第一章 波函数和薛定谔方程
§1.1 波函数的统计解释一、波函数的引入描述自由粒子可用平面波波函数来描述。如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。
二、波函数的解释
1、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着,1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着：1,某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
2、对波粒二象性的两种错误的看法
(1),波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。
(2),粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
3、Born波函数的统计解释几率波波函数的统计解释（它是量子力学的基本原理）：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
D-B所提出的由波函数所描述的“物质波”是刻画粒子在空间几率分布的几率波。波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。
五、波函数的物理意义
几率分布运动状态波函数完全描写了微观粒子的运动状态（即波函数的物理意义）
经典概念和量子力学对粒子和波的理解：
六、波函数的特性：
1、常数因子不定性,和描述同一种运动状态。
2、相位因子不定性,与描述同一种运动状态，ei(称为相因子。
七、波函数的归一化
1、几率和几率密度设体系（即粒子）的状态波函数为，则在时刻、在，，的体积元内出现该粒子的几率为
（由波函数的统计解释可得）
式中，C是比例常数，。
以体积元去除几率，可得到在时刻，在点附近单位体积内出现该粒子的几率，即几率密度为
在体积V内，t时刻找到粒子的几率为,
2、平方可积
平方可积一维坐标系（设沿方向）的情况下,
三维直角坐标系的情况下,
三维球坐标系的情况下,
注意：自由粒子波函数不是平方可积
3、归一化波函数
若((r,t)没有归一化，
（A 是大于零的常数）
则有
也就是说，(A)-1/2( (x,y,z)是归一化的波函数，与( (x,y,z)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化。
令，由波函数的特性可知，((x,y,z)和( (x,y,z)均描述同一状态，但是归一化波函数((x,y,z)有如下两个特点,
① 求几率密度
② (1) 波函数归一化条件并不是所有的波函数可按(1)式进行归一化，这种归一化条件要求波函数平方可积的，即为有限。
以后,为表述简便,引进符号
归一化条件就可以简单表示为
八、平面波归一化
1、( 函数定义：
或等价的表示：对于x=x0领域连续的任何函数f(x)有：
(函数亦可写成Fourier积分形式：
令，,则
作变换：，
(函数性质：
2、平面波归一化
其中(表示t=0时的平面波。
写成分量形式
考虑一维积分
因为
若取，则，于是
因为
平面波可归一化为函数三维情况：
其中
例1（习题集第6）：设粒子的波函数为，求
(1)、在范围内找到粒子的几率：；
(2)、在范围内找到粒子的几率：；
(3)、在及范围内找到粒子的几率：。
§1.2 量子态叠加原理一、经典波的叠加原理
如果和是两个可能的波动过程，那么它们的线性叠加
（都是常数）
也是一个可能的波动过程。
二、经典统计几率相加的原则
在经典统计中满足的几率相加原则是：互相排斥事件之任何一件发生的几率等于每个事件单独发生的几率之和。这里不存在相干迭加，没有出现干涉现象，它充分体现了经典物理中粒子与波这两个截然不同的概念。
三、态叠加原理
1、若和是体系可能实现的状态，那么它们的线性迭加（、是复常数）也是这个体系的一个可能实现的状态。 （对经典波也适用）
2、若体系处于迭加态时，则体系部分处于态，部分处于态。
几率 几率
其中、已归一化。
态叠加原理一般表述,
若(1，(2,...,(n,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加(= C1(1 + C2(2 +,..+ Cn(n +,.,(其中 C1,C2,...,Cn,...为复常数) 也是体系的一个可能状态。
处于(态的体系，部分的处于(1态，部分的处于(2态...，部分的处于(n，...
＊注意：波函数本身不是物理量，不能测量，但(是物理量，可以测量的。
四、力学量的不确定性体系可能态，
体系所处状态 测力学量 所得值
体系处于
测力学量
其值为
体系处于
测力学量
其值为
体系处于
测力学量
其值为
测力学量
不定，有多种可能值，，，，每次测得的值是不能预先确定的，带有偶然性，但只能是可能值中的一个，而且每种可能值以确定的几率出现。
五、动量空间（表象）的波函数波函数((x,y,z)可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。
令
则(可按(p展开
展开系数
显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。所以((x,y,z)与c(p)一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。
((x,y,z)是以坐标为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；
是以动量为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态。
若((x,y,z)已归一化，则也是归一化的 （证明）
与((x,y,z)具有类似的物理含义
t时刻粒子出现在点附近体积元内的几率；
t时刻粒子出现在点附近体积元内的几率；
§1.3 力学量的平均值和算符的引进一、力学量平均值
1、仅与坐标有关的力学量平均值设( (x)是归一化波函数，|( (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则
对三维情况，设( (x,y,z)是归一化波函数，|( (x,y,z)|2是粒子出现在(x,y,z)点的几率密度，则x的平均值为
若力学量F (x,y,z)仅与坐标有关，则其平均值为
若( (x,y,z)不是归一化的，则上式表为
(6)
例1：一维运动的粒子处在
的状态，其中，求
①归一化的波函数；②几率密度；③在何处找到粒子的几率最大？④、的值。
[提示：，其中a > 0]
解：①、，
取为实数,∴；
② ；
令，
，，
经验证，当时找到粒子的几率最大； （一般不采用的方法）
④ ；
。
2、动量平均值一维情况：令( (x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为
：粒子动量为px几率密度，则
二、力学量算符
1、动量算符
一维情况：
体系状态用坐标表象中的波函数( (x)描写时，坐标x的算符就是其自身，即
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式,
三维情况,
其中 （直角坐标系中） 称为劈形算符或Harrington
或 （球坐标系中）
由归一化波函数( (x)求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在(* (x)和( (x)之间对全空间积分，即
A是任一力学量算符三维情况：
A是任一力学量算符若波函数未归一化,则
2、力学量的算符表示如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，那么表示这个力学量的算符由经典表示式中的、分别换成算符，而得出。即
力学量
（经典表达式）
算符
（量子力学中相应的算符）
这是量子力学中的一个基本假设。大量实验事实表明，以上的假定是正确的，按照这个构成法则，可以得到以下几个常用的力学量算符：
(1)、动能算符
在经典力学中，所以动量算符
（直角坐标系中） 称为Laplace算符
或 （球坐标系中）
(2)、Hamilton算符在势场中V(r)的粒子
(3)、角动量算符
在直角笛卡尔坐标中的三个分量可表示为
§1.4 薛定谔方程一、引进薛定谔方程的基本考虑
1．波函数所满足的方程只能含(对时间的一阶导数。
2．方程应是线性的。
3．第三方面，方程不能包含状态参量，如p,E等,
二、自由粒子波函数所满足的方程描写自由粒子波函数,
将上式对对时间求一次微商，可得
，
即 (1)
将Ψ对坐标二次微商，得,
同理有,
或 (2)
(1)- (2)式
对自由粒子
所以 (3)
满足上述构造方程的三个条件。方程(3)就是我们所要找的自由粒子波函数所满足的微分方程，它满足前面所述的条件。
讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式写成如下方程形式：
(4)
做算符替换(4)即得自由粒子满足的方程(3)。
三、势场V(r)中运动的粒子
（前提是势能V(r)与无关）
在经典力学中称为哈密顿函数。
将其作用于波函数得：
作为一种推广，我们假定(4)式成立。做(4)式的算符替换得：
式中称为体系的哈密顿算符，亦常称为哈密顿量。该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。
§1.5 粒子流密度和粒子数守恒定律一、定域的几率守恒
设体系状态波函数已归一化，粒子在t时刻点周围单位体积内粒子出现的几率，即几率密度是,
考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即
证：考虑Schrodinger方程及其共轭式：
(1)
取共轭
(2)
将
(3)
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
使用高斯定理,上式右边积分可化为而积分
式中面积分S是体积(的表面。
令，几率流密度,是一矢量,
(4) ——物理意义
(4)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。
令Eq,(4)τ趋于(∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq,(4)变为：
表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。
(3)式可改写为
(5) ——几率守恒的微分表达式其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同。
二、再论波函数的性质
1、波函数完全描述粒子的状态
2、波函数的标准条件：单值、有限、连续
几率流密度矢量
（直角坐标）
（球坐标）
例子：由下列两个定态波函数计算几率密度，
(1)、
(2)、
从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波；表示沿轴反方向传播的平面波。
解：(1)、 。
所以表示沿轴正方向传播的平面波。
(2)、
。
所以表示沿轴反方向传播的平面波。
§1.6 定态薛定谔方程一、定态Schr?dinger方程
(1)
与t无关时，可以分离变量
令
代入(1)式
(2)
(3) ——定态薛定谔方程由(2)解得
其中为任意常数。把常数放到里面去，则
(4)
体系能量有确定的值E，所以这种状态称为定态，波函数((r,t)称为定态波函数。
定态有两个含义：1、；2、E具有确定值；（判断是否为定态的依据）
空间波函数可由方程
和具体问题应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger方程，也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻(E(r,0)的定态波函数。
二、Hamilton算符和能量本征值方程
1、Hamilton算符
(2)
(3)
再由Schr?dinger方程：
也可看出，作用于任一波函数(上的二算符
是相当的。这两个算符都称为能量算符。
与经典力学相同,?称为Hamilton量，亦称Hamilton算符。
2、能量本征值方程将
改写成
三、求解定态问题的步骤
1、列出定态Schr?dinger方程
2、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：
本征值,E1，E2，…，En，…
本征函数,(1，(2，…，(n，…
3、写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数
4、通过归一化确定归一化系数Cn返回
四、定态的性质
1、粒子在空间几率密度与时间无关（证明）
2、几率密度与时间无关 （证明）
3、任何不显含t得力学量平均值与t 无关（证明）
§1.1 波函数的统计解释一、波函数的引入描述自由粒子可用平面波波函数来描述。如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。
二、波函数的解释
1、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着,1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着：1,某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
2、对波粒二象性的两种错误的看法
(1),波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。
(2),粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
3、Born波函数的统计解释几率波波函数的统计解释（它是量子力学的基本原理）：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
D-B所提出的由波函数所描述的“物质波”是刻画粒子在空间几率分布的几率波。波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。
五、波函数的物理意义
几率分布运动状态波函数完全描写了微观粒子的运动状态（即波函数的物理意义）
经典概念和量子力学对粒子和波的理解：
六、波函数的特性：
1、常数因子不定性,和描述同一种运动状态。
2、相位因子不定性,与描述同一种运动状态，ei(称为相因子。
七、波函数的归一化
1、几率和几率密度设体系（即粒子）的状态波函数为，则在时刻、在，，的体积元内出现该粒子的几率为
（由波函数的统计解释可得）
式中，C是比例常数，。
以体积元去除几率，可得到在时刻，在点附近单位体积内出现该粒子的几率，即几率密度为
在体积V内，t时刻找到粒子的几率为,
2、平方可积
平方可积一维坐标系（设沿方向）的情况下,
三维直角坐标系的情况下,
三维球坐标系的情况下,
注意：自由粒子波函数不是平方可积
3、归一化波函数
若((r,t)没有归一化，
（A 是大于零的常数）
则有
也就是说，(A)-1/2( (x,y,z)是归一化的波函数，与( (x,y,z)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化。
令，由波函数的特性可知，((x,y,z)和( (x,y,z)均描述同一状态，但是归一化波函数((x,y,z)有如下两个特点,
① 求几率密度
② (1) 波函数归一化条件并不是所有的波函数可按(1)式进行归一化，这种归一化条件要求波函数平方可积的，即为有限。
以后,为表述简便,引进符号
归一化条件就可以简单表示为
八、平面波归一化
1、( 函数定义：
或等价的表示：对于x=x0领域连续的任何函数f(x)有：
(函数亦可写成Fourier积分形式：
令，,则
作变换：，
(函数性质：
2、平面波归一化
其中(表示t=0时的平面波。
写成分量形式
考虑一维积分
因为
若取，则，于是
因为
平面波可归一化为函数三维情况：
其中
例1（习题集第6）：设粒子的波函数为，求
(1)、在范围内找到粒子的几率：；
(2)、在范围内找到粒子的几率：；
(3)、在及范围内找到粒子的几率：。
§1.2 量子态叠加原理一、经典波的叠加原理
如果和是两个可能的波动过程，那么它们的线性叠加
（都是常数）
也是一个可能的波动过程。
二、经典统计几率相加的原则
在经典统计中满足的几率相加原则是：互相排斥事件之任何一件发生的几率等于每个事件单独发生的几率之和。这里不存在相干迭加，没有出现干涉现象，它充分体现了经典物理中粒子与波这两个截然不同的概念。
三、态叠加原理
1、若和是体系可能实现的状态，那么它们的线性迭加（、是复常数）也是这个体系的一个可能实现的状态。 （对经典波也适用）
2、若体系处于迭加态时，则体系部分处于态，部分处于态。
几率 几率
其中、已归一化。
态叠加原理一般表述,
若(1，(2,...,(n,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加(= C1(1 + C2(2 +,..+ Cn(n +,.,(其中 C1,C2,...,Cn,...为复常数) 也是体系的一个可能状态。
处于(态的体系，部分的处于(1态，部分的处于(2态...，部分的处于(n，...
＊注意：波函数本身不是物理量，不能测量，但(是物理量，可以测量的。
四、力学量的不确定性体系可能态，
体系所处状态 测力学量 所得值
体系处于
测力学量
其值为
体系处于
测力学量
其值为
体系处于
测力学量
其值为
测力学量
不定，有多种可能值，，，，每次测得的值是不能预先确定的，带有偶然性，但只能是可能值中的一个，而且每种可能值以确定的几率出现。
五、动量空间（表象）的波函数波函数((x,y,z)可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。
令
则(可按(p展开
展开系数
显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。所以((x,y,z)与c(p)一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。
((x,y,z)是以坐标为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；
是以动量为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态。
若((x,y,z)已归一化，则也是归一化的 （证明）
与((x,y,z)具有类似的物理含义
t时刻粒子出现在点附近体积元内的几率；
t时刻粒子出现在点附近体积元内的几率；
§1.3 力学量的平均值和算符的引进一、力学量平均值
1、仅与坐标有关的力学量平均值设( (x)是归一化波函数，|( (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则
对三维情况，设( (x,y,z)是归一化波函数，|( (x,y,z)|2是粒子出现在(x,y,z)点的几率密度，则x的平均值为
若力学量F (x,y,z)仅与坐标有关，则其平均值为
若( (x,y,z)不是归一化的，则上式表为
(6)
例1：一维运动的粒子处在
的状态，其中，求
①归一化的波函数；②几率密度；③在何处找到粒子的几率最大？④、的值。
[提示：，其中a > 0]
解：①、，
取为实数,∴；
② ；
令，
，，
经验证，当时找到粒子的几率最大； （一般不采用的方法）
④ ；
。
2、动量平均值一维情况：令( (x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为
：粒子动量为px几率密度，则
二、力学量算符
1、动量算符
一维情况：
体系状态用坐标表象中的波函数( (x)描写时，坐标x的算符就是其自身，即
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式,
三维情况,
其中 （直角坐标系中） 称为劈形算符或Harrington
或 （球坐标系中）
由归一化波函数( (x)求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在(* (x)和( (x)之间对全空间积分，即
A是任一力学量算符三维情况：
A是任一力学量算符若波函数未归一化,则
2、力学量的算符表示如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，那么表示这个力学量的算符由经典表示式中的、分别换成算符，而得出。即
力学量
（经典表达式）
算符
（量子力学中相应的算符）
这是量子力学中的一个基本假设。大量实验事实表明，以上的假定是正确的，按照这个构成法则，可以得到以下几个常用的力学量算符：
(1)、动能算符
在经典力学中，所以动量算符
（直角坐标系中） 称为Laplace算符
或 （球坐标系中）
(2)、Hamilton算符在势场中V(r)的粒子
(3)、角动量算符
在直角笛卡尔坐标中的三个分量可表示为
§1.4 薛定谔方程一、引进薛定谔方程的基本考虑
1．波函数所满足的方程只能含(对时间的一阶导数。
2．方程应是线性的。
3．第三方面，方程不能包含状态参量，如p,E等,
二、自由粒子波函数所满足的方程描写自由粒子波函数,
将上式对对时间求一次微商，可得
，
即 (1)
将Ψ对坐标二次微商，得,
同理有,
或 (2)
(1)- (2)式
对自由粒子
所以 (3)
满足上述构造方程的三个条件。方程(3)就是我们所要找的自由粒子波函数所满足的微分方程，它满足前面所述的条件。
讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式写成如下方程形式：
(4)
做算符替换(4)即得自由粒子满足的方程(3)。
三、势场V(r)中运动的粒子
（前提是势能V(r)与无关）
在经典力学中称为哈密顿函数。
将其作用于波函数得：
作为一种推广，我们假定(4)式成立。做(4)式的算符替换得：
式中称为体系的哈密顿算符，亦常称为哈密顿量。该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。
§1.5 粒子流密度和粒子数守恒定律一、定域的几率守恒
设体系状态波函数已归一化，粒子在t时刻点周围单位体积内粒子出现的几率，即几率密度是,
考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即
证：考虑Schrodinger方程及其共轭式：
(1)
取共轭
(2)
将
(3)
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
使用高斯定理,上式右边积分可化为而积分
式中面积分S是体积(的表面。
令，几率流密度,是一矢量,
(4) ——物理意义
(4)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。
令Eq,(4)τ趋于(∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq,(4)变为：
表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。
(3)式可改写为
(5) ——几率守恒的微分表达式其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同。
二、再论波函数的性质
1、波函数完全描述粒子的状态
2、波函数的标准条件：单值、有限、连续
几率流密度矢量
（直角坐标）
（球坐标）
例子：由下列两个定态波函数计算几率密度，
(1)、
(2)、
从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波；表示沿轴反方向传播的平面波。
解：(1)、 。
所以表示沿轴正方向传播的平面波。
(2)、
。
所以表示沿轴反方向传播的平面波。
§1.6 定态薛定谔方程一、定态Schr?dinger方程
(1)
与t无关时，可以分离变量
令
代入(1)式
(2)
(3) ——定态薛定谔方程由(2)解得
其中为任意常数。把常数放到里面去，则
(4)
体系能量有确定的值E，所以这种状态称为定态，波函数((r,t)称为定态波函数。
定态有两个含义：1、；2、E具有确定值；（判断是否为定态的依据）
空间波函数可由方程
和具体问题应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger方程，也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻(E(r,0)的定态波函数。
二、Hamilton算符和能量本征值方程
1、Hamilton算符
(2)
(3)
再由Schr?dinger方程：
也可看出，作用于任一波函数(上的二算符
是相当的。这两个算符都称为能量算符。
与经典力学相同,?称为Hamilton量，亦称Hamilton算符。
2、能量本征值方程将
改写成
三、求解定态问题的步骤
1、列出定态Schr?dinger方程
2、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：
本征值,E1，E2，…，En，…
本征函数,(1，(2，…，(n，…
3、写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数
4、通过归一化确定归一化系数Cn返回
四、定态的性质
1、粒子在空间几率密度与时间无关（证明）
2、几率密度与时间无关 （证明）
3、任何不显含t得力学量平均值与t 无关（证明）
