经济预测与决策经济预测与决策第五章 长期趋势变动预测法长期趋势变动预测法根据时间序列的发展趋势，
配合适当的数学模型，外推预测未来的趋势值。
本章学习目的与要求通过本章的学习，掌握各种 长期趋势变动 的 预测 方法 。
本章学习重点和难点重点是 直线趋势模型预测法 ;
难点是二次曲线模型预测法 。
本章内容提示第一节 直线趋势模型预测法第二节 二次曲线模型预测法第三节 指数曲线模型预测法第一节 直线趋势模型预测法一、直线趋势模型二、直线趋势模型的建立一、直线趋势模型
当时间序列的发展趋势呈线性时，可采用直线趋势模型进行预测。
直线趋势模型为：
t b?a?Y?
t
直线趋势模型的特点
。
为一常数，即：一阶差分
b?Y?-Y?Y?
Y?
1-ttt
t
分析
因此，当时间序列的一阶差分?Yt近似为一常数时，或其散点图呈直线趋势，利用直线趋势模型预测可以得到理想的结果。
二、直线趋势模型的建立
直线趋势模型建立的关键是根据时间序列资料估计各参数的值。常用的方法有最小平方法、折扣最小平方法等。
本节将介绍最小平方法。
最小平方法的基本原则
同回归分析预测法中的最小二乘法一样，这里所介绍的最小平方法的基本原则是在使时间序列的剩余平方和最小的基础上，估计各参数的值。
最小平方法的估计式
模型中作为自变量的 t,其值是可以设定的等差数列。通过设定 t数列的值，使
t=0,得到参数估计式：
）（
）（
75
t
t Y
b?
65
N
Y
a?
2
t
t
t值的确定方法
为了使?t =0,对 t值的确定可采用以下方法：
(1)当时间序列的项数为奇数时,设中位数为零,等差为 1,建立 t的时间序列。即取 t的值为 …,-2,-1,0,1,2,… ；
(2)当时间序列的项数为偶数时,设中位两数的值分别为 -1和 1,等差为 2,建立 t的时间序列。即取 t的值为 …,-5,-3,-1,1，
3,5,… 。
例 5-1
某地 1992-2000年化肥销售量如表 5-1所示，试用最小平方法预测 2004年该地的化肥销售量。
表 5-1 单位：吨年份 销售量 一阶差分
Y?Y
1992 265
1993 297 32
1994 333 36
1995 370 37
1996 405 35
1997 443 38
1998 474 31
1999 508 34
2000 541 33
解：
计算时间序列的一阶差分，列于表 5-1中。
从一阶差分的值来看，大体接近，可以选用直线趋势模型进行预测。模型为：
t b?a?Y?
t
t值的确定
时间序列的项数 N=9,赋变量 t对应于中位项（ 1996年）的值为零，等差为 1，建立 t的时间序列，各值列于表 5-2。
表 5-2(部分 ) 计算表年份 t
1992 -4
1993 -3
1994 -2
1995 -1
1996 0
1997 1
1998 2
1999 3
2000 4
0
计算?Yt,?tYt,?t2
分别计算?Yt,?tYt,?t2,计算过程见表
5-2。
Yt =3636
tYt=2092
t2=60
表 5-2 计算表年份 t Yt tYt t2
1992 -4 265 -1060 16
1993 -3 297 -891 9
1994 -2 333 -666 4
1995 -1 370 -370 1
1996 0 405 0 0
1997 1 443 443 1
1998 2 474 948 4
1999 3 508 1524 9
2000 4 541 2160 16
0 3636 2092 60
根据式（ 5-6）、（ 5-7），得：
87.34
60
2092
b?
404
9
3636
a?
预测
2004年时,t=8,预测 2004年的销售量为：
)(93.6 8 2887.344 0 4Y? 8 吨
第二节 二次曲线模型预测法一、二次曲线预测模型二、二次曲线模型的建立一、二次曲线预测模型
二次曲线预测模型为：
8)-(5 t c?t b?a?Y? 2t
模型的特点
该模型的特点是二阶差分为常数。
当时间序列的二阶差分?2Yt近似为常数时，或其散点图近似上凸或下凹的曲线时，可利用二次曲线模型来预测。
二、二次曲线模型的建立
建立二次曲线模型的关键是根据时间序列资料估计参数的值。
常用的方法有最小平方法、三点法等。
本节介绍利用三点法建立二次曲线模型。
参数估计的基本步骤
在时间序列资料中选取三个代表点；
根据三个点的坐标值建立由三个二次曲线方程组成的联立方程组；求解方程组得到三个参数值。
1.选点
当时间序列的项数 N为奇数时，并且
N?15时，在时间序列的首尾两端及正中各取五项，分别求出加权平均数，权数根据时期的远近，分别取 1、
2,3,4,5，以加重近期信息在平均数中的比重。
选点
当时间序列的项数为奇数时，并且
9?N<15时，在时间序列的首尾两端及正中各取三项，，权数根据时期的远近，分别取 1,2,3，分别求出三个加权平均数。
选点
当时间序列的项数为偶数时，可去掉第一项，余下按项数为奇数时处理。
求加权平均数
设由远及近的三点坐标分别为：
。，,)Y,t(M)Y,t(M)Y,t(M 333222111
五项加权平均数的计算式
即五项加权平均时，三个点的坐标为：
。，,)Y,34N(M )Y,672N(M )Y,311(M 332211
三项加权平均数的计算式
三项加权平均时，三个点的坐标为：
。，,)Y,32N(M )Y,652N(M )Y,37(M 332211
2.建立方程组
）下联立方程组，见：式建立如对应于三项加权平均可下联立方程组，见：式建立如对应于五项加权平均可
10-(5
9)-(5
3.求解参数 （五项加权平均）
）13-(5 c?
9
1 2 1
b
3
11
Ya?
1 2 )-(5 c?
3
7N3
5N
YY
b
1 1 )-(5
5)(N
)YY2Y2(
c?
1
13
2
321
求解参数 （三项加权平均）
1 6 )-(5 c?
9
49
b
3
7
Ya?
1 5 )-(5 c?
3
5N3
3N
YY
b
1 4 )-(5
3)(N
)YY2Y2(
c?
1
13
2
321
例 5-2
某地 1992-2000年水产品的收购量如表 5-3所示，试用三点法预测 2003年该地水产品的收购量。
解：
根据时间序列资料计算一阶差分和二阶差分。从计算结果看，二阶差分序列要比一阶差分序列平稳。因此，建立二次曲线模型。
表 5-3 水产品收购量 单位：千吨年份 t Yt?Yt?2Yt
1992 1 54.5
1993 2 64.1 9.6
1994 3 76.4 12.3 2.7
1995 4 92.4 16.0 3.7
1996 5 110.7 18.3 2.3
1997 6 132.2 21.5 3.2
1998 7 156.6 24.4 2.9
1999 8 183.6 27.0 2.6
2000 9 214.0 30.4 3.4
中位项数
因为时间序列的项数 N=9,所以选择三项加权平均的三点法估计参数。
时间数列的中位项数 d =（ N+1）? 2=5。
参数值
根据式（ 5-14）、（ 5-15）、（ 5-16）得：
0 3 4 4.48a?
4 4 5 4.5b?
4 5 2 8.1c?
二次曲线预测模：
2
t t4528.1t4454.50344.48Y
预测
2003年时,t=12,所以预测 2003年水产品的收购量：
)(5824.322 Y? 12 千吨?
第三节 指数曲线模型预测法
一、指数曲线模型
二、指数曲线模型的建立一、指数曲线模型
指数曲线的预测模型为：
b? a?Y? tt?
模型的特点：
环比发展数度为常数。即：
b?
b?a?
b?a?
Y?
Y?
1t
t
1-t
t
可化为对数线性模型：
1 8 )-(5 b? lg ta?lgY? lg t
二、指数曲线模型的建立
指数曲线模型中的参数可通过最小平方法或三点法得到。
本节利用最小平方法建立指数曲线模型。
根据最小二乘准则，有：
20)-(5
t
l g Y t
b? lg
19)-(5
N
l g Y
a? lg
2
t
t
求解参数
22)-(5 10b?
21)-(5 10a?
b? lg
a? lg
例 5-3
,1989年以来某地居民储蓄存款余额数据如表 5-4所示。试预测该地居民 2001年的储蓄存款余额。
分析
分析时间序列的环比发展速度，可见各环比发展速度值大体相等，因此采用指数曲线模型进行预测。
经过计算得到：
t2=572，
lgYt=17.01，
t lgYt=35.67。
表 5-4 分析计算表年份 t 存款余额 Yt 环比发展速度 (%) t2 lgYt tlgYt
1989 -11 5.67 121 0.75 -8.29
1990 -9 7.09 125 81 0.85 -7.66
1991 -7 9.56 135 49 0.98 -6.86
1992 -5 13.07 137 25 1.12 -5.81
1993 -3 16.75 128 9 1.22 -3.67
1994 -1 21.62 129 1 1.33 -1.33
1995 1 28.34 131 1 1.45 1.45
1996 3 39.86 141 9 1.60 4.80
1997 5 54.16 136 25 1.73 8.67
1998 7 74.84 138 49 1.87 13.12
1999 9 94.38 126 81 1.97 17.77
2000 11 129.94 138 121 2.11 23.25
572 17.01 35.67
估计参数
1,1 5 4 5 10 10b?
1 5 17.261010a?
0,0 6 2 4b? lg
4 1 7 5.1 a? lg
建立指数曲线模型：
t
t 1 5 4 5.11 5 1 7.26Y
预测
2001年时,t=13,所以预测 2001年居民储蓄存款余额：
)(2 8 6 0.1 6 91 5 4 5.11 5 1 7.26Y? 1313 亿元
配合适当的数学模型，外推预测未来的趋势值。
本章学习目的与要求通过本章的学习，掌握各种 长期趋势变动 的 预测 方法 。
本章学习重点和难点重点是 直线趋势模型预测法 ;
难点是二次曲线模型预测法 。
本章内容提示第一节 直线趋势模型预测法第二节 二次曲线模型预测法第三节 指数曲线模型预测法第一节 直线趋势模型预测法一、直线趋势模型二、直线趋势模型的建立一、直线趋势模型
当时间序列的发展趋势呈线性时，可采用直线趋势模型进行预测。
直线趋势模型为：
t b?a?Y?
t
直线趋势模型的特点
。
为一常数，即：一阶差分
b?Y?-Y?Y?
Y?
1-ttt
t
分析
因此，当时间序列的一阶差分?Yt近似为一常数时，或其散点图呈直线趋势，利用直线趋势模型预测可以得到理想的结果。
二、直线趋势模型的建立
直线趋势模型建立的关键是根据时间序列资料估计各参数的值。常用的方法有最小平方法、折扣最小平方法等。
本节将介绍最小平方法。
最小平方法的基本原则
同回归分析预测法中的最小二乘法一样，这里所介绍的最小平方法的基本原则是在使时间序列的剩余平方和最小的基础上，估计各参数的值。
最小平方法的估计式
模型中作为自变量的 t,其值是可以设定的等差数列。通过设定 t数列的值，使
t=0,得到参数估计式：
）（
）（
75
t
t Y
b?
65
N
Y
a?
2
t
t
t值的确定方法
为了使?t =0,对 t值的确定可采用以下方法：
(1)当时间序列的项数为奇数时,设中位数为零,等差为 1,建立 t的时间序列。即取 t的值为 …,-2,-1,0,1,2,… ；
(2)当时间序列的项数为偶数时,设中位两数的值分别为 -1和 1,等差为 2,建立 t的时间序列。即取 t的值为 …,-5,-3,-1,1，
3,5,… 。
例 5-1
某地 1992-2000年化肥销售量如表 5-1所示，试用最小平方法预测 2004年该地的化肥销售量。
表 5-1 单位：吨年份 销售量 一阶差分
Y?Y
1992 265
1993 297 32
1994 333 36
1995 370 37
1996 405 35
1997 443 38
1998 474 31
1999 508 34
2000 541 33
解：
计算时间序列的一阶差分，列于表 5-1中。
从一阶差分的值来看，大体接近，可以选用直线趋势模型进行预测。模型为：
t b?a?Y?
t
t值的确定
时间序列的项数 N=9,赋变量 t对应于中位项（ 1996年）的值为零，等差为 1，建立 t的时间序列，各值列于表 5-2。
表 5-2(部分 ) 计算表年份 t
1992 -4
1993 -3
1994 -2
1995 -1
1996 0
1997 1
1998 2
1999 3
2000 4
0
计算?Yt,?tYt,?t2
分别计算?Yt,?tYt,?t2,计算过程见表
5-2。
Yt =3636
tYt=2092
t2=60
表 5-2 计算表年份 t Yt tYt t2
1992 -4 265 -1060 16
1993 -3 297 -891 9
1994 -2 333 -666 4
1995 -1 370 -370 1
1996 0 405 0 0
1997 1 443 443 1
1998 2 474 948 4
1999 3 508 1524 9
2000 4 541 2160 16
0 3636 2092 60
根据式（ 5-6）、（ 5-7），得：
87.34
60
2092
b?
404
9
3636
a?
预测
2004年时,t=8,预测 2004年的销售量为：
)(93.6 8 2887.344 0 4Y? 8 吨
第二节 二次曲线模型预测法一、二次曲线预测模型二、二次曲线模型的建立一、二次曲线预测模型
二次曲线预测模型为：
8)-(5 t c?t b?a?Y? 2t
模型的特点
该模型的特点是二阶差分为常数。
当时间序列的二阶差分?2Yt近似为常数时，或其散点图近似上凸或下凹的曲线时，可利用二次曲线模型来预测。
二、二次曲线模型的建立
建立二次曲线模型的关键是根据时间序列资料估计参数的值。
常用的方法有最小平方法、三点法等。
本节介绍利用三点法建立二次曲线模型。
参数估计的基本步骤
在时间序列资料中选取三个代表点；
根据三个点的坐标值建立由三个二次曲线方程组成的联立方程组；求解方程组得到三个参数值。
1.选点
当时间序列的项数 N为奇数时，并且
N?15时，在时间序列的首尾两端及正中各取五项，分别求出加权平均数，权数根据时期的远近，分别取 1、
2,3,4,5，以加重近期信息在平均数中的比重。
选点
当时间序列的项数为奇数时，并且
9?N<15时，在时间序列的首尾两端及正中各取三项，，权数根据时期的远近，分别取 1,2,3，分别求出三个加权平均数。
选点
当时间序列的项数为偶数时，可去掉第一项，余下按项数为奇数时处理。
求加权平均数
设由远及近的三点坐标分别为：
。，,)Y,t(M)Y,t(M)Y,t(M 333222111
五项加权平均数的计算式
即五项加权平均时，三个点的坐标为：
。，,)Y,34N(M )Y,672N(M )Y,311(M 332211
三项加权平均数的计算式
三项加权平均时，三个点的坐标为：
。，,)Y,32N(M )Y,652N(M )Y,37(M 332211
2.建立方程组
）下联立方程组，见：式建立如对应于三项加权平均可下联立方程组，见：式建立如对应于五项加权平均可
10-(5
9)-(5
3.求解参数 （五项加权平均）
）13-(5 c?
9
1 2 1
b
3
11
Ya?
1 2 )-(5 c?
3
7N3
5N
YY
b
1 1 )-(5
5)(N
)YY2Y2(
c?
1
13
2
321
求解参数 （三项加权平均）
1 6 )-(5 c?
9
49
b
3
7
Ya?
1 5 )-(5 c?
3
5N3
3N
YY
b
1 4 )-(5
3)(N
)YY2Y2(
c?
1
13
2
321
例 5-2
某地 1992-2000年水产品的收购量如表 5-3所示，试用三点法预测 2003年该地水产品的收购量。
解：
根据时间序列资料计算一阶差分和二阶差分。从计算结果看，二阶差分序列要比一阶差分序列平稳。因此，建立二次曲线模型。
表 5-3 水产品收购量 单位：千吨年份 t Yt?Yt?2Yt
1992 1 54.5
1993 2 64.1 9.6
1994 3 76.4 12.3 2.7
1995 4 92.4 16.0 3.7
1996 5 110.7 18.3 2.3
1997 6 132.2 21.5 3.2
1998 7 156.6 24.4 2.9
1999 8 183.6 27.0 2.6
2000 9 214.0 30.4 3.4
中位项数
因为时间序列的项数 N=9,所以选择三项加权平均的三点法估计参数。
时间数列的中位项数 d =（ N+1）? 2=5。
参数值
根据式（ 5-14）、（ 5-15）、（ 5-16）得：
0 3 4 4.48a?
4 4 5 4.5b?
4 5 2 8.1c?
二次曲线预测模：
2
t t4528.1t4454.50344.48Y
预测
2003年时,t=12,所以预测 2003年水产品的收购量：
)(5824.322 Y? 12 千吨?
第三节 指数曲线模型预测法
一、指数曲线模型
二、指数曲线模型的建立一、指数曲线模型
指数曲线的预测模型为：
b? a?Y? tt?
模型的特点：
环比发展数度为常数。即：
b?
b?a?
b?a?
Y?
Y?
1t
t
1-t
t
可化为对数线性模型：
1 8 )-(5 b? lg ta?lgY? lg t
二、指数曲线模型的建立
指数曲线模型中的参数可通过最小平方法或三点法得到。
本节利用最小平方法建立指数曲线模型。
根据最小二乘准则，有：
20)-(5
t
l g Y t
b? lg
19)-(5
N
l g Y
a? lg
2
t
t
求解参数
22)-(5 10b?
21)-(5 10a?
b? lg
a? lg
例 5-3
,1989年以来某地居民储蓄存款余额数据如表 5-4所示。试预测该地居民 2001年的储蓄存款余额。
分析
分析时间序列的环比发展速度，可见各环比发展速度值大体相等，因此采用指数曲线模型进行预测。
经过计算得到：
t2=572，
lgYt=17.01，
t lgYt=35.67。
表 5-4 分析计算表年份 t 存款余额 Yt 环比发展速度 (%) t2 lgYt tlgYt
1989 -11 5.67 121 0.75 -8.29
1990 -9 7.09 125 81 0.85 -7.66
1991 -7 9.56 135 49 0.98 -6.86
1992 -5 13.07 137 25 1.12 -5.81
1993 -3 16.75 128 9 1.22 -3.67
1994 -1 21.62 129 1 1.33 -1.33
1995 1 28.34 131 1 1.45 1.45
1996 3 39.86 141 9 1.60 4.80
1997 5 54.16 136 25 1.73 8.67
1998 7 74.84 138 49 1.87 13.12
1999 9 94.38 126 81 1.97 17.77
2000 11 129.94 138 121 2.11 23.25
572 17.01 35.67
估计参数
1,1 5 4 5 10 10b?
1 5 17.261010a?
0,0 6 2 4b? lg
4 1 7 5.1 a? lg
建立指数曲线模型：
t
t 1 5 4 5.11 5 1 7.26Y
预测
2001年时,t=13,所以预测 2001年居民储蓄存款余额：
)(2 8 6 0.1 6 91 5 4 5.11 5 1 7.26Y? 1313 亿元
