第五章 中心力场
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为(的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：
，
与经典力学中一样，角动量也是守恒量，即
；；
构成力学量完全集，存在共同本征态；
定态薛定谔(能量本征方程)：
上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取(为共同本征态，即：
是共同本征态：，
分离变量：
径向方程可写为：， (1)
为求解径向方程，引入变换：；
径向方程简化为： (2)
不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或(l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。
在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr,
二,径向波函数在r(0邻域的渐近行为：
假定V(r)满足：
薛定谔方程在邻域表示为：
； (3)
在正则奇点r=0邻域，设，代入(3)式，得：
；
(
解出：，或，
即当r(0时,或
根据波函数平方可积条件，因此要求：r(0时，的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解满足
三、两体问题化为单体问题两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：
(5)
ET为体系的总能量。引入质心坐标和相对坐标
可以证明
其中——体系的总质量，——约化质量或折合质量
，（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）
二粒子体系的能量本征方程(5)化为：
(6)
此方程可分离变量，令
代入(6)式，得
(7)
(8)
式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。
式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。
§5.4 氢原子氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）
这是一个两体问题。
按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程：
(1)
及边条件
式中(为电子的约化质量，，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在计算过程中令，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。
(1)
r=0,(是微分方程的两个奇点。
r(0时，；，或
只有(0是满足要求的，所以r(0，
r((时，，考虑束缚态，E<0
，，考虑到平方可积性，；
试探解为：，代入径向薛定谔方程，并化简：
变量变换：，
得到：（合流超几何方程）
即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：
，
参数：，；
解的一般形式：，
,(((时，，无穷级数解：发散（可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，即可满足中断条件；
即：，
,，，
即：，；
一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：,(2)
玻尔半径：，主量子数：n，
二、氢原子的波函数与En相应的径向波函数可表示为
归一化的径向波函数为
，
氢原子的束缚态能量本征函数为
；；。
定态波函数是氢原子体系、和的共同本征函数。
能级简并度
电子的能级只与主量子数有关，而波函数却与三个量子数，，有关，因此能级是简并的（除外）。给定，可能共个；给定，可取共个。因此，对应于第个能级的波函数就有
个，也就是说，电子的第个能级是度简并的。
例1、设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方、角动量分量的可能值及其几率，并求其平均值。
三、氢原子核外电子的几率分布当氢原子处于(nlm态时，在点周围的体积元内发现电子的几率为
人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”
1、在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率——径向分布
即，称为径向几率密度或径向分布函数。
使取最大值的半径称为最可几半径。
例子,氢原子处于基态，求最可几半径。
解,
令
经检验时为最大值所以是最可几半径讨论：
<1>、旧量子论与量子力学（关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系）
不同之处：电子在核外作轨道运动 由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子
核外电子是以几率 分布的形式出现。
联系之处：当氢原子处于1s,2p,3d,( 态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为，而量子力学计算的结果表明，当r分别为a,4a,9a时找到电子的几率最大。对于l(n-1态很难找到相似之处。
<2>、氢原子的第一玻尔轨道半径，从量子力学几率分布的观点解释a的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较：
当氢原子处于1s态时，在r=a处找到电子的几率最大，在r<a和r>a的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a。显然这两种图象是截然不同的。
2、在方向的立体角中找到电子的几率——角向分布
——角向几率分布
可见，角分布与(无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。
四、类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+，Li++，Be+++等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze（Z是核所带正电荷数），而(换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为
，
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为(的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：
，
与经典力学中一样，角动量也是守恒量，即
；；
构成力学量完全集，存在共同本征态；
定态薛定谔(能量本征方程)：
上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取(为共同本征态，即：
是共同本征态：，
分离变量：
径向方程可写为：， (1)
为求解径向方程，引入变换：；
径向方程简化为： (2)
不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或(l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。
在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr,
二,径向波函数在r(0邻域的渐近行为：
假定V(r)满足：
薛定谔方程在邻域表示为：
； (3)
在正则奇点r=0邻域，设，代入(3)式，得：
；
(
解出：，或，
即当r(0时,或
根据波函数平方可积条件，因此要求：r(0时，的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解满足
三、两体问题化为单体问题两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：
(5)
ET为体系的总能量。引入质心坐标和相对坐标
可以证明
其中——体系的总质量，——约化质量或折合质量
，（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）
二粒子体系的能量本征方程(5)化为：
(6)
此方程可分离变量，令
代入(6)式，得
(7)
(8)
式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。
式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。
§5.4 氢原子氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）
这是一个两体问题。
按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程：
(1)
及边条件
式中(为电子的约化质量，，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在计算过程中令，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。
(1)
r=0,(是微分方程的两个奇点。
r(0时，；，或
只有(0是满足要求的，所以r(0，
r((时，，考虑束缚态，E<0
，，考虑到平方可积性，；
试探解为：，代入径向薛定谔方程，并化简：
变量变换：，
得到：（合流超几何方程）
即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：
，
参数：，；
解的一般形式：，
,(((时，，无穷级数解：发散（可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，即可满足中断条件；
即：，
,，，
即：，；
一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：,(2)
玻尔半径：，主量子数：n，
二、氢原子的波函数与En相应的径向波函数可表示为
归一化的径向波函数为
，
氢原子的束缚态能量本征函数为
；；。
定态波函数是氢原子体系、和的共同本征函数。
能级简并度
电子的能级只与主量子数有关，而波函数却与三个量子数，，有关，因此能级是简并的（除外）。给定，可能共个；给定，可取共个。因此，对应于第个能级的波函数就有
个，也就是说，电子的第个能级是度简并的。
例1、设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方、角动量分量的可能值及其几率，并求其平均值。
三、氢原子核外电子的几率分布当氢原子处于(nlm态时，在点周围的体积元内发现电子的几率为
人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”
1、在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率——径向分布
即，称为径向几率密度或径向分布函数。
使取最大值的半径称为最可几半径。
例子,氢原子处于基态，求最可几半径。
解,
令
经检验时为最大值所以是最可几半径讨论：
<1>、旧量子论与量子力学（关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系）
不同之处：电子在核外作轨道运动 由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子
核外电子是以几率 分布的形式出现。
联系之处：当氢原子处于1s,2p,3d,( 态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为，而量子力学计算的结果表明，当r分别为a,4a,9a时找到电子的几率最大。对于l(n-1态很难找到相似之处。
<2>、氢原子的第一玻尔轨道半径，从量子力学几率分布的观点解释a的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较：
当氢原子处于1s态时，在r=a处找到电子的几率最大，在r<a和r>a的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a。显然这两种图象是截然不同的。
2、在方向的立体角中找到电子的几率——角向分布
——角向几率分布
可见，角分布与(无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。
四、类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+，Li++，Be+++等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze（Z是核所带正电荷数），而(换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为
，
