第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
§1 态的表象一、什么叫表象——量子力学中态和力学量的具体表示方式二、研究表象的意义根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
§7.1 量子态的不同表象一、坐标表象波函数((x,t)
1、((x,t)
2、——表示体系处在((x,t)所描述的态中，在x(x+dx范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在((x,t)所描述的态中，测量坐标x这个力学量所得值在x(x+dx这个范围内的几率。
3、
4、动量为的自由粒子的本征函数
5、x在坐标表象中对应于本征值的本征函数，
即，
二、动量表象波函数动量本征函数：组成完备系，任一状态(可按其展开
(1)
展开系数
(2)
((x,t)与c(p,t)互为Fourier（付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。认为c(p,t)和((x,t)描述同一个状态。((x,t)是这个状态在坐标表象中的波函数，c(p,t)是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、 ——状态波函数
2、表示体系处在c(p,t)所描述的态中测量动量这个力学量p所得结果为p(p+dp范围内的几率。
3、
命题：假设((x,t)是归一化波函数，则c(p,t)也是归一。(在第一章中已经证明)
4、的本征函数（具有确定动量的自由粒子的态）
若((x,t)描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：
则相应动量表象中的波函数,
所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p为变量的(函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个(函数。
三、力学量表象问题：那末，在任一力学量F表象中，((x,t)所描写的态又如何表示呢？
1、分立谱的情况
设算符的本征值为,F1,F 2,...,F n,...,
相应本征函数为：(1(x),( 2(x),...,(n(x),...。
将((x,t)按的本征函数展开,
若((x,t),u n(x)都是归一化的，则an(t)也是归一化的。(在第三章中已经证明)
由此可知，| an| 2 表示在((x,t)所描述的状态中测量F得Fn的几率。
展开系数组成的数列与((x,t)是一一对应关系,{an(t)}与((x,t)描述体系的同一个态，((x,t)是这一状态在坐标表象中的表示，而数列{an(t)}是这同一状态在F表象中的表示。我们可以把数列{an(t)}写成列矩阵的形式，用(F标记：
(1)、体系态 列矩阵为((x,t)所描写的态在F表象中的表示并把矩阵(F称为((x,t)所描写的状态在F表象中的波函数。
(F的共轭矩阵是一个行矩阵，用(+F标记
(2)、| an| 2 表示在((x,t)所描述的状态中测量F得Fn的几率。
(3)、若((x,t)已归一化，则有。若用矩阵表示
(4)、本征值为的本征函数。
（ 第为1，其余为零）
2、连续谱的情况 f
连续矩阵（一般用表示即可）
(1)
(2) 在所描述的态中，测量力学量f，所得结果为f(f+df的几率
(3)
综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。下面举个例子说明。
例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数。
四、Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间
同一个态在不同表象中有不同的表述方式
量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数(看成是这个空间中的一个矢量，称为态矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示一、矩阵简介定义
方阵：行数与列数相等的矩阵。
2、两矩阵相等 （行列数相等）
3、两矩阵相加 （行列数相等）
4、两矩阵相乘 （ 一个l列的矩阵A与一个l行的矩阵B相乘）
A B C
(1) 称A、B矩阵相互不对易；
称A、B矩阵相互对易
（2）
(3)
(4) ，但B=C不一定成立
(5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 除对角元外其余为零
6、单位矩阵 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转置矩阵。
m列n行n列m行
共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
如果，则称A矩阵为厄密矩阵（如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等）
例如，，则
二、F表象中的算符表示
设量子态(经过算符运算后变成另一个态(
A、分立谱的情况在以力学量完全集F的本征态(k为基矢的表象（F表象）中，上式表成
(1)
以左乘上式两边并对x积分，积分范围是x变化的整个区域得
(2)
式中
将(2)表成矩阵的形式则为
(3)
式(3)即式(1)在F表象中的矩阵表示，左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数(和波函数(在F表象中的矩阵表示，而矩阵即算符在F表象中的表示。它的第n列元素
用表示这个矩阵，表示左边的一列矩阵，表示右边的列矩阵，则(3)为
讨论：F表象中力学量算符的性质
1、力学量算符在自身表象中的形式
若，则
结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。（要会证明）
2、力学量算符用厄密矩阵表示
即L矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的共轭复数，这就是厄密矩阵。用L+表示矩阵L的共轭矩阵
——其对角矩阵元为实数。
所以厄米算符的的矩阵表示是一厄米矩阵。
B、连续谱的情况
（1）只有连续本征值如果F只有连续本征值f，上面的讨论仍然适用，只需将u,a,b的角标从可数的 n,m 换成连续变化的f，求和换成积分，见下表。
分立谱 连续谱
un* um uf* u,f
an bm af bf
算符L在F表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：
矩阵元中的第一个角标f表示矩阵的行数，第二个角标表示矩阵的列数。但是，由于本征值和f可连续取值，所以由组成的矩阵是行列不再可数的连续矩阵，可以标记为
三、举例求一维线性谐振子的坐标算符、动量算符及哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示
§7.3 量子力学公式的矩阵表示一、Schr?dinger方程
(1)
在F表象中，((t)表示为
(2)
按力学量算符F的本征函数展开。
把式(2)代入式(1)，得
左乘(j，（取标积），得——左乘(j*对x整个空间积分
或表示为
此即F表象中的Schr?dinger方程。
二、平均值公式在量子态(下，力学量L的平均值为
此即平均值的矩阵形式。
特例：若，则（对角矩阵），则在(态下，
假定(已归一化，即，则表示在(态下测量L得到Lk值的概率。
三、本征值方程算符的本征方程为
用代入，
左乘(j，（取标积），得——左乘(j*对x整个空间积分
(3)
此即的本征方程在F表象中的矩阵形式。
它是ak（k=0,1,2,(）满足的线性齐次方程组，有非平庸解的条件为（此方程组有非零解的条件是其系数行列式等于零，即）
明显写出，
(4)
(4)式称为久期方程。设表象空间维数为N，则上式是的N次幂代数方程。对于可观测量，Ljk为厄米矩阵，可以证明，上列方程必有N个实根，记为，(j=0,1,2,(,N)。分别用代入式(3)，可求出相应的解(k=0,1,2,(,N)，表成列矢
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。
给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函数。
举例,
例1、已知体系的哈密顿算符?与某一力学量算符在能量表象中的矩阵形式为：
,
其中(和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵；
(2)、H和B是否对易；
(3)、求算符的本征值及相应的本征函数；
(4)、算符的本征函数是否也是?的本征函数。
§4 Dirac符号量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。
1、右矢空间量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。空间中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量 | >与量子状态相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号。
因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量 |(> 可按该空间的某一完备基矢展开。 例如：
2、左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。例如：是的共轭态矢，是的共轭态矢等。
3、标积
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。
设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成(函数形式。
例如动量本征态，，坐标本征态，等。
在一个具体表象中如何计算标积，需要用到态矢在具体表象中的表示。
4、态矢在具体表象中的表示
在F表象中（基矢记为|k>），态矢|(>可用|k>展开，即
(1)
展开系数记为
(2)
是态矢|(>在基矢|k>上的投影（分量）。当所有ak都给定时，就确定了一个态。所以这一组数就是态|(>在F表象中的表示，常写成列矢形式
把式(2)代入式(1)，得
(3)
式中是一个投影算符，
Pk对任何态矢|(>运算后，就得到态矢|(>在基矢|k>方向上的分量矢量，
或者说Pk的作用是把任何态矢在|k>方向的分量挑选出来。
式(3)中|(>是任意的，因此
（单位算符） (4)
这正是这一组基矢|k>的完备性的表现。本征矢|k>的封闭性。
在连续谱的情况，
(5)
左乘，
代入式(5)，得
(6)
式(6)中是任意的，因此
式(4)中求和应换为积分。
例如，对于和分别有
，
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
由于 ，，，
所以它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。
例如：在左侧插入算符
同理
即得态矢按各种力学量本征矢的展开式
在F表象中，两个态矢与的标积可如下计算。因为
所以
5、算符在具体表象中的表示
设态矢经算符运算后变成态矢，即
(7)
这里尚未涉及具体表象。在F表象中，的矩阵表示为，式(7)左乘，得
即
,分别是态矢|(>和|(>在F表象中的表示。
力学量L的本征方程
在F表象中表示为
即 (8)
是|(>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表述形式。
§1 态的表象一、什么叫表象——量子力学中态和力学量的具体表示方式二、研究表象的意义根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
§7.1 量子态的不同表象一、坐标表象波函数((x,t)
1、((x,t)
2、——表示体系处在((x,t)所描述的态中，在x(x+dx范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在((x,t)所描述的态中，测量坐标x这个力学量所得值在x(x+dx这个范围内的几率。
3、
4、动量为的自由粒子的本征函数
5、x在坐标表象中对应于本征值的本征函数，
即，
二、动量表象波函数动量本征函数：组成完备系，任一状态(可按其展开
(1)
展开系数
(2)
((x,t)与c(p,t)互为Fourier（付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。认为c(p,t)和((x,t)描述同一个状态。((x,t)是这个状态在坐标表象中的波函数，c(p,t)是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、 ——状态波函数
2、表示体系处在c(p,t)所描述的态中测量动量这个力学量p所得结果为p(p+dp范围内的几率。
3、
命题：假设((x,t)是归一化波函数，则c(p,t)也是归一。(在第一章中已经证明)
4、的本征函数（具有确定动量的自由粒子的态）
若((x,t)描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：
则相应动量表象中的波函数,
所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p为变量的(函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个(函数。
三、力学量表象问题：那末，在任一力学量F表象中，((x,t)所描写的态又如何表示呢？
1、分立谱的情况
设算符的本征值为,F1,F 2,...,F n,...,
相应本征函数为：(1(x),( 2(x),...,(n(x),...。
将((x,t)按的本征函数展开,
若((x,t),u n(x)都是归一化的，则an(t)也是归一化的。(在第三章中已经证明)
由此可知，| an| 2 表示在((x,t)所描述的状态中测量F得Fn的几率。
展开系数组成的数列与((x,t)是一一对应关系,{an(t)}与((x,t)描述体系的同一个态，((x,t)是这一状态在坐标表象中的表示，而数列{an(t)}是这同一状态在F表象中的表示。我们可以把数列{an(t)}写成列矩阵的形式，用(F标记：
(1)、体系态 列矩阵为((x,t)所描写的态在F表象中的表示并把矩阵(F称为((x,t)所描写的状态在F表象中的波函数。
(F的共轭矩阵是一个行矩阵，用(+F标记
(2)、| an| 2 表示在((x,t)所描述的状态中测量F得Fn的几率。
(3)、若((x,t)已归一化，则有。若用矩阵表示
(4)、本征值为的本征函数。
（ 第为1，其余为零）
2、连续谱的情况 f
连续矩阵（一般用表示即可）
(1)
(2) 在所描述的态中，测量力学量f，所得结果为f(f+df的几率
(3)
综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。下面举个例子说明。
例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数。
四、Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间
同一个态在不同表象中有不同的表述方式
量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数(看成是这个空间中的一个矢量，称为态矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示一、矩阵简介定义
方阵：行数与列数相等的矩阵。
2、两矩阵相等 （行列数相等）
3、两矩阵相加 （行列数相等）
4、两矩阵相乘 （ 一个l列的矩阵A与一个l行的矩阵B相乘）
A B C
(1) 称A、B矩阵相互不对易；
称A、B矩阵相互对易
（2）
(3)
(4) ，但B=C不一定成立
(5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 除对角元外其余为零
6、单位矩阵 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转置矩阵。
m列n行n列m行
共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
如果，则称A矩阵为厄密矩阵（如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等）
例如，，则
二、F表象中的算符表示
设量子态(经过算符运算后变成另一个态(
A、分立谱的情况在以力学量完全集F的本征态(k为基矢的表象（F表象）中，上式表成
(1)
以左乘上式两边并对x积分，积分范围是x变化的整个区域得
(2)
式中
将(2)表成矩阵的形式则为
(3)
式(3)即式(1)在F表象中的矩阵表示，左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数(和波函数(在F表象中的矩阵表示，而矩阵即算符在F表象中的表示。它的第n列元素
用表示这个矩阵，表示左边的一列矩阵，表示右边的列矩阵，则(3)为
讨论：F表象中力学量算符的性质
1、力学量算符在自身表象中的形式
若，则
结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。（要会证明）
2、力学量算符用厄密矩阵表示
即L矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的共轭复数，这就是厄密矩阵。用L+表示矩阵L的共轭矩阵
——其对角矩阵元为实数。
所以厄米算符的的矩阵表示是一厄米矩阵。
B、连续谱的情况
（1）只有连续本征值如果F只有连续本征值f，上面的讨论仍然适用，只需将u,a,b的角标从可数的 n,m 换成连续变化的f，求和换成积分，见下表。
分立谱 连续谱
un* um uf* u,f
an bm af bf
算符L在F表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：
矩阵元中的第一个角标f表示矩阵的行数，第二个角标表示矩阵的列数。但是，由于本征值和f可连续取值，所以由组成的矩阵是行列不再可数的连续矩阵，可以标记为
三、举例求一维线性谐振子的坐标算符、动量算符及哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示
§7.3 量子力学公式的矩阵表示一、Schr?dinger方程
(1)
在F表象中，((t)表示为
(2)
按力学量算符F的本征函数展开。
把式(2)代入式(1)，得
左乘(j，（取标积），得——左乘(j*对x整个空间积分
或表示为
此即F表象中的Schr?dinger方程。
二、平均值公式在量子态(下，力学量L的平均值为
此即平均值的矩阵形式。
特例：若，则（对角矩阵），则在(态下，
假定(已归一化，即，则表示在(态下测量L得到Lk值的概率。
三、本征值方程算符的本征方程为
用代入，
左乘(j，（取标积），得——左乘(j*对x整个空间积分
(3)
此即的本征方程在F表象中的矩阵形式。
它是ak（k=0,1,2,(）满足的线性齐次方程组，有非平庸解的条件为（此方程组有非零解的条件是其系数行列式等于零，即）
明显写出，
(4)
(4)式称为久期方程。设表象空间维数为N，则上式是的N次幂代数方程。对于可观测量，Ljk为厄米矩阵，可以证明，上列方程必有N个实根，记为，(j=0,1,2,(,N)。分别用代入式(3)，可求出相应的解(k=0,1,2,(,N)，表成列矢
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。
给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函数。
举例,
例1、已知体系的哈密顿算符?与某一力学量算符在能量表象中的矩阵形式为：
,
其中(和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵；
(2)、H和B是否对易；
(3)、求算符的本征值及相应的本征函数；
(4)、算符的本征函数是否也是?的本征函数。
§4 Dirac符号量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。
1、右矢空间量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。空间中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量 | >与量子状态相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号。
因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量 |(> 可按该空间的某一完备基矢展开。 例如：
2、左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。例如：是的共轭态矢，是的共轭态矢等。
3、标积
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。
设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成(函数形式。
例如动量本征态，，坐标本征态，等。
在一个具体表象中如何计算标积，需要用到态矢在具体表象中的表示。
4、态矢在具体表象中的表示
在F表象中（基矢记为|k>），态矢|(>可用|k>展开，即
(1)
展开系数记为
(2)
是态矢|(>在基矢|k>上的投影（分量）。当所有ak都给定时，就确定了一个态。所以这一组数就是态|(>在F表象中的表示，常写成列矢形式
把式(2)代入式(1)，得
(3)
式中是一个投影算符，
Pk对任何态矢|(>运算后，就得到态矢|(>在基矢|k>方向上的分量矢量，
或者说Pk的作用是把任何态矢在|k>方向的分量挑选出来。
式(3)中|(>是任意的，因此
（单位算符） (4)
这正是这一组基矢|k>的完备性的表现。本征矢|k>的封闭性。
在连续谱的情况，
(5)
左乘，
代入式(5)，得
(6)
式(6)中是任意的，因此
式(4)中求和应换为积分。
例如，对于和分别有
，
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
由于 ，，，
所以它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。
例如：在左侧插入算符
同理
即得态矢按各种力学量本征矢的展开式
在F表象中，两个态矢与的标积可如下计算。因为
所以
5、算符在具体表象中的表示
设态矢经算符运算后变成态矢，即
(7)
这里尚未涉及具体表象。在F表象中，的矩阵表示为，式(7)左乘，得
即
,分别是态矢|(>和|(>在F表象中的表示。
力学量L的本征方程
在F表象中表示为
即 (8)
是|(>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表述形式。
