第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(所描写的态中，力学量A的平均值为
(1)
因为(是时间的函数?也可能显含时间，所以ā通常是时间t的函数。为了求出ā随时间的变化，(1)式两边对t求导
(2)
由薛定谔方程，(
因为?是厄密算符
(3) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。
若?不显含t，即，则有
(4)
二、守恒量
如果?既不显含时间，又与?对易（[?,?]=0），则由上式有
(5)
即这种力学量在任何态(之下的平均值都不随时间改变。
证明：在任意态(下A的概率分布也不随时间改变。
概括起来讲，对于Hamilton量?不含时的量子体系，如果力学量A与?对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。即A的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A为运动恒量或守恒量。
守恒量有两个特点：
(1),在任何态((t)之下的平均值都不随时间改变；
(2),在任意态((t)下A的概率分布不随时间改变。
应当强调，量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不尽相同。这实质上是不确定度关系的反映。
(a) 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在?的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即((0)并非?的本征态，则以后的状态也不是?的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。
(b) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守性，但由于不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）
三、举例
1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符，
所以自由粒子的动量是守恒量。
粒子在中心力场中运动：角动量守恒
皆不显含时间，
又，
所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是守恒量。
3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒
§4.1 力学量随时间的演化一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(所描写的态中，力学量A的平均值为
(1)
因为(是时间的函数?也可能显含时间，所以ā通常是时间t的函数。为了求出ā随时间的变化，(1)式两边对t求导
(2)
由薛定谔方程，(
因为?是厄密算符
(3) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。
若?不显含t，即，则有
(4)
二、守恒量
如果?既不显含时间，又与?对易（[?,?]=0），则由上式有
(5)
即这种力学量在任何态(之下的平均值都不随时间改变。
证明：在任意态(下A的概率分布也不随时间改变。
概括起来讲，对于Hamilton量?不含时的量子体系，如果力学量A与?对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。即A的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A为运动恒量或守恒量。
守恒量有两个特点：
(1),在任何态((t)之下的平均值都不随时间改变；
(2),在任意态((t)下A的概率分布不随时间改变。
应当强调，量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不尽相同。这实质上是不确定度关系的反映。
(a) 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在?的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即((0)并非?的本征态，则以后的状态也不是?的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。
(b) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守性，但由于不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）
三、举例
1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符，
所以自由粒子的动量是守恒量。
粒子在中心力场中运动：角动量守恒
皆不显含时间，
又，
所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是守恒量。
3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒
