§ 3.5 传染病模型传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。
在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，
波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
问题的提出：
设某地区共有 n+1人，最初时刻共有 i人得病,t时刻已感染（ infective）的病人数为 i(t)，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给 k个人（ k称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型 1
此模型即 Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。
() o
di ki
dt
i o i
则可导出,故可得：
() ktoi t i e? （ 3.15）
模型 2
记 t时刻的病人数与易感染人数 （ susceptible） 分别为
i(t)与 s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，
1
o
o
o
ic
ni
其中：
( 1 )
( 1 )
( 1 )()
1
k n t
o
k n t
o
c n eit
ce
解得,（ 3.17）
( ) ( ) 1
()
o
di
k is
dt
i t s t n
i o i
可得,（ 3.16）
统计结果显示,(3.17)预报结果比 (3.15)
更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称 最大值时刻 t1为此传染病的流行高峰。
~dit dt
didt
2
2 0
di
dt?
令：
1
ln
( 1)o
ct
kn
得：
此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。
模型 2仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，
模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。
为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统
infective
recovered
susceptible
k
l
( 1)
( 2)
( ) ( ) ( ) 1 ( 3 )
,( ) 0
o
di
k si l i
dt
dr
li
dt
s t i t r t n
i ( o) i r o
（ 3.18）
l 称为传染病恢复系数求解过程如下：
对（ 3）式求导，由（ 1）、（ 2）得：
d s k d rk s i s
d t l d t
()() k rtl
os t s e
解得：
记：
l
k
则：
1 ()
() rtos t s e
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（ recovered）。分别记 t时刻的三类人数为
s(t),i(t)和 r(t)，则可建立下面的三房室模型：
模型 3
infective
recovered
susceptible
k
l
由 (1)式可得,d i d s d s d sli
d t d t d t s d t
从而解得,1
()
()
( ) ( ) l n
()
( ) 1 ( ) ( )
oo
o
rt
o
st
i t i s s t
s
s t s e
r t n i t s t
积分得,()
( ) ( ) l noo
o
sti t i s s t
s
（ 3.19）
不难验证，当 t→ +∞ 时,r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。
为揭示产生上述现象的原因（ 3.18）中的第（ 1）式改写成：
()di k i sdt
其中 通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。 k
l
下面对 进行讨论，请参见右图?
0didt?如果,则有,此疾病在该地区根本流行不起来。os
如果,则开始时,i(t)单增。但在 i(t)增加的同时，
伴随地有 s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时,i(t)开始减小，直至此疾病在该地区消失。
os
0didt?
鉴于在本模型中的作用,被医生们称为此疾病在该地区的阀值。 的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。
图 3-14
综上所述,模型 3指出了传染病的以下特征：
（ 1） 当人群中有人得了某种传染病时,此疾病并不一定流传,仅当易受感染的人数与超过阀值时,疾病才会流传起来 。
（ 2） 疾病并非因缺少易感染者而停止传播,相反,是因为缺少传播者才停止传播的,否则将导致所有人得病 。
（ 3） 种群不可能因为某种传染病而绝灭 。
模型检验：
医疗机构一般依据 r(t)来统计疾病的波及人数,从广义上理解,r(t)为 t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。
( 1 )dr l i n r sdt
rl
oS S e
及：注意到：
可得,
( 1 )rodr l n r s edt （ 3.20）
通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：
r
211 ( )
2
r rr
e
代入（ 3.20）得近似方程,2
11 2ooo SSd r rl n S rdt
积分得,2 1
( ) 1 t a n h ( )2o
o
Sr t m m l t
S
其中,12 22 ( 1 )
1o o oS S n Sm
1 1t a n h 1oS
m
这里双曲正切函数,
ta nh uuuueeu ee
22
22
( ) ( ) 4tanh
( ) ( )
u u u u
u u u u
d e e e eu
du e e e e
而：
对 r(t)求导,
22 2 1s e c
o
d r l m h m l t
d t S
（ 3.21）
曲线 22 2 1s e c
o
d r l m h m l t
d t S
在医学上被称为疾病传染曲线。
图 3-14（ a）给出了（ 3.21） 式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图 3-14（ a）
图 3-14（ b）记录了 1905年下半年至 1906年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，
波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
问题的提出：
设某地区共有 n+1人，最初时刻共有 i人得病,t时刻已感染（ infective）的病人数为 i(t)，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给 k个人（ k称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型 1
此模型即 Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。
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则可导出,故可得：
() ktoi t i e? （ 3.15）
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统计结果显示,(3.17)预报结果比 (3.15)
更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称 最大值时刻 t1为此传染病的流行高峰。
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模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。
为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统
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l 称为传染病恢复系数求解过程如下：
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将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（ recovered）。分别记 t时刻的三类人数为
s(t),i(t)和 r(t)，则可建立下面的三房室模型：
模型 3
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鉴于在本模型中的作用,被医生们称为此疾病在该地区的阀值。 的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。
图 3-14
综上所述,模型 3指出了传染病的以下特征：
（ 1） 当人群中有人得了某种传染病时,此疾病并不一定流传,仅当易受感染的人数与超过阀值时,疾病才会流传起来 。
（ 2） 疾病并非因缺少易感染者而停止传播,相反,是因为缺少传播者才停止传播的,否则将导致所有人得病 。
（ 3） 种群不可能因为某种传染病而绝灭 。
模型检验：
医疗机构一般依据 r(t)来统计疾病的波及人数,从广义上理解,r(t)为 t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。
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在医学上被称为疾病传染曲线。
图 3-14（ a）给出了（ 3.21） 式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图 3-14（ a）
图 3-14（ b）记录了 1905年下半年至 1906年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
