第二章 一维势场中的粒子
§2.2 方 势一、一维运动当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其 Schrodinger 方程为,
若势可写成,V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式,
((x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (1(x)
二、一维无限深势阱
这是定态问题一维无限深势阱（0~a）的求解解：（1）列出各势域的 S — 方程
，令，
方程可简化为：
(2),写出通解
（3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）
1) 有限性：当，
当，
当，
，
则解为
连续性：,,
，
, 能量是量子化的，不连续
（4）由归一化条件定系数A
标准形式是(0~a)
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
讨论
其能量本征能为：,
1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；时能量最小，叫基态能量（）或零点能。
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。
与x有n-1个节点。除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点,第k激发态有k 个节点,
函数在全空间连续,但微商在x=0和a点不连续。对无限深势阱，是不连续的；对有限深势阱，是连续的。
如果区域的势为，则必为0，今后不必重新解；
三、宇称
(1)空间反射：空间矢量反向的操作。
(2)此时如果有,
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
称波函数具有负宇称(或奇宇称)；
(3)如果在空间反射下,
则波函数没有确定的宇称。
四、有限深对称方势阱
a为阱宽，V0为势阱高度。求束缚态(0<E<V0)的能级所满足的方程答案： 或
其中，
五、方势垒的反射与透射束缚态：当x(((时，((0——其能量是不连续的；
自由态：当x(((时，(不趋于零——其能量是连续的。
典型势垒是方势垒，其定义如下：
现在的问题是具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒。
考虑E<V0的情况解：(1)、三个区域的Schr?dinger方程可写为：
因为E<V0
令，
解得
,、
在III区域没有反射波，所以须令C=0。
(2)利用波函数标准条件来定系数。
①,波函数连续
(4)
(5)
②,波函数导数连续
(6)
(7)
(4)、(6)两式相加减，分别得
(8)
(5)、(7)两式相加减，分别得
(9)
(8)与(9)消去A、B，得
(10)
消去R，得
解出，得 (11)
(10)式消去S，得
(3),透射系数和反射系数
①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数,用T表示；
②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,用F表示；
几率流密度矢量,
，则入射波几率流密度
，反射波几率流密度：
对透射波，所以透射波几率流密度,
于是透射系数为:
同理得反射系数：
由以上二式显然有F+T=1，这是粒子数守恒的表现,
ii) E > V0时，不必重新去解因，当E > V0时，(是虚数，
故可令,(=ik'，其中。
这样把前面公式中的(换成ik'
并注意到,sin ik'a = isinh(a
由上可知：F(0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F=0，，即时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。
隧穿效应 （tunnel effect）,粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。
3、讨论
(1)、当(a >> 1时
透射系数则变为：
当k((（同一数量级）时，，
于是：
粗略估计，认为k≈(（相当于E≈V0/2）,则T0 = 4是一常数。
(2)、任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。
对每一小方势垒透射系数
则a→b贯穿势垒V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即
此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。
§2.2 线性谐振子一、引言
1、何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在的势场中运动的粒子。
2、为什么研究线性谐振子
二、线性谐振子
1、方程的建立
线性谐振子的 Hamilton量：
则Schr?dinger方程可写为,
(1)
为简单计，引入无量纲参量(代替x，
令，其中，则方程可改写为
(2)
此式是一变系数二阶常微分方程。其中
2、求解
(1),求渐近解当(→±∞时，(<<( 2，于是方程变为：
(3)
其解为：
但因为波函数的标准条件要求当(→±∞时，(应为有限，舍去，只取，令方程(2)的解为
，
(2),u(()满足的方程将( (()表达式代入方程(3)得关于待求函数u(()所满足的方程：
(4) ——二阶线性变系数常微分方程此即Hermite方程。
(3),解u(()——级数解
(=0是方程(4)的常点，所以u(()可以表示为泰勒级数
则方程变成：
即,
从而导出系数bk的递推公式：
由上式可以看出,
因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令,
b0≠0,b1=0,→ueven (();只含偶次幂项
b1≠0,b0=0,→uodd (().只含奇次幂项
则通解可记为：
3、应用标准条件
u(()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。
(1)ξ=0
，皆有限
(2) (→±∞ 需要考虑无穷级数u(()的收敛性
当(→±∞时，u(()的渐近行为与相同。
所以总波函数有如下发散行为：
，，
为了满足波函数有限性要求，幂级数u(()必须从某一项截断变成一个多项式。
bn≠ 0,bn+2 = 0,
代入递推关系得：
因为bn≠ 0，所以有
因为
于是最后得
结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为?(
厄密多项式
Hn(()也可写成封闭形式：
Hn(()的最高次项是(2()n。所以：
当n为偶，则厄密多项式只含(的偶次项；当n为奇，则厄密多项式只含(的奇次项。下角标n表示Hn(()的最高次幂。
(n(x)具有确定宇称,由厄密多项式Hn(()决定。
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系,
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数((x)的递推关系,
三、实例例子：一电荷为q的一维线性谐振子受恒定弱电场(作用，电场沿正x方向,其势场为,（，若做正功，则电势下降），求能量本征值和本征函数。
答案：本征能量,
本征函数：
例2,求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况
答案：，其中
§2.2 方 势一、一维运动当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其 Schrodinger 方程为,
若势可写成,V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式,
((x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (1(x)
二、一维无限深势阱
这是定态问题一维无限深势阱（0~a）的求解解：（1）列出各势域的 S — 方程
，令，
方程可简化为：
(2),写出通解
（3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）
1) 有限性：当，
当，
当，
，
则解为
连续性：,,
，
, 能量是量子化的，不连续
（4）由归一化条件定系数A
标准形式是(0~a)
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
讨论
其能量本征能为：,
1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；时能量最小，叫基态能量（）或零点能。
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。
与x有n-1个节点。除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点,第k激发态有k 个节点,
函数在全空间连续,但微商在x=0和a点不连续。对无限深势阱，是不连续的；对有限深势阱，是连续的。
如果区域的势为，则必为0，今后不必重新解；
三、宇称
(1)空间反射：空间矢量反向的操作。
(2)此时如果有,
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
称波函数具有负宇称(或奇宇称)；
(3)如果在空间反射下,
则波函数没有确定的宇称。
四、有限深对称方势阱
a为阱宽，V0为势阱高度。求束缚态(0<E<V0)的能级所满足的方程答案： 或
其中，
五、方势垒的反射与透射束缚态：当x(((时，((0——其能量是不连续的；
自由态：当x(((时，(不趋于零——其能量是连续的。
典型势垒是方势垒，其定义如下：
现在的问题是具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒。
考虑E<V0的情况解：(1)、三个区域的Schr?dinger方程可写为：
因为E<V0
令，
解得
,、
在III区域没有反射波，所以须令C=0。
(2)利用波函数标准条件来定系数。
①,波函数连续
(4)
(5)
②,波函数导数连续
(6)
(7)
(4)、(6)两式相加减，分别得
(8)
(5)、(7)两式相加减，分别得
(9)
(8)与(9)消去A、B，得
(10)
消去R，得
解出，得 (11)
(10)式消去S，得
(3),透射系数和反射系数
①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数,用T表示；
②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,用F表示；
几率流密度矢量,
，则入射波几率流密度
，反射波几率流密度：
对透射波，所以透射波几率流密度,
于是透射系数为:
同理得反射系数：
由以上二式显然有F+T=1，这是粒子数守恒的表现,
ii) E > V0时，不必重新去解因，当E > V0时，(是虚数，
故可令,(=ik'，其中。
这样把前面公式中的(换成ik'
并注意到,sin ik'a = isinh(a
由上可知：F(0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F=0，，即时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。
隧穿效应 （tunnel effect）,粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。
3、讨论
(1)、当(a >> 1时
透射系数则变为：
当k((（同一数量级）时，，
于是：
粗略估计，认为k≈(（相当于E≈V0/2）,则T0 = 4是一常数。
(2)、任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。
对每一小方势垒透射系数
则a→b贯穿势垒V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即
此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。
§2.2 线性谐振子一、引言
1、何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在的势场中运动的粒子。
2、为什么研究线性谐振子
二、线性谐振子
1、方程的建立
线性谐振子的 Hamilton量：
则Schr?dinger方程可写为,
(1)
为简单计，引入无量纲参量(代替x，
令，其中，则方程可改写为
(2)
此式是一变系数二阶常微分方程。其中
2、求解
(1),求渐近解当(→±∞时，(<<( 2，于是方程变为：
(3)
其解为：
但因为波函数的标准条件要求当(→±∞时，(应为有限，舍去，只取，令方程(2)的解为
，
(2),u(()满足的方程将( (()表达式代入方程(3)得关于待求函数u(()所满足的方程：
(4) ——二阶线性变系数常微分方程此即Hermite方程。
(3),解u(()——级数解
(=0是方程(4)的常点，所以u(()可以表示为泰勒级数
则方程变成：
即,
从而导出系数bk的递推公式：
由上式可以看出,
因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令,
b0≠0,b1=0,→ueven (();只含偶次幂项
b1≠0,b0=0,→uodd (().只含奇次幂项
则通解可记为：
3、应用标准条件
u(()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。
(1)ξ=0
，皆有限
(2) (→±∞ 需要考虑无穷级数u(()的收敛性
当(→±∞时，u(()的渐近行为与相同。
所以总波函数有如下发散行为：
，，
为了满足波函数有限性要求，幂级数u(()必须从某一项截断变成一个多项式。
bn≠ 0,bn+2 = 0,
代入递推关系得：
因为bn≠ 0，所以有
因为
于是最后得
结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为?(
厄密多项式
Hn(()也可写成封闭形式：
Hn(()的最高次项是(2()n。所以：
当n为偶，则厄密多项式只含(的偶次项；当n为奇，则厄密多项式只含(的奇次项。下角标n表示Hn(()的最高次幂。
(n(x)具有确定宇称,由厄密多项式Hn(()决定。
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系,
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数((x)的递推关系,
三、实例例子：一电荷为q的一维线性谐振子受恒定弱电场(作用，电场沿正x方向,其势场为,（，若做正功，则电势下降），求能量本征值和本征函数。
答案：本征能量,
本征函数：
例2,求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况
答案：，其中
