第 11章 金融资产价格决定线索：
风险资产的市场均衡价格理论 —资本资产定价模型 —套利定价模型 —期货与期权价格决定 。
第一节 资本资产定价模型资本资产定价模型（ Capital Asset
Pricing Model,CAPM）
是关于风险资产在金融市场中的均衡价格的理论 。 它立足于前一章的资产组合理论,基于资产价格的调整使市场供求趋于均衡的假设,推导风险资产预期收益率与其决定因素之间的数量关系 。
该模型源于以下问题：如果所有的投资者对风险资产的预期收益率和风险的预测相同,并且根据有效分散化原则选择最优投资组合,达到均衡状态时,证券的风险溢价是多少呢？
一,资本市场理论
由于人们通常是厌恶风险的,因此,为了引导人们自愿持有经济中的所有风险资产,所有风险资产的风险溢价总量必须为正值 。 但是,市场并不因为投资者持有无效资产组合而提供报酬 。
因此,单个证券的风险溢价并不与其独立风险相关,而是与其对有效组合的风险贡献相关 。
威廉?夏普等人证明如果将无风险资产与马柯维兹有效组合相结合就可以确定这样的有效资产组合 。 该理论被称为资本市场理论
（ Capital Market Theory） 。
1,理论假设
资本市场理论对投资者行为和资本市场做出了以下假设：
– （ 1） 投资者对于预期收益率,标准差和风险资产相关性的预测一致,他们以最优的方式持有相同比例的风险资产 。
– （ 2） 投资者的行为通常遵循最优化原则,在均衡状态下,证券价格的调整使得在投资者持有最优投资组合时,每种证券的总需求等于其总供给 。
在此假设条件下,每位投资者所持有风险资产的相对比例相同,
因此,使资产市场出清的唯一办法是,风险资产的最优相对比例为它们的市场价格的相对比例 。 以市场价格的相对比例 （ 各种股票市值占总市值的比例 ） 持有所有资产的投资组合,称为市场资产组合 （ Market Portfolio） 。
2,资本市场线
威廉?夏普等人证明如果存在按无风险利率借款或贷款的机会,在资本市场中,
投资者就会更愿意持有由无风险资产与马柯维兹有效边界上某一资产组合 M组成的资产组合 。
夏普把这条从无风险利率到资产组合 M
的 直 线 称 为 资 本 市 场 线 （ Capital
Market Line,简称 CML,如图 11.1所示 ） 。
图 11.1 资本市场线
PB
风险?
预期收益 E(rp)
M
资本市场线马柯维兹有效边界
PA
无风险利率资本市场线反映了资产组合的预期收益与风险的关系 。 其计算公式为：
(11.1)
其中,E(rP)为资产组合的预期收益；
– rf为无风险收益；
– E(rM)为风险资产组合 （ 又称为市场资产组合 ） 的预期收益；
–?M为市场资产组合的标准差；
–?为资产组合的标准差 。
其系数：为资本市场线的斜率 。 它反映的是每单位市场风险的报酬,被称为风险的市场价格 （ Market
Price of Risk） 。 可见,资本市场线表示的资产组合的预期收益率为无风险利率加上风险升水 。 后者等于风险的市场价格乘以资产组合的风险数量 。
M
fM
fp
rrERrE )()(
3,部分资金分离定理与市场资产组合
从上分析可见,如果存在按无风险利率借款或贷款的机会,投资者构建有效资产组合的方法就是,将无风险资产投资与风险资产组合投资结合起来 。 所有投资者都持有无风险资产与市场资产组合组成的资产组合的理论被称为两部分资金分离定理 。 按照该定理进行投资,有利于将风险控制在一定水平下实现预期收益的最大化 。
在资本市场线的计算中,无风险利率容易确定,通常以短期国库券利率作为无风险利率 。 而市场风险资产组合 M的构建则更为困难 。 尤金费马的研究证明了,M
必须包括投资者所能获得的所有资产,每一资产持有比率等于该资产的市场价值占所有资产总市值的比重 。
由于资产组合 M有所有的资产构成,所以它又被称为市场资产组合 （ Market Portfolio） 。
二,系统性风险的度量
既然市场只对承担系统性风险的投资者给于报酬,因此,对系统风险的度量就十分重要了 。 对系统性风险的度量可以首先将收益率划分为与市场收益率相关的系统性收益率和与市场收益率无关的非系统性收益率 。
即：
(11.2)
其中,R为资产收益率； b为系统性收益率,RM为市场收益率；系统性收益率与市场收益率的比率,又称为市场敏感度指数； e`为非系统性收益率 。
eb MRR
如果令,则 (11.2)式可改写为：
(11.3)
其中,α 为非系统收益的平均值； ε 为 非系统收益的离差,平均值趋于零 。 (11.3)式被称为市场模型,可用图 11.2的例子来形象的表示 。
eb MRR
e?e
ε
α
市场收益率 RM
资产收益率 R β
图 11.2 市场模型图示利用市场模型对资产收益率的定义,
资产的系统性风险和非系统性风险分别为两个收益率组成部分的标准差 。 其中,系统性风险等于 β 乘以市场收益率的标准差：
系统性风险 =β?M
非系统性风险等于剩余收益率因子 ε 的标准差：
非系统性风险 =?e
资产组合的系统性风险等于资产组合的 β 因子 β p乘以市场收益率的标准差：
资产组合的系统性风险 =β p?M
资产组合的 β p等于组合中各资产 β 值的加权平均数,权重为组合中各资产的比重 Wi。 即：
由所有资产组成的资产组合的 β 值等于 1。 可见,β 是反映资产的系统性风险与市场指数风险的相对指标 。 为了方便起见,通常用 β 而非 β std(RM)反映资产的系统性风险 。
n
i
iip W
1
bb
资产组合的非系统性风险也是组合中各资产非系统性风险的加权平均数 。
因此,长期内资产的收益只与系统性收益相关；而与非系统性收益无关 。 市场只对承担系统性风险者给予报酬,而对非有效投资组合不给予报酬 。 因为,非系统性风险是可以通过构建有效组合来加以规避的 。 在达到有效组合以后,投资者需要承担的唯一风险就是系统性风险 。 市场并不因为投资者承担任何非系统性风险而提供报酬 。
β值的估计通常并不用其定义式计算而是采用市场模型用回归方法进行估计 。
其市场资产组合收益率的系数即为 β值 。 市场资产组合收益率通常可以采用相应的指数变动率来近似的反映 。
三,资本资产定价模型
资本市场线 CML将资产组合的预期收益率表示为市场证券组合预期收益率的线性函数 。 单个证券的预期收益率也存在类似的关系：
(11.4)
这种关系被称为证券市场线 (Security Market Line,简写为 SML),它表明资产的预期收益率等于无风险利率加上风险的市场价格与证券的风险量的乘积 。
)()( )()( i
M
FMFi Rs t dRs t d RRERRE
证券市场线还可以用证券的 β 值来 表示 。
在一个有效资产组合中,非系统性风险被分散化所消除,则证券的方差为：
– 标准差为：
– 因而：
(11.5)
将 (11.5)式带入 (11.4)式得：
(11.6)
该式即为资本资产定价模型 。 它表明在资本市场理论的假设条件下,单个资产的预期收益率是用 β 来衡量的系统性风险指数的线性正函数 。 β 值越大,预期收益率越高 。
FMiFi RRERRE )()( b
)(
)(
M
ii
Rstd
Rstd?b
)()( Mii Rs tdRs td b?
)v a r ()v a r ( 2 Mii RR b?
图 9-3 证券市场线
-2 -1 0 βM=1 βi β
证券市场线预期收益率
E(ri)
E(rM)
rF
图 9-3 证券市场线
0
-10
对于无风险资产,β =0,则
对于市场证券组合,β =1,则
因此,如果证券的 β >1,则其预期收益率高于市场证券组合 。 如果证券的 β <1,则其预期收益率低于市场证券组合 。 图 9-3显示了这种关系 。
对于具体证券的 β 值可以利用其历史数据进行回归估计,其中市场证券组合的预期收益率可以用指数收益率近似表示,市场无风险收益率可用短期国库券收益率表示 。 在估计出其 β 值后,即可计算该证券的预期收益率 。
例如,A公司的 β 值估计为 1.5,短期国库券年收益率为 3%,股票指数年收益率为 10%,则代入 (11.6）
式得：
E(RA)=3%+1.5?(10%-3%)=14%
即 A公司股票的预期收益率为 14%。
四,影响证券市场线的因素
影响证券市场线的因素主要有两个：通货膨胀和投资者的风险偏好度 。
1,通货膨胀
决定资产预期收益率中的无风险收益率通常以短期国库券市场利率为估值 。 但短期国库券市场利率为名义利率,受通货膨胀率影响,即：
(11.7)
– 其中,r为实际利率； π 为通货膨胀率 。
一旦发生通货膨胀,短期国库券利率将上升,证券市场线在坐标图中的位置将上升,但斜率不变,如图
11.4所示 。 它说明无风险收益率应该考虑通货膨胀因素 。 如果投资者预期经济将发生通货膨胀,而短期国库券利率尚未反映,则在利用证券市场线时,应该对它做出相应的调整 。
rR F
β1 β2 β β
SML2预期收益率
E(r2)2
Δ E(ri)
图 11.5 证券市场线受投资者风险偏好变动影响
SML1
E(r2)1
rF
E(r1)1
E(r1)2
Δ E(ri)
βi β
SML2预期收益率
E(ri)2
π
rF2
图 11.4 证券市场线受通货膨胀影响上移
SML1
π
E(ri)1
rF1
2,投资者风险偏好的影响
投资者的风险偏好度受投资者对经济发展前景和市场风险变动的预测相关 。 如果预测的前景不乐观,投资者通常会采取积极态度回避风险,从证券市场,特别是股票市场抽回资金,结果将导致市场风险报酬上升,证券市场线斜率上升,如图 11.5所示 。 证券市场线斜率上升,不仅使市场风险报酬上升,
而且使风险较大的资产的风险报酬上升幅度大于风险较小的资产 。
五,资本资产定价模型的应用
1,在投资组合选择中的应用资本市场理论说明市场投资组合是一个有效投资组合,因此,大多数投资者只要采取消极投资策略,将无风险资产投资与某一指数基金投资相结合,其效果等同于积极研究证券并试图,战胜,市场 。 那些特别能干的少数投资者确实能够通过努力获得较多的收益,
但大多数投资者可能是,赚了指数不赚钱,
甚至赔钱 。 因此,采取消极投资法反而能够保证他获得平均收益 。
资本资产定价理论为简单的消极投资策略
(passive invest strategy)提供了依据：
（ 1） 按市场投资组合的比例分散持有多种风险资产；
（ 2） 将该组合与无风险资产再组合,以获得所希望的风险 —收益组合 。 尽管中小投资者按此方法对风险资产进行直接投资比较困难,但指数基金正是按此方法进行投资的 。 因此,中小投资者只要将无风险资产投资与某一指数基金投资相结合就能获得同样的效果 。
消极投资策略也可以作为风险投资基准,以衡量积极投资策略的业绩 。 这就是将其管理的投资组合的投资收益率与消极投资策略的投资收益率进行比较 。 国际上对由专业人员管理的共同基金业绩的长期研究发现,消极投资策略的业绩比基金的业绩高大约 2/3。 因此,越来越多的家庭和养老基金采取了用作业绩基准的消极投资策略 。 这类投资策略被称为指数法,因为他们正是按照指数的权重进行投资 。
2,估算收益率
资本资产定价模型不仅可以用于投资组合的选择,而且可用于现金流折现估价模型,公司资金预算决策等 。
（ 1） 现金流折现估价模型
对于现金流估价模型中的市场资本报酬率 k的确定,可以采用
CAPM进行估计 。 如以固定增长率 g增长的永久股息的现值公式
(11.8)中 k值的估计 。
(11.8)
假设 A公司目前的股息为每股 0.3元,今后将按每年 5%的速度递增 。 计算 A公司股票价值的关键是估计市场资本报酬率 k。 计算 k
的一种方法就是估计 A公司股票的 β 值,并利用证券市场线推算其风险溢价 。 假设无风险利率为 4%； βA为 1.2；市场投资组合的 风险 报酬率 为 8%,代入 SML 方程,kA=4%+1.2*(8%-
4%)=8.8%。 代入 (11.8)式得,P0=0.3/(8.8%-5%)=9.09元 。
gk
DP
10
（ 2） 公司资本成本
公司运用资金的预期收益率与提供资金的投资者的预期收益率是一致的。该预期收益率就是公司运用资金的最低收益率，即资本成本。资本成本的高低取决于资金的运用而非资金的来源。公司的资本成本为股权资本和债务资本的加权平均成本。从业人员通常应用资本资产定价模型方法来估计股权资本成本。 从业人员通常应用资本资产定价模型法来估计股权资本成本。
例如,C公司的 β C为 1.5,无风险利率为 5%；市场投资组合的风险报酬率为 10%,代入 SML方程：
kA=5%+1.5*(10%-5%)=13%
C公司的权益资本成本为 13%。
第二节 CAPM的修正和替代模型一,CAPM的缺陷
许多实证研究发现,证券市场线与市场数据并不吻合,不能充分解释资产预期收益率的结构 。 对于这种明显偏离有 3种主要的解释：
– 其一,资本资产定价模型确实成立,但是,检验是采用的,市场,
投资组合不能完全,恰当地代表真实的市场投资组合 。
– 其二,资本资产定价模型未考虑到市场的不完善,如借入资金的成本与限制,对卖空的限制与成本,对不同资产的部通史收政策,以及人力资本等不可交易的重要资产 。 这些因素可能随技术,机构组成和政策法规的变化而变化 。
– 其三,资本资产定价模型的假设条件过于严格,缺乏现实性 。 要增强其现实性就必须增加一些现实因素 。
鉴于 CAPM的以上缺陷,许多学者尝试对它进行修正或开发替代模型 。 多要素资产定价模型和套利定价模型分别是这两方面的典型代表 。
二,多要素资产定价模型
CAPM假设投资者只关心价格风险,而现实中投资者不仅关心价格风险而且还关心其他风险等多种影响因素 。 有鉴于此,罗伯特?莫顿扩展 CAPM模型为多要素资产定价模型 （ Multifactor CAPM）,
(11.9）
– RF为无风险收益率；
– F1,F2,…,Fk为第 1至 K个要素或市场外风险来源；
bpfk为证券组合对 k个要素的敏感度；
– E(RFK)为要素 k的预期收益率 。
])([
])([])([])([)(
,
22,11,,
FFKFKP
FFFPFFFPFMMPFP
RRE
RRERRERRERRE
b
bbb
全部的市场外风险来源等于：
(11.10）
该表达式表明：投资者不仅因为承担市场风险要得到补偿,而且还要为承受与市场外风险来源相关的风险得到补偿 。 如果扣除市场外风险溢价,(11.9） 式就成为 CAPM预测的证券组合的预期收益率 。
对于 CAPM而言,投资者只要持有市场证券组合,进行分散化投资就可以预防证券价格未来变化的风险 。 对于多要素
CAPM,投资者不仅要持有市场证券组合,而且还需要投资于其他类似的共同基金以规避某一特定的市场外风险 。
])([ ])([])([)(,22,11,FFKFKPFFFPFFFPP RRERRERRERE bbb?
单一证券的多要素 CAPM为：
(11.11)
多要素 CAPM的优点在于它不仅考虑了持有证券的市场风险,而且考虑了相关的非市场风险的多种要素 。 因此,资产价格不仅应该包括补偿其承受市场风险的溢价,而且应该包含补偿其承受非市场风险的溢价 。,遗憾的是很难确认所有的市场外风险并经验的估计每一个风险,。
])([
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,
22,11,,
FFKFKi
FFFiFFFiFMMiFi
RRE
RRERRERRERRE
b
bbb
三,套利定价模型
1976年,斯蒂芬?罗斯创立了资产套利定价理论
(arbitrage pricing theory,简称 APT)模型,以替代
CAPM和多要素 CAPM。
APT模型假设证券预期收益率受多个因素的影响,他们之间存在线性关系 。 对于一个包含 n种证券的资产组合和 m个要素的情况 （ n>m） 。 要使 n项资产之间达到均衡,必须满足以下套利条件：如果不增加资金的投入和组合的风险,不可能构造出一个能够使收益增加的资产组合 。
APT模型假设：
证券 i的随机收益率为：
(11.12）
– E(Ri) 为证券 i的预期收益率；
b为第 i个证券对 j个要素的敏感度；
– Fj为第 j种要素 ;
– ei为第 i个证券的非系统性收益率 。
– 假设 Vi为对 i种证券投资金额的变化占投资总值的比例,即：
(11.13)
则不增加投资总量表明,,即证券组合的重组不会改变初始证券组合的市场价值 。 但是,重组会引起两个变化：首先,它会改变证券组合的预期收益率；其次,它还会改变组合的总风险 。
i
m
j
jjiii eFRER
1
,)(
~ b
n
i
ti
titi
ti
I
IIV
1
,
1,,
,
证券组合未来收益率的变化为：
(11.14)
该式说明,证券组合未来收益率的变化不仅取决于系统性风险,而且取决于非系统性风险 。 当投资的证券数量相当多的时候,非系统性风险被分散化所消除 。
罗斯已经证明每个证券的收益与风险的关系为：
(11.19)
该式即为 APT模型,它表明投资者要获得承担所有系统地影响证券收益率的各要素的风险补偿 。 补偿额等于每一要素的系统性风险与市场分配给该要素的风险升水的乘积之和 。 与 CAPM和多要素 CAPM模型一样,投资者只会因为承担系统性风险而得到补偿,而不会因为承担非系统性风险而得到补偿 。 多要素 CAPM指出其中一个非系统性风险是市场风险,而 APT模型则没有对系统性风险做出规定 。
i
n
i
i
m
j
n
i
jiij
n
i
iiP eVVFREVR
11 1
,
1
)(~ b
n
j
FFjFjiFi RRERRE
1
,])([)( b
APT模型相对于 CAPM模型和多要素 CAPM模型具有以下优点：
首先,它对投资者关于风险和收益偏好的假设更少限制性；其次,它无需对证券收益率的分布做出架设；
其三,它不依赖于对真正市场证券组合的确认,因而该理论有可能得到检验 。
研究证明,APT在解释资产收益率方面比单一要素的
CAPM能力更强 。 但在实际应用方面还存在一些尚未解决的问题,其中之一就是解释证券收益率的要素究竟有多少？ 陈来福等 [4]进行的一项研究认为有以下四种经济要素：工业产值的非预期变化；低级和高级债券收益率差异的非预期变化；利率和收益率曲线形状的非预期变化；通货膨胀的非预期变化 。 其他研究人员则认为有更多的影响因素 。
第三节 远期与期货价格决定
远期合约和期货合约都是买卖双方关于在未来某个时间按照约定价格交割一定量商品的买卖合同 。
期货合约在期货交易所进行交易,是一种标准化的合同 。
远期合约在柜台交易,是一种非标准化的合同 。
由于它们交易的都是在未来交割的商品,交割日的期货等与其现货,其价格必然趋于一致 。 因此,它们的价格既与其现货相关,又预示着其现货价格的未来变动趋势 。 那么,它们的价格是如何决定的呢？
一,期货价格决定
假设,(1) 现货市场上 2000 国债价格为 100 元；
(2)2000国债的年利率为 6%,按季支付利息,下一次的利息支付恰好在现在开始的 3个月以后； (3) 2000国债期货合约要求从现在开始的 3个月后交割； (4)目前 3
个月的资金借贷利率为年利率 4%。 目前 2000国债期货价格应该为多少呢？ 如果该期货价格目前为 105元,会出现什么样的结果？ 考虑以下交易策略：
– （ 1） 按年利率 4%借入资金 100元,期限 3个月；
– （ 2） 用借入资金在现货市场以 100元价格购入 2000国债 1份；
– （ 3） 在期货市场以 105元价格出售 2000国债期货 1份 。
该交易策略在期初自己并不需要支付任何资金 。 3个月后,
国债现货获得利息
100?6%/4=1.5元
以国债现货进行国债期货实物交割获得现金收入 105元
两项共获得现金收入 106.5元
归还贷款本利 100+100?4%/4=101.0元
盈利 5.5元
不管交割日的期货价格为多少,该利润总能实现 。 因此,这是一个无风险利润 。 在一个运行良好的金融市场中,如果存在这样的套利机会,套利者必然会大量买入 2000国债现货,卖出
2000国债期货进行套利 。 其结果必然是,现货价格的上升,期货价格的下降 。 从而使该无风险利润不复存在 。
如果 2000国债期货价格目前不是 105元而是 95元的情况会怎样呢？
考虑以下交易策略：
– （ 1） 在期货市场以 95元价格买入 2000国债期货 1份；
– （ 2） 在现货市场以 100元价格出售 （ 卖空 ） 2000国债 1份；
– （ 3） 按年利率 4%贷出资金 100元,期限 3个月 。
该交易策略投资者在期初仍不需要支付任何资金 。 3个月后,
收回贷款本金并获得利息
100+100?4%/4=101.0元
期货交割支付现金 95元
将 期 货 交 割 获 得 的 现 货 归 还 现 货 贷 出 者 并 支 付 其 资 产 收 益
100?6%/4=1.5元
两项共支出现金 96.5元
盈利 4.5元
该利润也为无风险利润 。 如果存在该利润,套利者为追求该利润必然大量买进期货,卖出现货,其结果必然使期货价格上升,现货价格下跌,从而使该无风险利润消失 。
综上可见
期货价格与其现货价格紧密相关,过高或过低的期货价格都会使其与现货价格之间存在套利机会 。 而追求无风险利润的套利行为必然使其价格上涨或下跌从而消除其无风险利润 。 由此可以推知,均衡的期货价格就是不存在无风险套利利润的价格 。 该价格又被称为理论期货价格 (theoretic price of futures)。
策略 1：
根据以上的套利分析方法,假设投资者以利率 r融入资金 P；以 P价格购入现货资产；以 F价格卖出期货；
则理论期货价格必须满足以下无风险利润为零的条件：
(11.20）
– F为期货价格；
– P为现货价格；
– y为持有资产的现金收益；
– r为融资成本 （ 融资利率 ）
解出 (11.20） 式,
(11.21）
0)( rPPyPF
)( yrPPF
策略 2：
假设投资者以 P价格出售现货资产；以 F价格买入期货；
以利率 r贷出资金 P直至交割日；则理论期货价格必须满足以下无风险利润为零的条件：
(11.22）
求解 (11.22） 式得到与 (11.21） 式相同的结果 。 (11.21）
式反映了期价 —现价平价关系 。
将上例中数据代入 (11.21） 式,F=100+100(0.04-
0.06)=98。 可见,上例中的理论期货价格为 98元 。
理论期货价格可能高于现货价格,也可能低于现货价格 。 它取决于 （ r-y） 是大于零还是小于零 。 (r-y)反映融资成本与资产的现金收益之间的差额,称为净融资成本 （ net financing cost,NFC） 或持有成本 （ cost of
carry） 。 净融资成本的高低直接决定了期货价格高于或低于现货价格,参见表 9-1。
0)( yPFrPP
表 9-1 净融资成本与期货价格的关系
因为净融资成本随交割日的临近而逼近于零,因此,期货价格将随交割日的临近而逼近现货价格 。
融资成本与收益 净融资成本 期货价格
i>y NFC>0 按现货价格溢价出售 （ F>P）
i=y NFC=0 按现货价格出售 （ F=P）
i<y NFC<0 按现货价格折价出售 （ F<P）
二,影响理论期货价格的因素
使用套利方法推导理论期货价格公式时,作了若干的假设 。 当假设不成立时,实际期货价格就会与理论期货价格发生偏离 。 影响这种偏离的主要因素有：
1,交易成本
在建立和扎平现货头寸以及期货合约的建仓和平仓,
都必然发生交易成本 。 这些交易成本必然影响期货价格 。 令 c为交易成本,则期货价格调整为：
(11.23）
假设交易成本为 0.2%,则上例的期货价格为：
F=100+100[0.04-(0.06-0.002)]=98.2元
)]([ cyrPPF
2,借款利率和贷款利率的差别
在以上推导理论期货价格公式时假设借款利率 （ borrowing rate，
投资者借入资金的利率 ） 和贷款利率 （ lending rate投资者贷出资金的利率 ） 和相同,但实际上借款利率通常高于贷款利率 。
策略 1：假设投资者以借款利率 rB融入资金 P；以 P价格购入现货资产；以 FH价格卖出期货；则无风险利润为零的期货价格为：
(11.24A）
策略 2：假设投资者以 P价格出售现货资产；以 FL价格买入期货；
以贷款利率 rL贷出资金 P直至交割日；则无风险利润为零的期货价格为：
(11.24B）
(11.24A） 式和 (11.24B） 式分别构成理论期货价格的上下限 。 假设上例的贷款利率为 3.5%；借款利率为 4.5% 。 则理论期货价格的上下限分别：
FH=100+100[0.045-(0.06-0.002)]=98.7元
FL=100+100[0.035-(0.06-0.002)]= 97.7元
)]([ cyrPPF BH
)]([ cyrPPF LL
3,期间现金流量
以上推导理论期货价格公式时,假设在期货交易日到到期日之间没有现金流量发生,但实际上在此期间可能有现金流量发生 。 因为,在此期间可能有股票股利的支付或债券利息的支付,它们将形成新的现金流量 。
其次,在期货到期之时,期货价格必然调整到与现货价格相等,
因此,在期货到期之前,由于现货价格的变动,期货价格也将相应发生变化 。 为了控制持有期货的风险,交易所将调整期货持有者的保证金要求 。 保证金的变动将形成新的现金流量 。 这些期间现金流量必然影响到期货价格 。 但对于远期合约来说,
通常不要求在到期时将其价格调整到现货价格,因此并不发生保证金的变动 。
4,卖空收入
以上假设,在卖空现货的时候得到卖空的全部收入并用它来进行再投资 。 现实中,投资者只能在交割时才能得到这笔收入,而且在交易的时候还要交纳卖空证券的保证金 。 因此,它必须采取其他方法融入所需资金,这必然发生相应的成本 。
5,交割的资产和已知的交割日
以上假设交割的资产为唯一的,交割日为已知的 。 但现实中,可以用于交割的资产可能不止一种,其交割日对于买方也是不完全确定的 。
6,交割物为组合资产
某些金融期货的标的物为组合资产或指数,因此,要进行完全套利必须按照市值比重购买每一种资产,并根据市值比重调整其资产组合 。 显然这是比较困难的 。
因此,人们通常采取构造只包括少数资产的组合来
,跟踪,指数 。 然而,这种套利就不是无风险而是有风险的了 。
第四节 期权价格决定
在实际的金融市场中最为关键的问题是：在一定条件下,期权价格的合理取值应为多少？
本节将讨论标的资产为离散和连续情形下的欧式看涨期权 （ call option） 定价问题 。 为期权进行准确估值的一个常用方法是构造二叉树图 。 这个二叉树图能够描述标的资产 （ 股票 ） 在期权的有效期内所可能够遵循的路径 。
一,单期二叉树模型
1,二叉树模型的例子
首先我们看下面的一份例子 。 假设某种股票的当前价格为 $20，
并且能够知道三个月后,股票的价格后的可能取值为两个 $22
或 $18。 假设股票不付红利,我们将对三个月后以 $21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值 。 根据期权合约的定义,很容易计算得到下面的结果：在期权的到期日,如果股票价格为
$22,则期权的价值将是 $1；如果股票价格为 $18,则期权的价值将是 0。 股票和期权的取值情况如图 9-6所示 。
股票价格 =$22
期权价格 =$1
股票价格 =$20
股票价格 =$18
期权价格 =$0
图 9-6 股票和期权价格的取值变化根据这个例子可以看到：
在无套利假设条件下,如何利用二叉树模型为期权定价 。 我们将构造股票和期权的投资组合,特别的,将股票和期权分别取适当的头寸,我们将能够构造出一份期权和相应股票头寸的无风险组合,从而无风险组合的价值在三个月末是确定值 。 由于该组合无风险,
根据无套利假设条件,所以该组合的收益率一定等于无风险收益率,由此我们可以得出有关期权价格的一个方程,求解该方程,就可以得出期权的价格 。 由于组合中只有两种证券 （ 股票和股票期权 ）,并且只有两个可能的结果,所以只要选择合适的股票和期权的比率,我们一定能构造出无风险组合 。
构造下面的证券组合
该组合包含 △ 股股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸 。 我们首先计算 △ 值为多少时,所 构造的组合为无风险组合 。 当股票价格从 $20上升到 $22时,股票的价值为 22△,期权的价值为 $1，
在这种情况下,该证券组合的价值为 22△ -1；当股票价格从 $20
下降到 $18时,股票的价值为 18△,期权的价值为零,在这种情况下,该证券组合的价值为 18△ 。 如果选取某个具体的 △ 值,使得在两种情况下,组合最终的价值相等,则该证券组合一定是无风险组合 。 即 22△ -1=18△,求解可得,△ =0.25
因此,按照上面求出的 △ 值,我们可以构造下面的无风险证券组合：
多头,0.25股股票 空头,一份看涨期权合约
如果股票价格上升到 $22,该组合的价值为,22 0.25 –
1=4.5
如果股票价格下跌到 $18,该组合的价值为,18 0.25 = 4.5
可以看到,无论股票价格怎样变化,最终是上升还是下降,在期权有效期结束时,我们构造的证券组合价值总是 $4.5。
在无套利假设条件下,无风险证券组合的收益率一定为无风险利率 。
假设无风险利率为年率 12%。 我们可以计算该组合的现在价值一定是 $4.5,即：
我们用 f 表示期权的价格 。 已知股票现在价格为 $20,因此该组合现在的价值为 20 0.25 – f = 5 – f
于是 5 – f = 4.367
求解可得 f = 0.633
在无套利假设条件下,期权的价值一定为 $ 0.633。 如果期权的价值超过了 $ 0.633,投资者构造该组合的成本就有可能低于 $
4.367,并将获得超过无风险利率的额外利润,这与无套利假设条件矛盾；如果期权的价值低于 $ 0.633,投资者可以通过卖空该证券组合来获得低于无风险利率的资金,这与无套利假设条件矛盾 。
3 6 7.45.4 25.012.0e
2 期权的二叉树计算公式
考虑一种不支付红利的股票,股票现在价格为 S,以该股票为标的资产,有效期为 T的某个期权的价格为 f,假设在未来 T时刻股票的价格只有两种取值情况,股票价格或者从 S上升到一个新的价格,或者从 S下降到一个新的价格 (其中,u > 1,d < 1),即当股票价格向上变化时,股票价格增长的比率为 u-1；当股票价格向下变化时,股票价格减少的比率为 1-d。 在期权的有效期 T
时间,我们可以根据股票的取值情况,计算期权的相应取值状况 。 当股票价格变化到时,我们假设期权的收益为；当股票价格变化到 Sd时,我们假设期权的收益为 。 如图 9-7。
利用前面例子的思想方法,我们可以利用股票和期权合约构造无风险证券组合 。 在证券的组合中,我们将选取 △ 股的股票多头头寸和一份期权合约的空头头寸来组成证券组合 。 为使得该证券组合为无风险组合,我们需要计算股票的多头头寸数量 △
的具体取值 。
图 9-7 股票价格和期权价格的单步二叉树图
Su,fu
S
Sd,fd
如果股票价格由 S上升到,则在期权的到期日,该组合的价值为：
Su x - fu
如果股票价格由 S下降到,则在期权的到期日,该组合的价值为：
Sd,x - fd
要使得上述证券组合为无风险组合,则无论股票价格是上升还是下降,在期权的到期日,上述的两个取值应该相等,即
Su x - fu = Sd,x - fd
整理可以得到
（ 9-25）
SdSux
ff du
当组合中股票的 x取值为 时
所构造的组合一定是无风险组合,根据无套利假设条件,组合的收益一定为无风险利率 。
我们用 r表示无风险利率,则该组合的现值为：
而该组合的初始价值为 Sx-f,因此
将公式 （ 9-25） 中的 △ 代入上式可以得到
(9-26)
其中
(9-27)
SdSu
ff du
du
dep rT
])1([ durT fppfef
rTuu efxS )?
rTuu efxSfSx )(
利用单期 二叉树模型和公式 (9-26),(9-27)估计期权的价值 。
假设 = 1.1,d = 0.9,r = 0.12,T = 0.25,=1和 =0。
由公式 (9-27)可得
p = (e0.03-0.9)/(1.1-0.9) = 0.6523
由 （ 9-26） 式可得,期权的价值为
= e0.03( 0.6523 * 1 + 0.3477 * 0 ） = 0.633
这个结果与前面的计算结果相同 。
3 期权的风险中性定价
我们注意到,二叉树期权计算公式 （ 9-26） 没有用到股票上升和下降的概率 。 例如,当上升概率是 0.5时,计算得到的欧式期权价格,与上升概率为 0.9时,计算得到的欧式期权价格相等 。
直观上,人们很自然的会想到,如果股票价格上升的概率增加,
则基于股票的看涨期权价值也会增加,看跌期权的价值会减少 。
事实上,情况并非如此 。
虽然我们不需要对股票价格上升和下降的概率作任何假设，在期权计算公式（ 9-26）中，可以将变量 p解释为股票价格上升的概率，于是变量 1-p就是股票价格下降的概率。
[pfu+(1-p)fd] 为期权的预期收益。按照这种对的解释，于是公式（ 9-26）表示的含义为：期权的现值就是未来期权的预期值按无风险利率的贴现值。
当上升变化的概率假设为时，我们考察一下股票的预期收益。
在 T时刻预期的股票价格，由下式给出：
将（ 9-27）式中的代入上式，化简得：
（ 9-28）
上式说明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。
因此，假设上升变化的概率等于等价于假设股票收益为无风险利率。
duT fppSSE )1()(
rTSeSE T?)(
所有投资者是风险中性的世界称为风险中性世界（ risk-neutral world）。
在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，证券市场上所有证券的预期收益都假设是无风险利率。公式
（ 9-28）说明,当我们设定上升变化的概率为时，我们就在假设所有投资者都是风险中性。公式（ 9-26）
说明：在风险中性世界中，给期权定价时，我们可以假设证券市场上所有证券的预期收益都是无风险利率，
期权的价值是其预期收益按无风险利率的贴现值。
例
已知股票现价为 $20,三个月末股票价格可能上涨到 $22或下降到
$18。 本例中所考虑的期权是一份执行价格为 $21,有效期为三个月的欧式看涨期权,无风险利率是年率 12%。
在风险中性假设条件下,股票价格上升变化的概率是 。 在这样的世界中,股票的预期收益率一定等于无风险利率 12%。 这意味着一定满足：
22p +18(1 –p)= 20e0.12*0.25
p=0.6523。
在三个月末尾,看涨期权价值具有 $1价值的概率为 0.6523,价值为零的概率为 0.3477。 因此,看涨期权的期望值为：
0.6523 1 + 0.3477 0 = $0.6523
利用 无风险利率进行贴现,可以得到该期权的价值为,
0.6523e0.12*0.25=0.633
这一计算结果与前面所得结果相同，这说明利用无套利理论和风险中性定价方法计算的结论相同。
二,二叉树模型的应用
显然,假设在期权有效期内股票价格的变化并只是由单期或两期构成,并不符合金融市场上股票价格的实际变化情况 。 所以我们所列举的二叉树图模型都是非现实的情况,因此根据二叉树期权计算模型,计算出的期权价格只能是实际期权价格的近似值 。
在实际中应用二叉树图方法时,为使得计算的期权价格更为实际,我们通常将期权有效期分成 30或更多的时间段 。 在每一个时间段,就有一个二叉树股票价格变化图形 。 30个时间段意味着最后有 31个终端股票价格 （ terminal stock prices）,并且有
230即大约 10亿个可能的股票价格路径 。
三,Black-Scholes期权定价模型
在七十年代初,Black和 Scholes在期权定价领域取得了一个重大的突破,他们利用无套利方法推导出股票的欧式看涨期权的解析表达式 。
c表示标的资产为股票,有效期限为 T,执行价格为 X欧式看涨期权 。 股票的初始价格为 S,?表示股票收益率的波动率,作为近似,
波动率可补解释为一年内股票价格变化的标准差,r表示 T时刻到期的某个投资的无风险利率,无风险利率为常数,并且对于任何到期日都相同 。 则
（ 9-31）
其中，
（ 9-31a）
（ 9-31b）
N(x)为均值为 0标准偏差为 1的标准正态分布变量的累计概率分布函数 （ 即这个变量小于 x的概率 ） 。
21 dNXedSNc rT
T
TrXSd
)2/()/ln ( 2
1
TdT TrXSd 122 )2/()/ln (
假设对一个欧式看涨期权进行定价
已知条件如下：
股票初始价格 S=100 元 利率 r=0.10（ 每年 10%）
执行价格 X=95 元 期权期限 T=0.25(3个月 )
=0.50(每年 50%)
首先计算：
在统计书中,查正态分布表可得：
N(0.43)=0.664 N(0.18)=0.5714
欧式看涨期权的价值为元
43.025.05.0 25.0)2/5.010.0()95/100ln ( 21d
18.025.05.043.02d
7.135 7 1 4.0956 6 6 4.0100 25.010.0ec
Black-Scholes期权定价理论的突破是金融学研究领域的一个巨大成就
以默顿为代表的众多学者对 Black-Scholes期权定价公式进行了各种各推广和应用,这其中主要支付红利股票期权的定价模型,期货期权的定价模型和其他各种金融复杂合约的定价模型 。
近年来,Black-Scholes期权定价理论不仅在金融合约的定价中有着广泛的应用,而且,
以这一理论为基础发展了众多新兴的交叉学科,这包括金融工程 （ Finance
Engineering ）,金 融 数 学 （ Mathematic
Finance） 和实物期权 （ Real options） 。
风险资产的市场均衡价格理论 —资本资产定价模型 —套利定价模型 —期货与期权价格决定 。
第一节 资本资产定价模型资本资产定价模型（ Capital Asset
Pricing Model,CAPM）
是关于风险资产在金融市场中的均衡价格的理论 。 它立足于前一章的资产组合理论,基于资产价格的调整使市场供求趋于均衡的假设,推导风险资产预期收益率与其决定因素之间的数量关系 。
该模型源于以下问题：如果所有的投资者对风险资产的预期收益率和风险的预测相同,并且根据有效分散化原则选择最优投资组合,达到均衡状态时,证券的风险溢价是多少呢？
一,资本市场理论
由于人们通常是厌恶风险的,因此,为了引导人们自愿持有经济中的所有风险资产,所有风险资产的风险溢价总量必须为正值 。 但是,市场并不因为投资者持有无效资产组合而提供报酬 。
因此,单个证券的风险溢价并不与其独立风险相关,而是与其对有效组合的风险贡献相关 。
威廉?夏普等人证明如果将无风险资产与马柯维兹有效组合相结合就可以确定这样的有效资产组合 。 该理论被称为资本市场理论
（ Capital Market Theory） 。
1,理论假设
资本市场理论对投资者行为和资本市场做出了以下假设：
– （ 1） 投资者对于预期收益率,标准差和风险资产相关性的预测一致,他们以最优的方式持有相同比例的风险资产 。
– （ 2） 投资者的行为通常遵循最优化原则,在均衡状态下,证券价格的调整使得在投资者持有最优投资组合时,每种证券的总需求等于其总供给 。
在此假设条件下,每位投资者所持有风险资产的相对比例相同,
因此,使资产市场出清的唯一办法是,风险资产的最优相对比例为它们的市场价格的相对比例 。 以市场价格的相对比例 （ 各种股票市值占总市值的比例 ） 持有所有资产的投资组合,称为市场资产组合 （ Market Portfolio） 。
2,资本市场线
威廉?夏普等人证明如果存在按无风险利率借款或贷款的机会,在资本市场中,
投资者就会更愿意持有由无风险资产与马柯维兹有效边界上某一资产组合 M组成的资产组合 。
夏普把这条从无风险利率到资产组合 M
的 直 线 称 为 资 本 市 场 线 （ Capital
Market Line,简称 CML,如图 11.1所示 ） 。
图 11.1 资本市场线
PB
风险?
预期收益 E(rp)
M
资本市场线马柯维兹有效边界
PA
无风险利率资本市场线反映了资产组合的预期收益与风险的关系 。 其计算公式为：
(11.1)
其中,E(rP)为资产组合的预期收益；
– rf为无风险收益；
– E(rM)为风险资产组合 （ 又称为市场资产组合 ） 的预期收益；
–?M为市场资产组合的标准差；
–?为资产组合的标准差 。
其系数：为资本市场线的斜率 。 它反映的是每单位市场风险的报酬,被称为风险的市场价格 （ Market
Price of Risk） 。 可见,资本市场线表示的资产组合的预期收益率为无风险利率加上风险升水 。 后者等于风险的市场价格乘以资产组合的风险数量 。
M
fM
fp
rrERrE )()(
3,部分资金分离定理与市场资产组合
从上分析可见,如果存在按无风险利率借款或贷款的机会,投资者构建有效资产组合的方法就是,将无风险资产投资与风险资产组合投资结合起来 。 所有投资者都持有无风险资产与市场资产组合组成的资产组合的理论被称为两部分资金分离定理 。 按照该定理进行投资,有利于将风险控制在一定水平下实现预期收益的最大化 。
在资本市场线的计算中,无风险利率容易确定,通常以短期国库券利率作为无风险利率 。 而市场风险资产组合 M的构建则更为困难 。 尤金费马的研究证明了,M
必须包括投资者所能获得的所有资产,每一资产持有比率等于该资产的市场价值占所有资产总市值的比重 。
由于资产组合 M有所有的资产构成,所以它又被称为市场资产组合 （ Market Portfolio） 。
二,系统性风险的度量
既然市场只对承担系统性风险的投资者给于报酬,因此,对系统风险的度量就十分重要了 。 对系统性风险的度量可以首先将收益率划分为与市场收益率相关的系统性收益率和与市场收益率无关的非系统性收益率 。
即：
(11.2)
其中,R为资产收益率； b为系统性收益率,RM为市场收益率；系统性收益率与市场收益率的比率,又称为市场敏感度指数； e`为非系统性收益率 。
eb MRR
如果令,则 (11.2)式可改写为：
(11.3)
其中,α 为非系统收益的平均值； ε 为 非系统收益的离差,平均值趋于零 。 (11.3)式被称为市场模型,可用图 11.2的例子来形象的表示 。
eb MRR
e?e
ε
α
市场收益率 RM
资产收益率 R β
图 11.2 市场模型图示利用市场模型对资产收益率的定义,
资产的系统性风险和非系统性风险分别为两个收益率组成部分的标准差 。 其中,系统性风险等于 β 乘以市场收益率的标准差：
系统性风险 =β?M
非系统性风险等于剩余收益率因子 ε 的标准差：
非系统性风险 =?e
资产组合的系统性风险等于资产组合的 β 因子 β p乘以市场收益率的标准差：
资产组合的系统性风险 =β p?M
资产组合的 β p等于组合中各资产 β 值的加权平均数,权重为组合中各资产的比重 Wi。 即：
由所有资产组成的资产组合的 β 值等于 1。 可见,β 是反映资产的系统性风险与市场指数风险的相对指标 。 为了方便起见,通常用 β 而非 β std(RM)反映资产的系统性风险 。
n
i
iip W
1
bb
资产组合的非系统性风险也是组合中各资产非系统性风险的加权平均数 。
因此,长期内资产的收益只与系统性收益相关；而与非系统性收益无关 。 市场只对承担系统性风险者给予报酬,而对非有效投资组合不给予报酬 。 因为,非系统性风险是可以通过构建有效组合来加以规避的 。 在达到有效组合以后,投资者需要承担的唯一风险就是系统性风险 。 市场并不因为投资者承担任何非系统性风险而提供报酬 。
β值的估计通常并不用其定义式计算而是采用市场模型用回归方法进行估计 。
其市场资产组合收益率的系数即为 β值 。 市场资产组合收益率通常可以采用相应的指数变动率来近似的反映 。
三,资本资产定价模型
资本市场线 CML将资产组合的预期收益率表示为市场证券组合预期收益率的线性函数 。 单个证券的预期收益率也存在类似的关系：
(11.4)
这种关系被称为证券市场线 (Security Market Line,简写为 SML),它表明资产的预期收益率等于无风险利率加上风险的市场价格与证券的风险量的乘积 。
)()( )()( i
M
FMFi Rs t dRs t d RRERRE
证券市场线还可以用证券的 β 值来 表示 。
在一个有效资产组合中,非系统性风险被分散化所消除,则证券的方差为：
– 标准差为：
– 因而：
(11.5)
将 (11.5)式带入 (11.4)式得：
(11.6)
该式即为资本资产定价模型 。 它表明在资本市场理论的假设条件下,单个资产的预期收益率是用 β 来衡量的系统性风险指数的线性正函数 。 β 值越大,预期收益率越高 。
FMiFi RRERRE )()( b
)(
)(
M
ii
Rstd
Rstd?b
)()( Mii Rs tdRs td b?
)v a r ()v a r ( 2 Mii RR b?
图 9-3 证券市场线
-2 -1 0 βM=1 βi β
证券市场线预期收益率
E(ri)
E(rM)
rF
图 9-3 证券市场线
0
-10
对于无风险资产,β =0,则
对于市场证券组合,β =1,则
因此,如果证券的 β >1,则其预期收益率高于市场证券组合 。 如果证券的 β <1,则其预期收益率低于市场证券组合 。 图 9-3显示了这种关系 。
对于具体证券的 β 值可以利用其历史数据进行回归估计,其中市场证券组合的预期收益率可以用指数收益率近似表示,市场无风险收益率可用短期国库券收益率表示 。 在估计出其 β 值后,即可计算该证券的预期收益率 。
例如,A公司的 β 值估计为 1.5,短期国库券年收益率为 3%,股票指数年收益率为 10%,则代入 (11.6）
式得：
E(RA)=3%+1.5?(10%-3%)=14%
即 A公司股票的预期收益率为 14%。
四,影响证券市场线的因素
影响证券市场线的因素主要有两个：通货膨胀和投资者的风险偏好度 。
1,通货膨胀
决定资产预期收益率中的无风险收益率通常以短期国库券市场利率为估值 。 但短期国库券市场利率为名义利率,受通货膨胀率影响,即：
(11.7)
– 其中,r为实际利率； π 为通货膨胀率 。
一旦发生通货膨胀,短期国库券利率将上升,证券市场线在坐标图中的位置将上升,但斜率不变,如图
11.4所示 。 它说明无风险收益率应该考虑通货膨胀因素 。 如果投资者预期经济将发生通货膨胀,而短期国库券利率尚未反映,则在利用证券市场线时,应该对它做出相应的调整 。
rR F
β1 β2 β β
SML2预期收益率
E(r2)2
Δ E(ri)
图 11.5 证券市场线受投资者风险偏好变动影响
SML1
E(r2)1
rF
E(r1)1
E(r1)2
Δ E(ri)
βi β
SML2预期收益率
E(ri)2
π
rF2
图 11.4 证券市场线受通货膨胀影响上移
SML1
π
E(ri)1
rF1
2,投资者风险偏好的影响
投资者的风险偏好度受投资者对经济发展前景和市场风险变动的预测相关 。 如果预测的前景不乐观,投资者通常会采取积极态度回避风险,从证券市场,特别是股票市场抽回资金,结果将导致市场风险报酬上升,证券市场线斜率上升,如图 11.5所示 。 证券市场线斜率上升,不仅使市场风险报酬上升,
而且使风险较大的资产的风险报酬上升幅度大于风险较小的资产 。
五,资本资产定价模型的应用
1,在投资组合选择中的应用资本市场理论说明市场投资组合是一个有效投资组合,因此,大多数投资者只要采取消极投资策略,将无风险资产投资与某一指数基金投资相结合,其效果等同于积极研究证券并试图,战胜,市场 。 那些特别能干的少数投资者确实能够通过努力获得较多的收益,
但大多数投资者可能是,赚了指数不赚钱,
甚至赔钱 。 因此,采取消极投资法反而能够保证他获得平均收益 。
资本资产定价理论为简单的消极投资策略
(passive invest strategy)提供了依据：
（ 1） 按市场投资组合的比例分散持有多种风险资产；
（ 2） 将该组合与无风险资产再组合,以获得所希望的风险 —收益组合 。 尽管中小投资者按此方法对风险资产进行直接投资比较困难,但指数基金正是按此方法进行投资的 。 因此,中小投资者只要将无风险资产投资与某一指数基金投资相结合就能获得同样的效果 。
消极投资策略也可以作为风险投资基准,以衡量积极投资策略的业绩 。 这就是将其管理的投资组合的投资收益率与消极投资策略的投资收益率进行比较 。 国际上对由专业人员管理的共同基金业绩的长期研究发现,消极投资策略的业绩比基金的业绩高大约 2/3。 因此,越来越多的家庭和养老基金采取了用作业绩基准的消极投资策略 。 这类投资策略被称为指数法,因为他们正是按照指数的权重进行投资 。
2,估算收益率
资本资产定价模型不仅可以用于投资组合的选择,而且可用于现金流折现估价模型,公司资金预算决策等 。
（ 1） 现金流折现估价模型
对于现金流估价模型中的市场资本报酬率 k的确定,可以采用
CAPM进行估计 。 如以固定增长率 g增长的永久股息的现值公式
(11.8)中 k值的估计 。
(11.8)
假设 A公司目前的股息为每股 0.3元,今后将按每年 5%的速度递增 。 计算 A公司股票价值的关键是估计市场资本报酬率 k。 计算 k
的一种方法就是估计 A公司股票的 β 值,并利用证券市场线推算其风险溢价 。 假设无风险利率为 4%； βA为 1.2；市场投资组合的 风险 报酬率 为 8%,代入 SML 方程,kA=4%+1.2*(8%-
4%)=8.8%。 代入 (11.8)式得,P0=0.3/(8.8%-5%)=9.09元 。
gk
DP
10
（ 2） 公司资本成本
公司运用资金的预期收益率与提供资金的投资者的预期收益率是一致的。该预期收益率就是公司运用资金的最低收益率，即资本成本。资本成本的高低取决于资金的运用而非资金的来源。公司的资本成本为股权资本和债务资本的加权平均成本。从业人员通常应用资本资产定价模型方法来估计股权资本成本。 从业人员通常应用资本资产定价模型法来估计股权资本成本。
例如,C公司的 β C为 1.5,无风险利率为 5%；市场投资组合的风险报酬率为 10%,代入 SML方程：
kA=5%+1.5*(10%-5%)=13%
C公司的权益资本成本为 13%。
第二节 CAPM的修正和替代模型一,CAPM的缺陷
许多实证研究发现,证券市场线与市场数据并不吻合,不能充分解释资产预期收益率的结构 。 对于这种明显偏离有 3种主要的解释：
– 其一,资本资产定价模型确实成立,但是,检验是采用的,市场,
投资组合不能完全,恰当地代表真实的市场投资组合 。
– 其二,资本资产定价模型未考虑到市场的不完善,如借入资金的成本与限制,对卖空的限制与成本,对不同资产的部通史收政策,以及人力资本等不可交易的重要资产 。 这些因素可能随技术,机构组成和政策法规的变化而变化 。
– 其三,资本资产定价模型的假设条件过于严格,缺乏现实性 。 要增强其现实性就必须增加一些现实因素 。
鉴于 CAPM的以上缺陷,许多学者尝试对它进行修正或开发替代模型 。 多要素资产定价模型和套利定价模型分别是这两方面的典型代表 。
二,多要素资产定价模型
CAPM假设投资者只关心价格风险,而现实中投资者不仅关心价格风险而且还关心其他风险等多种影响因素 。 有鉴于此,罗伯特?莫顿扩展 CAPM模型为多要素资产定价模型 （ Multifactor CAPM）,
(11.9）
– RF为无风险收益率；
– F1,F2,…,Fk为第 1至 K个要素或市场外风险来源；
bpfk为证券组合对 k个要素的敏感度；
– E(RFK)为要素 k的预期收益率 。
])([
])([])([])([)(
,
22,11,,
FFKFKP
FFFPFFFPFMMPFP
RRE
RRERRERRERRE
b
bbb
全部的市场外风险来源等于：
(11.10）
该表达式表明：投资者不仅因为承担市场风险要得到补偿,而且还要为承受与市场外风险来源相关的风险得到补偿 。 如果扣除市场外风险溢价,(11.9） 式就成为 CAPM预测的证券组合的预期收益率 。
对于 CAPM而言,投资者只要持有市场证券组合,进行分散化投资就可以预防证券价格未来变化的风险 。 对于多要素
CAPM,投资者不仅要持有市场证券组合,而且还需要投资于其他类似的共同基金以规避某一特定的市场外风险 。
])([ ])([])([)(,22,11,FFKFKPFFFPFFFPP RRERRERRERE bbb?
单一证券的多要素 CAPM为：
(11.11)
多要素 CAPM的优点在于它不仅考虑了持有证券的市场风险,而且考虑了相关的非市场风险的多种要素 。 因此,资产价格不仅应该包括补偿其承受市场风险的溢价,而且应该包含补偿其承受非市场风险的溢价 。,遗憾的是很难确认所有的市场外风险并经验的估计每一个风险,。
])([
])([])([])([)(
,
22,11,,
FFKFKi
FFFiFFFiFMMiFi
RRE
RRERRERRERRE
b
bbb
三,套利定价模型
1976年,斯蒂芬?罗斯创立了资产套利定价理论
(arbitrage pricing theory,简称 APT)模型,以替代
CAPM和多要素 CAPM。
APT模型假设证券预期收益率受多个因素的影响,他们之间存在线性关系 。 对于一个包含 n种证券的资产组合和 m个要素的情况 （ n>m） 。 要使 n项资产之间达到均衡,必须满足以下套利条件：如果不增加资金的投入和组合的风险,不可能构造出一个能够使收益增加的资产组合 。
APT模型假设：
证券 i的随机收益率为：
(11.12）
– E(Ri) 为证券 i的预期收益率；
b为第 i个证券对 j个要素的敏感度；
– Fj为第 j种要素 ;
– ei为第 i个证券的非系统性收益率 。
– 假设 Vi为对 i种证券投资金额的变化占投资总值的比例,即：
(11.13)
则不增加投资总量表明,,即证券组合的重组不会改变初始证券组合的市场价值 。 但是,重组会引起两个变化：首先,它会改变证券组合的预期收益率；其次,它还会改变组合的总风险 。
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1
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I
IIV
1
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证券组合未来收益率的变化为：
(11.14)
该式说明,证券组合未来收益率的变化不仅取决于系统性风险,而且取决于非系统性风险 。 当投资的证券数量相当多的时候,非系统性风险被分散化所消除 。
罗斯已经证明每个证券的收益与风险的关系为：
(11.19)
该式即为 APT模型,它表明投资者要获得承担所有系统地影响证券收益率的各要素的风险补偿 。 补偿额等于每一要素的系统性风险与市场分配给该要素的风险升水的乘积之和 。 与 CAPM和多要素 CAPM模型一样,投资者只会因为承担系统性风险而得到补偿,而不会因为承担非系统性风险而得到补偿 。 多要素 CAPM指出其中一个非系统性风险是市场风险,而 APT模型则没有对系统性风险做出规定 。
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1
,])([)( b
APT模型相对于 CAPM模型和多要素 CAPM模型具有以下优点：
首先,它对投资者关于风险和收益偏好的假设更少限制性；其次,它无需对证券收益率的分布做出架设；
其三,它不依赖于对真正市场证券组合的确认,因而该理论有可能得到检验 。
研究证明,APT在解释资产收益率方面比单一要素的
CAPM能力更强 。 但在实际应用方面还存在一些尚未解决的问题,其中之一就是解释证券收益率的要素究竟有多少？ 陈来福等 [4]进行的一项研究认为有以下四种经济要素：工业产值的非预期变化；低级和高级债券收益率差异的非预期变化；利率和收益率曲线形状的非预期变化；通货膨胀的非预期变化 。 其他研究人员则认为有更多的影响因素 。
第三节 远期与期货价格决定
远期合约和期货合约都是买卖双方关于在未来某个时间按照约定价格交割一定量商品的买卖合同 。
期货合约在期货交易所进行交易,是一种标准化的合同 。
远期合约在柜台交易,是一种非标准化的合同 。
由于它们交易的都是在未来交割的商品,交割日的期货等与其现货,其价格必然趋于一致 。 因此,它们的价格既与其现货相关,又预示着其现货价格的未来变动趋势 。 那么,它们的价格是如何决定的呢？
一,期货价格决定
假设,(1) 现货市场上 2000 国债价格为 100 元；
(2)2000国债的年利率为 6%,按季支付利息,下一次的利息支付恰好在现在开始的 3个月以后； (3) 2000国债期货合约要求从现在开始的 3个月后交割； (4)目前 3
个月的资金借贷利率为年利率 4%。 目前 2000国债期货价格应该为多少呢？ 如果该期货价格目前为 105元,会出现什么样的结果？ 考虑以下交易策略：
– （ 1） 按年利率 4%借入资金 100元,期限 3个月；
– （ 2） 用借入资金在现货市场以 100元价格购入 2000国债 1份；
– （ 3） 在期货市场以 105元价格出售 2000国债期货 1份 。
该交易策略在期初自己并不需要支付任何资金 。 3个月后,
国债现货获得利息
100?6%/4=1.5元
以国债现货进行国债期货实物交割获得现金收入 105元
两项共获得现金收入 106.5元
归还贷款本利 100+100?4%/4=101.0元
盈利 5.5元
不管交割日的期货价格为多少,该利润总能实现 。 因此,这是一个无风险利润 。 在一个运行良好的金融市场中,如果存在这样的套利机会,套利者必然会大量买入 2000国债现货,卖出
2000国债期货进行套利 。 其结果必然是,现货价格的上升,期货价格的下降 。 从而使该无风险利润不复存在 。
如果 2000国债期货价格目前不是 105元而是 95元的情况会怎样呢？
考虑以下交易策略：
– （ 1） 在期货市场以 95元价格买入 2000国债期货 1份；
– （ 2） 在现货市场以 100元价格出售 （ 卖空 ） 2000国债 1份；
– （ 3） 按年利率 4%贷出资金 100元,期限 3个月 。
该交易策略投资者在期初仍不需要支付任何资金 。 3个月后,
收回贷款本金并获得利息
100+100?4%/4=101.0元
期货交割支付现金 95元
将 期 货 交 割 获 得 的 现 货 归 还 现 货 贷 出 者 并 支 付 其 资 产 收 益
100?6%/4=1.5元
两项共支出现金 96.5元
盈利 4.5元
该利润也为无风险利润 。 如果存在该利润,套利者为追求该利润必然大量买进期货,卖出现货,其结果必然使期货价格上升,现货价格下跌,从而使该无风险利润消失 。
综上可见
期货价格与其现货价格紧密相关,过高或过低的期货价格都会使其与现货价格之间存在套利机会 。 而追求无风险利润的套利行为必然使其价格上涨或下跌从而消除其无风险利润 。 由此可以推知,均衡的期货价格就是不存在无风险套利利润的价格 。 该价格又被称为理论期货价格 (theoretic price of futures)。
策略 1：
根据以上的套利分析方法,假设投资者以利率 r融入资金 P；以 P价格购入现货资产；以 F价格卖出期货；
则理论期货价格必须满足以下无风险利润为零的条件：
(11.20）
– F为期货价格；
– P为现货价格；
– y为持有资产的现金收益；
– r为融资成本 （ 融资利率 ）
解出 (11.20） 式,
(11.21）
0)( rPPyPF
)( yrPPF
策略 2：
假设投资者以 P价格出售现货资产；以 F价格买入期货；
以利率 r贷出资金 P直至交割日；则理论期货价格必须满足以下无风险利润为零的条件：
(11.22）
求解 (11.22） 式得到与 (11.21） 式相同的结果 。 (11.21）
式反映了期价 —现价平价关系 。
将上例中数据代入 (11.21） 式,F=100+100(0.04-
0.06)=98。 可见,上例中的理论期货价格为 98元 。
理论期货价格可能高于现货价格,也可能低于现货价格 。 它取决于 （ r-y） 是大于零还是小于零 。 (r-y)反映融资成本与资产的现金收益之间的差额,称为净融资成本 （ net financing cost,NFC） 或持有成本 （ cost of
carry） 。 净融资成本的高低直接决定了期货价格高于或低于现货价格,参见表 9-1。
0)( yPFrPP
表 9-1 净融资成本与期货价格的关系
因为净融资成本随交割日的临近而逼近于零,因此,期货价格将随交割日的临近而逼近现货价格 。
融资成本与收益 净融资成本 期货价格
i>y NFC>0 按现货价格溢价出售 （ F>P）
i=y NFC=0 按现货价格出售 （ F=P）
i<y NFC<0 按现货价格折价出售 （ F<P）
二,影响理论期货价格的因素
使用套利方法推导理论期货价格公式时,作了若干的假设 。 当假设不成立时,实际期货价格就会与理论期货价格发生偏离 。 影响这种偏离的主要因素有：
1,交易成本
在建立和扎平现货头寸以及期货合约的建仓和平仓,
都必然发生交易成本 。 这些交易成本必然影响期货价格 。 令 c为交易成本,则期货价格调整为：
(11.23）
假设交易成本为 0.2%,则上例的期货价格为：
F=100+100[0.04-(0.06-0.002)]=98.2元
)]([ cyrPPF
2,借款利率和贷款利率的差别
在以上推导理论期货价格公式时假设借款利率 （ borrowing rate，
投资者借入资金的利率 ） 和贷款利率 （ lending rate投资者贷出资金的利率 ） 和相同,但实际上借款利率通常高于贷款利率 。
策略 1：假设投资者以借款利率 rB融入资金 P；以 P价格购入现货资产；以 FH价格卖出期货；则无风险利润为零的期货价格为：
(11.24A）
策略 2：假设投资者以 P价格出售现货资产；以 FL价格买入期货；
以贷款利率 rL贷出资金 P直至交割日；则无风险利润为零的期货价格为：
(11.24B）
(11.24A） 式和 (11.24B） 式分别构成理论期货价格的上下限 。 假设上例的贷款利率为 3.5%；借款利率为 4.5% 。 则理论期货价格的上下限分别：
FH=100+100[0.045-(0.06-0.002)]=98.7元
FL=100+100[0.035-(0.06-0.002)]= 97.7元
)]([ cyrPPF BH
)]([ cyrPPF LL
3,期间现金流量
以上推导理论期货价格公式时,假设在期货交易日到到期日之间没有现金流量发生,但实际上在此期间可能有现金流量发生 。 因为,在此期间可能有股票股利的支付或债券利息的支付,它们将形成新的现金流量 。
其次,在期货到期之时,期货价格必然调整到与现货价格相等,
因此,在期货到期之前,由于现货价格的变动,期货价格也将相应发生变化 。 为了控制持有期货的风险,交易所将调整期货持有者的保证金要求 。 保证金的变动将形成新的现金流量 。 这些期间现金流量必然影响到期货价格 。 但对于远期合约来说,
通常不要求在到期时将其价格调整到现货价格,因此并不发生保证金的变动 。
4,卖空收入
以上假设,在卖空现货的时候得到卖空的全部收入并用它来进行再投资 。 现实中,投资者只能在交割时才能得到这笔收入,而且在交易的时候还要交纳卖空证券的保证金 。 因此,它必须采取其他方法融入所需资金,这必然发生相应的成本 。
5,交割的资产和已知的交割日
以上假设交割的资产为唯一的,交割日为已知的 。 但现实中,可以用于交割的资产可能不止一种,其交割日对于买方也是不完全确定的 。
6,交割物为组合资产
某些金融期货的标的物为组合资产或指数,因此,要进行完全套利必须按照市值比重购买每一种资产,并根据市值比重调整其资产组合 。 显然这是比较困难的 。
因此,人们通常采取构造只包括少数资产的组合来
,跟踪,指数 。 然而,这种套利就不是无风险而是有风险的了 。
第四节 期权价格决定
在实际的金融市场中最为关键的问题是：在一定条件下,期权价格的合理取值应为多少？
本节将讨论标的资产为离散和连续情形下的欧式看涨期权 （ call option） 定价问题 。 为期权进行准确估值的一个常用方法是构造二叉树图 。 这个二叉树图能够描述标的资产 （ 股票 ） 在期权的有效期内所可能够遵循的路径 。
一,单期二叉树模型
1,二叉树模型的例子
首先我们看下面的一份例子 。 假设某种股票的当前价格为 $20，
并且能够知道三个月后,股票的价格后的可能取值为两个 $22
或 $18。 假设股票不付红利,我们将对三个月后以 $21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值 。 根据期权合约的定义,很容易计算得到下面的结果：在期权的到期日,如果股票价格为
$22,则期权的价值将是 $1；如果股票价格为 $18,则期权的价值将是 0。 股票和期权的取值情况如图 9-6所示 。
股票价格 =$22
期权价格 =$1
股票价格 =$20
股票价格 =$18
期权价格 =$0
图 9-6 股票和期权价格的取值变化根据这个例子可以看到：
在无套利假设条件下,如何利用二叉树模型为期权定价 。 我们将构造股票和期权的投资组合,特别的,将股票和期权分别取适当的头寸,我们将能够构造出一份期权和相应股票头寸的无风险组合,从而无风险组合的价值在三个月末是确定值 。 由于该组合无风险,
根据无套利假设条件,所以该组合的收益率一定等于无风险收益率,由此我们可以得出有关期权价格的一个方程,求解该方程,就可以得出期权的价格 。 由于组合中只有两种证券 （ 股票和股票期权 ）,并且只有两个可能的结果,所以只要选择合适的股票和期权的比率,我们一定能构造出无风险组合 。
构造下面的证券组合
该组合包含 △ 股股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸 。 我们首先计算 △ 值为多少时,所 构造的组合为无风险组合 。 当股票价格从 $20上升到 $22时,股票的价值为 22△,期权的价值为 $1，
在这种情况下,该证券组合的价值为 22△ -1；当股票价格从 $20
下降到 $18时,股票的价值为 18△,期权的价值为零,在这种情况下,该证券组合的价值为 18△ 。 如果选取某个具体的 △ 值,使得在两种情况下,组合最终的价值相等,则该证券组合一定是无风险组合 。 即 22△ -1=18△,求解可得,△ =0.25
因此,按照上面求出的 △ 值,我们可以构造下面的无风险证券组合：
多头,0.25股股票 空头,一份看涨期权合约
如果股票价格上升到 $22,该组合的价值为,22 0.25 –
1=4.5
如果股票价格下跌到 $18,该组合的价值为,18 0.25 = 4.5
可以看到,无论股票价格怎样变化,最终是上升还是下降,在期权有效期结束时,我们构造的证券组合价值总是 $4.5。
在无套利假设条件下,无风险证券组合的收益率一定为无风险利率 。
假设无风险利率为年率 12%。 我们可以计算该组合的现在价值一定是 $4.5,即：
我们用 f 表示期权的价格 。 已知股票现在价格为 $20,因此该组合现在的价值为 20 0.25 – f = 5 – f
于是 5 – f = 4.367
求解可得 f = 0.633
在无套利假设条件下,期权的价值一定为 $ 0.633。 如果期权的价值超过了 $ 0.633,投资者构造该组合的成本就有可能低于 $
4.367,并将获得超过无风险利率的额外利润,这与无套利假设条件矛盾；如果期权的价值低于 $ 0.633,投资者可以通过卖空该证券组合来获得低于无风险利率的资金,这与无套利假设条件矛盾 。
3 6 7.45.4 25.012.0e
2 期权的二叉树计算公式
考虑一种不支付红利的股票,股票现在价格为 S,以该股票为标的资产,有效期为 T的某个期权的价格为 f,假设在未来 T时刻股票的价格只有两种取值情况,股票价格或者从 S上升到一个新的价格,或者从 S下降到一个新的价格 (其中,u > 1,d < 1),即当股票价格向上变化时,股票价格增长的比率为 u-1；当股票价格向下变化时,股票价格减少的比率为 1-d。 在期权的有效期 T
时间,我们可以根据股票的取值情况,计算期权的相应取值状况 。 当股票价格变化到时,我们假设期权的收益为；当股票价格变化到 Sd时,我们假设期权的收益为 。 如图 9-7。
利用前面例子的思想方法,我们可以利用股票和期权合约构造无风险证券组合 。 在证券的组合中,我们将选取 △ 股的股票多头头寸和一份期权合约的空头头寸来组成证券组合 。 为使得该证券组合为无风险组合,我们需要计算股票的多头头寸数量 △
的具体取值 。
图 9-7 股票价格和期权价格的单步二叉树图
Su,fu
S
Sd,fd
如果股票价格由 S上升到,则在期权的到期日,该组合的价值为：
Su x - fu
如果股票价格由 S下降到,则在期权的到期日,该组合的价值为：
Sd,x - fd
要使得上述证券组合为无风险组合,则无论股票价格是上升还是下降,在期权的到期日,上述的两个取值应该相等,即
Su x - fu = Sd,x - fd
整理可以得到
（ 9-25）
SdSux
ff du
当组合中股票的 x取值为 时
所构造的组合一定是无风险组合,根据无套利假设条件,组合的收益一定为无风险利率 。
我们用 r表示无风险利率,则该组合的现值为：
而该组合的初始价值为 Sx-f,因此
将公式 （ 9-25） 中的 △ 代入上式可以得到
(9-26)
其中
(9-27)
SdSu
ff du
du
dep rT
])1([ durT fppfef
rTuu efxS )?
rTuu efxSfSx )(
利用单期 二叉树模型和公式 (9-26),(9-27)估计期权的价值 。
假设 = 1.1,d = 0.9,r = 0.12,T = 0.25,=1和 =0。
由公式 (9-27)可得
p = (e0.03-0.9)/(1.1-0.9) = 0.6523
由 （ 9-26） 式可得,期权的价值为
= e0.03( 0.6523 * 1 + 0.3477 * 0 ） = 0.633
这个结果与前面的计算结果相同 。
3 期权的风险中性定价
我们注意到,二叉树期权计算公式 （ 9-26） 没有用到股票上升和下降的概率 。 例如,当上升概率是 0.5时,计算得到的欧式期权价格,与上升概率为 0.9时,计算得到的欧式期权价格相等 。
直观上,人们很自然的会想到,如果股票价格上升的概率增加,
则基于股票的看涨期权价值也会增加,看跌期权的价值会减少 。
事实上,情况并非如此 。
虽然我们不需要对股票价格上升和下降的概率作任何假设，在期权计算公式（ 9-26）中，可以将变量 p解释为股票价格上升的概率，于是变量 1-p就是股票价格下降的概率。
[pfu+(1-p)fd] 为期权的预期收益。按照这种对的解释，于是公式（ 9-26）表示的含义为：期权的现值就是未来期权的预期值按无风险利率的贴现值。
当上升变化的概率假设为时，我们考察一下股票的预期收益。
在 T时刻预期的股票价格，由下式给出：
将（ 9-27）式中的代入上式，化简得：
（ 9-28）
上式说明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。
因此，假设上升变化的概率等于等价于假设股票收益为无风险利率。
duT fppSSE )1()(
rTSeSE T?)(
所有投资者是风险中性的世界称为风险中性世界（ risk-neutral world）。
在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，证券市场上所有证券的预期收益都假设是无风险利率。公式
（ 9-28）说明,当我们设定上升变化的概率为时，我们就在假设所有投资者都是风险中性。公式（ 9-26）
说明：在风险中性世界中，给期权定价时，我们可以假设证券市场上所有证券的预期收益都是无风险利率，
期权的价值是其预期收益按无风险利率的贴现值。
例
已知股票现价为 $20,三个月末股票价格可能上涨到 $22或下降到
$18。 本例中所考虑的期权是一份执行价格为 $21,有效期为三个月的欧式看涨期权,无风险利率是年率 12%。
在风险中性假设条件下,股票价格上升变化的概率是 。 在这样的世界中,股票的预期收益率一定等于无风险利率 12%。 这意味着一定满足：
22p +18(1 –p)= 20e0.12*0.25
p=0.6523。
在三个月末尾,看涨期权价值具有 $1价值的概率为 0.6523,价值为零的概率为 0.3477。 因此,看涨期权的期望值为：
0.6523 1 + 0.3477 0 = $0.6523
利用 无风险利率进行贴现,可以得到该期权的价值为,
0.6523e0.12*0.25=0.633
这一计算结果与前面所得结果相同，这说明利用无套利理论和风险中性定价方法计算的结论相同。
二,二叉树模型的应用
显然,假设在期权有效期内股票价格的变化并只是由单期或两期构成,并不符合金融市场上股票价格的实际变化情况 。 所以我们所列举的二叉树图模型都是非现实的情况,因此根据二叉树期权计算模型,计算出的期权价格只能是实际期权价格的近似值 。
在实际中应用二叉树图方法时,为使得计算的期权价格更为实际,我们通常将期权有效期分成 30或更多的时间段 。 在每一个时间段,就有一个二叉树股票价格变化图形 。 30个时间段意味着最后有 31个终端股票价格 （ terminal stock prices）,并且有
230即大约 10亿个可能的股票价格路径 。
三,Black-Scholes期权定价模型
在七十年代初,Black和 Scholes在期权定价领域取得了一个重大的突破,他们利用无套利方法推导出股票的欧式看涨期权的解析表达式 。
c表示标的资产为股票,有效期限为 T,执行价格为 X欧式看涨期权 。 股票的初始价格为 S,?表示股票收益率的波动率,作为近似,
波动率可补解释为一年内股票价格变化的标准差,r表示 T时刻到期的某个投资的无风险利率,无风险利率为常数,并且对于任何到期日都相同 。 则
（ 9-31）
其中，
（ 9-31a）
（ 9-31b）
N(x)为均值为 0标准偏差为 1的标准正态分布变量的累计概率分布函数 （ 即这个变量小于 x的概率 ） 。
21 dNXedSNc rT
T
TrXSd
)2/()/ln ( 2
1
TdT TrXSd 122 )2/()/ln (
假设对一个欧式看涨期权进行定价
已知条件如下：
股票初始价格 S=100 元 利率 r=0.10（ 每年 10%）
执行价格 X=95 元 期权期限 T=0.25(3个月 )
=0.50(每年 50%)
首先计算：
在统计书中,查正态分布表可得：
N(0.43)=0.664 N(0.18)=0.5714
欧式看涨期权的价值为元
43.025.05.0 25.0)2/5.010.0()95/100ln ( 21d
18.025.05.043.02d
7.135 7 1 4.0956 6 6 4.0100 25.010.0ec
Black-Scholes期权定价理论的突破是金融学研究领域的一个巨大成就
以默顿为代表的众多学者对 Black-Scholes期权定价公式进行了各种各推广和应用,这其中主要支付红利股票期权的定价模型,期货期权的定价模型和其他各种金融复杂合约的定价模型 。
近年来,Black-Scholes期权定价理论不仅在金融合约的定价中有着广泛的应用,而且,
以这一理论为基础发展了众多新兴的交叉学科,这包括金融工程 （ Finance
Engineering ）,金 融 数 学 （ Mathematic
Finance） 和实物期权 （ Real options） 。
