§ 3.7 稳定性问题在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，
但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。
一般的微分方程或微分方程组可以写成：
(,)dx f t xdt?
定义 称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。
()dx fxdt?
（ 3.28）
若方程或方程组 f(x)=0有解 Xo,X=Xo显然满足（ 3.28）。 称点
Xo为微分方程或微分方程组（ 3.28)的平衡点或奇点。
例 7 本章第 2节中的 Logistic模型
()dN k K N Ndt
共有两个平衡点,N=0和 N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为 No=0时的解而后者为 No=K时的解。
当 No<K时，积分曲线 N=N(t)位于 N=K的下方；当 No>K时，
则位于 N=K的上方。从图 3-17中不难看出，若 No>0，积分曲线在 N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于 K。这说明，平衡点
N=0和 N=K有着极大的区别。
图 3-17
定义 1 自治系统 的相空间是指以（ x1,…,xn）为坐标的空间 Rn。 ()
dx fx
dt?
特别，当 n=2时，称相空间为相平面。
空间 Rn的点集 {(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足 (3.28),i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。
定义 2 设 x0是（ 3.28）的平衡点，称：
（ 1） x0是稳定的，如果对于任意的 ε >0，存在一个 δ >0，
只要 |x(0)- x0|<δ,就有 |x(t)- x0|<ε 对所有的 t都成立。
（ 2） x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。
0l im ( ) 0t x t x
微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。
（ 3） x0是不稳定的，如果（ 1）不成立。
根据这一定义,Logistic方程的平衡点 N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点
N=0则是不稳定的。
解析方法定理 1 设 xo是微分方程 的平衡点：)( xf
dt
dx?
0)('?oxf若,则 x
o是渐近稳定的
'( ) 0ofx?若,则 x
o是渐近不稳定的证 由泰勒公式，当 x与 xo充分接近时，有：
( ) ( ) '( ) ( )o o o of x f x f x x x o x x
由于 xo是平衡点，故 f(xo)=0。若,则当 x<xo时必有 f(x)>0，从而 x单增；当 x>xo时，又有
f(x)<0，从而 x单减。无论在哪种情况下都有 x→ xo，
故 xo是渐进稳定的。
0)('?oxf
的情况可类似加以讨论。'( ) 0ofx?
高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，
大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。
考察两阶微分方程组：
1
12
2
12
(,)
(,)
dx
f x x
dt
dx
g x x
dt
（ 3.29）
令,作一坐标平移，不妨仍用 x记 x’，则平衡点 xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。
将 f(x1,x2),g(x1,x2)在原点展开，（ 3.29）又可写成,
oxxx'
12
12
' ' 2 21
1 2 1 2
' ' 2 22
1 2 1 2
( 0,0) ( 0,0) ( )
( 0,0) ( 0,0) ( )
xx
xx
dx f x f x o x x
dt
dx g x g x o x x
dt
考察（ 3.29）的线性近似方程组,1 12
2
12
dx
ax bx
dt
dx
cx dx
dt
（ 3.30）
其中：
1
' (0,0)xaf?
2
' (0,0)xbf?
1
' (0,0)xcg? 2' (0,0)xdg?
记 ab
A cd λ1,λ2为 A的特征值则 λ1,λ2是方程：
det（ A-λI） =λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根令 p=a+d,q=ad-bc=|A|，则,记 。2
1,2
1 ( 4 )
2 p p q
2 4pq
讨论特征值与零点稳定的关系
（ 1）若△ >0，可能出现以下情形：
① 若 q>0,λ1λ2>0。
当 p>0时,零点不稳定；
当 p<0时，零点稳定
② 若 q<0,λ 1λ 2<0
当 c1=0时，零点稳定当 c1≠0 时,零点为不稳定的鞍点
③ q=0，此时 λ1=p,λ2=0，零点不稳定。
（ 2） △ =0，则 λ1=λ2:
① λ有两个线性无关的特征向量当 p>0时，零点不 稳定当 p<0时，零点稳定
② 如果 λ只有一个特征向量当 p≥0时，零点不 稳定当 p>0时，零点稳定
（ 2） △ <0,此时 ia
2,1
)2,2(pa
若 a>0，零点稳定若 a=0，有零点为中心的周期解综上所述：仅当 p<0且 q>0时,（ 3.30）零点才是渐近稳定的；当 p=0且 q>0时（ 3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。
非线性方程组（ 3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立,
定理 2 若（ 3.30）的零点是渐近稳定的，则（ 3.29）的平衡点也是渐近稳定的；若（ 3.30）的零点是不稳定的，则（ 3.29）
的平衡点也是不稳定的。
但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。
一般的微分方程或微分方程组可以写成：
(,)dx f t xdt?
定义 称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。
()dx fxdt?
（ 3.28）
若方程或方程组 f(x)=0有解 Xo,X=Xo显然满足（ 3.28）。 称点
Xo为微分方程或微分方程组（ 3.28)的平衡点或奇点。
例 7 本章第 2节中的 Logistic模型
()dN k K N Ndt
共有两个平衡点,N=0和 N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为 No=0时的解而后者为 No=K时的解。
当 No<K时，积分曲线 N=N(t)位于 N=K的下方；当 No>K时，
则位于 N=K的上方。从图 3-17中不难看出，若 No>0，积分曲线在 N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于 K。这说明，平衡点
N=0和 N=K有着极大的区别。
图 3-17
定义 1 自治系统 的相空间是指以（ x1,…,xn）为坐标的空间 Rn。 ()
dx fx
dt?
特别，当 n=2时，称相空间为相平面。
空间 Rn的点集 {(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足 (3.28),i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。
定义 2 设 x0是（ 3.28）的平衡点，称：
（ 1） x0是稳定的，如果对于任意的 ε >0，存在一个 δ >0，
只要 |x(0)- x0|<δ,就有 |x(t)- x0|<ε 对所有的 t都成立。
（ 2） x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。
0l im ( ) 0t x t x
微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。
（ 3） x0是不稳定的，如果（ 1）不成立。
根据这一定义,Logistic方程的平衡点 N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点
N=0则是不稳定的。
解析方法定理 1 设 xo是微分方程 的平衡点：)( xf
dt
dx?
0)('?oxf若,则 x
o是渐近稳定的
'( ) 0ofx?若,则 x
o是渐近不稳定的证 由泰勒公式，当 x与 xo充分接近时，有：
( ) ( ) '( ) ( )o o o of x f x f x x x o x x
由于 xo是平衡点，故 f(xo)=0。若,则当 x<xo时必有 f(x)>0，从而 x单增；当 x>xo时，又有
f(x)<0，从而 x单减。无论在哪种情况下都有 x→ xo，
故 xo是渐进稳定的。
0)('?oxf
的情况可类似加以讨论。'( ) 0ofx?
高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，
大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。
考察两阶微分方程组：
1
12
2
12
(,)
(,)
dx
f x x
dt
dx
g x x
dt
（ 3.29）
令,作一坐标平移，不妨仍用 x记 x’，则平衡点 xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。
将 f(x1,x2),g(x1,x2)在原点展开，（ 3.29）又可写成,
oxxx'
12
12
' ' 2 21
1 2 1 2
' ' 2 22
1 2 1 2
( 0,0) ( 0,0) ( )
( 0,0) ( 0,0) ( )
xx
xx
dx f x f x o x x
dt
dx g x g x o x x
dt
考察（ 3.29）的线性近似方程组,1 12
2
12
dx
ax bx
dt
dx
cx dx
dt
（ 3.30）
其中：
1
' (0,0)xaf?
2
' (0,0)xbf?
1
' (0,0)xcg? 2' (0,0)xdg?
记 ab
A cd λ1,λ2为 A的特征值则 λ1,λ2是方程：
det（ A-λI） =λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根令 p=a+d,q=ad-bc=|A|，则,记 。2
1,2
1 ( 4 )
2 p p q
2 4pq
讨论特征值与零点稳定的关系
（ 1）若△ >0，可能出现以下情形：
① 若 q>0,λ1λ2>0。
当 p>0时,零点不稳定；
当 p<0时，零点稳定
② 若 q<0,λ 1λ 2<0
当 c1=0时，零点稳定当 c1≠0 时,零点为不稳定的鞍点
③ q=0，此时 λ1=p,λ2=0，零点不稳定。
（ 2） △ =0，则 λ1=λ2:
① λ有两个线性无关的特征向量当 p>0时，零点不 稳定当 p<0时，零点稳定
② 如果 λ只有一个特征向量当 p≥0时，零点不 稳定当 p>0时，零点稳定
（ 2） △ <0,此时 ia
2,1
)2,2(pa
若 a>0，零点稳定若 a=0，有零点为中心的周期解综上所述：仅当 p<0且 q>0时,（ 3.30）零点才是渐近稳定的；当 p=0且 q>0时（ 3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。
非线性方程组（ 3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立,
定理 2 若（ 3.30）的零点是渐近稳定的，则（ 3.29）的平衡点也是渐近稳定的；若（ 3.30）的零点是不稳定的，则（ 3.29）
的平衡点也是不稳定的。
