§ 3.10 分布参数法建模前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。
考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。
例 8 人口问题的偏微分方程模型人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。
令 p(t,x)为 t时刻年龄为 x的人口密度，则 t时人口总数为：0( ) (,)
A
P t p t x d x
其中 A为人的最大寿命。
设 t时刻年龄为 x的人的死亡率为 d(t,x)，则有：
(,) (,) (,) (,)p t d t x d x p t x d t d x d t x d t p t x d x d t
dx=dt，由上式可导出：
(,) (,)pp d t x p t xtx
（ 3.38）
初始条件,P(0,x)=P0(x) （ 3.39）
边界条件,2
1(,0 ) (,) (,) (,)
x
xP t b t x k t x p t x d x
（ 3.40）
k(t,x)女性性别比
b(t,x)女性生育率
[x1,x2]妇女生育期对（ 3.38）式关于 x从 0到 A积分，得：
0(,0 ) (,) (,)
AdP
P t d t x p t x d xdt
2
1 0(,) (,) (,) (,) (,)
xA
x b t x k t x p t x d x d t x p t x d x
令：
0 (,) (,) (,)()
()
A
b t x k t x p t x dx
Bt
Pt
0 (,) (,)()
()
A
d t x p t x dx
Dt
Pt
B(t),D(t)分别为 t时刻的生育率和死亡率。则有：
( ( ) ( ) ) ( )dP B t D t P tdt
若 B(t),D(t)与 t无关，则可得,
0
( ) ( )
( 0 )
dP B D P t
dt
PP
此即 Malthus模型例 9 交通流问题问题的两个角度：
司机或旅客 安全、快速地到达目的地交通管理部门 尽可能多的人安全地通过集中参数法：
假设车流量是均匀分布目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。
现实生活中可能吗？
车流密度和车速不可能是常数分布参数法：
x轴表示公路,x轴正向表示车流方向。
如果采用连续模型，设 u(t,x)为时刻 t时车辆按 x方向分布的密度，再设 q(t,x)为车辆通过 x点的流通率。
车辆数守恒，有,(,) (,) (,) (,)u t d t x d x u t x d x q t x d t q t x d x d t
假设函数连续可微，有：
(,) (,) 0uqt x t xtx（ 3.41）
由于安全上的原因,q是 u的函数，该函数关系称为基本方程或结构方程。
利用经验公式导出基本方程。
q
0 uum uj
图 3-28
图 3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,
其中 u的单位是车辆数 /每英里,q的单位为车辆数 /每小时。图中可以看出：
（ 2） u增大到一定程度（达到 um）时,q达到最大； u继续增大时，车辆流 q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车辆率，使之下降，（出现堵塞）。
（ 1）当 u的值较小时，公路利用率较低,q较小（ u=0时公路是空置的，车辆率 q为零）；随着 u的增大，公路利用率逐渐提高,q逐渐增大。
根据美国公路实际统计：
当 u≈75辆 /每英里可达到最大车辆流当 u≈225辆 /英里时,q≈0，即堵塞。
根据图 3-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合 q=q(u)。
uf为自由速度,uj为出现完全堵塞时的车流密度 。
Greenshields用二次函数来拟合。
他令：
(1 / )fjq u u u u 0≤u≤uj
um=uj/2,qm=ufum/2有：
将 Greenshields的基本方程代入（ 3.41），利用复合函数求导法则并注意到 uf,uj均为常数，可得：
2(,) ( ) (,) 0f
f
j
uuuut x u t x
t u x
令,方程可简化为：2
f
f
j
uh u u
u (,) (,) 0
hht x h t x
tx
初值条件：
0
2(0,) ( )f
f
j
uh x u u x
u
考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。
例 8 人口问题的偏微分方程模型人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。
令 p(t,x)为 t时刻年龄为 x的人口密度，则 t时人口总数为：0( ) (,)
A
P t p t x d x
其中 A为人的最大寿命。
设 t时刻年龄为 x的人的死亡率为 d(t,x)，则有：
(,) (,) (,) (,)p t d t x d x p t x d t d x d t x d t p t x d x d t
dx=dt，由上式可导出：
(,) (,)pp d t x p t xtx
（ 3.38）
初始条件,P(0,x)=P0(x) （ 3.39）
边界条件,2
1(,0 ) (,) (,) (,)
x
xP t b t x k t x p t x d x
（ 3.40）
k(t,x)女性性别比
b(t,x)女性生育率
[x1,x2]妇女生育期对（ 3.38）式关于 x从 0到 A积分，得：
0(,0 ) (,) (,)
AdP
P t d t x p t x d xdt
2
1 0(,) (,) (,) (,) (,)
xA
x b t x k t x p t x d x d t x p t x d x
令：
0 (,) (,) (,)()
()
A
b t x k t x p t x dx
Bt
Pt
0 (,) (,)()
()
A
d t x p t x dx
Dt
Pt
B(t),D(t)分别为 t时刻的生育率和死亡率。则有：
( ( ) ( ) ) ( )dP B t D t P tdt
若 B(t),D(t)与 t无关，则可得,
0
( ) ( )
( 0 )
dP B D P t
dt
PP
此即 Malthus模型例 9 交通流问题问题的两个角度：
司机或旅客 安全、快速地到达目的地交通管理部门 尽可能多的人安全地通过集中参数法：
假设车流量是均匀分布目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。
现实生活中可能吗？
车流密度和车速不可能是常数分布参数法：
x轴表示公路,x轴正向表示车流方向。
如果采用连续模型，设 u(t,x)为时刻 t时车辆按 x方向分布的密度，再设 q(t,x)为车辆通过 x点的流通率。
车辆数守恒，有,(,) (,) (,) (,)u t d t x d x u t x d x q t x d t q t x d x d t
假设函数连续可微，有：
(,) (,) 0uqt x t xtx（ 3.41）
由于安全上的原因,q是 u的函数，该函数关系称为基本方程或结构方程。
利用经验公式导出基本方程。
q
0 uum uj
图 3-28
图 3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,
其中 u的单位是车辆数 /每英里,q的单位为车辆数 /每小时。图中可以看出：
（ 2） u增大到一定程度（达到 um）时,q达到最大； u继续增大时，车辆流 q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车辆率，使之下降，（出现堵塞）。
（ 1）当 u的值较小时，公路利用率较低,q较小（ u=0时公路是空置的，车辆率 q为零）；随着 u的增大，公路利用率逐渐提高,q逐渐增大。
根据美国公路实际统计：
当 u≈75辆 /每英里可达到最大车辆流当 u≈225辆 /英里时,q≈0，即堵塞。
根据图 3-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合 q=q(u)。
uf为自由速度,uj为出现完全堵塞时的车流密度 。
Greenshields用二次函数来拟合。
他令：
(1 / )fjq u u u u 0≤u≤uj
um=uj/2,qm=ufum/2有：
将 Greenshields的基本方程代入（ 3.41），利用复合函数求导法则并注意到 uf,uj均为常数，可得：
2(,) ( ) (,) 0f
f
j
uuuut x u t x
t u x
令,方程可简化为：2
f
f
j
uh u u
u (,) (,) 0
hht x h t x
tx
初值条件：
0
2(0,) ( )f
f
j
uh x u u x
u
