§ 3.6 糖尿病的诊断糖尿病是一种新陈代谢疾病，它是由胰岛素缺乏引起的新陈代谢紊乱造成的。糖尿病的诊断是通过葡萄糖容量测试（ GTT）
来检查的，较严重的糖尿病医生不难发现，较为困难的是轻微糖尿病的诊断。轻微糖尿病诊断时的主要困难在于医生们对葡萄糖容许剂量的标准看法不一。例如，美国罗得岛的一位内科医生看了一份 GTT测试的报告后认为病人患有糖尿病，
而另一位医生则认为此人测试结果应属正常。为进一步诊断，
这份检测报告被送到波士顿，当地专家看了报告后则认为此人患有垂体肿瘤。
二十世纪 60年代中期，北爱尔兰马由医院的医生 Rosevear和
Molnar以及美国明尼苏达大学的 Ackeman和 Gatewood博士研究了血糖循环系统，建立了一个简单的数学模型，为轻微糖尿病的诊断提供了较为可靠的依据。
模型假设根据生物、医学等原理，作如下假设：
(1)葡萄糖是所有细胞和组织的能量来源，在新陈代谢中起着十分重要的作用。每个人都有自己最适当的血糖浓度，当体内的血糖浓度过渡偏离这一浓度时，将导致疾病甚至死亡。
(2)血糖浓度是处于一个自我调节系统之中的，它受到生理激素和其他代谢物的影响和控制，这些代谢物包括胰岛素、高血糖素、肾上腺素、糖皮质激素、
生长激素、甲状腺素等，统称为内分泌激素。
(3)内分泌激素中对血糖起主要影响的是胰岛素，葡萄糖只有在胰岛素的作用下才能在细胞内进行大量的生化反应，降低血糖浓度。此外，高血糖素能将体内过量的糖转化为糖元储存于肝脏中，从而降低血糖的浓度。
模型用一、两个参数来区分正常人与轻微病人（测量若干次），根据上述假设，建模时将研究对象集中于两个浓度：
葡萄糖浓度和激素浓度。
以 G表示血糖浓度，以 H表示内分泌激素的浓度。根据上述假设血糖浓度的变化规律依赖于体内现有的血糖浓度及内分泌激素的浓度，记这一依赖关系为函 数 F (G,H)。而内分泌激素浓度的变化规律同样依赖于体内现有的血糖 浓度以及内分泌激素的浓度，记其依赖关系为函 数 F ( G,H )，故有：
= ( G,H ) + J (t)
= ( G,H ) （ 3.19 ）
其中 J (t) 为被检测者在开始检测后服下的一定数量的葡萄糖。
病人在检测前必须禁食，故可设检测前病人血糖浓度及内分泌激素的浓度均已处于平衡状态
dt
dG
dt
dH
1F
2F
即可令 t = 0时 G = G0,H = H0且
F1 ( G0,H0 ) = 0
F2 ( G0,H0 ) = 0
从而有在测试过程中 G,H 均为变量，而我们关心的却只是它们的改变量，故令 g = G – G0,h = H – H0,
在（ 3.19 ）中将 展开，得到
00
00
)(H
)(G
'
'
)t(JehH )H,G(FgG )H,G(Fdtdg 1001001
2
002002 eh
H
)H,G(Fg
G
)H,G(F
dt
dh?
其中,是 g 和 h 的高阶无穷小量。
1e 2e
很小时（即检测者至多为轻微病人时），为求解方便，我们考察不包含它们的近似方程组方程组（ 3.20 ）是一个非线性方程组，较难求解。当
1e,2e
)t(JhH )H,G(FgG )H,G(Fdtdg 001001
hH )H,G(FgG )H,G(Fdtdh 002002
首先，我们来确定右端各项的符号。从图 中可看出，当
J(t)=0 时,若 g ＞ 0 且 h = 0，则此人血糖浓度高于正常值，内分泌激素将促使组织吸收葡萄糖，并将其存储进肝脏，此时有 ﹤ 0，从而应有,< 0
dt
dg
G
)H,G(F 001
其激素浓度将增加以抑制血糖浓度的增高，因而又有：,
G
)H,G(F 002
＞ 0
反之，当 J(t)=0而 g=0且 h＞ 0 时，此人激素浓度高于正常值，血糖浓度及激素浓度均将减少，从而必有
0
H
)H,G(F
0
H
)H,G(F
002
001
将方程组（ 3.20 ）改写成
)t(Jhmgmdtdg 21
hmgmdtdh 43
其中 均为正常数。4321,,,mmmm
（ 3.21 ）是关于 g,h的一阶常系数微分方程组，因激素浓度不易测得，对前式再次求导化为：
dt
dJhmmgmm
dt
dgm
dt
gd
423212
2
由于 Jgm
dt
dghm
12
故
dt
dJ)Jgm
dt
dg(mgmm
dt
dgm
dt
gd
143212
2
或
dt
dJJmg)mmmm(
dt
dg)mm(
dt
gd
44132412
2 ( 3.22 )
)mm(21 41,324120 mmmm,
dt
dJ)t(Jm)t(S
4
令则 ( 3.22 )可简写成 )t(Sg
dt
dg2
dt
gd 2
02
2 ( 3.23 )
其中 )mm(
2
1
41
,
324120 mmmm
,
dt
dJ)t(Jm)t(S
4
设在 t = 0 时患者开始被测试，他需在很短时间内喝下一定数量的外加葡萄糖水，如忽略这一小段时间，此后方程可写成
0gdtdg2dt gd 2022 ( 3.24 )
（注：要考虑这一小段时间的影响可利 用 Dirac的 δ函数）
( 3.24 )式具有正系数，且 当 t趋于无穷时 g趋于 0，（体内的葡萄糖浓度将逐渐趋于平衡值），不难证 明 G将趋于
0G
g（ t） 的解有三种形式，取决于
2o2
的符号。
202
＜ 0时可得 )tc o s (Ae)t(g t(1)当其中?2? 22
0
，所以 )tco s (AeG)t(G t
0
(3.25)
( 3.25 )式中含有 5个参数，即,A,α,和 δ，用下述方法可以确定它们的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖浓度应为 （检查前患者是禁食的）,可先作一次测试将其测得。
0G 0?
0G
进而，取 t = ( i = 1,2,3,4)各测一次，将测得的值代入
（ 3.25 ），得到一个方程组，由此可解得相应的参数值。一般，
为了使测得的结果更准确，可略多测几次，如 测 5-6次，再根据最小平方误差来求参数，即求解
it
min?
2it0i ) ] }tc o s (AG[G{ i
解出所需的参数当 ≥ 0时可类似加以讨论。
实际计算时不难发现,G的微小误差会引 起 α的很大偏差，故任一包含 α的诊断标准都将是不可靠的。同时也可发 现 G对并不十分敏感（计算结果与实际值相差较小），故可用的测试结果作为 GTT检测值来判断此人是否真的患有轻微的糖尿病。为了判断上的方便，一般利用所谓自然周 期 T作为判别标准
202
0? 0?
0
2T
根据人们的生活习惯，两餐之间的间隔时间大体 为 4小时。
临床应用显示,在 T ＜ 4（ 小时 ）时一般表示为正常情况，
当 T 明显大于 4小时时一般表示此人的确患有轻微的糖尿病。
由于内分泌激素浓度不易测量，在上面的建模过程中对各种不同激素未加以一一区别，即对其采用了集中参数法。这样做虽大大简化了模型，但也在一定程度上影响了模型的应用效果。临床应用时发现，在患者饮下葡萄糖水大 约 3-5小时后，测得的数据有一定的偏差，其原因可能是内分泌激素的作用造成的，因而，
要得到更精确的结果，当然要考虑到内分泌激素浓度的变化，建立更精确的模型。罗德岛医院已找到一种测量内分泌浓度的方法，相信在此基础上一定可以设计出诊断轻微糖尿病的更好方法。
来检查的，较严重的糖尿病医生不难发现，较为困难的是轻微糖尿病的诊断。轻微糖尿病诊断时的主要困难在于医生们对葡萄糖容许剂量的标准看法不一。例如，美国罗得岛的一位内科医生看了一份 GTT测试的报告后认为病人患有糖尿病，
而另一位医生则认为此人测试结果应属正常。为进一步诊断，
这份检测报告被送到波士顿，当地专家看了报告后则认为此人患有垂体肿瘤。
二十世纪 60年代中期，北爱尔兰马由医院的医生 Rosevear和
Molnar以及美国明尼苏达大学的 Ackeman和 Gatewood博士研究了血糖循环系统，建立了一个简单的数学模型，为轻微糖尿病的诊断提供了较为可靠的依据。
模型假设根据生物、医学等原理，作如下假设：
(1)葡萄糖是所有细胞和组织的能量来源，在新陈代谢中起着十分重要的作用。每个人都有自己最适当的血糖浓度，当体内的血糖浓度过渡偏离这一浓度时，将导致疾病甚至死亡。
(2)血糖浓度是处于一个自我调节系统之中的，它受到生理激素和其他代谢物的影响和控制，这些代谢物包括胰岛素、高血糖素、肾上腺素、糖皮质激素、
生长激素、甲状腺素等，统称为内分泌激素。
(3)内分泌激素中对血糖起主要影响的是胰岛素，葡萄糖只有在胰岛素的作用下才能在细胞内进行大量的生化反应，降低血糖浓度。此外，高血糖素能将体内过量的糖转化为糖元储存于肝脏中，从而降低血糖的浓度。
模型用一、两个参数来区分正常人与轻微病人（测量若干次），根据上述假设，建模时将研究对象集中于两个浓度：
葡萄糖浓度和激素浓度。
以 G表示血糖浓度，以 H表示内分泌激素的浓度。根据上述假设血糖浓度的变化规律依赖于体内现有的血糖浓度及内分泌激素的浓度，记这一依赖关系为函 数 F (G,H)。而内分泌激素浓度的变化规律同样依赖于体内现有的血糖 浓度以及内分泌激素的浓度，记其依赖关系为函 数 F ( G,H )，故有：
= ( G,H ) + J (t)
= ( G,H ) （ 3.19 ）
其中 J (t) 为被检测者在开始检测后服下的一定数量的葡萄糖。
病人在检测前必须禁食，故可设检测前病人血糖浓度及内分泌激素的浓度均已处于平衡状态
dt
dG
dt
dH
1F
2F
即可令 t = 0时 G = G0,H = H0且
F1 ( G0,H0 ) = 0
F2 ( G0,H0 ) = 0
从而有在测试过程中 G,H 均为变量，而我们关心的却只是它们的改变量，故令 g = G – G0,h = H – H0,
在（ 3.19 ）中将 展开，得到
00
00
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2
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其中,是 g 和 h 的高阶无穷小量。
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1e,2e
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首先，我们来确定右端各项的符号。从图 中可看出，当
J(t)=0 时,若 g ＞ 0 且 h = 0，则此人血糖浓度高于正常值，内分泌激素将促使组织吸收葡萄糖，并将其存储进肝脏，此时有 ﹤ 0，从而应有,< 0
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G
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其激素浓度将增加以抑制血糖浓度的增高，因而又有：,
G
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＞ 0
反之，当 J(t)=0而 g=0且 h＞ 0 时，此人激素浓度高于正常值，血糖浓度及激素浓度均将减少，从而必有
0
H
)H,G(F
0
H
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002
001
将方程组（ 3.20 ）改写成
)t(Jhmgmdtdg 21
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其中 均为正常数。4321,,,mmmm
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4
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4
设在 t = 0 时患者开始被测试，他需在很短时间内喝下一定数量的外加葡萄糖水，如忽略这一小段时间，此后方程可写成
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（注：要考虑这一小段时间的影响可利 用 Dirac的 δ函数）
( 3.24 )式具有正系数，且 当 t趋于无穷时 g趋于 0，（体内的葡萄糖浓度将逐渐趋于平衡值），不难证 明 G将趋于
0G
g（ t） 的解有三种形式，取决于
2o2
的符号。
202
＜ 0时可得 )tc o s (Ae)t(g t(1)当其中?2? 22
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，所以 )tco s (AeG)t(G t
0
(3.25)
( 3.25 )式中含有 5个参数，即,A,α,和 δ，用下述方法可以确定它们的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖浓度应为 （检查前患者是禁食的）,可先作一次测试将其测得。
0G 0?
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（ 3.25 ），得到一个方程组，由此可解得相应的参数值。一般，
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解出所需的参数当 ≥ 0时可类似加以讨论。
实际计算时不难发现,G的微小误差会引 起 α的很大偏差，故任一包含 α的诊断标准都将是不可靠的。同时也可发 现 G对并不十分敏感（计算结果与实际值相差较小），故可用的测试结果作为 GTT检测值来判断此人是否真的患有轻微的糖尿病。为了判断上的方便，一般利用所谓自然周 期 T作为判别标准
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根据人们的生活习惯，两餐之间的间隔时间大体 为 4小时。
临床应用显示,在 T ＜ 4（ 小时 ）时一般表示为正常情况，
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由于内分泌激素浓度不易测量，在上面的建模过程中对各种不同激素未加以一一区别，即对其采用了集中参数法。这样做虽大大简化了模型，但也在一定程度上影响了模型的应用效果。临床应用时发现，在患者饮下葡萄糖水大 约 3-5小时后，测得的数据有一定的偏差，其原因可能是内分泌激素的作用造成的，因而，
要得到更精确的结果，当然要考虑到内分泌激素浓度的变化，建立更精确的模型。罗德岛医院已找到一种测量内分泌浓度的方法，相信在此基础上一定可以设计出诊断轻微糖尿病的更好方法。
