机构的运动分析 —根据原动件的已知运动规律求该机构其他构件某些点的位移、轨迹、速度和角加速度，以及这些构件的角位移、角速度和角加速度。
§ 3-1 机构运动分析的目的和方法位移或轨迹的分析,可以确定某些构件在运动时所需的空间。判断当机构运动时各构件之间是否会互相干涉。确定从动件行程，考察某点能否实现预定的位置或轨迹要求等。
速度分析,了解从动件速度变化规律，能否满足工作要求。例如：牛头刨床。
另外，功率 =F× V。通过分析 V，了解力 F
变化规律。例：汽车上坡，牵引力 ↑,V↓。
又,V分析是 a分析的前提。
加速度分析,了解加速度变化规律，计算惯性力，研究动力性能。
运动分析法,图解法和解析法。
｛图解法,速度瞬心法矢量方程图解法
§ 3-2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
1、速度瞬心由理力知，当两构件 1,2作平面相对运动时在任一瞬时，都可以认为它们绕某一点作相对转动，而该点则称为瞬时速度中心，简称瞬心。
P12（ P21）
瞬心 －互相作平面相对运动的两构件上，
瞬时相对速度为零的点（等速重合点）。
Pij
绝对瞬心,P12点绝对速度为零相对瞬心,P12点绝对速度不为零｛
2、机构中瞬心的数目因为每两个构件就有一个瞬心，所以由 N个构件（含机架）组成的机构，
其总的瞬心数，根据排列组合的知识为
k=N× （ N-1） /2
3、机构中瞬心位置的确定
3.1 通过运动副直接相联的构件的瞬心。
1）以转动副相连的两构件如图所示转动副的中心即为其瞬心 P12。
2）以移动副相联结的两构件，如图所示因两构件件任一重合点的相对速度方向均平行于导路，故其瞬心 P12必位于移动副导路的垂直方向上的无穷远处。
3）平面高副相连接的构件如图 A所示如果两高副之间为纯滚动
（ ω12为相对滚动的角速度），则其两元素的接触点 M即为瞬心 P12；A
B
如图 B所示如果两高副元素之间既作相对滚动，又有相对滑动（ VM1M2
为两元素接触点处地相对滑动速度），
则瞬心 P12必位于高副两元素在接触点处的公法线 nn上，具体位置尚需根据其他条件来确定。
3.2 用三心定理确定两构件的瞬心三心定理 — 三个彼此作平面平行运动的构件的瞬心必位于同一条直线上。 设构件 1、
2,3为彼此作平面平行运动的三个构件，
它们共有 3× 2/2=3个瞬心，即 P12,P13,P23。其中 P12,P13 分别处于两转动副的中心处,故可直接求出，现证明 P23必位于 P12及 P13的连线上 。
证明,设构件 1固定，于是 2及 3上任一点的速度必分别与该点至 P12取及 P13的连线相垂直。如图所示，则任取一重合点 k，则 和 的方向显然不同，而瞬心 P23应是构 2与 3的等速重合点，
故 P23必定不在 K点 只有当 P23位于 P12和 P13的连线上时构件 2重合点的速度方向才能一致，故知
P23与 P13必在同一直线上。
2KV 3KV
例,求平面四杆机构图 3— 5图示位置时全 部瞬心。 N=4,K=6，即 P12,P13,P14,
P23,P24,P34其中 P12,P23,P34,P14分别为四个转动副的中心直接定出。而 P13,P24由三心定理求出。
＜13P
34P ＜
P12,P23
P14,P34
P12,P14
P23,P34
4、速度瞬心在机构速度分析中的应用利用速度瞬心对某些机构进行速度分析既直观，又方便。现举例说明如下。
例 1、图 3—5所示平面四杆机构中已知各构件尺寸，又知原动件 2以角速度 ω2沿顺时针方向回转，现需确定机构在图示位置时从动件 4的角速度 ω4。
解：此题应用速度瞬心极为方便，因为已知瞬心 P24为构件 2及构件 4的等速重合点，
故得,
LL PPPP 2414424122?
式中,为机构的 尺寸比例尺,它是构件的真实长度与图示长度之比。
单位为 m/mm。由上式可得
L?
2414241224 / PPPP
2412241442 // PPPP
或 （３ —２） 图３－５
式（３ — ２）中 ω2 /ω4为 该机构的原动件 2与从动件 4的瞬时角速度之比，即为机构的传动比，等于该两构件的绝 对 瞬心
（ P12,P14）至其相对瞬心（ P24） 之距离的反比。
此关系适用于平面机构中任意两构件角速度之间的关系中 。
例２,曲柄滑块机构，已知各构件尺寸，又知原动件２的角速度 ω２,现需确定在 图 3－ 6所示位置从动件４的移动速度。
Lp PPvv 241224 24
此问题应用瞬心求解也十分方便。如图求得构件２和构件４的相对瞬心后Ｐ ２４,则因为该两构件的等速重合点，
故得从动件４的移动速度为图３－６
Lp PPvv 231223 23
例３：图３－７凸轮机构，已知各构件尺寸，又知原动件的角速度 ω2 。利用瞬心来确定从动件３的移动速度，同样十分方便。
如图所示，过高副元素的接触点
Ｋ作其公法线 nn，则由前述可知，
此公法线 nn与瞬心连线Ｐ １２ Ｐ １３
的交点即为构件 2与 ３ 的相对瞬心
Ｐ ２３ 。又因Ｐ ２３ 为两构件的等速重合点，故得从动件３的移动速度的大小为图３－７
一、矢量方程图解法的基本原理和作法
§ 3-3 用矢量方程图解法作机构的速度和加速度分析基本原理,相对运动合成原理，
列出机构运动的矢量方程，然后作图求解。
1、同一构件上两点间的速度、加速度的关系图 3— 8a所示曲柄滑块机构中，连杆
BC作平面运动，由运动合成原理可知此构件上任意一点 C的运动可认为是由其随同该构件上另一任意点的平动（牵连运动）与绕该点 的转动（相对运动）所合成。
图 3—8a
X
B
A
a B
B
v
E
D
X
Cv
C
Ca
因此 点 C的速度 为
VCB—点 C相对与点 B的相对速 度，大小 VCB= ωLBC,方向 ⊥ BC与
ω转向一致 。
点 C的加速度 为
cb
n
cbbcbbc aaaaaa
CV
CBBc vvv
Ca
cba
现设点 B的速度和加速度均为已知，今欲求点 C的速度 及加速度 （方向已知）求大小，图解法。
ncba 相对于 B的相对法向加速度 BC?
相对于 B的相对切向加速度与 α一致｛
CV Ca
BCla BCcb
CBBc vvv
方向 √ √ ⊥ BC
大小？？ 作图 3—8b
若求点 E的速度 则利用 B,E两点和 C、
E两点间的速度关系分别列方程。
Ev
ECcEBBE vvvvv
？？
一、求解速度图 3—8b
作图步骤：
pb pb
BV1、由任一点 p作平行于 的线段 代表,使 的长度等于
（其中 为速度比例尺，即图中
mmV VB?
v?
mmsm
2、过 b点作直线 bc垂直于线段 BC，
以代表 的方向线；CBV
CV
bcpc
3、从 p点作直线 pc平行于 xx方向，
以代表 的方向线，此两方向线相交于点 C，则 即代表,而即代表 。其大小分别为 CV
CBV
smpcv vc smbcv vcb
4,速度影像△ bce∽ △ BCE
BV
每单位长度所代表 的速度大小，其单位为 ；
p
b
p
b
c
p
b
c
b
c
e
X
B
A
a B
B
v
E
D
X
CvC
Ca
1,代表点 B的绝对速度
2,代表,方向 b→c。
pb
bc CBV
3、速度影像 △ bce∽ △ BCE
速度多边形（速度图） — 由各速度矢量构成的图形,P— 速度多边形的极点。
当已知构件上的两点的速度时，则该构件上其他任意一点的速度便可利用 速度影象的原理 求出。例如当作出 bc后，以 bc为底边作 △ bce∽ △ BCE,且两者的角标字母顺序一致，即可求得点 e,则 便代表,
pe BV
构件的角速度 ω的 大小 可由下式求得。
BC
bc
l
v
l
V
BC
CB
rad/s
构件的角速度 ω的 方向 可用下法确定,
将代表 的矢量 平移至机构中点 C上，
根据 的方向可知 ω为逆时针方向。CBv
CBv
bc
二、求解加速度,作图 3—8c
ECnECCEBnEBBE aaaaaaa
方向 √ E→B ⊥ BE √ E→C ⊥ BE
大小？？√ BEL2?
ECL2?
aE epa
作法同求
ca
cb
n
cbbcbbc aaaaaa
方向 √? √ C→B ⊥ BC
大小？？ √？
CBL2?
cpa ac 2sm
图 3—8c
作图步骤：
1、从任意点 p’作线段 p’b’平行于,且使 以代表 （其中 为 加速度
Ba
mmanb a
nCB
a
Babp
mms
m 2
Ba a?
比例尺,单位为 ；
2、过 b’作线段 平行于线段 BC，且其方向由点 C指向点 B，代表 ；
3、过 n作直线 nc’垂直于 BC代表 的方向线；
4、由点 p’作直线 p’c代表 的方向线，
与 的方向线交于点 c’则矢量 即代表,其大小为
CBa
tCBa
Ca
tCBa cp
Ca
5、作加速度影像△ bce ∽ △ BCE
X
B
A
a B
B
v
E
D
X
CvC
Ca
p'
b'
p'
b'
n
p'
b'
n
p'
b'
n
p'
b'
n
e'
n"
:p?
BC
cn
l
a
l
a
BC
CB
2srad
加速度多边形（加速度图）
极点加速度影像：△ bce∽ △ BCE
2、两构件重合点间的速度，加速度的关系图 3—9所示平面四杆机构中，构件 1与 2
组成移动副，点 C为此两构件上的一个重合点由运动合成原理知：构件 2上点 C的运动可认为是由构件 1上与其相重合点 C1的运动
（牵连运动）和点 C2相对于点 C1的相对运动所合成。
图 3—9
K
A
v
C1
a
C1
B
ω
1
1
2
C
(C 1,C 2,C 3 )
3
V
C2C1
1212 cccc vvv
大小？ √？
smpcv vc?22?
方向 ⊥ CD √ ∥ AB导路
33121212 c
n
c
r
cc
k
cccc aaaaaa
方向 √ ∥ AB导路 C→D ⊥ CD
大小 √ √？？
222 smpca ac
作图略
p
C1
2C
n'c'
k
P' c
2
K
A
v
C1a C1
B
ω
1
1
2
C
(C1,C2,C3)
3
V
C2C1
二,用矢量方程图解法作机构的速度和加速度分析已知：构件上一点的速度和加速度
（大小、方向）或者另一构件上与该预定点重合的点的速度和加速度（大小、方向）以及所求点的速度和加速度的方向就可用图解法求解。
例：图 3—10a所示偏心轮转动机构，其原动件 2绕轴 A以角速度 等速回转设机构的尺寸为已知、现需求机构在图示位置时，
滑块 5上点 E的速度,加速度 及连杆 3
2?
EV Ea
摇杆 4和导杆 6的角速度,,及角加速度,,。
4? 6?3?
3?
4? 6?
图 3—10a
解,1、绘机构运动简图，
2、速度分析
L?
4?
Bv Cv53 EE VV? 6Ev
3?
6?
根据矢量方程图解法求解机构上某点速度的条件可知，其速度求解的步骤应依次求出及,然后再求解及 。
smLv ABB 2
求解步骤：
1）求
BV
其方向垂直 AB，指向与 ω2的转向一致。
2）求 因点 C及 B为同一构件上的点，故得 CV
方向 ⊥ CD ⊥ AB ⊥ CB
大小？？
CBBc vvv
ABL2?
方向 ⊥ CD ⊥ AB ⊥ CB
大小？？
CBBc vvv
ABL2?
作图步骤
1、取点 p作为速度多边形的极点,并 作代表,则速度比例尺 。
2、分别自点 b,p作垂直于 BC，
CD的直线 bc,pc，代表,
的方向线，两线交于点 c，则矢量 和 即分别代表 和,
于是得
pb BV
mms
m
pbV BV
CBV CV
pc bc
CV CBV
smpcV VC
3）求 由于点 E3与点同属构件 3上的点，而且,已知，故可利用速度影象法求得 。如右图所示，以 为一边作△ bce3∽ △ BCE，且角标顺序一致，则矢量即代表 。 故得
3E
V
CVBV
3EV bc
3pe
3EV smpeV 3V
3E
4）求 因 E5与 E3为铰接点，故,而 E6与 E5为两构件上的重合点，故得
6E
V
35 EE
VV?
5656 EEE
VVV E
方向 √ ∥ xx
大小？？
EF?
式中仅 及的大小未知，故可作图求解。 步骤,6EV
1、由点 e5作 的方向线 e5e6平行于导路 xx；
2、由点 p作 的方向线 pe6垂直于 EF，
两方向线交于点 e6，则矢量 和即分别代表 和,于是得
56EEV
6EV
6pe 56ee
6EV 56EEV
66 peV VE sm
逆时针逆时针
BC
V
BC
CB
L
bc
L
V
3 s
ra d
CD
V
CD
C
L
pc
L
V
4
sra d
EF
V
EF
E
L
pe
L
V
6
6
6
sra d 逆时针
5）求由上述求角速度的方法可得
3? 4? 6?
3,加速度分析
Ba Ca
53 EE
aa?
6E
a
3? 4? 6?
2sm ABnBAB Laa 22
与速度分析相同，其加速度求解的步骤也是先求出 及,然后再求解 及 。
求解步骤：
1）求
Ba
方向由 B指向 A。
n
CBCBB
n
CDCDC aaaaaa
方向,⊥ CD C→ D B→ A ⊥ CB C→ B
大小,？ √？CDL24?
ABL
2
2?
式中仅有和的大小未知，故可用作图法求解，如图所示取点 p’作为加速度多边形的极点，并作 代表,则加速度比例尺,
然后按上式作图，可求得 代表,而其大小为
bp
Ba
mms
m
bpa Ba
2
2smcpa aC
cp
Ca
3）求
6Ea
与速度分析一样，可利用加速度影象求得 。如图所示，以 为一边作
△ c’b’e’3∽ △ CBE，且字母角标顺序一致，则 即代表,即
3Ea
cb
3ep
3Ea 233 smepa aE
4、求
6Ea
26?EFl
由 E6点分别相对于 F点和 E5
点的相对运动关系，可得
r EEk EEEt FEn FEE aaaaaa
56565666
方向,E→ F ⊥ EF √ ⊥ xx ∥ xx
大小,？ √ √？
式中
256665 222 565656 smeeVVa vEEEEk EE因在式中只有 及 的大小未知，
故可用作图法求解。如图所示。则矢量,及 将分别代表
t FEa
6 rEEa 56
66en 6ek 6ep t FEa6
rEEa
56
6Ea
即
266 smepa aE
（顺时针）
（顺时针）
BC
a
BC
CB
L
cn
L
a 3
3
2srad
CD
a
CD
CD
L
cn
L
a 4
4
2srad
EF
a
EF
FE
L
en
L
a
66
6
6
2srad
（顺时针）
5）求根据前述求构件角速度的方法可得
3? 4? 6?
第四节 用解析法对平面连杆机构作速度和加速度分析
⒈ 基本方法随着现代数学工具日益完善和计算机的飞速发展，快速、精确的解析法已占据了主导地位，
并具有广阔的应用前景。目前正在应用的运动分析解析法，由于所用的数学工具不同，其方法名称也不同，如复数矢量法、矩阵法、矢量方程法等。这些方法只是使用不同的数学工具而并未涉及机构运动分析的本质，按机构运动分析本质的不同可分为以下三类：
⑴ 针对不同机构建立适合该种机构的数学模型。
此种方法编程简单，但每种机构都要单独重新编程，所以通用性差。
⑵把机构视为一个质点系，对各运动副间以杆长为约束建立非线性方程组，进行位置求解，
而后再求解速度和加速度，该方法通用性很强，
但计算程序复杂庞大。
⑶ 根据第二章机构组成原理，机构可由 Ⅰ 级机构＋基本杆组组成，当给定 Ⅰ 级机构的运动规律后，机构中各基本杆组的运动是确定、可解的。因此机构的运动分析可从 Ⅰ 级机构开始，
通过逐次求解各基本杆组来完成。这样，把 Ⅰ
级机构和各类基本杆组看成各自独立的单元，
分别建立其运动分析的数学模型，然后再编制成通用子程序，对其位置、速度及加速度和角速度、角加速度等运动参数进行求解。
当对具体机构进行运动分析时，可以通过调用原动件和机构中所需的基本杆组的通用子程序来解决，这样，可快速求解出各杆件及其上各点的运动参数。这种方法称为杆组法。对各种不同类型的连杆机构都适用。
在生产实际中，应用最多的是 Ⅱ 级机构,Ⅲ 级和 Ⅳ 级机构应用较少，本书只讨论 Ⅱ 级机构运动分析问题。 Ⅱ 级机构是由 Ⅰ 级机构＋ Ⅱ 级机构组成的。 Ⅱ 级机构只有表２－３中的五种类型，本章只介绍单一构件（ Ⅰ 级机构）和ＲＲ
Ｐ Ⅱ 级杆组运动分析的数学模型，其余几种常用 Ⅱ 级组在附录 Ⅰ 中给予介绍，关于这些 Ⅱ 级杆组运动分析的具体子程序参见相关文献。
⒉ 杆组法运动分析的数学模型
⑴ 同一构件上点的运动分析 同一构件上点的运动分析，是指已知该构件上一点的运动参数（位置、速度和加速度）和构件角位置、角速度和角加速度以及以知点到所求点的距离，求同一构件上任意点的位置、速度和加速度。
如图３－４０所示的构件ＡＢ，若已知运动副Ａ
的位置,,速度,,加速度,和构件的角位置,角速度,角加速度 及所求点Ｂ到已知点Ａ的距离,求Ｂ点的位置、速度和加速度。这种运动分析常用于求解原动件（ Ⅰ 级机构）、连杆和摇杆上点的运动。
Ax Ay?Ax? AxA
y
Ay
i? i i
ilAB?
图见下页图３－４０
１）位置分析。由图３－４０可得所求点Ｂ的矢量方程
iAB lrr
133
s i n
c o s
iiAB
iiAB
lyy
lxx
在ｘ、ｙ轴上的投影方程为
２）速度和加速度分析。将公式（３
－１３）对时间ｔ求导，即可得出速度方程（３－１４）
iiiAB
t
y
iiiAB
t
x
lyy
d
d
lxx
d
d
B
B
c o s
s i n
iiiiiiAB
t
y
iiiiiiAB
t
x
llyy
d
d
llxx
d
d
B
B
c o ss i n
s i nc o s
2
2
2
2
2
2
再将（３－１４）式对时间ｔ求导，
即可得出加速度方程
2
2
,
t
ii
t
i d
d
d
d
ii
上两式中：
分别是构件的角速度和角加速度。
Ax Ay?Ax?
Ax
Ay
Ay
3 6 00 i?
3 6 0?i?
若点Ａ为固定转动副（与机架相固联），
即,为常数，则该点的速度,和加速度,均为零，此时构件ＡＢ和机架组成 Ⅰ 级机构。若,Ｂ点相当于摇杆上的点；若 （ＡＢ整周回转 ），Ｂ点相当曲柄上的点。若Ａ点不固定时，构件ＡＢ就相当于作平面运动的连杆。
⑵ ＲＲＲ Ⅱ 级杆组的运动分析 对于 Ⅱ 级杆组的运动分析，与前面运动方程式的推导类似，
只要列出位置方程和角位移方程，一次微导后得出速度和角速度方程。若再次求导，就可以得到速度和加速度方程。这里不作详细推导，只给出ＲＲＲ Ⅱ 级杆组的运动分析基本公式，具体推导及通用子程序和应用例题参看相应的书籍。
图３－４１（ 见下页 ）所示是由三个转动副和两个构件组成的 Ⅱ 级组。已知两杆长,和两个外运动副Ｂ、Ｄ的位置速度 和加速度
il jl
DDBB yxyx,，、
DDBB yxyx,，、
DDBB yxyx,，、
图３－４１
求内副Ｃ的位置,速度,
加速度 以及两杆的角位置角速度 和角加速度 。
CC yx,CC yx,
CC yx,ji,
ji,
ji,
１）位置方程。内副Ｃ的矢量方程为：
jDiBC lrlrr
由其在ｘ、ｙ轴上投影，可得内副Ｃ的位置方程（３－１６）：
jiDiiBC
jjDiiBC
lylyy
lxlxx
s i ns i n
c o sc o s
为求解式（３－１６），应先求出 或 角，
将上式移项后分别平方相加，消去 得：
1630s i nc os 000 CBA ii
i? j?
j?
式中,
222
0
0
0
2
2
jBDi
BDi
BDi
lllC
yylB
xxlA
其中 22
BDBDBD yyxxl
为保证机构的装配，必须同时满足
jiBDjiBD llllll 和解三角方程 可求得,（３－１７） 163
i?
00
2
0
2
0
2
00a r c t a n2
CA
CBAB
i?
公式（３－１７）中，“＋”表示Ｂ、Ｃ、Ｄ
三运副顺时针排列（图３－４１中的实线位置），“－”表示Ｂ、Ｃ、Ｄ为逆时针排列
（虚线位置）。它表示已知两外副Ｂ、Ｄ的位置和杆长,后，该杆组可有两种位置。 i
l jl
代入式（３－１６）可得,,而后即可按下式求得 （３－１ 8）
i?
Cx Cy
j?
DC
DC
j
xx
yy
ar ct an?
２）速度方程。将（３－１６）对时间求导可得两杆角速度,为：（３－１９）
i? j?
1
1
/
/
GyySxxC
GyySxxC
BDiBDijj
BDjBDjii
式中：
jjjjjj
iiiiii
ijji
lSlC
lSlC
SCSCG
s i n,c o s
s i n,c o s
1
内运动副Ｃ点的速度,为（３
－２０） Cxv Cyv
jjjDiiiBCCy
jjjDiiiBCCx
lylyyv
lxlxxv
c o sc o s
s i ns i n
３）加速度方程。两杆角加速度,为：
i? j?
132
132
/
/
GSGCG
GSGCG
iijj
jjii
（３－２ 1）
式中：
jjiiBD
jjiiBD
SSyyG
CCxxG
22
3
22
2
内运动副Ｃ的加速度,为：（３－２２）
Cxa Cya
iiiiiiBCCy
iiiiiiBCCx
llyya
llxxa
s i nc o s
c o ss i n
2
2
⑶ ＲＲＲ Ⅱ 级杆组运动分析 ＲＲＲ Ⅱ
级组是由两个构件和两个回转副及一外移动副组成的（见图３－４２）。
图３－４２
已知两杆分别为 和 （ 杆垂直滑块导路）、
外回转副Ｂ的参数,
滑块导路方向角 和计算位移ｓ时参考点的位置
il jl
BBBBBB yxyxyx,、、,,
j?
jl
KK yx,,若导路运动（如导杆），还必须给出Ｋ点和导路的运动参数
jjKKKKKK yxyxyx,、、、,,,
求内运动副Ｃ的运动参数
CCCCCC yxyxyx,、、,,
１）位置方程。内回转副Ｃ的位置方程（ 3-２３）
jijKiiBC
jjjKiiBC
lsylyy
lsxlxx
c o ss i ns i n
s i nc o sc o s
消去上式中的ｓ，得：
jKBjKB
j
i
j
i
yyxxA
l
lA
co ss i n
ar cs i n
0
0
式中为保证机构能够存在，应满足装配条件
ij llA0
i? CC yx,
jjjKC
jjjKC
lyy
lxxs
s i n/c o s
c o s/s i n
求得 后，可按式（３－２３）求得,
而后即可求得滑块的位移ｓ（３－２４）
滑块Ｄ点的位置方程
253
s i n
c o s
jKD
jKD
syy
sxx
２）速度方程。 的角速度 和滑块Ｄ沿导路的移动速度 il i?
Dv
273/s i nc o s
263/c o ss i n
321
321
QlQlQsv
QQQ
iiiiD
jjii
jiijii
jjjjBK
jjjjBK
llQ
lsyyQ
lsxxQ
c o sc o ss i ns i n
s i nc o s
c o ss i n:
3
2
1
式中内回转副Ｃ的速度
CyCx vv,
iiiBCCy
iiiBCCx
lyyv
lxxv
c o s
s i n
外移动副Ｄ的速度（３－２９）
jjjKDDy
jjjKDDx
ssyyv
ssxxv
c o ss i n
s i nc o s
３）加速度方程。 杆的角加速度 和滑块沿导路移动加速度 il i
s?
303/s i nc o s
/c o ss i n
354
354?
QlQlQs
QQQ
iiii
jjii
jjjjjj
jjjjiiiBK
sls
lslxxQ
s i n2s i nc o s
c o ss i nc o s
:
2
2
4
式中
jjjjjj
jjjjiiiBK
sls
lslyyQ
c o s2c o ss i n
s i nc o ss i n
2
2
5
内回转副Ｃ点加速度
CyCx aa,
iiiiiiBCCy
iiiiiiBCCx
llyya
llxxa
s i nc o s
c o ss i n
2
2
滑块上Ｄ点的加速度
DyDx aa,
jjjj
jjjKDDy
jjjj
jjjKDDx
ss
ssyya
ss
ssxxa
c o s2c o s
c o ss i n
s i n2c o s
s i nc o s
2
2
（３－３１）
（３－３２）
⒊ 运动分析实例例 3-1 在图 3-43所示的六杆机构中，已知各杆长 lAB=100mm,lBC=300mm,lCD=250mm,
lBE=300mm,lAD=250mm,lEF=400mm,H=350mm,
=30,曲柄 AB的角速度 ω 1=10rad/s。求滑块 F
点的位移、速度和加速度。
图见下页图３－４３
该六杆机构是由 Ⅰ 级机构 AB,RRRⅡ 级基本组
BCD和 RRPⅡ 级基本组 EF 组成。
2.求解步骤解,1.划分基本杆组
1)调用 Ⅱ 级机构 AB子程序，即已知构件上 A点运动参数，求同一构件上点 B(回转副 )的运动参数。
(程序中此时 δ =0,A点与机架固联 )。
2)在 RRRⅡ 级杆组 BCD中已知 B,D两点运动参数后，调用 RRR基本组子程序求解内运动副 C点运动参数 和杆件 2,3
的角运动参数
3)E点相当 BC杆 (同一构件 )上的点，在已知 C点
(或 B点 )的运动参数情况下，调用求同一构件上点的运动分析子程序 (与 I级机构相同，此时 δ≠0 )，
求出 E点的运动参数。
CCCCCC yxyxyx,、、,,
323232,,,、、
综合以上分析，可见，只要是由前面介绍的 Ⅰ 级机构和 Ⅱ 级基本杆组组成的各种平面机构，均能通过计算机灵活的调用各杆组子程序，并快速得到机构运动分析结果 (画面运动线图 )，具体程参见有关文献，其计算结果表 3-1所示。
4)再调用 RRPⅡ 级基本组 EF子程序求出滑块 F的位移、速度和加速度。
曲柄转角
φ1
滑块位置
x６ y６
滑块位移
s／ mm
速度
V/(m/s)
加速度
a/(m/s2)
0.00
30.00
60.00
.
.
.
300.00
330.00
360.00
516.40 350.00
591.64 350.00
592.74 350.00
.,
.,
.,
325.24 350.00
401.96 350.00
516.40 350.00
516.40
591.64
592.74
.
.
.
325.24
401.96
516.40
2.11
0.67
-0.50
.
.
.
0.97
1.96
2.11
16.71
-29.02
-15.57
.
.
.
18.11
16.92
-16.71
表３－１ 例３－１计算结果第五节 平面连杆机构动态静力分析的数学模型
⒈ ＲＲＲ Ⅱ 级组的力分析图３－４１为ＲＲＲ Ⅱ 级杆组，为进行受力分析，将其内运动副Ｃ拆开，受力情况参见图３－４４。
图３－４４
已知：构件长 和,运动副Ｂ、Ｃ、Ｄ 和两杆件质心,的位置和运动参数；构件的质量,及转动惯量,；作用在构件质心上的外力,和,（可将作用于任意位置的外力转换到质心处）；外力矩,。
il jl
iS jS
im jm iJ jJ
iT jT
PxiF PyiF PxjF PyjF
求,各 运 动 副 的 反 力
R y DR x DR y CR x CR y BR x B FFFFFF,、、,,
解：⑴计算构件上的已知外力（力矩）首先按给定的各构件质量ｍ和转动惯量Ｊ，求出惯性力和,惯性力矩,再将它们与已知外力（令所有的已知外力作用于构件的质心处）合并，则可得出作用在 杆上的合外力,,合外力矩 （图３－４４），即
xm
ym ym
il xiF yiF
fiM
3338.9?
iiifi
iSiiP y iyi
SiiP x ixi
JTM
mymFF
xmFF
作用在 杆上的合外力,和合外力矩为,jl xjF yjF
fjM
3438.9?
jjjfj
jSjiP y jyj
SjjP x jxj
JTM
mymFF
xmFF
⑵ 求解各运动副中的约束反力 分别以 为平衡对象，可得以下平衡方程 ∑Ｆ
＝０
353
0
0
0
0
yjR y DR y C
xjR x DR y B
yiR y CR y B
xiR x CR x B
FFF
FFF
FFF
FFF
RyRx FF,
ji ll,
363
0MxyF
xxFyyF
0MxyF
xxFyyF
0M,0M
fjDsjxj
DCR yCDCR xC
fiBsixi
BCR yBBCR xC
DB
解方程（３－３６）可得
373GG/yyFTyyFTF
GG/xxFTxxFTF
BCjDCiR yC
BCjDCiR xC?
BCDCBCDC
fjDsjyjDsjxjj
fiBsiyiBsixii
xxyyyyxxGG
MxxFyyFFT
MxxFyyFFT
式中将式（３－３７）中求得的 代入公式（３－３５）中，得
383?
yjR x CR y D
xjR x CR x D
yiR x CR y B
xiR x CR x B
FFF
FFF
FFF
FFF
R y CR x C FF,
⑶ 三副构件上已知外力的计算 在实际机构中经常有一个构上有三个运副的情况，
如图３－４５中构件３（ＤＥ杆代号ｊ）
按力分析规定，将作用在各构件上的已知外力均作用于构件的质心处，这就必须将三副杆上Ｅ点的已知外力折算到质心处，利用公式（３－３３） 可得构件ｊ的已知外力求解方程：（３－３９）
jjSjEjR y E jSjEjR x E jjfj
jSjjR y E jP y jyj
SjjR x E jP x jxj
JxxFyyFTM
mymFFF
xmFFF
8.9
图见下页图３－４５
⒉ ＲＲＰ Ⅱ 级组的力分析图３－４２所示ＲＲＰ Ⅱ 级杆组，为对其进行受力分析，
将其在运动副Ｃ处拆开，受力情况如图３－４６所示。
图３－４６
已知：两构件长,质心位置及位移参考点Ｋ、构件质量 及转动惯量 作用在构件质心上的外力外力矩,
求：各运动副的反力
ji ll,
ji ll,
ji ll,
ji SS,
,,P y jP x jP y iP x i FFFF,、
ji TT,
RDRBRC FFF,、
解,１）应用式（３－３３）、（３－３４）
求出作用在构件质心处的合外力
、,P y iP x i FF
P y jP x j FF,
及力矩 和 。
fiM fjM
２）求各运动副的反力 。分别以构件ｉ和ｊ为平衡对象，得以下力平衡方程（参见图３－４６） ∑Ｆ＝０
RDRBRC FFF,、
图见下页图３－４６
403
0Fc o sFF
0Fs i nFF
0FFF
0FFF
yjjRDR yC
xjjRDR xC
yiR yCR yB
xiR xCR xB
413
0MTTxxFyyF
0TxxF
yyFxxFyyF
0M,0M
jSjCyjSjCxj
iSiCyi
SiCxiBCR y BBCR x B
CC
联立解（３－４１）方程，得（３－４２）
jBCjBC
BCyjyiBCxjxi
RD s i nyyc osxx
FTxxFFyyFF
F
iSiCyiSiCxi TxxFyyFFT式中：
将 式代入（３－４０），得（３－４
３） RDF
yiyjjRDR yB
xixjjRDR xB
yjjRDR yC
xjjRDR xC
FFc o sFF
FFs i nFF
Fc o sFF
Fs i nFF
由于移动副中约束反力 的大小和作用点均未知，前面已设定 的作用点通过移动副中Ｄ点，为使力系平衡，必须还有一项力矩
ＭＴ存在。由公式（３－４１）可得：
（３－４４）
RDF
RDF
jSjCxjSjCyi TyyFxxFMT
⒊ 单一构件的力分析由前面机构组成原理可知，一个机构不但可拆成自由度为零的基本杆组，还有 Ⅰ 级机构
（通常为原动件）。为通用性强，下面研究单一构件力分析。参见图３－４７，可列出如下力和力矩方程：（３－４５）
图３－４７
453
0
0
0
yiASiP y i
ASiP x iABR y BABR x B
P y iR y BR y A
P x iR x BR x A
TTxxF
yyFxxFyyF
FFF
FFF
453?
iASiP y i
ASiP x iABR y BABR x By
P y iR y BR y A
P x iR x BR x A
TxxF
yyFxxFyyFT
FFF
FFF
从而得在求得运动副Ｂ的作用力 并已知外力（力矩）
后，可以用式（３－４６）求得运动副Ａ的作用力以及作用于该构件上的平衡力矩 。
R y BR x B FF,
iP y iP x i TFF,、
yT
⒋ Ⅱ 级机构力分析举例例 3-2 如图 3-48所示的摆式输送机中，已知机构中各构件尺寸为：
lAB=80mm,lBC=260mm,LDC=300mm,lDE=400mm,LEF=460mm,
xD=170mm,yA=90mm;
各构件的质心位置为,S1在 A点,S2在构件 2的中点、
S3在 C点,S5在构件 5的中点,S6在 F点。各构件质量分别为,m1=3.6kg,m2=6kg,m3=7.2kg,m5=8.5kg;各构件绕其质心的转动惯量为,J1=0.03kgm2,J2=0.08kgm2,
J3=0.1kgm2,J5=0.12kgm2;滑块 6在水平方向上的工作阻力为 FPx6=4000N；曲柄角速度 ω1=40rad/s。求在一个运动循环中，各运动副中的反力以及需要加在曲柄 AB上的平衡力矩 Ty。
解 (1)运动分析求各构件和运动副各点的运动参数 具体步骤：先调用 Ⅰ 级机构子程序求 B
点，再调用 RRR基本组程序求得 C点及构件
2(BC)和构件 3(DC)的运动参数；再利用 Ⅰ 级机构子程序求 E点；最后调用 RRP杆件 5(EF)
和滑块 6的运动参数。质心 S2,S5运动参数由
Ⅰ 级机构子程序求得。
1)调用 RRPⅡ 级杆组力分析子程序，求出移动副 F和回转副 E的约束反力；
2)调用 RRRⅡ 级杆组力分析子程序求出三个转动副 B、
C,D的约束反力；
3)调用单一构件子程序求得回转副 A和曲柄 (AB)的平衡力矩 Ty。
具体程序参看有关文献，计算结果如表 3-2所示。
(2)静力分析 受力分析一定先从包含给定外力的构件 (此例已知滑块 6上的工作阻力 FPx6)的杆组开始。具体步骤如下：
表３－２ 例３－２计算结果曲柄转角各运动副反力Ｆ Ｒｘ 及Ｆ Ｒｙ,曲柄平衡力力矩Ｔ ｙ
Ｆ１
0.00
30
.
.
.
330
360
FRx1
FRy4
-22309.95
29837.95
-15691.25
14224.94
.
.
.
11809.98
-51674.03
-22309.97
29837.93
FRy1
FRx5
-26291.12
-6532.87
-10344.19
-4356.29
.
.
.
11809.77
-9656.41
-22309.97
3370.81
FRx2
FRy5
-22309.40
3370.81
-15691.25
2375.13
.
.
.
11809.77
-9656.41
-22309.97
3370.81
FRy2
FRx6
-26326.40
-1309.18
-10679.47
-442.11
.
.
.
40061.86
8166.30
-26326.39
-1309.19
FRx3
FRy6
-20565.88
3281.20
-14462.33
1606.84
.
.
.
11634.15
-8474.65
-20565.89
3281.20
FRy3
FR6
-26388.54
-3179.90
-10908.91
-1523.54
.
.
.
40480.80
8557.95
-26388.54
-3197.90
FRx4
Ty
10768.89
-2102.94
7954.78
-109.07
.
.
.
794.82
3251.13
10768.90
-2102.91
§ 4－ 1 机构力分析的目的和方法
1、作用在机械上的力外部力：原动力生产阻力重力空气阻力等附加力：惯性力｛
给定力约束反力,运动副反力，由惯性力引起的部分称为 附加动压力 。对整个机械来说是内力,而对于一个构件来说是外力。
运动副反力法向分力－正压力切向分力－摩擦力｛
分类：
（ 1） 驱动力 －驱使机械产生运动的力。
特征,力与其作用点速度的方向相同或成锐角，作正功称为驱动功或输入功。
机械中承受外加原动力的构件称为驱动件或主动件。
（ 2）阻抗力 —阻止机械产生运动的力称为阻抗力。
当然摩擦力和介质在某些情况下也可能是生产阻力甚至是驱动力。
特征：力与其作用点速度的方向相反或成钝角，作负功称为阻抗功。
有害阻力（非生产阻力），损失功。
阻抗力 ｛
有效功或输出功（工作阻力），有效阻力重力,大小和方向均不变化的力当重心上升时为阻抗力，而当重心下降时为驱动力。
例如,磨床砂轮受到工件受到工件给予的摩擦力，搅拌机叶轮受到的被搅拌物质的阻力等均为有效阻力 。带传动中从动轮所受到的带的摩擦力则是一种驱动力。
2、机构力分析的目的和方法目的：
1）确定运动副中的反力
2）确定为了使机构原动件按给定规律运动时需加于机械上的平衡力（或平衡力偶）。
平衡力 —指与作用在机械上的已知外力以及当该机械按给定规律运动时其各个构件的惯性力相平衡的未知外力。
动态静力分析 －根据达朗伯原理，惯性力视为外力。
方法,图解法，解析法。
静力分析 －不计惯性力情况下的力分析。
作平面复合运动而且具有平行于运动平面的对称面的构件。（连杆）其惯性力可简化一个加在质心 s
上的惯性力 和一个惯性力偶矩 MI 。
§ 4-2 构件惯性力的确定
IP
sI amP
SI JM｛
1、作平面复合运动的构件
—构件对于过其质心轴的转动惯量。
。
SJ
m—构件质量； α—角加速度
Sa
—构件质心的加速度 ；
上述 和 可以合成为一个总惯性力来表示对质心 S 之矩的方向应与 α 的方向相反。
“—”号表示 和 分别与 和 α的方向相反。IMIP
Sa
IP IM
2、作平面移动的构件匀速,=0
ω=0,α=0,=0IM
sI amP
变速,
IP
3、绕定轴转动的构件
（ 1）绕通过质心的定轴转动构件
00 IS Pa｛ 匀速,=0
IM
变速,?
SI JM
（ 2）绕不通过质心的定轴转动的构件。
（曲轴、凸轮）
｛ 变速：等速,；sI amPSI JM｛ IP?
n
SI amP 0?IM
两者可用 表示
§ 4-3 用图解法作机构的动态静力分析要求运动副反力，平衡力（力矩）。因运动副反力对整个机构为内力。要求之，
必需将机构分解为若干构件组，然后逐个进行分析，这样分解成的每一个构件组都必需是静定的。
构件组是否静定,取决于构件组中含有的运动副的类型，数目以及构件数目。
1、构件组的静定条件构件组静定：对构件组所能列出的独立平衡方程式的数目应等于构件组中所有力的未知要素的数目。
当不计摩擦时，转动副中的总反力 应通过转动副的中心 O。即作用点已知，大小方向未知。
平面运动副中反力的未知要素
1）转动副
R
R
o
接触面垂直，方向已知，大小 作用点未知。
2）移动副当不计摩擦时,应与移动副两元素的R
k
R
n
n
R
c
不计摩擦时,高副两元素间之反力 应通过接触点 C，并沿两元素的公法线方向，即反力 R的作用点和方向均已知，
仅大小为未知。 R
3）平面高副
R
分析可见，低副 PL含有两个未知要素，
高副 Ph含有一个未知要素，则各运动副中的反力将共有（ 2PL+Ph）个未知要素。
hl ppn 23
设构件组中有 n个构件，可列 3n个独立的力平衡方程式，构件组的静定条件为
lpn 23?
仅有低副,
基本杆组都是静定杆组
2．机构的动态静力分析步骤：
1.求各构件惯性力，视为外力加于相应构件上。
3．求解运动副反力和平衡力
2.分解机构为若干构件组和平衡力作用的构件。
顺序：
先由离平衡力作用的构件最远的构件组（外力全部已知）开始，逐步推算到平衡力作用的构件。
下面举一例来具体说明用图解法作机构的动态静力分析例 4-1,图 4-5所示往复式运输机的机构运动简图 。 设已知各构件尺寸,连杆 2的重量 （ 质心 S2在杆 2的中点 ）,连杆 2绕质心 S2的转动惯量 JS2,滑块 5的重量 Q5
（ 质心 ） 其他构件的重量和转动惯量忽略不计 。 又设原动件 1以角速度 等速回转
,作用于滑块 5上 F点的生产阻力为 。1
rP
求在 图 4—5所示位置时各运动副中的反力，以及为了维持机构按已知运动规律运转需要加在原动件 1上 G点处沿方向
xx的平衡力 。
bP
图4-5 a
Q 2
A
1
x
Bx 2
3 4
D
C
S 2
h'
2
E
5
F
a F
Q 5
P I5
P r
1,对 机 构 进 行 运 动 分 析用选定的长度比例尺 μ l,速度比例尺 μ a和加速度比例尺 μ a,作机构图及其速度多边求解步骤：
分别如图 a,b,c所示。
e
f
图4-5 b
c
V B
p(a',d')
Vc
b
e'
n' 4
n'
s'c'
f'
p'(a',d')
b'
2
2
n' 3
图4- 5 c
2、确定各构件上的惯性力及惯性力偶矩作用在连杆 2上的惯性力及惯性力偶矩为
22222 / spgQamP aSI
22222222 // lcnJlaJJM aStCBSSI
将 及 MI2合并成一个总惯性力,其作用线从质心 S2处偏移一距离 h2,其值为,而且 对质心 S2之矩的方向应与 α 2的方向相反。
作用在滑块 5上的惯性力为,其方向与 （即 ）的方向相反。
2IP
22 II PP
222 / II PMh?
2IP
fpgQamP aSI/55 55
5S
a Fa
具体位置见下页图 4-5a
图4-5 a
Q 2
A
1
x
Bx 2
3 4
D
C
S 2
h'
2
E
5
F
a F
Q 5
P I5
P r
3、机构的动态静力分析先将各构件惯性力视为外力加于相应的构件上，并按静定条件将机构为两个构件组 5,4和 3,2及作用有平衡力的构件 1。
然后可由构件组 5,4开始进行力分析。
图4-5 d
R 45
Q 5
R 65
R 25
Pr
在构件组 5,4中，不计构件的重量及惯性力，故 4为二力构件,并且沿构件 4
的方向。 3454 RR
rP
5IP
65R45R
5Q
取滑块 5为分离体,此构件上作用有外力,重力惯性力,运动副反力 和,且均过点 F，由力平衡条件
1）先分析构件组 5,4
065545 5 RQPPR Ir
方向 √ √ √ √ √
大小 √ √ √？？
作图求解：
1、如图所示，用选定的力比例尺 μp(N\m)，
从点 a连续作矢量,和 分别平行于,
和 。 2、分别由点 a和点 d作直线 ae和
de分别平行于力和,两线相交于点
e，则矢量 和,
即分别代表 和,
即
ab cdbc
rP 5IP
5Q
ea
45R
65R
de
eaR P45 deR
p65
图4-5 d
R 45
Q 5
R 65
R 25
Pr
a
Q 5
b c
P r P I5
d
a
Q 5
b
P r
c
P I5
d
e
R 45
图 4-5e65R45R
h'
I2P'
Q 2
S 2
B
C
3
R 43
E
D
h'
I2P'
Q 2
S 2
B
C
3
R 43
E
D
n
R 12
R 12
t
R 43 n
R 43
3
h'h' 2
h'
I2P'
Q 2
S 2
B
C
3
R 43
E
D
n
R 12
R 12
t
R 43 n
R 43
63R
4543 RR
nR12
2IP?
2)分析构件组 3,2（图 f）。
1、将构件 2,3上作用的外力,总惯性力 及运动副 E中的反力 示出。 2、将运动副 B,D中待求反力 及 分别分解为沿
BC及 DC方向的法向反力及 和直于 BC和 DC的切向分力 及 。
3、分别就构件 2,3对点 C取矩，则根据力平衡条件
∑MC=0,可分别求得
12R
nR63
2Q
BCIt lhPhQR /122212
CDt lhRR /34363
tR63tR12
步骤 1：
R 43
P rb P I5c d
R 63
R 45
Q 5
a
f
f'
I2
R 12
Q 2P'
f" g
h
e
步骤 2：
当 和 求出后（如所得或 为负值，则表示该力与原来所取方向相反），再根据整个构件组的力平衡条件得上式中仅 及 的大小未知，
故可用图解法求得，如图 e所示。则矢量 和 即分别代表 和 。于是得
tR12 tR63
0121222436363 ntItn RRQPRRR
tR12
tR63
nR12 nR
63
ff? ff?
nR63nR12
tn RRR 121212 hfR P12
tn RRR 636363 faR P63
h
R 12
g
Q 2
f"
P'I2
e
cP r
Q 5
b
R 43
P I5 d
R 45
a
R 63
f'
R 32
f步骤 3：
根据构件 2的平衡条件可知矢量 即代表运动副 C中的反力,
故 。
0223212 IPQRR
fe
32R
feR P32
3）分析构件 1
取构件 1为分离体（图 g）。
根据构件的平衡条件写出
06121 RPR b
61R
1221 RR
bP
式中,而平衡力 的方位已知，沿 xx线。
于是根据构件平衡是所受的三个力应汇交于一点的条件，
可定出运动副 A中的反力的方向。而由此可知，上式中仅有 和 的大小未知，
故可用图解法求出。 bP 61R
图4-5 g
R 61
P
b
x
x
R 21
R 32
R 45 h
a
e
cP r
Q 5
b
R 43
P I5 d
P
b
i
R 61
R 12R 63
f'
f
g
Q 2
f"
P'I2
图4 -5 e
如图 e所示，矢量代表,分别由点和点 h按 和 的方向作直线 fi和 hi，
交于点 I，则矢量和 即分别代表平衡力 和反力 。
于是得
fh
21R
61RbP
if
hi
bP 61R
ifP Pb
hiR P61
工程实际中,有时只需要知道为了维持机械按给定规律运动时应加于机械上的平衡力而并不需要运动副反力 。 此种情况下若按上述顺序求解就显得过于繁琐了,下面介绍一种简易求法 。
§ 4-4 平衡力的简易求法 —汝氏杠杆法如前述,根据达朗伯尔原理,当将机构各构件的惯性力视为升力加于相应构件上以后,即可以认为该构件处于力平衡状态,因此,根据虚位移原理可以写出,0co s?
iSi
i
dP?
上式说明,当机构处于力平衡状态时，其上作用的所有升力的即时功率之和等于零。
dSi—力作用点的微小位移
dS—力与之间的夹角将上式除以 dt，则得,∑PiVicosαi∑Ni=0
Vi —机构中力作用点的速度
Pi—作用于机构上的任一外力（包括惯性力和平衡力）
如 何 求 力 瞬 时 功率呢？ 以图 4—15（ a）
所示构件 AB 为 例 加以说明设作用于点 B
的外力为,点 B的速度为,而 与 的夹角为,则其瞬时功率 为
BBBB VPN?c o s?
BN
BP BV
BP
BV
B?
图4— 15a
A
B
V B
P B
又如图 4—15（ b)所示，将代表 的矢量 转过,并将平移到转向速度矢量 的对应点上，则得 如上式中 PBhB
是力 PB对转向速度矢量之极点的力矩。故此式表明，任意力 的功率 与对转向矢量之极点的力矩成正比。
BV pb
BBVBVBBBBB hPpbPVPN c o sc o s
90
BP
iNiP
图4— 15b
b
V B
P
h
B
b P
B
根据这一原理,设想作出机构的转向速度多 边形 （ 将机构 原速度多边形 整个转 过
90°,并将各力平移到其转向速度为边形的对应点上,则可得 即0
iiV hP? 0 iihP
因此，当机构上的其他外力为已知时，应用上式便可很方便地将平衡力求出来此方法在求解过程中,相当于将机构的转向速度多边形视为刚性杠杆,而个力对其极点取矩,所以常称为速度多边形杠杆法,又因这种方法是俄国学者茹考夫斯基首创的,所以又称 茹氏杠杆法 。
具体应用见下页例题 。
b
A
x
P
x B
b
D
Q 2
E
C
I2P'
P
Q
5
P'P
5Q Q
r
P
I5
F
f
C
I5P'P r
e
2 P
b
P'
b
I2
§ 3-1 机构运动分析的目的和方法位移或轨迹的分析,可以确定某些构件在运动时所需的空间。判断当机构运动时各构件之间是否会互相干涉。确定从动件行程，考察某点能否实现预定的位置或轨迹要求等。
速度分析,了解从动件速度变化规律，能否满足工作要求。例如：牛头刨床。
另外，功率 =F× V。通过分析 V，了解力 F
变化规律。例：汽车上坡，牵引力 ↑,V↓。
又,V分析是 a分析的前提。
加速度分析,了解加速度变化规律，计算惯性力，研究动力性能。
运动分析法,图解法和解析法。
｛图解法,速度瞬心法矢量方程图解法
§ 3-2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
1、速度瞬心由理力知，当两构件 1,2作平面相对运动时在任一瞬时，都可以认为它们绕某一点作相对转动，而该点则称为瞬时速度中心，简称瞬心。
P12（ P21）
瞬心 －互相作平面相对运动的两构件上，
瞬时相对速度为零的点（等速重合点）。
Pij
绝对瞬心,P12点绝对速度为零相对瞬心,P12点绝对速度不为零｛
2、机构中瞬心的数目因为每两个构件就有一个瞬心，所以由 N个构件（含机架）组成的机构，
其总的瞬心数，根据排列组合的知识为
k=N× （ N-1） /2
3、机构中瞬心位置的确定
3.1 通过运动副直接相联的构件的瞬心。
1）以转动副相连的两构件如图所示转动副的中心即为其瞬心 P12。
2）以移动副相联结的两构件，如图所示因两构件件任一重合点的相对速度方向均平行于导路，故其瞬心 P12必位于移动副导路的垂直方向上的无穷远处。
3）平面高副相连接的构件如图 A所示如果两高副之间为纯滚动
（ ω12为相对滚动的角速度），则其两元素的接触点 M即为瞬心 P12；A
B
如图 B所示如果两高副元素之间既作相对滚动，又有相对滑动（ VM1M2
为两元素接触点处地相对滑动速度），
则瞬心 P12必位于高副两元素在接触点处的公法线 nn上，具体位置尚需根据其他条件来确定。
3.2 用三心定理确定两构件的瞬心三心定理 — 三个彼此作平面平行运动的构件的瞬心必位于同一条直线上。 设构件 1、
2,3为彼此作平面平行运动的三个构件，
它们共有 3× 2/2=3个瞬心，即 P12,P13,P23。其中 P12,P13 分别处于两转动副的中心处,故可直接求出，现证明 P23必位于 P12及 P13的连线上 。
证明,设构件 1固定，于是 2及 3上任一点的速度必分别与该点至 P12取及 P13的连线相垂直。如图所示，则任取一重合点 k，则 和 的方向显然不同，而瞬心 P23应是构 2与 3的等速重合点，
故 P23必定不在 K点 只有当 P23位于 P12和 P13的连线上时构件 2重合点的速度方向才能一致，故知
P23与 P13必在同一直线上。
2KV 3KV
例,求平面四杆机构图 3— 5图示位置时全 部瞬心。 N=4,K=6，即 P12,P13,P14,
P23,P24,P34其中 P12,P23,P34,P14分别为四个转动副的中心直接定出。而 P13,P24由三心定理求出。
＜13P
34P ＜
P12,P23
P14,P34
P12,P14
P23,P34
4、速度瞬心在机构速度分析中的应用利用速度瞬心对某些机构进行速度分析既直观，又方便。现举例说明如下。
例 1、图 3—5所示平面四杆机构中已知各构件尺寸，又知原动件 2以角速度 ω2沿顺时针方向回转，现需确定机构在图示位置时从动件 4的角速度 ω4。
解：此题应用速度瞬心极为方便，因为已知瞬心 P24为构件 2及构件 4的等速重合点，
故得,
LL PPPP 2414424122?
式中,为机构的 尺寸比例尺,它是构件的真实长度与图示长度之比。
单位为 m/mm。由上式可得
L?
2414241224 / PPPP
2412241442 // PPPP
或 （３ —２） 图３－５
式（３ — ２）中 ω2 /ω4为 该机构的原动件 2与从动件 4的瞬时角速度之比，即为机构的传动比，等于该两构件的绝 对 瞬心
（ P12,P14）至其相对瞬心（ P24） 之距离的反比。
此关系适用于平面机构中任意两构件角速度之间的关系中 。
例２,曲柄滑块机构，已知各构件尺寸，又知原动件２的角速度 ω２,现需确定在 图 3－ 6所示位置从动件４的移动速度。
Lp PPvv 241224 24
此问题应用瞬心求解也十分方便。如图求得构件２和构件４的相对瞬心后Ｐ ２４,则因为该两构件的等速重合点，
故得从动件４的移动速度为图３－６
Lp PPvv 231223 23
例３：图３－７凸轮机构，已知各构件尺寸，又知原动件的角速度 ω2 。利用瞬心来确定从动件３的移动速度，同样十分方便。
如图所示，过高副元素的接触点
Ｋ作其公法线 nn，则由前述可知，
此公法线 nn与瞬心连线Ｐ １２ Ｐ １３
的交点即为构件 2与 ３ 的相对瞬心
Ｐ ２３ 。又因Ｐ ２３ 为两构件的等速重合点，故得从动件３的移动速度的大小为图３－７
一、矢量方程图解法的基本原理和作法
§ 3-3 用矢量方程图解法作机构的速度和加速度分析基本原理,相对运动合成原理，
列出机构运动的矢量方程，然后作图求解。
1、同一构件上两点间的速度、加速度的关系图 3— 8a所示曲柄滑块机构中，连杆
BC作平面运动，由运动合成原理可知此构件上任意一点 C的运动可认为是由其随同该构件上另一任意点的平动（牵连运动）与绕该点 的转动（相对运动）所合成。
图 3—8a
X
B
A
a B
B
v
E
D
X
Cv
C
Ca
因此 点 C的速度 为
VCB—点 C相对与点 B的相对速 度，大小 VCB= ωLBC,方向 ⊥ BC与
ω转向一致 。
点 C的加速度 为
cb
n
cbbcbbc aaaaaa
CV
CBBc vvv
Ca
cba
现设点 B的速度和加速度均为已知，今欲求点 C的速度 及加速度 （方向已知）求大小，图解法。
ncba 相对于 B的相对法向加速度 BC?
相对于 B的相对切向加速度与 α一致｛
CV Ca
BCla BCcb
CBBc vvv
方向 √ √ ⊥ BC
大小？？ 作图 3—8b
若求点 E的速度 则利用 B,E两点和 C、
E两点间的速度关系分别列方程。
Ev
ECcEBBE vvvvv
？？
一、求解速度图 3—8b
作图步骤：
pb pb
BV1、由任一点 p作平行于 的线段 代表,使 的长度等于
（其中 为速度比例尺，即图中
mmV VB?
v?
mmsm
2、过 b点作直线 bc垂直于线段 BC，
以代表 的方向线；CBV
CV
bcpc
3、从 p点作直线 pc平行于 xx方向，
以代表 的方向线，此两方向线相交于点 C，则 即代表,而即代表 。其大小分别为 CV
CBV
smpcv vc smbcv vcb
4,速度影像△ bce∽ △ BCE
BV
每单位长度所代表 的速度大小，其单位为 ；
p
b
p
b
c
p
b
c
b
c
e
X
B
A
a B
B
v
E
D
X
CvC
Ca
1,代表点 B的绝对速度
2,代表,方向 b→c。
pb
bc CBV
3、速度影像 △ bce∽ △ BCE
速度多边形（速度图） — 由各速度矢量构成的图形,P— 速度多边形的极点。
当已知构件上的两点的速度时，则该构件上其他任意一点的速度便可利用 速度影象的原理 求出。例如当作出 bc后，以 bc为底边作 △ bce∽ △ BCE,且两者的角标字母顺序一致，即可求得点 e,则 便代表,
pe BV
构件的角速度 ω的 大小 可由下式求得。
BC
bc
l
v
l
V
BC
CB
rad/s
构件的角速度 ω的 方向 可用下法确定,
将代表 的矢量 平移至机构中点 C上，
根据 的方向可知 ω为逆时针方向。CBv
CBv
bc
二、求解加速度,作图 3—8c
ECnECCEBnEBBE aaaaaaa
方向 √ E→B ⊥ BE √ E→C ⊥ BE
大小？？√ BEL2?
ECL2?
aE epa
作法同求
ca
cb
n
cbbcbbc aaaaaa
方向 √? √ C→B ⊥ BC
大小？？ √？
CBL2?
cpa ac 2sm
图 3—8c
作图步骤：
1、从任意点 p’作线段 p’b’平行于,且使 以代表 （其中 为 加速度
Ba
mmanb a
nCB
a
Babp
mms
m 2
Ba a?
比例尺,单位为 ；
2、过 b’作线段 平行于线段 BC，且其方向由点 C指向点 B，代表 ；
3、过 n作直线 nc’垂直于 BC代表 的方向线；
4、由点 p’作直线 p’c代表 的方向线，
与 的方向线交于点 c’则矢量 即代表,其大小为
CBa
tCBa
Ca
tCBa cp
Ca
5、作加速度影像△ bce ∽ △ BCE
X
B
A
a B
B
v
E
D
X
CvC
Ca
p'
b'
p'
b'
n
p'
b'
n
p'
b'
n
p'
b'
n
e'
n"
:p?
BC
cn
l
a
l
a
BC
CB
2srad
加速度多边形（加速度图）
极点加速度影像：△ bce∽ △ BCE
2、两构件重合点间的速度，加速度的关系图 3—9所示平面四杆机构中，构件 1与 2
组成移动副，点 C为此两构件上的一个重合点由运动合成原理知：构件 2上点 C的运动可认为是由构件 1上与其相重合点 C1的运动
（牵连运动）和点 C2相对于点 C1的相对运动所合成。
图 3—9
K
A
v
C1
a
C1
B
ω
1
1
2
C
(C 1,C 2,C 3 )
3
V
C2C1
1212 cccc vvv
大小？ √？
smpcv vc?22?
方向 ⊥ CD √ ∥ AB导路
33121212 c
n
c
r
cc
k
cccc aaaaaa
方向 √ ∥ AB导路 C→D ⊥ CD
大小 √ √？？
222 smpca ac
作图略
p
C1
2C
n'c'
k
P' c
2
K
A
v
C1a C1
B
ω
1
1
2
C
(C1,C2,C3)
3
V
C2C1
二,用矢量方程图解法作机构的速度和加速度分析已知：构件上一点的速度和加速度
（大小、方向）或者另一构件上与该预定点重合的点的速度和加速度（大小、方向）以及所求点的速度和加速度的方向就可用图解法求解。
例：图 3—10a所示偏心轮转动机构，其原动件 2绕轴 A以角速度 等速回转设机构的尺寸为已知、现需求机构在图示位置时，
滑块 5上点 E的速度,加速度 及连杆 3
2?
EV Ea
摇杆 4和导杆 6的角速度,,及角加速度,,。
4? 6?3?
3?
4? 6?
图 3—10a
解,1、绘机构运动简图，
2、速度分析
L?
4?
Bv Cv53 EE VV? 6Ev
3?
6?
根据矢量方程图解法求解机构上某点速度的条件可知，其速度求解的步骤应依次求出及,然后再求解及 。
smLv ABB 2
求解步骤：
1）求
BV
其方向垂直 AB，指向与 ω2的转向一致。
2）求 因点 C及 B为同一构件上的点，故得 CV
方向 ⊥ CD ⊥ AB ⊥ CB
大小？？
CBBc vvv
ABL2?
方向 ⊥ CD ⊥ AB ⊥ CB
大小？？
CBBc vvv
ABL2?
作图步骤
1、取点 p作为速度多边形的极点,并 作代表,则速度比例尺 。
2、分别自点 b,p作垂直于 BC，
CD的直线 bc,pc，代表,
的方向线，两线交于点 c，则矢量 和 即分别代表 和,
于是得
pb BV
mms
m
pbV BV
CBV CV
pc bc
CV CBV
smpcV VC
3）求 由于点 E3与点同属构件 3上的点，而且,已知，故可利用速度影象法求得 。如右图所示，以 为一边作△ bce3∽ △ BCE，且角标顺序一致，则矢量即代表 。 故得
3E
V
CVBV
3EV bc
3pe
3EV smpeV 3V
3E
4）求 因 E5与 E3为铰接点，故,而 E6与 E5为两构件上的重合点，故得
6E
V
35 EE
VV?
5656 EEE
VVV E
方向 √ ∥ xx
大小？？
EF?
式中仅 及的大小未知，故可作图求解。 步骤,6EV
1、由点 e5作 的方向线 e5e6平行于导路 xx；
2、由点 p作 的方向线 pe6垂直于 EF，
两方向线交于点 e6，则矢量 和即分别代表 和,于是得
56EEV
6EV
6pe 56ee
6EV 56EEV
66 peV VE sm
逆时针逆时针
BC
V
BC
CB
L
bc
L
V
3 s
ra d
CD
V
CD
C
L
pc
L
V
4
sra d
EF
V
EF
E
L
pe
L
V
6
6
6
sra d 逆时针
5）求由上述求角速度的方法可得
3? 4? 6?
3,加速度分析
Ba Ca
53 EE
aa?
6E
a
3? 4? 6?
2sm ABnBAB Laa 22
与速度分析相同，其加速度求解的步骤也是先求出 及,然后再求解 及 。
求解步骤：
1）求
Ba
方向由 B指向 A。
n
CBCBB
n
CDCDC aaaaaa
方向,⊥ CD C→ D B→ A ⊥ CB C→ B
大小,？ √？CDL24?
ABL
2
2?
式中仅有和的大小未知，故可用作图法求解，如图所示取点 p’作为加速度多边形的极点，并作 代表,则加速度比例尺,
然后按上式作图，可求得 代表,而其大小为
bp
Ba
mms
m
bpa Ba
2
2smcpa aC
cp
Ca
3）求
6Ea
与速度分析一样，可利用加速度影象求得 。如图所示，以 为一边作
△ c’b’e’3∽ △ CBE，且字母角标顺序一致，则 即代表,即
3Ea
cb
3ep
3Ea 233 smepa aE
4、求
6Ea
26?EFl
由 E6点分别相对于 F点和 E5
点的相对运动关系，可得
r EEk EEEt FEn FEE aaaaaa
56565666
方向,E→ F ⊥ EF √ ⊥ xx ∥ xx
大小,？ √ √？
式中
256665 222 565656 smeeVVa vEEEEk EE因在式中只有 及 的大小未知，
故可用作图法求解。如图所示。则矢量,及 将分别代表
t FEa
6 rEEa 56
66en 6ek 6ep t FEa6
rEEa
56
6Ea
即
266 smepa aE
（顺时针）
（顺时针）
BC
a
BC
CB
L
cn
L
a 3
3
2srad
CD
a
CD
CD
L
cn
L
a 4
4
2srad
EF
a
EF
FE
L
en
L
a
66
6
6
2srad
（顺时针）
5）求根据前述求构件角速度的方法可得
3? 4? 6?
第四节 用解析法对平面连杆机构作速度和加速度分析
⒈ 基本方法随着现代数学工具日益完善和计算机的飞速发展，快速、精确的解析法已占据了主导地位，
并具有广阔的应用前景。目前正在应用的运动分析解析法，由于所用的数学工具不同，其方法名称也不同，如复数矢量法、矩阵法、矢量方程法等。这些方法只是使用不同的数学工具而并未涉及机构运动分析的本质，按机构运动分析本质的不同可分为以下三类：
⑴ 针对不同机构建立适合该种机构的数学模型。
此种方法编程简单，但每种机构都要单独重新编程，所以通用性差。
⑵把机构视为一个质点系，对各运动副间以杆长为约束建立非线性方程组，进行位置求解，
而后再求解速度和加速度，该方法通用性很强，
但计算程序复杂庞大。
⑶ 根据第二章机构组成原理，机构可由 Ⅰ 级机构＋基本杆组组成，当给定 Ⅰ 级机构的运动规律后，机构中各基本杆组的运动是确定、可解的。因此机构的运动分析可从 Ⅰ 级机构开始，
通过逐次求解各基本杆组来完成。这样，把 Ⅰ
级机构和各类基本杆组看成各自独立的单元，
分别建立其运动分析的数学模型，然后再编制成通用子程序，对其位置、速度及加速度和角速度、角加速度等运动参数进行求解。
当对具体机构进行运动分析时，可以通过调用原动件和机构中所需的基本杆组的通用子程序来解决，这样，可快速求解出各杆件及其上各点的运动参数。这种方法称为杆组法。对各种不同类型的连杆机构都适用。
在生产实际中，应用最多的是 Ⅱ 级机构,Ⅲ 级和 Ⅳ 级机构应用较少，本书只讨论 Ⅱ 级机构运动分析问题。 Ⅱ 级机构是由 Ⅰ 级机构＋ Ⅱ 级机构组成的。 Ⅱ 级机构只有表２－３中的五种类型，本章只介绍单一构件（ Ⅰ 级机构）和ＲＲ
Ｐ Ⅱ 级杆组运动分析的数学模型，其余几种常用 Ⅱ 级组在附录 Ⅰ 中给予介绍，关于这些 Ⅱ 级杆组运动分析的具体子程序参见相关文献。
⒉ 杆组法运动分析的数学模型
⑴ 同一构件上点的运动分析 同一构件上点的运动分析，是指已知该构件上一点的运动参数（位置、速度和加速度）和构件角位置、角速度和角加速度以及以知点到所求点的距离，求同一构件上任意点的位置、速度和加速度。
如图３－４０所示的构件ＡＢ，若已知运动副Ａ
的位置,,速度,,加速度,和构件的角位置,角速度,角加速度 及所求点Ｂ到已知点Ａ的距离,求Ｂ点的位置、速度和加速度。这种运动分析常用于求解原动件（ Ⅰ 级机构）、连杆和摇杆上点的运动。
Ax Ay?Ax? AxA
y
Ay
i? i i
ilAB?
图见下页图３－４０
１）位置分析。由图３－４０可得所求点Ｂ的矢量方程
iAB lrr
133
s i n
c o s
iiAB
iiAB
lyy
lxx
在ｘ、ｙ轴上的投影方程为
２）速度和加速度分析。将公式（３
－１３）对时间ｔ求导，即可得出速度方程（３－１４）
iiiAB
t
y
iiiAB
t
x
lyy
d
d
lxx
d
d
B
B
c o s
s i n
iiiiiiAB
t
y
iiiiiiAB
t
x
llyy
d
d
llxx
d
d
B
B
c o ss i n
s i nc o s
2
2
2
2
2
2
再将（３－１４）式对时间ｔ求导，
即可得出加速度方程
2
2
,
t
ii
t
i d
d
d
d
ii
上两式中：
分别是构件的角速度和角加速度。
Ax Ay?Ax?
Ax
Ay
Ay
3 6 00 i?
3 6 0?i?
若点Ａ为固定转动副（与机架相固联），
即,为常数，则该点的速度,和加速度,均为零，此时构件ＡＢ和机架组成 Ⅰ 级机构。若,Ｂ点相当于摇杆上的点；若 （ＡＢ整周回转 ），Ｂ点相当曲柄上的点。若Ａ点不固定时，构件ＡＢ就相当于作平面运动的连杆。
⑵ ＲＲＲ Ⅱ 级杆组的运动分析 对于 Ⅱ 级杆组的运动分析，与前面运动方程式的推导类似，
只要列出位置方程和角位移方程，一次微导后得出速度和角速度方程。若再次求导，就可以得到速度和加速度方程。这里不作详细推导，只给出ＲＲＲ Ⅱ 级杆组的运动分析基本公式，具体推导及通用子程序和应用例题参看相应的书籍。
图３－４１（ 见下页 ）所示是由三个转动副和两个构件组成的 Ⅱ 级组。已知两杆长,和两个外运动副Ｂ、Ｄ的位置速度 和加速度
il jl
DDBB yxyx,，、
DDBB yxyx,，、
DDBB yxyx,，、
图３－４１
求内副Ｃ的位置,速度,
加速度 以及两杆的角位置角速度 和角加速度 。
CC yx,CC yx,
CC yx,ji,
ji,
ji,
１）位置方程。内副Ｃ的矢量方程为：
jDiBC lrlrr
由其在ｘ、ｙ轴上投影，可得内副Ｃ的位置方程（３－１６）：
jiDiiBC
jjDiiBC
lylyy
lxlxx
s i ns i n
c o sc o s
为求解式（３－１６），应先求出 或 角，
将上式移项后分别平方相加，消去 得：
1630s i nc os 000 CBA ii
i? j?
j?
式中,
222
0
0
0
2
2
jBDi
BDi
BDi
lllC
yylB
xxlA
其中 22
BDBDBD yyxxl
为保证机构的装配，必须同时满足
jiBDjiBD llllll 和解三角方程 可求得,（３－１７） 163
i?
00
2
0
2
0
2
00a r c t a n2
CA
CBAB
i?
公式（３－１７）中，“＋”表示Ｂ、Ｃ、Ｄ
三运副顺时针排列（图３－４１中的实线位置），“－”表示Ｂ、Ｃ、Ｄ为逆时针排列
（虚线位置）。它表示已知两外副Ｂ、Ｄ的位置和杆长,后，该杆组可有两种位置。 i
l jl
代入式（３－１６）可得,,而后即可按下式求得 （３－１ 8）
i?
Cx Cy
j?
DC
DC
j
xx
yy
ar ct an?
２）速度方程。将（３－１６）对时间求导可得两杆角速度,为：（３－１９）
i? j?
1
1
/
/
GyySxxC
GyySxxC
BDiBDijj
BDjBDjii
式中：
jjjjjj
iiiiii
ijji
lSlC
lSlC
SCSCG
s i n,c o s
s i n,c o s
1
内运动副Ｃ点的速度,为（３
－２０） Cxv Cyv
jjjDiiiBCCy
jjjDiiiBCCx
lylyyv
lxlxxv
c o sc o s
s i ns i n
３）加速度方程。两杆角加速度,为：
i? j?
132
132
/
/
GSGCG
GSGCG
iijj
jjii
（３－２ 1）
式中：
jjiiBD
jjiiBD
SSyyG
CCxxG
22
3
22
2
内运动副Ｃ的加速度,为：（３－２２）
Cxa Cya
iiiiiiBCCy
iiiiiiBCCx
llyya
llxxa
s i nc o s
c o ss i n
2
2
⑶ ＲＲＲ Ⅱ 级杆组运动分析 ＲＲＲ Ⅱ
级组是由两个构件和两个回转副及一外移动副组成的（见图３－４２）。
图３－４２
已知两杆分别为 和 （ 杆垂直滑块导路）、
外回转副Ｂ的参数,
滑块导路方向角 和计算位移ｓ时参考点的位置
il jl
BBBBBB yxyxyx,、、,,
j?
jl
KK yx,,若导路运动（如导杆），还必须给出Ｋ点和导路的运动参数
jjKKKKKK yxyxyx,、、、,,,
求内运动副Ｃ的运动参数
CCCCCC yxyxyx,、、,,
１）位置方程。内回转副Ｃ的位置方程（ 3-２３）
jijKiiBC
jjjKiiBC
lsylyy
lsxlxx
c o ss i ns i n
s i nc o sc o s
消去上式中的ｓ，得：
jKBjKB
j
i
j
i
yyxxA
l
lA
co ss i n
ar cs i n
0
0
式中为保证机构能够存在，应满足装配条件
ij llA0
i? CC yx,
jjjKC
jjjKC
lyy
lxxs
s i n/c o s
c o s/s i n
求得 后，可按式（３－２３）求得,
而后即可求得滑块的位移ｓ（３－２４）
滑块Ｄ点的位置方程
253
s i n
c o s
jKD
jKD
syy
sxx
２）速度方程。 的角速度 和滑块Ｄ沿导路的移动速度 il i?
Dv
273/s i nc o s
263/c o ss i n
321
321
QlQlQsv
QQQ
iiiiD
jjii
jiijii
jjjjBK
jjjjBK
llQ
lsyyQ
lsxxQ
c o sc o ss i ns i n
s i nc o s
c o ss i n:
3
2
1
式中内回转副Ｃ的速度
CyCx vv,
iiiBCCy
iiiBCCx
lyyv
lxxv
c o s
s i n
外移动副Ｄ的速度（３－２９）
jjjKDDy
jjjKDDx
ssyyv
ssxxv
c o ss i n
s i nc o s
３）加速度方程。 杆的角加速度 和滑块沿导路移动加速度 il i
s?
303/s i nc o s
/c o ss i n
354
354?
QlQlQs
QQQ
iiii
jjii
jjjjjj
jjjjiiiBK
sls
lslxxQ
s i n2s i nc o s
c o ss i nc o s
:
2
2
4
式中
jjjjjj
jjjjiiiBK
sls
lslyyQ
c o s2c o ss i n
s i nc o ss i n
2
2
5
内回转副Ｃ点加速度
CyCx aa,
iiiiiiBCCy
iiiiiiBCCx
llyya
llxxa
s i nc o s
c o ss i n
2
2
滑块上Ｄ点的加速度
DyDx aa,
jjjj
jjjKDDy
jjjj
jjjKDDx
ss
ssyya
ss
ssxxa
c o s2c o s
c o ss i n
s i n2c o s
s i nc o s
2
2
（３－３１）
（３－３２）
⒊ 运动分析实例例 3-1 在图 3-43所示的六杆机构中，已知各杆长 lAB=100mm,lBC=300mm,lCD=250mm,
lBE=300mm,lAD=250mm,lEF=400mm,H=350mm,
=30,曲柄 AB的角速度 ω 1=10rad/s。求滑块 F
点的位移、速度和加速度。
图见下页图３－４３
该六杆机构是由 Ⅰ 级机构 AB,RRRⅡ 级基本组
BCD和 RRPⅡ 级基本组 EF 组成。
2.求解步骤解,1.划分基本杆组
1)调用 Ⅱ 级机构 AB子程序，即已知构件上 A点运动参数，求同一构件上点 B(回转副 )的运动参数。
(程序中此时 δ =0,A点与机架固联 )。
2)在 RRRⅡ 级杆组 BCD中已知 B,D两点运动参数后，调用 RRR基本组子程序求解内运动副 C点运动参数 和杆件 2,3
的角运动参数
3)E点相当 BC杆 (同一构件 )上的点，在已知 C点
(或 B点 )的运动参数情况下，调用求同一构件上点的运动分析子程序 (与 I级机构相同，此时 δ≠0 )，
求出 E点的运动参数。
CCCCCC yxyxyx,、、,,
323232,,,、、
综合以上分析，可见，只要是由前面介绍的 Ⅰ 级机构和 Ⅱ 级基本杆组组成的各种平面机构，均能通过计算机灵活的调用各杆组子程序，并快速得到机构运动分析结果 (画面运动线图 )，具体程参见有关文献，其计算结果表 3-1所示。
4)再调用 RRPⅡ 级基本组 EF子程序求出滑块 F的位移、速度和加速度。
曲柄转角
φ1
滑块位置
x６ y６
滑块位移
s／ mm
速度
V/(m/s)
加速度
a/(m/s2)
0.00
30.00
60.00
.
.
.
300.00
330.00
360.00
516.40 350.00
591.64 350.00
592.74 350.00
.,
.,
.,
325.24 350.00
401.96 350.00
516.40 350.00
516.40
591.64
592.74
.
.
.
325.24
401.96
516.40
2.11
0.67
-0.50
.
.
.
0.97
1.96
2.11
16.71
-29.02
-15.57
.
.
.
18.11
16.92
-16.71
表３－１ 例３－１计算结果第五节 平面连杆机构动态静力分析的数学模型
⒈ ＲＲＲ Ⅱ 级组的力分析图３－４１为ＲＲＲ Ⅱ 级杆组，为进行受力分析，将其内运动副Ｃ拆开，受力情况参见图３－４４。
图３－４４
已知：构件长 和,运动副Ｂ、Ｃ、Ｄ 和两杆件质心,的位置和运动参数；构件的质量,及转动惯量,；作用在构件质心上的外力,和,（可将作用于任意位置的外力转换到质心处）；外力矩,。
il jl
iS jS
im jm iJ jJ
iT jT
PxiF PyiF PxjF PyjF
求,各 运 动 副 的 反 力
R y DR x DR y CR x CR y BR x B FFFFFF,、、,,
解：⑴计算构件上的已知外力（力矩）首先按给定的各构件质量ｍ和转动惯量Ｊ，求出惯性力和,惯性力矩,再将它们与已知外力（令所有的已知外力作用于构件的质心处）合并，则可得出作用在 杆上的合外力,,合外力矩 （图３－４４），即
xm
ym ym
il xiF yiF
fiM
3338.9?
iiifi
iSiiP y iyi
SiiP x ixi
JTM
mymFF
xmFF
作用在 杆上的合外力,和合外力矩为,jl xjF yjF
fjM
3438.9?
jjjfj
jSjiP y jyj
SjjP x jxj
JTM
mymFF
xmFF
⑵ 求解各运动副中的约束反力 分别以 为平衡对象，可得以下平衡方程 ∑Ｆ
＝０
353
0
0
0
0
yjR y DR y C
xjR x DR y B
yiR y CR y B
xiR x CR x B
FFF
FFF
FFF
FFF
RyRx FF,
ji ll,
363
0MxyF
xxFyyF
0MxyF
xxFyyF
0M,0M
fjDsjxj
DCR yCDCR xC
fiBsixi
BCR yBBCR xC
DB
解方程（３－３６）可得
373GG/yyFTyyFTF
GG/xxFTxxFTF
BCjDCiR yC
BCjDCiR xC?
BCDCBCDC
fjDsjyjDsjxjj
fiBsiyiBsixii
xxyyyyxxGG
MxxFyyFFT
MxxFyyFFT
式中将式（３－３７）中求得的 代入公式（３－３５）中，得
383?
yjR x CR y D
xjR x CR x D
yiR x CR y B
xiR x CR x B
FFF
FFF
FFF
FFF
R y CR x C FF,
⑶ 三副构件上已知外力的计算 在实际机构中经常有一个构上有三个运副的情况，
如图３－４５中构件３（ＤＥ杆代号ｊ）
按力分析规定，将作用在各构件上的已知外力均作用于构件的质心处，这就必须将三副杆上Ｅ点的已知外力折算到质心处，利用公式（３－３３） 可得构件ｊ的已知外力求解方程：（３－３９）
jjSjEjR y E jSjEjR x E jjfj
jSjjR y E jP y jyj
SjjR x E jP x jxj
JxxFyyFTM
mymFFF
xmFFF
8.9
图见下页图３－４５
⒉ ＲＲＰ Ⅱ 级组的力分析图３－４２所示ＲＲＰ Ⅱ 级杆组，为对其进行受力分析，
将其在运动副Ｃ处拆开，受力情况如图３－４６所示。
图３－４６
已知：两构件长,质心位置及位移参考点Ｋ、构件质量 及转动惯量 作用在构件质心上的外力外力矩,
求：各运动副的反力
ji ll,
ji ll,
ji ll,
ji SS,
,,P y jP x jP y iP x i FFFF,、
ji TT,
RDRBRC FFF,、
解,１）应用式（３－３３）、（３－３４）
求出作用在构件质心处的合外力
、,P y iP x i FF
P y jP x j FF,
及力矩 和 。
fiM fjM
２）求各运动副的反力 。分别以构件ｉ和ｊ为平衡对象，得以下力平衡方程（参见图３－４６） ∑Ｆ＝０
RDRBRC FFF,、
图见下页图３－４６
403
0Fc o sFF
0Fs i nFF
0FFF
0FFF
yjjRDR yC
xjjRDR xC
yiR yCR yB
xiR xCR xB
413
0MTTxxFyyF
0TxxF
yyFxxFyyF
0M,0M
jSjCyjSjCxj
iSiCyi
SiCxiBCR y BBCR x B
CC
联立解（３－４１）方程，得（３－４２）
jBCjBC
BCyjyiBCxjxi
RD s i nyyc osxx
FTxxFFyyFF
F
iSiCyiSiCxi TxxFyyFFT式中：
将 式代入（３－４０），得（３－４
３） RDF
yiyjjRDR yB
xixjjRDR xB
yjjRDR yC
xjjRDR xC
FFc o sFF
FFs i nFF
Fc o sFF
Fs i nFF
由于移动副中约束反力 的大小和作用点均未知，前面已设定 的作用点通过移动副中Ｄ点，为使力系平衡，必须还有一项力矩
ＭＴ存在。由公式（３－４１）可得：
（３－４４）
RDF
RDF
jSjCxjSjCyi TyyFxxFMT
⒊ 单一构件的力分析由前面机构组成原理可知，一个机构不但可拆成自由度为零的基本杆组，还有 Ⅰ 级机构
（通常为原动件）。为通用性强，下面研究单一构件力分析。参见图３－４７，可列出如下力和力矩方程：（３－４５）
图３－４７
453
0
0
0
yiASiP y i
ASiP x iABR y BABR x B
P y iR y BR y A
P x iR x BR x A
TTxxF
yyFxxFyyF
FFF
FFF
453?
iASiP y i
ASiP x iABR y BABR x By
P y iR y BR y A
P x iR x BR x A
TxxF
yyFxxFyyFT
FFF
FFF
从而得在求得运动副Ｂ的作用力 并已知外力（力矩）
后，可以用式（３－４６）求得运动副Ａ的作用力以及作用于该构件上的平衡力矩 。
R y BR x B FF,
iP y iP x i TFF,、
yT
⒋ Ⅱ 级机构力分析举例例 3-2 如图 3-48所示的摆式输送机中，已知机构中各构件尺寸为：
lAB=80mm,lBC=260mm,LDC=300mm,lDE=400mm,LEF=460mm,
xD=170mm,yA=90mm;
各构件的质心位置为,S1在 A点,S2在构件 2的中点、
S3在 C点,S5在构件 5的中点,S6在 F点。各构件质量分别为,m1=3.6kg,m2=6kg,m3=7.2kg,m5=8.5kg;各构件绕其质心的转动惯量为,J1=0.03kgm2,J2=0.08kgm2,
J3=0.1kgm2,J5=0.12kgm2;滑块 6在水平方向上的工作阻力为 FPx6=4000N；曲柄角速度 ω1=40rad/s。求在一个运动循环中，各运动副中的反力以及需要加在曲柄 AB上的平衡力矩 Ty。
解 (1)运动分析求各构件和运动副各点的运动参数 具体步骤：先调用 Ⅰ 级机构子程序求 B
点，再调用 RRR基本组程序求得 C点及构件
2(BC)和构件 3(DC)的运动参数；再利用 Ⅰ 级机构子程序求 E点；最后调用 RRP杆件 5(EF)
和滑块 6的运动参数。质心 S2,S5运动参数由
Ⅰ 级机构子程序求得。
1)调用 RRPⅡ 级杆组力分析子程序，求出移动副 F和回转副 E的约束反力；
2)调用 RRRⅡ 级杆组力分析子程序求出三个转动副 B、
C,D的约束反力；
3)调用单一构件子程序求得回转副 A和曲柄 (AB)的平衡力矩 Ty。
具体程序参看有关文献，计算结果如表 3-2所示。
(2)静力分析 受力分析一定先从包含给定外力的构件 (此例已知滑块 6上的工作阻力 FPx6)的杆组开始。具体步骤如下：
表３－２ 例３－２计算结果曲柄转角各运动副反力Ｆ Ｒｘ 及Ｆ Ｒｙ,曲柄平衡力力矩Ｔ ｙ
Ｆ１
0.00
30
.
.
.
330
360
FRx1
FRy4
-22309.95
29837.95
-15691.25
14224.94
.
.
.
11809.98
-51674.03
-22309.97
29837.93
FRy1
FRx5
-26291.12
-6532.87
-10344.19
-4356.29
.
.
.
11809.77
-9656.41
-22309.97
3370.81
FRx2
FRy5
-22309.40
3370.81
-15691.25
2375.13
.
.
.
11809.77
-9656.41
-22309.97
3370.81
FRy2
FRx6
-26326.40
-1309.18
-10679.47
-442.11
.
.
.
40061.86
8166.30
-26326.39
-1309.19
FRx3
FRy6
-20565.88
3281.20
-14462.33
1606.84
.
.
.
11634.15
-8474.65
-20565.89
3281.20
FRy3
FR6
-26388.54
-3179.90
-10908.91
-1523.54
.
.
.
40480.80
8557.95
-26388.54
-3197.90
FRx4
Ty
10768.89
-2102.94
7954.78
-109.07
.
.
.
794.82
3251.13
10768.90
-2102.91
§ 4－ 1 机构力分析的目的和方法
1、作用在机械上的力外部力：原动力生产阻力重力空气阻力等附加力：惯性力｛
给定力约束反力,运动副反力，由惯性力引起的部分称为 附加动压力 。对整个机械来说是内力,而对于一个构件来说是外力。
运动副反力法向分力－正压力切向分力－摩擦力｛
分类：
（ 1） 驱动力 －驱使机械产生运动的力。
特征,力与其作用点速度的方向相同或成锐角，作正功称为驱动功或输入功。
机械中承受外加原动力的构件称为驱动件或主动件。
（ 2）阻抗力 —阻止机械产生运动的力称为阻抗力。
当然摩擦力和介质在某些情况下也可能是生产阻力甚至是驱动力。
特征：力与其作用点速度的方向相反或成钝角，作负功称为阻抗功。
有害阻力（非生产阻力），损失功。
阻抗力 ｛
有效功或输出功（工作阻力），有效阻力重力,大小和方向均不变化的力当重心上升时为阻抗力，而当重心下降时为驱动力。
例如,磨床砂轮受到工件受到工件给予的摩擦力，搅拌机叶轮受到的被搅拌物质的阻力等均为有效阻力 。带传动中从动轮所受到的带的摩擦力则是一种驱动力。
2、机构力分析的目的和方法目的：
1）确定运动副中的反力
2）确定为了使机构原动件按给定规律运动时需加于机械上的平衡力（或平衡力偶）。
平衡力 —指与作用在机械上的已知外力以及当该机械按给定规律运动时其各个构件的惯性力相平衡的未知外力。
动态静力分析 －根据达朗伯原理，惯性力视为外力。
方法,图解法，解析法。
静力分析 －不计惯性力情况下的力分析。
作平面复合运动而且具有平行于运动平面的对称面的构件。（连杆）其惯性力可简化一个加在质心 s
上的惯性力 和一个惯性力偶矩 MI 。
§ 4-2 构件惯性力的确定
IP
sI amP
SI JM｛
1、作平面复合运动的构件
—构件对于过其质心轴的转动惯量。
。
SJ
m—构件质量； α—角加速度
Sa
—构件质心的加速度 ；
上述 和 可以合成为一个总惯性力来表示对质心 S 之矩的方向应与 α 的方向相反。
“—”号表示 和 分别与 和 α的方向相反。IMIP
Sa
IP IM
2、作平面移动的构件匀速,=0
ω=0,α=0,=0IM
sI amP
变速,
IP
3、绕定轴转动的构件
（ 1）绕通过质心的定轴转动构件
00 IS Pa｛ 匀速,=0
IM
变速,?
SI JM
（ 2）绕不通过质心的定轴转动的构件。
（曲轴、凸轮）
｛ 变速：等速,；sI amPSI JM｛ IP?
n
SI amP 0?IM
两者可用 表示
§ 4-3 用图解法作机构的动态静力分析要求运动副反力，平衡力（力矩）。因运动副反力对整个机构为内力。要求之，
必需将机构分解为若干构件组，然后逐个进行分析，这样分解成的每一个构件组都必需是静定的。
构件组是否静定,取决于构件组中含有的运动副的类型，数目以及构件数目。
1、构件组的静定条件构件组静定：对构件组所能列出的独立平衡方程式的数目应等于构件组中所有力的未知要素的数目。
当不计摩擦时，转动副中的总反力 应通过转动副的中心 O。即作用点已知，大小方向未知。
平面运动副中反力的未知要素
1）转动副
R
R
o
接触面垂直，方向已知，大小 作用点未知。
2）移动副当不计摩擦时,应与移动副两元素的R
k
R
n
n
R
c
不计摩擦时,高副两元素间之反力 应通过接触点 C，并沿两元素的公法线方向，即反力 R的作用点和方向均已知，
仅大小为未知。 R
3）平面高副
R
分析可见，低副 PL含有两个未知要素，
高副 Ph含有一个未知要素，则各运动副中的反力将共有（ 2PL+Ph）个未知要素。
hl ppn 23
设构件组中有 n个构件，可列 3n个独立的力平衡方程式，构件组的静定条件为
lpn 23?
仅有低副,
基本杆组都是静定杆组
2．机构的动态静力分析步骤：
1.求各构件惯性力，视为外力加于相应构件上。
3．求解运动副反力和平衡力
2.分解机构为若干构件组和平衡力作用的构件。
顺序：
先由离平衡力作用的构件最远的构件组（外力全部已知）开始，逐步推算到平衡力作用的构件。
下面举一例来具体说明用图解法作机构的动态静力分析例 4-1,图 4-5所示往复式运输机的机构运动简图 。 设已知各构件尺寸,连杆 2的重量 （ 质心 S2在杆 2的中点 ）,连杆 2绕质心 S2的转动惯量 JS2,滑块 5的重量 Q5
（ 质心 ） 其他构件的重量和转动惯量忽略不计 。 又设原动件 1以角速度 等速回转
,作用于滑块 5上 F点的生产阻力为 。1
rP
求在 图 4—5所示位置时各运动副中的反力，以及为了维持机构按已知运动规律运转需要加在原动件 1上 G点处沿方向
xx的平衡力 。
bP
图4-5 a
Q 2
A
1
x
Bx 2
3 4
D
C
S 2
h'
2
E
5
F
a F
Q 5
P I5
P r
1,对 机 构 进 行 运 动 分 析用选定的长度比例尺 μ l,速度比例尺 μ a和加速度比例尺 μ a,作机构图及其速度多边求解步骤：
分别如图 a,b,c所示。
e
f
图4-5 b
c
V B
p(a',d')
Vc
b
e'
n' 4
n'
s'c'
f'
p'(a',d')
b'
2
2
n' 3
图4- 5 c
2、确定各构件上的惯性力及惯性力偶矩作用在连杆 2上的惯性力及惯性力偶矩为
22222 / spgQamP aSI
22222222 // lcnJlaJJM aStCBSSI
将 及 MI2合并成一个总惯性力,其作用线从质心 S2处偏移一距离 h2,其值为,而且 对质心 S2之矩的方向应与 α 2的方向相反。
作用在滑块 5上的惯性力为,其方向与 （即 ）的方向相反。
2IP
22 II PP
222 / II PMh?
2IP
fpgQamP aSI/55 55
5S
a Fa
具体位置见下页图 4-5a
图4-5 a
Q 2
A
1
x
Bx 2
3 4
D
C
S 2
h'
2
E
5
F
a F
Q 5
P I5
P r
3、机构的动态静力分析先将各构件惯性力视为外力加于相应的构件上，并按静定条件将机构为两个构件组 5,4和 3,2及作用有平衡力的构件 1。
然后可由构件组 5,4开始进行力分析。
图4-5 d
R 45
Q 5
R 65
R 25
Pr
在构件组 5,4中，不计构件的重量及惯性力，故 4为二力构件,并且沿构件 4
的方向。 3454 RR
rP
5IP
65R45R
5Q
取滑块 5为分离体,此构件上作用有外力,重力惯性力,运动副反力 和,且均过点 F，由力平衡条件
1）先分析构件组 5,4
065545 5 RQPPR Ir
方向 √ √ √ √ √
大小 √ √ √？？
作图求解：
1、如图所示，用选定的力比例尺 μp(N\m)，
从点 a连续作矢量,和 分别平行于,
和 。 2、分别由点 a和点 d作直线 ae和
de分别平行于力和,两线相交于点
e，则矢量 和,
即分别代表 和,
即
ab cdbc
rP 5IP
5Q
ea
45R
65R
de
eaR P45 deR
p65
图4-5 d
R 45
Q 5
R 65
R 25
Pr
a
Q 5
b c
P r P I5
d
a
Q 5
b
P r
c
P I5
d
e
R 45
图 4-5e65R45R
h'
I2P'
Q 2
S 2
B
C
3
R 43
E
D
h'
I2P'
Q 2
S 2
B
C
3
R 43
E
D
n
R 12
R 12
t
R 43 n
R 43
3
h'h' 2
h'
I2P'
Q 2
S 2
B
C
3
R 43
E
D
n
R 12
R 12
t
R 43 n
R 43
63R
4543 RR
nR12
2IP?
2)分析构件组 3,2（图 f）。
1、将构件 2,3上作用的外力,总惯性力 及运动副 E中的反力 示出。 2、将运动副 B,D中待求反力 及 分别分解为沿
BC及 DC方向的法向反力及 和直于 BC和 DC的切向分力 及 。
3、分别就构件 2,3对点 C取矩，则根据力平衡条件
∑MC=0,可分别求得
12R
nR63
2Q
BCIt lhPhQR /122212
CDt lhRR /34363
tR63tR12
步骤 1：
R 43
P rb P I5c d
R 63
R 45
Q 5
a
f
f'
I2
R 12
Q 2P'
f" g
h
e
步骤 2：
当 和 求出后（如所得或 为负值，则表示该力与原来所取方向相反），再根据整个构件组的力平衡条件得上式中仅 及 的大小未知，
故可用图解法求得，如图 e所示。则矢量 和 即分别代表 和 。于是得
tR12 tR63
0121222436363 ntItn RRQPRRR
tR12
tR63
nR12 nR
63
ff? ff?
nR63nR12
tn RRR 121212 hfR P12
tn RRR 636363 faR P63
h
R 12
g
Q 2
f"
P'I2
e
cP r
Q 5
b
R 43
P I5 d
R 45
a
R 63
f'
R 32
f步骤 3：
根据构件 2的平衡条件可知矢量 即代表运动副 C中的反力,
故 。
0223212 IPQRR
fe
32R
feR P32
3）分析构件 1
取构件 1为分离体（图 g）。
根据构件的平衡条件写出
06121 RPR b
61R
1221 RR
bP
式中,而平衡力 的方位已知，沿 xx线。
于是根据构件平衡是所受的三个力应汇交于一点的条件，
可定出运动副 A中的反力的方向。而由此可知，上式中仅有 和 的大小未知，
故可用图解法求出。 bP 61R
图4-5 g
R 61
P
b
x
x
R 21
R 32
R 45 h
a
e
cP r
Q 5
b
R 43
P I5 d
P
b
i
R 61
R 12R 63
f'
f
g
Q 2
f"
P'I2
图4 -5 e
如图 e所示，矢量代表,分别由点和点 h按 和 的方向作直线 fi和 hi，
交于点 I，则矢量和 即分别代表平衡力 和反力 。
于是得
fh
21R
61RbP
if
hi
bP 61R
ifP Pb
hiR P61
工程实际中,有时只需要知道为了维持机械按给定规律运动时应加于机械上的平衡力而并不需要运动副反力 。 此种情况下若按上述顺序求解就显得过于繁琐了,下面介绍一种简易求法 。
§ 4-4 平衡力的简易求法 —汝氏杠杆法如前述,根据达朗伯尔原理,当将机构各构件的惯性力视为升力加于相应构件上以后,即可以认为该构件处于力平衡状态,因此,根据虚位移原理可以写出,0co s?
iSi
i
dP?
上式说明,当机构处于力平衡状态时，其上作用的所有升力的即时功率之和等于零。
dSi—力作用点的微小位移
dS—力与之间的夹角将上式除以 dt，则得,∑PiVicosαi∑Ni=0
Vi —机构中力作用点的速度
Pi—作用于机构上的任一外力（包括惯性力和平衡力）
如 何 求 力 瞬 时 功率呢？ 以图 4—15（ a）
所示构件 AB 为 例 加以说明设作用于点 B
的外力为,点 B的速度为,而 与 的夹角为,则其瞬时功率 为
BBBB VPN?c o s?
BN
BP BV
BP
BV
B?
图4— 15a
A
B
V B
P B
又如图 4—15（ b)所示，将代表 的矢量 转过,并将平移到转向速度矢量 的对应点上，则得 如上式中 PBhB
是力 PB对转向速度矢量之极点的力矩。故此式表明，任意力 的功率 与对转向矢量之极点的力矩成正比。
BV pb
BBVBVBBBBB hPpbPVPN c o sc o s
90
BP
iNiP
图4— 15b
b
V B
P
h
B
b P
B
根据这一原理,设想作出机构的转向速度多 边形 （ 将机构 原速度多边形 整个转 过
90°,并将各力平移到其转向速度为边形的对应点上,则可得 即0
iiV hP? 0 iihP
因此，当机构上的其他外力为已知时，应用上式便可很方便地将平衡力求出来此方法在求解过程中,相当于将机构的转向速度多边形视为刚性杠杆,而个力对其极点取矩,所以常称为速度多边形杠杆法,又因这种方法是俄国学者茹考夫斯基首创的,所以又称 茹氏杠杆法 。
具体应用见下页例题 。
b
A
x
P
x B
b
D
Q 2
E
C
I2P'
P
Q
5
P'P
5Q Q
r
P
I5
F
f
C
I5P'P r
e
2 P
b
P'
b
I2
