§ 3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（ 1）卫星能在轨道上运动的最低速度假设,（ i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。
（ ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。分析：
根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为,
2
kmF
r?在地面有,
2
km mg
R?
得,k=gR2
R为地球半径，
约为 6400公里故引力,2R
F m g r
假设 (ii)
dm
m-dm
v
u-v
假设 (i)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有,2m
F r
从而,g
R r
设 g=9.81米 /秒 2，得,
卫星离地面高度
(公里 )
卫星速度
(公里 /秒 )
100
200
400
600
800
1000
7.80
7.69
7.58
7.47
7.37
7.86
（ 2）火箭推进力及速度的分析假设,火箭重力及空气阻力均不计分析,记火箭在时刻 t的质量和速度分别为 m(t)和 υ(t)
2( ) ( ) ( )dmm t t m t t O t
dt
有：
记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
由动量守恒定理：
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )dmm t t m t t t t t O t t u
dt
υ 0和 m0一定的情况下，
火箭速度 υ(t) 由喷发速度 u及质量比决定。
d dmmu
dt dt
故,由此解得,0
0( ) ln ()
mtu
mt
(3.11)
（ 2）火箭推进力及速度的分析现将火箭 —— 卫星系统的质量分成三部分：
（ i） mP（有效负载，如卫星）
（ ii） mF（燃料质量）
（ iii） mS（结构质量 —— 如外壳、燃料容器及推进器）。
最终质量为 mP + mS,初始速度为 0，
所以末速度：
ln O
PS
mu
mm
根据目前的技术条件和燃料性能,u只能达到 3公里 /秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过 6.6公里 /秒。 目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中 不断减少，那么末速度能达到要求吗？
2、理想火箭模型假设,记结构质量 mS在 mS + mF中占的比例为 λ，假设火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以 λ与（ 1-λ）的比例同时减少。
建模,由 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ( ) ) ( )d m d mm t t m t t t t t u t O t
d t d t
得到：
(1 )d m d mmud t d t
解得：
0( ) (1 ) ln ()mtu mt
理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为 mP，
所以最终速度为：
0(1 ) ln
P
mu
m
只要 m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。
考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使 υ=10.5公里 /秒才行，则可推算出 m0/ mp约为 51,即发射一吨重的卫星大约需要 50吨重的理想火箭哈哈，我还是有可能上天的！
3、理想过程的实际逼近 —— 多级火箭卫星系统记火箭级数为 n，当第 i级火箭的燃料烧尽时，第 i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第 i级火箭。用 mi表示第
i级火箭的质量,mP表示有效负载。
为简单起见，先作如下假设：
（ i）设各级火箭具有相同的 λ,即 i级火箭中 λmi为结构质量，（ 1-λ） mi为燃料质量。
（ ii） 设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，
并记比值为 k。
考虑二级火箭：
由 3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
12
2
12
ln P
P
m m mu
m m m
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 1 2 2
22
2 1 2 2
l n l nP P P
P P P
m m m m m m muu
m m m m m m m
该假设有点强加的味道，先权作讨论的方便吧又由假设（ ii）,m2=kmP,m1=k(m2+mP)，代入上式，
并仍设 u=3公里 /秒，且为了计算方便，近似取 λ=0.1，则可得,12
2
2
12
2
11
3 l n
0,1 0,1
11
PP
PP
mm
m m m
mm
m m m
211
3 l n 6 l n0,1 1 0,1 1kk
要使 υ2=10.5公里 /秒，则应使,1 0,561 5,7 5
0,1 1
k e
k
即 k≈11.2，而,
12 149P
P
m m m
m
类似地，可以推算出三级火箭：
1 2 3 2 3 3
3
1 2 3 2 3 3
ln P P P
P P P
m m m m m m m m mu
m m m m m m m m m
在同样假设下,3
3
113 l n 9 l n
0,1 1 0,1 1
kk
要使 υ3=10.5公里 /秒，则 (k+1)/(0.1k+1)≈3.21,k≈3.25，而
（ m1+ m2+ m3+ mP） / mP≈77。
三级火箭比二级火箭几乎节省了一半是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。
考虑 N级火箭：
记 n级火箭的总质量（包含有效负载 mP）为 m0,在相同的假设下可以计算出相应的 m0/ mP的值，见表 3-2
n（ 级数 ） 1 2 3 4 5 … ∞ （ 理想 ）
火箭质量 （ 吨 ） / 149 77 65 60 … 50
表 3-2
由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。
当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，
也可选择二级火箭。
4、火箭结构的优化设计
3中已经能说过假设 (ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同 λ 的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。
W1=m1+… + mn+ mP
W2=m2+… + mn+ mP
……
Wn= mn+ mP
Wn+1= mP
记应用（ 3.11）可求得末速度：
12
1 2 2 3 1
ln nn
nn
WWWu
m W m W m W
1
1
21
,,n n
n
WW kk
WW
记
1
12
1
2 1
ln
11 11
n
n
n
n
n
WW
WW
u
WW
W W
则
1 1 2 1 12
1 2 3 1
n
nn
W W W W k k k
W W W W
又问题化为，在 υn一定的条件下，求使 k1 k2… kn最小
1
ln [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]n
n
kku
kk
解条件极值问题：
12
12
1
m in
..
[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]
n
n
n
k k k
k k ks t C
kk
或等价地求解无约束极值问题：
12
12
1
m in [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nn
n
k k kk k k a C
kk
可以解出最优结构设计应满足：
12 nk k k
火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ ii）
相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（ 1）卫星能在轨道上运动的最低速度假设,（ i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。
（ ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。分析：
根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为,
2
kmF
r?在地面有,
2
km mg
R?
得,k=gR2
R为地球半径，
约为 6400公里故引力,2R
F m g r
假设 (ii)
dm
m-dm
v
u-v
假设 (i)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有,2m
F r
从而,g
R r
设 g=9.81米 /秒 2，得,
卫星离地面高度
(公里 )
卫星速度
(公里 /秒 )
100
200
400
600
800
1000
7.80
7.69
7.58
7.47
7.37
7.86
（ 2）火箭推进力及速度的分析假设,火箭重力及空气阻力均不计分析,记火箭在时刻 t的质量和速度分别为 m(t)和 υ(t)
2( ) ( ) ( )dmm t t m t t O t
dt
有：
记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
由动量守恒定理：
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )dmm t t m t t t t t O t t u
dt
υ 0和 m0一定的情况下，
火箭速度 υ(t) 由喷发速度 u及质量比决定。
d dmmu
dt dt
故,由此解得,0
0( ) ln ()
mtu
mt
(3.11)
（ 2）火箭推进力及速度的分析现将火箭 —— 卫星系统的质量分成三部分：
（ i） mP（有效负载，如卫星）
（ ii） mF（燃料质量）
（ iii） mS（结构质量 —— 如外壳、燃料容器及推进器）。
最终质量为 mP + mS,初始速度为 0，
所以末速度：
ln O
PS
mu
mm
根据目前的技术条件和燃料性能,u只能达到 3公里 /秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过 6.6公里 /秒。 目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中 不断减少，那么末速度能达到要求吗？
2、理想火箭模型假设,记结构质量 mS在 mS + mF中占的比例为 λ，假设火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以 λ与（ 1-λ）的比例同时减少。
建模,由 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ( ) ) ( )d m d mm t t m t t t t t u t O t
d t d t
得到：
(1 )d m d mmud t d t
解得：
0( ) (1 ) ln ()mtu mt
理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为 mP，
所以最终速度为：
0(1 ) ln
P
mu
m
只要 m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。
考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使 υ=10.5公里 /秒才行，则可推算出 m0/ mp约为 51,即发射一吨重的卫星大约需要 50吨重的理想火箭哈哈，我还是有可能上天的！
3、理想过程的实际逼近 —— 多级火箭卫星系统记火箭级数为 n，当第 i级火箭的燃料烧尽时，第 i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第 i级火箭。用 mi表示第
i级火箭的质量,mP表示有效负载。
为简单起见，先作如下假设：
（ i）设各级火箭具有相同的 λ,即 i级火箭中 λmi为结构质量，（ 1-λ） mi为燃料质量。
（ ii） 设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，
并记比值为 k。
考虑二级火箭：
由 3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
12
2
12
ln P
P
m m mu
m m m
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 1 2 2
22
2 1 2 2
l n l nP P P
P P P
m m m m m m muu
m m m m m m m
该假设有点强加的味道，先权作讨论的方便吧又由假设（ ii）,m2=kmP,m1=k(m2+mP)，代入上式，
并仍设 u=3公里 /秒，且为了计算方便，近似取 λ=0.1，则可得,12
2
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11
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0,1 0,1
11
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要使 υ2=10.5公里 /秒，则应使,1 0,561 5,7 5
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k e
k
即 k≈11.2，而,
12 149P
P
m m m
m
类似地，可以推算出三级火箭：
1 2 3 2 3 3
3
1 2 3 2 3 3
ln P P P
P P P
m m m m m m m m mu
m m m m m m m m m
在同样假设下,3
3
113 l n 9 l n
0,1 1 0,1 1
kk
要使 υ3=10.5公里 /秒，则 (k+1)/(0.1k+1)≈3.21,k≈3.25，而
（ m1+ m2+ m3+ mP） / mP≈77。
三级火箭比二级火箭几乎节省了一半是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。
考虑 N级火箭：
记 n级火箭的总质量（包含有效负载 mP）为 m0,在相同的假设下可以计算出相应的 m0/ mP的值，见表 3-2
n（ 级数 ） 1 2 3 4 5 … ∞ （ 理想 ）
火箭质量 （ 吨 ） / 149 77 65 60 … 50
表 3-2
由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。
当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，
也可选择二级火箭。
4、火箭结构的优化设计
3中已经能说过假设 (ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同 λ 的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。
W1=m1+… + mn+ mP
W2=m2+… + mn+ mP
……
Wn= mn+ mP
Wn+1= mP
记应用（ 3.11）可求得末速度：
12
1 2 2 3 1
ln nn
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m W m W m W
1
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21
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1
12
1
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11 11
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则
1 1 2 1 12
1 2 3 1
n
nn
W W W W k k k
W W W W
又问题化为，在 υn一定的条件下，求使 k1 k2… kn最小
1
ln [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]n
n
kku
kk
解条件极值问题：
12
12
1
m in
..
[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]
n
n
n
k k k
k k ks t C
kk
或等价地求解无约束极值问题：
12
12
1
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n
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kk
可以解出最优结构设计应满足：
12 nk k k
火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ ii）
相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！
