第8章 自 旋 与 全 同 粒 子
Stern-Gerlach实验中得到了直接证实。
Stern-Gerlach（斯特恩-革拉赫）实验
2、自旋的提出
(1)、每个电子具有自旋角动量（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：；
(2)、每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量的关系是
，-e是电子的电荷，m是电子的质量自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
为玻尔磁子
，
电子
（1） 无经典对应量 有经典对应量
（2） ，
（3） 回转磁比率
实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），介子、介子的自旋角动量为（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。
§8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为
它是角动量，满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 自旋角动量
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值,所以
(1)三个算符的本征值都是有两个；
(2)它们的平方就都是；
(3)的本征值为：
依照，
s称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，为角量子数，可取各种各样的值
，
ms自旋磁量子数±1/2
二、含自旋的状态波函数
电子的含自旋的波函数需写
由于 sz 只取 ±?/2 两个值,所以上式可写为两个分量
写成列矩阵
规定列矩阵第一行对应于sz =? /2,第二行对应于sz = -? /2。
若已知电子处于sz =? /2或sz = -? /2的自旋态，则波函数可分别
三、自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
1、sz的矩阵形式在s2-sz表象中，sz的矩阵形式
sz是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±? /2。
2、Pauli 算符
(1),Pauli 算符的引进
令
分量形式
对易关系：(
分量形式,，，
因为sx,sy,sz的本征值都是±? /2,所以(x,(y,(z的本征值都是±1；(x2,(y2,(z2的本征值都是1 。即：
(2),反对易关系
基于(的对易关系，可以证明(各分量之间满足反对易关系:
反对易 （证明）
反对易 （证明）
反对易 （证明）
(3)、（证明）
(4),Pauli算符的矩阵形式根据定义
(
其他两个分量，令
利用反对易关系，得
(
(
(x简化为：
由力学量算符厄密性
(
得：或
，
(
令：（(为实），则
求(y的矩阵形式。
由(出发写成矩阵形式，得
这里有一个相位不定性，习惯上取(= 0,于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：
，，
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵
，，
四、含自旋波函数的归一化和几率密度
1、归一化电子波函数表示成
矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分
2、几率密度
表示电子位置在 r处的几率密度(在 r点附近 单位体积内找到电子的几率)
表示电子自旋向上（sz=?/2），位置在 r处的几率密度；
表示电子自旋向下（sz=-?/2），位置在 r处的几率密度；
在全空间找到sz =? /2的电子的几率：
在全空间找到sz=-?/2的电子的几率：
五、自旋波函数波函数
在有些情况下，例如Hamilton量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和），波函数可以分离变量，即
其中是描述自旋态的波函数，其一般形式为
式中与分别代表电子sz=(?/2的概率，所以归一化条件表示为
求：sz的本征态
sz的本征方程
令和分别为本征值?/2和-?/2的自旋波函数，
即
二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交
正交性
,构成正交归一完全性。
(与(构成电子自旋态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以用它们来展开,即任一单电子自旋波函数
完全性其中为电子的任一自旋态波函数。
例1．设氢原子的状态是，求能量E、角动量平方、角动量z分量lz、自旋角动量平方、自旋角动量z分量sz这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对换性全同粒子和全同性原理全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。如所有的电子、所有的质子。
2、经典粒子的可区分性
3、微观粒子的不可区分性
4、全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。
二、波函数的对称性质
表示第i个粒子的坐标和自旋
1、Hamilton 算符的对称性
N个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
其中 表示第i个粒子在外场中的能量（势能）,~ 表示第i个粒子和第j个粒子之间的相互作用能量，
调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。即：
表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i,q j ) 后不变。
2、对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时Shr?dinger方程
将方程中(qi,qj )调换，得：
由于 Hamilton 量对于(qi,qj )调换不变，表明：(qi,qj )调换调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。
根据全同性原理：
描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。
Pij表示第i粒子与第j粒子的全部坐标的交换，即
用Pij再运算一次，得
显然，所以C2=1
(
Pij有（而且只有）两个本征值，即C=(1。即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一
式中i(j=1,2,3,(,N。凡满足的，称为对称波函数，记为(S；满足的，称为反对称波函数，记为(A。所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。
三、波函数对称性的不随时间变化全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。
结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。——波函数的特性。
例子：下列波函数中，哪些上完全对称的？哪些是完全反对称的？
1、
2、
3、
4、
5、
四、Fermi（费密子）子和Bose（玻色）子
（1）Bose 子凡自旋为?整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如光子（自旋为1），处于基态的氦原子（自旋为零）,(粒子（自旋为0）；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。
如：g 光子（s =1）；(介子 （s = 0）。
（2）Fermi子凡自旋为?半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。如电子、质子、中子 ~；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。
例如：电子、质子、中子（s =1/2）等粒子。
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子五、两个全同粒子组成的体系两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成
(1)、两 个全同粒子（忽略它们的相互作用）Hamilton量表示为
h(q)表示单粒子的Hamilton量。h(q1)与h(q2)形式上完全相同，只不过q1( q2互换而已。显然
(2)、单粒子波函数
h(q)的本征方程为
(k为单粒子能量，(k (q) 为相应的归一化单粒子波函数，k代表一组完备的量子数。
(3)、交换简并
设两个粒子中有一个处于(k1态，另一个处于(k2态，则(k1(q1)(k2(q2)与(k1(q2)(k2(q1)对应的能量都是(k1+(k2。这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不一定具有交换对称性。
(4)、满足对称条件波函数的构成
对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的。这里要分两种情况：
(a)，归一化的对称波函数可如下构成：
是归一化因子。
(b)，归一化波函数为：
对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的。归一化的波函数可如下构成：
由上式可以看出，若，则，即这样的状态是不存在的。这就是著名的Pauli不相容原理。
* 注：两个函数的和差可以构成对称或反对称波函数。
讨论：
(1)、若两个Fermior所处状态相同，则，即这样的状态是不存在的。说明两个全同费米子不能处于同一状态，这就是著名的Pauli不相容原理在两个费米子组成的体系中的表述，可以证明这一原理对于由多个全同费米子组成的体系也是成立的。它可以表述为：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态。在全同费米子组成的体系内，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一状态。 (2)、(k1(q1)(k2(q2)与(k1(q2)(k2(q1)本来是属于二重简并能级(k1+(k2的两个态，但是，由于波函数的对称性的要求限制了只能用或，因而消除了简并；
* 注：由于对称性的要求，消除了交换简并。
六、N个全同粒子组成的体系
1、N个全同Bose子组成的体系
Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态。设有ni个Bose子处于ki态上（i=1,2,(,N），，这些ni中，有些可以为0，有些可以大于1。此时，对称的多粒子波函数可以表示成
注意：这里的P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，因为只有这样，上式求和中的各项才彼此正交。这样的置换共有
个。因此，归一化的对称波函数可表为
例：N=3玻色子体系，设三个单子态分别记为(1，(2，(3。
2、Fermi子体系和波函数反对称化两 个Fermi子体系，其反对称化波函数是：
行列式的性质保证了波函数反对称化。推广到N 个Fermi子体系：
讨论：
行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而(A是本征方程?(=E(的解。
交换任何两粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。
(3) N个单粒子态 中有两个单粒子态相同，则行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。这就是泡利不相容原理。
(4）无自旋—轨道相互作用情况
中每个q都包含
在无自旋——轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：
若是Fermi子体系，则(应是反对称化的。
对2 粒子情况，反对称化可分别由(A的对称性保证。
§8.4 自旋单态与三重态 （两个电子的自旋函数）
下面我们来讨论两个电子的自旋函数，这种自旋函数在研究含有两个电子的体系（如氦原子、氢分子等）的态时都要用到。
一、总自旋算符
设两个电子的自旋记为与，令
表示两个电子的自旋之和。由于与分别属于两个电子，即涉及不同的自由度，
，
由此不难证明，的三个分量满足下列对易式
，，
，
总自旋算符的本征函数两个电子组成体系的自旋自由度为2。既可以选(s1z,s2z)为自旋力学量完全集，也可以选(S2,Sz)的共同本征态。
令s1z本征态记为((1)和((1)，s2z本征态记为((2)和((2)，则(s1z,s2z)的共同本征态有4个，即
((1)((2)，((1)((2)，((1)((2)，((1)((2)
显然它们也是Sz =s1z+s2z的本征态，本征值分别为?，-?，0，0。试问：它们是否为S2的本征态？
利用
，
，
式中没有标明第一个电子或第二个电子，它们对于每一个电子的算符作用在自己的自旋函数上时都成立。
即((1)((2)和((1)((2)是S2的本征态，但((1)((2)，((1)((2)不是S2的本征态。((1)((2)，((1)((2) 不满足对称性要求，((1)((2)，((1)((2)可构成2组具有一定对称性的二电子自旋波函数：
自旋平行，沿z正向
自旋平行，沿z反向
自旋平行，与z垂直
自旋反平行
是的本征函数，存在一组构成完全系的共同本征函数由上可知：在三个自旋对称态中，的本征值都是,的本征值则依次为；这表明在态中两个电子的自旋平行，分量沿正方向，在态中两个电子的自旋分量都与轴反方向，在态中两个电子自旋分量相互反平行，但垂直于轴的分量则相互平行。在反对称自旋态中，和的本征值都是零，这表明在这个态中两电子的自旋反平行，因而总自旋为零。
有共同的完全的本征函数系。由(2)可知，均为的共同本征函数。由任意两个自旋量子数为的粒子形成的复合体系的任一自旋状态皆可以用它们的线性叠加来表示。
三、两个电子体系的自旋波函数的构成当体系Hamilton量不含二电子自旋相互作用项时，
(1)
(二电子自旋波函数)(单电子自旋波函数)
式中1，2依次是第一个电子和第二个电子的自旋变量。
可构成4种相互独立二电子自旋波函数：
很明显，在交换两个电子时，均不变号，变号，即有三个自旋对称态，一个是自旋反对称态。因为(1)式型的自旋函数只有四个，所以由这四个自旋函数只能构成四个独立的有确定对称性的自旋函数，它们分别是
独态与三重态独态：两电子自旋相互反平行的态是单一的。
三重态：两电子自旋相互平行的能级是三重简并的。
例1、有两个质量为(，自旋为1/2的全同粒子，在宽度为a的无限深势阱中，若略去两粒子间的相互作用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两能级的简并度。
例2、设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是，如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
Stern-Gerlach实验中得到了直接证实。
Stern-Gerlach（斯特恩-革拉赫）实验
2、自旋的提出
(1)、每个电子具有自旋角动量（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：；
(2)、每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量的关系是
，-e是电子的电荷，m是电子的质量自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
为玻尔磁子
，
电子
（1） 无经典对应量 有经典对应量
（2） ，
（3） 回转磁比率
实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），介子、介子的自旋角动量为（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。
§8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为
它是角动量，满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 自旋角动量
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值,所以
(1)三个算符的本征值都是有两个；
(2)它们的平方就都是；
(3)的本征值为：
依照，
s称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，为角量子数，可取各种各样的值
，
ms自旋磁量子数±1/2
二、含自旋的状态波函数
电子的含自旋的波函数需写
由于 sz 只取 ±?/2 两个值,所以上式可写为两个分量
写成列矩阵
规定列矩阵第一行对应于sz =? /2,第二行对应于sz = -? /2。
若已知电子处于sz =? /2或sz = -? /2的自旋态，则波函数可分别
三、自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
1、sz的矩阵形式在s2-sz表象中，sz的矩阵形式
sz是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±? /2。
2、Pauli 算符
(1),Pauli 算符的引进
令
分量形式
对易关系：(
分量形式,，，
因为sx,sy,sz的本征值都是±? /2,所以(x,(y,(z的本征值都是±1；(x2,(y2,(z2的本征值都是1 。即：
(2),反对易关系
基于(的对易关系，可以证明(各分量之间满足反对易关系:
反对易 （证明）
反对易 （证明）
反对易 （证明）
(3)、（证明）
(4),Pauli算符的矩阵形式根据定义
(
其他两个分量，令
利用反对易关系，得
(
(
(x简化为：
由力学量算符厄密性
(
得：或
，
(
令：（(为实），则
求(y的矩阵形式。
由(出发写成矩阵形式，得
这里有一个相位不定性，习惯上取(= 0,于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：
，，
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵
，，
四、含自旋波函数的归一化和几率密度
1、归一化电子波函数表示成
矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分
2、几率密度
表示电子位置在 r处的几率密度(在 r点附近 单位体积内找到电子的几率)
表示电子自旋向上（sz=?/2），位置在 r处的几率密度；
表示电子自旋向下（sz=-?/2），位置在 r处的几率密度；
在全空间找到sz =? /2的电子的几率：
在全空间找到sz=-?/2的电子的几率：
五、自旋波函数波函数
在有些情况下，例如Hamilton量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和），波函数可以分离变量，即
其中是描述自旋态的波函数，其一般形式为
式中与分别代表电子sz=(?/2的概率，所以归一化条件表示为
求：sz的本征态
sz的本征方程
令和分别为本征值?/2和-?/2的自旋波函数，
即
二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交
正交性
,构成正交归一完全性。
(与(构成电子自旋态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以用它们来展开,即任一单电子自旋波函数
完全性其中为电子的任一自旋态波函数。
例1．设氢原子的状态是，求能量E、角动量平方、角动量z分量lz、自旋角动量平方、自旋角动量z分量sz这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对换性全同粒子和全同性原理全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。如所有的电子、所有的质子。
2、经典粒子的可区分性
3、微观粒子的不可区分性
4、全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。
二、波函数的对称性质
表示第i个粒子的坐标和自旋
1、Hamilton 算符的对称性
N个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
其中 表示第i个粒子在外场中的能量（势能）,~ 表示第i个粒子和第j个粒子之间的相互作用能量，
调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。即：
表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i,q j ) 后不变。
2、对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时Shr?dinger方程
将方程中(qi,qj )调换，得：
由于 Hamilton 量对于(qi,qj )调换不变，表明：(qi,qj )调换调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。
根据全同性原理：
描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。
Pij表示第i粒子与第j粒子的全部坐标的交换，即
用Pij再运算一次，得
显然，所以C2=1
(
Pij有（而且只有）两个本征值，即C=(1。即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一
式中i(j=1,2,3,(,N。凡满足的，称为对称波函数，记为(S；满足的，称为反对称波函数，记为(A。所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。
三、波函数对称性的不随时间变化全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。
结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。——波函数的特性。
例子：下列波函数中，哪些上完全对称的？哪些是完全反对称的？
1、
2、
3、
4、
5、
四、Fermi（费密子）子和Bose（玻色）子
（1）Bose 子凡自旋为?整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如光子（自旋为1），处于基态的氦原子（自旋为零）,(粒子（自旋为0）；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。
如：g 光子（s =1）；(介子 （s = 0）。
（2）Fermi子凡自旋为?半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。如电子、质子、中子 ~；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。
例如：电子、质子、中子（s =1/2）等粒子。
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子五、两个全同粒子组成的体系两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成
(1)、两 个全同粒子（忽略它们的相互作用）Hamilton量表示为
h(q)表示单粒子的Hamilton量。h(q1)与h(q2)形式上完全相同，只不过q1( q2互换而已。显然
(2)、单粒子波函数
h(q)的本征方程为
(k为单粒子能量，(k (q) 为相应的归一化单粒子波函数，k代表一组完备的量子数。
(3)、交换简并
设两个粒子中有一个处于(k1态，另一个处于(k2态，则(k1(q1)(k2(q2)与(k1(q2)(k2(q1)对应的能量都是(k1+(k2。这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不一定具有交换对称性。
(4)、满足对称条件波函数的构成
对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的。这里要分两种情况：
(a)，归一化的对称波函数可如下构成：
是归一化因子。
(b)，归一化波函数为：
对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的。归一化的波函数可如下构成：
由上式可以看出，若，则，即这样的状态是不存在的。这就是著名的Pauli不相容原理。
* 注：两个函数的和差可以构成对称或反对称波函数。
讨论：
(1)、若两个Fermior所处状态相同，则，即这样的状态是不存在的。说明两个全同费米子不能处于同一状态，这就是著名的Pauli不相容原理在两个费米子组成的体系中的表述，可以证明这一原理对于由多个全同费米子组成的体系也是成立的。它可以表述为：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态。在全同费米子组成的体系内，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一状态。 (2)、(k1(q1)(k2(q2)与(k1(q2)(k2(q1)本来是属于二重简并能级(k1+(k2的两个态，但是，由于波函数的对称性的要求限制了只能用或，因而消除了简并；
* 注：由于对称性的要求，消除了交换简并。
六、N个全同粒子组成的体系
1、N个全同Bose子组成的体系
Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态。设有ni个Bose子处于ki态上（i=1,2,(,N），，这些ni中，有些可以为0，有些可以大于1。此时，对称的多粒子波函数可以表示成
注意：这里的P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，因为只有这样，上式求和中的各项才彼此正交。这样的置换共有
个。因此，归一化的对称波函数可表为
例：N=3玻色子体系，设三个单子态分别记为(1，(2，(3。
2、Fermi子体系和波函数反对称化两 个Fermi子体系，其反对称化波函数是：
行列式的性质保证了波函数反对称化。推广到N 个Fermi子体系：
讨论：
行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而(A是本征方程?(=E(的解。
交换任何两粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。
(3) N个单粒子态 中有两个单粒子态相同，则行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。这就是泡利不相容原理。
(4）无自旋—轨道相互作用情况
中每个q都包含
在无自旋——轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：
若是Fermi子体系，则(应是反对称化的。
对2 粒子情况，反对称化可分别由(A的对称性保证。
§8.4 自旋单态与三重态 （两个电子的自旋函数）
下面我们来讨论两个电子的自旋函数，这种自旋函数在研究含有两个电子的体系（如氦原子、氢分子等）的态时都要用到。
一、总自旋算符
设两个电子的自旋记为与，令
表示两个电子的自旋之和。由于与分别属于两个电子，即涉及不同的自由度，
，
由此不难证明，的三个分量满足下列对易式
，，
，
总自旋算符的本征函数两个电子组成体系的自旋自由度为2。既可以选(s1z,s2z)为自旋力学量完全集，也可以选(S2,Sz)的共同本征态。
令s1z本征态记为((1)和((1)，s2z本征态记为((2)和((2)，则(s1z,s2z)的共同本征态有4个，即
((1)((2)，((1)((2)，((1)((2)，((1)((2)
显然它们也是Sz =s1z+s2z的本征态，本征值分别为?，-?，0，0。试问：它们是否为S2的本征态？
利用
，
，
式中没有标明第一个电子或第二个电子，它们对于每一个电子的算符作用在自己的自旋函数上时都成立。
即((1)((2)和((1)((2)是S2的本征态，但((1)((2)，((1)((2)不是S2的本征态。((1)((2)，((1)((2) 不满足对称性要求，((1)((2)，((1)((2)可构成2组具有一定对称性的二电子自旋波函数：
自旋平行，沿z正向
自旋平行，沿z反向
自旋平行，与z垂直
自旋反平行
是的本征函数，存在一组构成完全系的共同本征函数由上可知：在三个自旋对称态中，的本征值都是,的本征值则依次为；这表明在态中两个电子的自旋平行，分量沿正方向，在态中两个电子的自旋分量都与轴反方向，在态中两个电子自旋分量相互反平行，但垂直于轴的分量则相互平行。在反对称自旋态中，和的本征值都是零，这表明在这个态中两电子的自旋反平行，因而总自旋为零。
有共同的完全的本征函数系。由(2)可知，均为的共同本征函数。由任意两个自旋量子数为的粒子形成的复合体系的任一自旋状态皆可以用它们的线性叠加来表示。
三、两个电子体系的自旋波函数的构成当体系Hamilton量不含二电子自旋相互作用项时，
(1)
(二电子自旋波函数)(单电子自旋波函数)
式中1，2依次是第一个电子和第二个电子的自旋变量。
可构成4种相互独立二电子自旋波函数：
很明显，在交换两个电子时，均不变号，变号，即有三个自旋对称态，一个是自旋反对称态。因为(1)式型的自旋函数只有四个，所以由这四个自旋函数只能构成四个独立的有确定对称性的自旋函数，它们分别是
独态与三重态独态：两电子自旋相互反平行的态是单一的。
三重态：两电子自旋相互平行的能级是三重简并的。
例1、有两个质量为(，自旋为1/2的全同粒子，在宽度为a的无限深势阱中，若略去两粒子间的相互作用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两能级的简并度。
例2、设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是，如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
