105 90
C 180 18 36 126
本月占有顾客数 435 297 268
解：
1．确定初始状态。
以上月各企业的市场占有率为初始状态，
S（ 0） =(0.52 0.30 0.18）。
2,确定转移概率矩阵。
转移概率矩阵可以反映企业现有顾客在下一周期仍购买该企业产品的顾客人数的百分比，即保有率；和在下一周期转向购买其它企业产品顾客人数的百分比，
即转出率。根据顾客人数转移的数据，
计算出保有率和转出率，作为转移概率，
组成转移概率矩阵。
表 7-4 企业转移概率计算表出 入 A B C
A 312?520=0.60 156?520=0.30 52?520=0.10
B 105?300=0.35 105?300=0.35 90?300=0.30
C 18?180=0.10 36?180=0.20 126?180=0.70
上表结果用矩阵形式表示为：
70.020.00,1 0
30.035.00,3 5
10.030.00,6 0
P
3.计算本期市场占有率。
假设分析期内转移概率不变（即顾客的偏好不变），根据马尔柯夫预测模型，
本月市场占有率 S（ 1） =S（ 0） P。
即：
S（ 1） =（ 0.435 0.297 0.268）
4.后续周期趋势预测
若以本月为第一个月,则第 K个月的市场占有率为 S（ K） =S（ 0） PK。 如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。
根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表 7-4：
表 7-4 逐期市场占有率计算表预测期 市场占有率
K SA（ K） SB（ K） SC（ K）
1 0.4350 0.2970 0.2680
2 0.3918 0.2881 0.3202
3 0.3679 0.2824 0.3497
4 0.3555 0.2791 0.3663
5 0.3471 0.2773 0.3766
6 0.3429 0.2763 0.3808
7 0.3405 0.2757 0.3838
8 0.3392 0.2754 0.3854
9 0.3384 0.2752 0.3863
10 0.3380 0.2751 0.3868
11 0.3378 0.2751 0.3871
12 0.3376 0.2750 0.3874
分析
（ 1） A企业和 B企业产品的市场占有率逐期下降，并且 A企业产品的市场占有率下降幅度较大；
（ 2） C企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。
（ 3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。
5．长期市场占有率预测 —— 稳定状态分析
企业产品的市场占有率的稳定状态是各企业产品的市场占有率不发生逐期变化时的状态。从例 7-3可以看到，随逐时间的推移，各企业产品的市场占有率逐期上升或下降，但变化的幅度逐渐减小，
趋近于不变，即处于稳定状态。
稳定状态
根据对稳定状态的分析可知，稳定状态时，上期状态经过一步转移后其状态应当不变。即相邻两个时期各企业产品的市场占有率分别相同，
即 S（ K+1） =S（ K） P=S（ K）
各企业产品的市场占有率
若以 SA（ K）,SB（ K）,SC（ K） 分别代表稳定状态下 A,B,C各企业产品的市场占有率，则：
)S S S(
70.00,2 00,1 0
30.00,3 50,3 5
10.00,3 00,6 0
)S S (S ( K )C( K )B( K )A( K )C( K )B( K )A?
根据以上稳定条件，得联立方程组：
0.6SA（ K） +0.35SB（ K） +0.1SC（ K） =SA（ K）
0.3SA（ K） +0.35SB（ K） +0.2SC（ K） =SB（ K）
0.1SA（ K） +0.3SB（ K） +0.7SC（ K） =SC（ K）
SA（ K） +SB（ K） +SC（ K） =1
解上述联立方程得：
SA（ K） =0.3375，
SB（ K） =0.2750，
SC（ K） =0.3875。
即系统稳定时,A,B,C各企业产品的市场占有率分别为 33.75%,27.5%，
38.75%。
运用马尔柯夫预测法进行市场销售预测、市场占有率预测。
本章学习重点和难点重点是运用马尔柯夫预测法进行市场销售预测、市场占有率预测。
难点是稳定状态 市场占有率预测。
本章内容提示第一节 马尔柯夫过程分析的基本原理第二节 马尔柯夫预测法的分析步骤第三节 市场占有率预测马尔柯夫预测法
马尔柯夫预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法研究分析有关经济现象的现状及变化规律，并籍此预测未状况的预测方法。
马尔柯夫过程
对于一个系统，在由一种状态随机地转移至另一种状态的转移过程中，存在着转移概率，这种转移概率可以依据其前一种状态推算出来，而与该系统的原始状态和此次转移以前的有限次或无限次转移无关，系统的这种由一种状态至另一种状态的转移过程为马尔柯夫过程，
其整体转移过程称为马尔柯夫链。
马尔柯夫分析
对于某一预测对象的马尔柯夫过程或马尔柯夫链的运动、变化进行研究分析，进而推测预测对象的未来状况和变化趋势的工作过程，称为马尔柯夫分析。
第一节 马尔柯夫过程分析的基本原理一、概率向量二、概率矩阵三、系统的稳定状态四、状态转移概率矩阵一、概率向量
任意一个行向量 U,如果内部各元素均非负，并且总和为 1，则此向量称为概率向量。
概率向量中的各元素，可以用整数,
分数、小数或百分数表示。
二、概率矩阵
在一个 n?n矩阵 P中，对于任意一个元素 Pij均有 Pij?0(i=1,2,……,n；
j=1,2,……,n)。 并且
Pi1+Pi2+……+P in=1,则矩阵 P 叫做概率矩阵。即，由概率行向量构成的方阵。
概率矩阵性质：
1.如果 A和 B皆为概率矩阵，则乘积
AB亦为概率矩阵。从而推论 P的 m次方幂 Pm也是概率矩阵。
概率矩阵性质：
2.若概率矩阵 P的有限次方幂 Pm的所有元素均为正（非零非负），则 P为正规概率矩阵。
如概率矩阵,A2及 Am（ m?2） 中各元素均为正值，所以 A为正规矩阵。
但是，如果 Am中有为零的元素存在，
则 A不是正规概率矩阵。
概率矩阵性质：
3.任意非零行向量 U=（ u1,u2,……,
un）,乘以某一方阵 A所得的结果仍然为 U,则称 U为方阵 A的固定点，
或固定向量。记作 UA=U。
对于正规概率矩阵 P和概率向量 U，
如果 UP=U成立，则称 U为 P的固定概率向量。并且 P只有一个固定概率向量。
例
设 P的固定概率向量为
U=（ x 1-x），
则有,UP=U，
所以 U=（ 1/3 2/3）,为 P的唯一的固定概率向量。
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10
P?
已知概率矩阵三、系统的稳定状态
一个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转移可以使系统达到某一稳定状态。在这种情况下，处于状态 i的概率如用 Si表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：
S=（ S1,S2,……,Sn）
系统的稳定状态
系统的稳定状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。
即,SP=S
式中,P是反映状态转移的正规概率矩阵，
S称为对 P的稳定状态概率向量。若知正规概率矩阵 P,就可以根据以上关系式求出系统的稳定状态概率向量 S。
求稳定状态概率向量
若已知概率矩阵
所求的稳定状态概率向量 S=（ S1，
S2,……,Sn）。
nn2n1n
n22221
n11211
PPP
PPP
PPP
P
根据公式有：
根据公式有：
并且 S1+S2+……+S n=1
)SSS(
PPP
PPP
PPP
)SSS(
n 2 1
nn2n1n
n22221
n11211
n 2 1
从而有：
P11S1+P21S2+……+P n1Sn=S1
P12S1+P22S2+……+P n2Sn=S2
… … … … … …
P1 nS1+P2 nS2+……+P n nSn=Sn
S1+S2+……+S n=1
由前 n个方程中去掉一个不独立的方程，求解联立方程组，解得 S1,S2,……,Sn。
四、状态转移概率矩阵
如果系统的状态共有 n个，系统的状态 i一次转移到状态 j的概率为 Pij,则系统一次转移概率的全体组成一个矩阵，称为状态转移概率矩阵，记为,P。
矩阵的每一行为一概率向量，它表示由状态 i转移到其它状态的概率。
多步转移概率矩阵
如果系统的状态不止经过一次转移，
而是经过多次转移，则可用多步转移概率矩阵来描述。设系统的状态经过 K次转移，则用 K步转移概率矩阵来描述。
设 K步转移概率矩阵为 P（ K）,
即：
)K(
nn
)K(
2n
)K(
1n
)K(
n2
)K(
22
)K(
21
)K(
n1
)K(
12
)K(
11
( K )
PPP
PPP
PPP
P
由定义可知：
P（ K） =P（ K-1） P
=P（ K-2） P2
=P（ K-3） P3
……
=P（ K-K+1） PK-1
=PPK-1
=PK
即,K步转移概率矩阵就是一步转移概率矩阵的
K次方。
S（ K） 的计算
设系统互不相容的状态有 n个，系统的初始状态用概率向量 S（ 0） 表示，则：
经过一次转移，系统达到 S（ 1） 状态，则有：
S（ 1） =S（ 0） P
经过二次转移，系统达到 S（ 2） 状态，则有：
S（ 2） =S（ 1） P=S（ 0） P2
S（ K） 的计算
依此类推，可得递推关系式：
S（ 3） =S（ 2） P=S（ 0） P3
……
S（ K） =S（ 0） PK
即经过 K步转移后的状态取决于转移前的初始状态 S（ 0）,一步转移概率矩阵 P和转移的次数 K。
表示成矩阵形式：
K
nn2n1n
n22221
n11211
)0(
n
)0(
2
)0(
1
( K )
PPP
PPP
PPP
)S S S(S
第二节 马尔柯夫预测法的分析步骤
马尔柯夫链作为一种基本的预测模型，
用来预测客观经济事件的未来状态。当分析研究由一种状态转移为另一种状态时，可以使用这种模型。
应用条件
应用马尔柯夫预测法进行预测时，首先必须将研究的问题归纳成独立的状态；
其次是要确定经过一个时期后，时间由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：
1.只与目前状态有关；
2.与具体的时间周期无关；
3.预测期间，状态的个数必须保持不变。
步骤如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下：
第一步，确定系统的状态；
第二步，确定转移概率矩阵；
第三步，进行预测。
例 7-1
某公司将最近 20个月的商品销售额统计如下，试预测第 21个月的商品销售额。
表 7-1 各月商品销售额 单位：万元月 数 1 2 3 4 5 6 7 8
销售额 40 45 80 120 110 38 40 50
月 数 9 10 11 12 13 14 15 16
销售额 62 90 110 130 140 120 55 70
月 数 17 18 19 20
销售额 45 80 110 120
解：
划分状态。
按销售额多少作为划分状态的标准。
状态 1—— 滞销：销售额?60万元；
状态 2—— 平销,60万元?销售额?100万元；
状态 3—— 畅销：销售额?100万元。
则各状态出现的次数 Mi为：
M1=7；
M2=5；
M3=8。
根据统计数据计算比例数，建立状态转概率矩阵。
由状态 i转移为状态 j的次数记为 Mij，
则有：
M11=3； M12=4； M13=0；
M21=1； M22=1； M23=3；
M31=2； M32=0； M33=5。
在计算时，最后一个数据转移到哪个状态时未知的，所以不参加计算。
转移概率
以转移次数 Mij与状态次数 Mi之比作为转移概率，则转移概率 Pij= Mij / Mi。
各转移概率为：
P11=3/7； P12=4/7； P13=0；
P21=1/5； P22=1/5； P23=3/5；
P31=2/7； P32=0； P33=5/7。
预测第 21月的销售额
因为第 20月的销售属状态 3，而状态 3经过一步转移达到状态 1,2,3的概率分别为 2/7,0,5/7,P33?P31?P32,所以第 21月仍处于状态 3的概率最大，即销售额超过
100万元的可能性最大。
第三节 市场占有率预测
在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。市场占有率的预测是企业经营管理中的一项重要工作。下面利用马尔柯夫预测法进行关于市场占有率的预测的分析。
条件
设市场中提供某种商品的厂商共有 n家。
当前的市场占有率,即本期市场占有率为：
用 Pij代表经过一个时期后 i厂商丧失的顾客转移到 j厂商的概率，或 j厂商得到由 i
厂商转来的顾客的概率。特别是当 i=j时，
Pij代表 i厂商保留上期顾客的概率。这样
Pij即为市场占有率的转移概率。
转移概率矩阵
对于整个市场中各厂商的顾客的转移概率，可用转移概率矩阵表示：
PPP
PPP
PPP
P
nn2n1n
n22221
n11211
市场占有率
对于未来一个时期的市场占有率，
有：
nn
)t(
n2n
)t(
21n
)t(
1
1)(t
n
n2
)t(
n22
)t(
212
)t(
1
1)(t
2
n1
)t(
n21
)t(
211
)t(
1
1)(t
1
PS PS PSS
PS PS PSS
PS PS PSS
上式表明，
对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。
将上式写成矩阵形式，有：
nn2n1n
n22221
n11211
)t(
n
)t(
2
)t(
1
)1t(
n
)1t(
2
)1t(
1
PPP
PPP
PPP
)S S S()S S S(
结论
即,S（ t+1） =S（ t） P
下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。
同理，
若 S（ t-1） 表示上期市场占有率,S（ t） 表示本期市场占有率，
则 S（ t） =S（ t-1） P。
本期市场占有率取决于上期市场占有率和转移概率，而与上期以前时期的市场占有率无关。
，对市场占有率的预测是符合马尔柯夫原理的，因此可以利用马尔柯夫的理论和方法进行市场占有率的预测。
K期市场占有率的预测
设当前状态为初始状态，那么对于下一期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过一步转移所达到的状态。
即,S（ 1） =S（ 0） P。
若假定各期的转移概率不变，则那么对于下 K期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过 K步转移所达到的状态。
即,S（ K） =S（ 0） PK。
例 7-2
已知市场上有 A,B,C三种品牌的洗衣粉，上月的市场占有率分布为（ 0.3
0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
试求本月和下月的市场占有率。
8.01.00,1
2.07.00,1
2.02.00,6
P
解：
依题意，设上月市场占有率为初始概率向量，即 S（ 0） =(0.3 0.4 0.3），
则本月市场占有率为 S（ 1）,下月市场占有率为 S（ 2）,
由马尔柯夫预测法有：
本月市场占有率 S（ 1） =S（ 0） P
=（ 0.25 0.37 0.38）
下月市场占有率 S（ 2） =S（ 1） P
=（ 0.225 0.347 0.428）
计算结果表明 A,B,C三种品牌的洗衣粉，本月的市场占有率分别为,25%,37%和 38%；
下月的市场占有率分别为,22.5%,34.7%和
42.8%。
S（ 2） 的计算亦可采用下式
S（ 2） =S（ 1） P=S（ 0） P2
即可认为是在初始状态经过二步转移后所达到的状态。
那么对于 K个时期后的市场占有率的预测，
则可由初始状态 S（ 0） 与市场的转移概率矩阵 P的 K次方的乘积求得。即：
S（ K） =S（ 0） PK。
例 7-3
有 A,B,C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为,052、
030,018。根据市场调查情况，每 1000
户顾客中分别购买 A,B,C三家企业产品的变化情况如表 7-3。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。
表 7-3 企业占有顾客变化情况 单位：人企业 上月占有顾客数 本月流动情况
A B C
A 520 312 156 52
B 300 105 105 90
C 180 18 36 126
本月占有顾客数 435 297 268
解：
1．确定初始状态。
以上月各企业的市场占有率为初始状态，
S（ 0） =(0.52 0.30 0.18）。
2,确定转移概率矩阵。
转移概率矩阵可以反映企业现有顾客在下一周期仍购买该企业产品的顾客人数的百分比，即保有率；和在下一周期转向购买其它企业产品顾客人数的百分比，
即转出率。根据顾客人数转移的数据，
计算出保有率和转出率，作为转移概率，
组成转移概率矩阵。
表 7-4 企业转移概率计算表出 入 A B C
A 312?520=0.60 156?520=0.30 52?520=0.10
B 105?300=0.35 105?300=0.35 90?300=0.30
C 18?180=0.10 36?180=0.20 126?180=0.70
上表结果用矩阵形式表示为：
70.020.00,1 0
30.035.00,3 5
10.030.00,6 0
P
3.计算本期市场占有率。
假设分析期内转移概率不变（即顾客的偏好不变），根据马尔柯夫预测模型，
本月市场占有率 S（ 1） =S（ 0） P。
即：
S（ 1） =（ 0.435 0.297 0.268）
4.后续周期趋势预测
若以本月为第一个月,则第 K个月的市场占有率为 S（ K） =S（ 0） PK。 如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。
根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表 7-4：
表 7-4 逐期市场占有率计算表预测期 市场占有率
K SA（ K） SB（ K） SC（ K）
1 0.4350 0.2970 0.2680
2 0.3918 0.2881 0.3202
3 0.3679 0.2824 0.3497
4 0.3555 0.2791 0.3663
5 0.3471 0.2773 0.3766
6 0.3429 0.2763 0.3808
7 0.3405 0.2757 0.3838
8 0.3392 0.2754 0.3854
9 0.3384 0.2752 0.3863
10 0.3380 0.2751 0.3868
11 0.3378 0.2751 0.3871
12 0.3376 0.2750 0.3874
分析
（ 1） A企业和 B企业产品的市场占有率逐期下降，并且 A企业产品的市场占有率下降幅度较大；
（ 2） C企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。
（ 3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。
5．长期市场占有率预测 —— 稳定状态分析
企业产品的市场占有率的稳定状态是各企业产品的市场占有率不发生逐期变化时的状态。从例 7-3可以看到，随逐时间的推移，各企业产品的市场占有率逐期上升或下降，但变化的幅度逐渐减小，
趋近于不变，即处于稳定状态。
稳定状态
根据对稳定状态的分析可知，稳定状态时，上期状态经过一步转移后其状态应当不变。即相邻两个时期各企业产品的市场占有率分别相同，
即 S（ K+1） =S（ K） P=S（ K）
各企业产品的市场占有率
若以 SA（ K）,SB（ K）,SC（ K） 分别代表稳定状态下 A,B,C各企业产品的市场占有率，则：
)S S S(
70.00,2 00,1 0
30.00,3 50,3 5
10.00,3 00,6 0
)S S (S ( K )C( K )B( K )A( K )C( K )B( K )A?
根据以上稳定条件，得联立方程组：
0.6SA（ K） +0.35SB（ K） +0.1SC（ K） =SA（ K）
0.3SA（ K） +0.35SB（ K） +0.2SC（ K） =SB（ K）
0.1SA（ K） +0.3SB（ K） +0.7SC（ K） =SC（ K）
SA（ K） +SB（ K） +SC（ K） =1
解上述联立方程得：
SA（ K） =0.3375，
SB（ K） =0.2750，
SC（ K） =0.3875。
即系统稳定时,A,B,C各企业产品的市场占有率分别为 33.75%,27.5%，
38.75%。
