微分方程模 型浙江大学数学建模实践基地
§ 3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
例 1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图 3-1中不难看出，小球所受的合力为 mgsinθ，
根据 牛顿第二定律 可得：
si nml mg
从而得出两阶微分方程：
0
s in 0
( 0 ) 0,( 0 )
g
l
（ 3.1）
这是理想单摆应满足的运动方程
（ 3.1） 是一个两阶非线性方程，不易求解。当 θ 很小时,sinθ≈θ,此时，
可考察（ 3.1）的近似线性方程：
0
0
( 0 ) 0,( 0 )
g
l
（ 3.2）
由此即可得出
2 gT l
（ 3.2）的解为,θ(t)= θ0cosωt
g
l
其中当 时,θ(t)=0
4
Tt?
42
gT
l
故有
M
Q
P
mg
l
图 3-1
（ 3.1）的近似方程例 2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为 60哩，潜水艇最大航速为 30节而巡逻艇最大航速为 60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。
设巡逻艇在 A处发现位于 B处的潜水艇，取极坐标，以 B
为极点,BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为 r=r(θ)，见图 3-2。
B A
A1dr
ds
dθ
θ
图 3-2
由题意，,故 ds=2dr2ds dr
dt dt?
图 3-2可看出,2 2 2( ) ( ) ( )ds dr rd
故有,2 2 23 ( ) ( )dr r d
即,
3
rdr d （ 3.3）
解为：
3r A e
（ 3.4）
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按 （ 3.4）
对数螺线航行，即可追上潜艇。
追赶方法如下：
例 3 一个半径为 Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为 Scm2的小孔在 t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？
解,以容器的底部 O点为 原点，取坐标系如图 3.3所示。
令 h(t)为 t时刻容器中水的高度，现建立 h(t)满足的微分方程。
设水从小孔流出的速度为 v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：
( ) 0,6 2t g h
因体积守衡，又可得：
2d V r d h s d t
易见：
22()r R R h
故有：
2[ ( ) ] 0,6 2R R h d h S g h d t
22
0,6 2
[ ( ) ]
S h gdh
d t R R h
即：
这是可分离变量的一阶微分方程，得
220 [ ( ) ]
0,6 2R
R R hT d h
S g h
30
2( 2 )
0,6 2 R R h h d hSg
5
35 2
0224 2 1 4
350,6 2 9 2R
RR h h
S g S g
R
x
y
S
O
图 3-3
h
r
例 4 一根长度为 l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为 T1，另一端温度恒为 T2，（ T1,T2为常数,T1> T2）。
金属杆横截面积为 A，截面的边界长度为 B，它完全暴露在空气中，
空气温度为 T3，（ T3<T2,T3为常数），导热系数为 α，试求金属杆上的温度分布 T(x)，（设金属杆的导热率为 λ）
一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，
如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。
但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数 T(x)。
热传导现象机理,当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，
比例系数与介质有关。
T1 T2
o x
A
B
T3
l
dt时间内通过距离 O点 x处截面的热量为,'( )A T x dt
dt时间内通过距离 O点 x+dx处截面的热量为,'( )A T x d x d t
由泰勒公式,'( ) [ '( ) ( ) ]A T x d x d t A T x T x d x d t
金属杆的微元 [x,x+dx]在 dt内由获得热量为,()A T x dxdt
同时，微元向空气散发出的热量为,3[ ( ) ]Bdx T x T dt
系统处于热平衡状态，故有：
3( ) [ ( ) ]A T x d x d t B d x T x T d t
所以金属杆各处温度 T(x)满足的微分方程,
3( ) ( )
BT x T T
A
这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解
§ 3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
例 1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图 3-1中不难看出，小球所受的合力为 mgsinθ，
根据 牛顿第二定律 可得：
si nml mg
从而得出两阶微分方程：
0
s in 0
( 0 ) 0,( 0 )
g
l
（ 3.1）
这是理想单摆应满足的运动方程
（ 3.1） 是一个两阶非线性方程，不易求解。当 θ 很小时,sinθ≈θ,此时，
可考察（ 3.1）的近似线性方程：
0
0
( 0 ) 0,( 0 )
g
l
（ 3.2）
由此即可得出
2 gT l
（ 3.2）的解为,θ(t)= θ0cosωt
g
l
其中当 时,θ(t)=0
4
Tt?
42
gT
l
故有
M
Q
P
mg
l
图 3-1
（ 3.1）的近似方程例 2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为 60哩，潜水艇最大航速为 30节而巡逻艇最大航速为 60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。
设巡逻艇在 A处发现位于 B处的潜水艇，取极坐标，以 B
为极点,BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为 r=r(θ)，见图 3-2。
B A
A1dr
ds
dθ
θ
图 3-2
由题意，,故 ds=2dr2ds dr
dt dt?
图 3-2可看出,2 2 2( ) ( ) ( )ds dr rd
故有,2 2 23 ( ) ( )dr r d
即,
3
rdr d （ 3.3）
解为：
3r A e
（ 3.4）
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按 （ 3.4）
对数螺线航行，即可追上潜艇。
追赶方法如下：
例 3 一个半径为 Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为 Scm2的小孔在 t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？
解,以容器的底部 O点为 原点，取坐标系如图 3.3所示。
令 h(t)为 t时刻容器中水的高度，现建立 h(t)满足的微分方程。
设水从小孔流出的速度为 v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：
( ) 0,6 2t g h
因体积守衡，又可得：
2d V r d h s d t
易见：
22()r R R h
故有：
2[ ( ) ] 0,6 2R R h d h S g h d t
22
0,6 2
[ ( ) ]
S h gdh
d t R R h
即：
这是可分离变量的一阶微分方程，得
220 [ ( ) ]
0,6 2R
R R hT d h
S g h
30
2( 2 )
0,6 2 R R h h d hSg
5
35 2
0224 2 1 4
350,6 2 9 2R
RR h h
S g S g
R
x
y
S
O
图 3-3
h
r
例 4 一根长度为 l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为 T1，另一端温度恒为 T2，（ T1,T2为常数,T1> T2）。
金属杆横截面积为 A，截面的边界长度为 B，它完全暴露在空气中，
空气温度为 T3，（ T3<T2,T3为常数），导热系数为 α，试求金属杆上的温度分布 T(x)，（设金属杆的导热率为 λ）
一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，
如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。
但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数 T(x)。
热传导现象机理,当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，
比例系数与介质有关。
T1 T2
o x
A
B
T3
l
dt时间内通过距离 O点 x处截面的热量为,'( )A T x dt
dt时间内通过距离 O点 x+dx处截面的热量为,'( )A T x d x d t
由泰勒公式,'( ) [ '( ) ( ) ]A T x d x d t A T x T x d x d t
金属杆的微元 [x,x+dx]在 dt内由获得热量为,()A T x dxdt
同时，微元向空气散发出的热量为,3[ ( ) ]Bdx T x T dt
系统处于热平衡状态，故有：
3( ) [ ( ) ]A T x d x d t B d x T x T d t
所以金属杆各处温度 T(x)满足的微分方程,
3( ) ( )
BT x T T
A
这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解
