第 14章 线性动态电路的复频域分析
14.1 拉普拉斯变换的定义
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
14.4 运算电路
14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
14.6 网络函数的定义
14.7 网络函数的极点和零点
14.8 极点、零点与冲激响应
14.9 极点、零点与频率响应首 页一、内容提要及本章重点
〃 内容提要
重点
(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质
(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤
(3) 网 络函数的概念
(4) 网络函数的极点和零点返 回二、参考书：
1.江辑光主编，电路原理（第二版），北京：
清华大学出版社
2.王蔼编著，电路基本原理（修订版），上海：
上海交大出版社
3.龙建忠等编著，电路理论，北京：科学出版社拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t)与复变函数 F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。 应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，
又称运算法。
14.1 拉普拉斯变换的定义
1,拉氏变换法下 页上 页返 回例 一些常用的变换
① 对数变换
ABBA
ABBA
lglglg
乘法运算变换为加法运算
② 相量法
III
iii
21
21
相量正弦量时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换
F(s)(频域象函数 )
对应
f(t)(时域原函数 )
下 页上 页返 回
)s(L)( )(L)s( FtftfF -1,简写
js
2,拉氏变换的定义定义 [ 0,∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
d)(
πj2
1
)(
d)()(
0
sesFtf
tetfsF
st
jc
jc
st
正变换反变换
s 复频率下 页上 页返 回
0
0
0
积分下限从 0? 开始，称为 0? 拉氏变换 。
积分下限从 0 + 开始，称为 0 + 拉氏变换 。
① 积分域注意今后讨论的均为 0? 拉氏变换。
tetftetftetfsF ststst d)(d)( d)()( 0000
[0?,0＋ ]区间
f(t) =?(t)时此项? 0
② 象函数 F(s) 存在的条件：
tetf st d )(0
下 页上 页返 回如果存在有限常数 M和 c 使函数 f(t) 满足：
),0[ )( tMetf ct
tMetetf tct dd)( 0 )s(s0
csM
则 f(t)的拉氏变换式 F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的 s 值使上式积分为有限值。
下 页上 页
③ 象函数 F(s) 用大写字母表示,如 I(s),U(s)
原函数 f(t) 用小写字母表示,如 i(t),u(t)
返 回
3.典型函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数的象函数
d)()(
0
tetfsF st
)()( ttf
tettsF st d)()]([L)( 0
0
1 ste
s s
1?
0 d te st
下 页上 页返 回
(3)指数函数的象函数
01 )( tase
as
as?
1
(2)单位冲激函数的象函数
00 d)( tet st?
)()( ttf
tettsF st d )()]([L)(
0
10 se
atetf?)(
teeesF statat dL)(
0
下 页上 页返 回
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
tetfAtfA st d )()(
0 2211
tetfAtetfA stst d)(d)( 0 220 11
)()( 2211 sFAsFA
)()( 2211 sFAsFA
)(])(L[,)(])(L[ 2211 sFtfsFtf若
)(L)( L)()( L 22112211 tfAtfAtfAtfA则
)()( L 2211 tfAtfA?
下 页上 页证返 回的象函数求 )1()(,ateKtf
j
1
j
1
j2
1
ss 22?
s
例 1
解 as KsK -atKeKsF L ]L[)(
例 2 的象函数求 ) s i n ()(,ttf
解)(s inL)( ωtsF
)(
j2
1L tjtj ee
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。
下 页上 页结论
)( ass Ka
返 回
2,微分性质
0
)d)((
0
)( tsetftfe stst
)()0( ssFf
)0()(s
d
)(dL
fsF
t
tf则：
)()( L sFtf?若：
00
)(ddd )(d tfetet tf stst ttfd )(dL
下 页上 页证
uvuvvu dd 利用若?足够大
0
返 回
0
1
22?
ss 22
s
s
的象函数) (c o s)( 1)( ttf
例解
)( s i n (
d
d1L][ c o sL t
t
t?
)(c o s
d
)ds in ( t
t
t
下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数
t
tt
d
)d ( s i n1)(c o s?
返 回推广：
)0()0()( '2 fsfsFs
的象函数) ()( 2)( tδtf?
解
t
tt
d
)(d)(
s
1)]([L?t?
]
d
)(d[L
n
n
t
tf )0()0()( 11
nnn ffssFs?
]
d
)(d[L
2
2
t
tf )0()]0()([ '
ffssFs
101 ss ]d )(d[L)(L t tt
下 页上 页返 回下 页上 页
3.积分性质
)s()]([L Ftf?若,)s(s
1]d)([L
0
Ff
t
则：
证 )s(]d)([L
0
t ttf令
t
ttf
t
tf
0
d)(
d
d L)]([L
应用微分性质
0
0
d)()(s)( tt ttfssF?
s
)s()s( F
0
返 回的象函数和求 )()t() ()(,2 ttftttf
下 页上 页
]d2[L
0?
t tt
例
)(L tt? 2111 sss ]d)([L
0?
tt?
)]([L 2 tt?
3
2
s?
解返 回
4.延迟性质
tettf st
t
d)(
0
0
)(0 sFe st
)()]([L sFtf?若,)()]()([L 000 sFettttf st则：
tettttfttttf st d)()()()(L
0 0000
d)(
0
)( 0
tsef
0 tt令延迟因子 0ste?
下 页上 页证
d)(
0
0?
sst efe
返 回例 1
)()()( Ttttf
TeF s
s
1
s
1)s(
)]()([)( Tttttf
)()()()()( TtTTtTttttf
TT eTeF ss
22 ss
1
s
1)s(
例 2
求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解下 页上 页
T
T
f(t)
o
1
T t
f(t)
o
返 回求周 期函数的拉氏变换设 f1(t)为一个周期的函数
)2()2(
)()()()(
1
11
TtTtf
TtTtftftf
])[( 321 sTsTsT eeesF )(1 1 1 sFe sT
例 3
解
)()]([L 11 sFtf?
)()()()]([L 1211 sFesFesFtf sTsT
下 页上 页
...
t
f(t)
1
T/2 To
返 回
)
s
1
s
1()s( 2/s
1
TeF
)
2
()()(1 Ttttf
)1 1(1 2/sTes
)(
1
1)]([L
1 sFetf sT
)11(
1
1 2/sT
sT esse
)]([L tf
下 页上 页对于本题脉冲序列
5.拉普拉斯的卷积定理
)()]([L )()]([L 2211 sFtfsFtf若：
返 回下 页上 页
)()(
d)()(L)]()([L
21
t
0 2121
sFsF
ftftftf
则：
证 tftfetftf st dd )()()]()([L t
0 21021
tfttfe st dd )()()(
0 210
tx 令 xeefxxf sxs dd )()()(
0 0 21
0 20 1 d )(d)()(ssx efxexxf
)()( 21 sFsF?
返 回
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 seFtf stj
j
d)s(
πj2
1)( c
c?
(2)对简单形式的 F(s)可以 查拉氏变换表得原函数下 页上 页
(3)把 F(s)分解为简单项的组合
)()()()( 21 sFsFsFsF n
)()()()( 21 tftftftf n
部分分式展开法返 回利用部分分式可将 F(s)分解为：
)(
)(
)()(
1
10
1
10 mn
bsbsb
asasa
sD
sNsF
n
nn
m
mm
nppns 10)(D ( 1 ) 个单根分别为有若下 页上 页象函数的一般形式
n
n
ps
K
ps
K
ps
KsF
2
2
1
1)(
待定常数讨论
tptptp eKeKeKtf n21
n21)(
返 回
n321 ))((,、、ipssFK
ipsii
待定常数的确定：
方法 1
下 页上 页
n
n
ps
K
ps
KpsKFps
2
2
111 )()s()(
方法 2
求极限的方法
)s(
)s)(s(lim
p D
pNK i
si i
令 s = p1
返 回
)s(
)s()s)(s(lim
'
'
p D
NpN i
s i
)(
)(
'
i
i
i pD
pN
K?
下 页上 页
)s(
)s)(s(lim
p D
pNK i
si i
的原函数求 6s5s 5s4)s( 2F
3s2s
21
KK
33s 5s4 21SK 7
2s
5s4
3s2
K
例解法 1
6s5s
5s4)s(
2
F
返 回
)(7)(3)( 32 tetetf tt
352 54)( )( 2
1
'
1
1
ss
s
pD
pNK
7
52
54
(
)(
3
2
'
2
2
ss
s
)pD
pNK
解法 2
下 页上 页
tp
n
ntptp ne
pD
pNe
pD
pNe
pD
pNtf
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
'
2
'
2
1
'
1 21
原函数的一般形式返 回
jp
jp
2
1
)())((
)(
)(
)()(
1 sDjsjs
sN
sD
sNsF
)(
)(
1
121
sD
sN
js
K
js
K?
具有共轭复根若 0)( )2(?sD
下 页上 页
K1,K2也是一对共轭复数注意
j
21 )(
)(
)j)((
j
s
sD
sN
ssFK
s
，
返 回
)t()( 1)(j)(j feeKeeK tjtj
)t(][ 1)(j)(j feeeK ttt
)()c o s (2 1 tfteK t
j2j1 e e -KKKK设：
)t()()( 1)j(2)j(1 feKeKtf tt
下 页上 页返 回
)( 52 3)( 2 tfss ssF 的原函数求
2j121,p
4525.050j50
)j21( 2j1s1
,.
s
sK
4525.0
)j21(s
s
2j1s2K
)452c o s (2)( tetf t
例解 的根,0522 ss
4525.0
22s
s
)s(
)s(
2j1s'1D
NK或：
下 页上 页返 回
)p(
)(
1
1
10
n
m
mm
s
asasasF
n
n
n
n
ps
K
ps
K
ps
K
ps
KsF
)()()(
)(
1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
具有重根若 0)( )3(?sD
下 页上 页
1)]()[( 11 ps
n
n sFpsK
1
)]()(dd[ 111 psnn sFpssK
1s11
1
11 )()(d
d
)!1(
1
p
n
n
n
sFps
sn
K
返 回
2
22211
)1()1( s
K
s
K
s
K
)t( )1( 4)( 2 fss ssF 的原函数求,
4)1( 4 021sssK 34
122
ss
sK
1
2
21 )]()1[(d
d
ssFssK 4]4[
d
d
1
ss
s
s
tt teetf 344)(
例解
2)1(
4)(
ss
ssF
下 页上 页返 回
n =m 时将 F(s)化成真分式和多项式之和
n
n
p
K
p
K
p
KAF
sss
)s(
2
2
1
1
由 F(s)求 f(t) 的步骤：
② 求真分式分母的根,将真分式展开成部分分式
③ 求各部分分式的系数
④ 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换
)s(
)s()s( 0
D
NAF
下 页上 页小结返 回的原函数求,
65
119)(
2
2
ss
sssF
65
541
2
ss
s
3
7
2
31
ss
)37()()( 23 tt eettf
例解
65
119)(
2
2
ss
sssF
下 页上 页返 回
14.4 运算电路基尔霍夫定律的时域表示：
0)( ti 0)( tu
1.基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页
0)(sI
0)s( U
根据拉氏变换的线性性质得 KCL,KVL的运算形式对任一结点对任一回路返 回
u=Ri
)()( sGUsI?
)()( sRIsU?
GsY
RsZ
)(
)(
2.电路元件的运算形式
① 电阻 R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路下 页上 页
uR(t)
i(t)
R
+
-
时域形式：
R
+
-
)(sU
)(sI
返 回
t
iLu
d
d?
)0()(
))0()(()(
Liss L I
issILsU
s
i
sL
sUsI )0()()(
sLsY
sLsZ
1)(
)(
② 电感 L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得
L的运算电路下 页上 页
i(t)
+ u(t) -
L
+ -
sL )0(?Li
U(s)
I(s) +-
时域形式：
sL
+ U(s)
I(s )
si )0(?
-
返 回
d )( 1)0(
0
t iCuu
s
usI
sCsU
)0()(1)(
)0()()( Cuss C UsI
sCsY
sCsZ
)(
1)(
③ 电容 C的运算形式
C的运算电路下 页上 页
i(t)
+ u(t) -
C
时域形式：
取拉氏变换,由积分性质得
+ -
1/sC su )0(?
U(s)
I(s) -+
1/sC
Cu(0-)
+ U(s)
I(s )
-
返 回
t
i
M
t
i
Lu
t
i
M
t
i
Lu
d
d
d
d
d
d
d
d
12
22
21
11
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
Miss M IiLsIsLsU
Miss M IiLsIsLsU
④ 耦合电感的运算形式下 页上 页
i1
**
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M 时域形式：
取拉氏变换,由微分性质得
sMsY
sMsZ
M
M
1)(
)(
互感运算阻抗返 回耦合电感的运算电路下 页上 页
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
Miss M IiLsIsLsU
Miss M IiLsIsLsU
+
-
+
sL2
+
sM
+
+
)(2 sU
sL1
)(2 sI
)0(22?iL
)0(1?Mi
)(1 sI
)(1 sU --
-
-
)0(11?iL
)0(2?Mi
-+
返 回
12
11 /
ii
Rui
)()(
/)()(
12
11
sIsI
RsUsI
⑤ 受控源的运算形式受控源的运算电路下 页上 页时域形式：
取拉氏变换
i1
+
_
u2
i2
_
u1
i1
+
R
)(1 sU
)(1 sI?
)(2 sU
)(1 sI
+
__
+
R
)(2 sI
返 回
3,RLC串联电路的运算形式下 页上 页
u (t)
R
C-
+
i
L
U (s)
R
1/sC-
+
sL
I (s)
时域电路 0)0(
0)0(
L
c
i
u若：
t c tiCtiLiRu 0 d1dd
)(1)()()( sIsCss LIRsIsU
拉氏变换运算电路
)()()1)(( sZsIsCsLRsI
sC
sLR
sY
sZ 1
)(
1)(
运算阻抗返 回
)()()(
)()()(
sUsYsI
sIsZsU
下 页上 页运算形式的欧姆定律
u (t)
R
C-
+
i
L
0)0( 0)0( Lc iu若：
+
-U (s)
R
1/sC-
+ sL
I (s)
+-
Li(0-)su c )0(?
拉氏变换返 回
s
u
LisU
sIsZsI
sC
sLR
)0(
)0()(
)()()()
1
(
C?
下 页上 页
s
usI
sC
LisLIRsIsU )0()(1)0()(s)()( C
+
-U (s)
R
1/sC-
+ sL
I (s)
+-
Li(0-)su c )0(?
返 回
① 电压、电流用象函数形式；
② 元件用运算阻抗或运算导纳表示；
③ 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
下 页上 页电路的运算形式小结例 给出图示电路的运算电路模型。
1F 10?
0.5H
50V
+
-
uC
+ -
iL 5?
10?
20?
解 t=0 时开关打开
uc(0-)=25V
iL(0-)=5A
时域电路返 回注意附加电源下 页上 页
1F 10?
0.5H
50V
+
-
uC
+ -
iL 5?
10?
20? 20
0.5s
-
+
+
-
1/s
25/s 2.5V
5
IL(s)
UC(s)
t >0 运算电路返 回
14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
① 由换路前的电路计算 uc(0-),iL(0-) ；
② 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；
③ 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；
④ 反变换求原函数。
下 页上 页
1,运算法的计算步骤返 回例 1
0)0(Li
(2) 画运算电路
sL 1s?
s
1
1s
11?
sC
V1)0(cu
解 (1) 计算初值下 页上 页电路原处于稳态,t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。
1V
1H
1?1F
i
+
-
1?
1/s
s
1
1/s
I(s)
+
-
1
+
-
uC(0-)/s
返 回
(3) 应用回路电流法下 页上 页
1/s
s
1
1/s
I(s)
+
-
1
+
-
uC(0-)/s
)(1 sI
)(2 sI
0)0(1)s(1)()11( C21susIssIss
ss
uI
sIs
1)0()s()11()s(1 C
21
-
返 回下 页上 页
2)2(
1)()(
21 ssssIsI
)j1s(j1)(
321
K
s
K
s
KsI
(4)反变换求原函数
j1j10,30)(D 321 ppps,，个根有
2
1)s(
01ssIK
j)2 ( 1
1)j1)((
j12sssIK
j)2 ( 1
1)j1)((
j13sssIK
返 回下 页上 页
)j1(
)j1(21
j1
)j1(2121)(
sss
sI
)s i nec o se1(21)()(L 1 tttisI tt
例 2,求 uC(t),iC(t)。 0)0(),(
cs uti?
图示电路
R C
+
uc
is
解 画运算电路
1/sC
+
Uc(s)
( ) 1sIs?
R
)(C sI
返 回
sCsIsCR
RsU
sC
1)(
/1)(
)/1( RCsRC
R
1
)()(
R s C
R s CsCsUsI
CC 1
11
R s C
)0(1 / teCu RCtc
)0(1)( / te
RC
ti RCtc?
下 页上 页
1/sC
+
Uc(s)
( ) 1sIs?
R
)(C sI
返 回
t = 0时打开开关,求电感电流和电压。
0)0(
A5)0(
2
1
i
i
例 3
下 页上 页解 计算初值 +
-
i1 0.3H
0.1H10V
2? 3?
i2
画运算电路
10/s
0.3s
1.5V
0.1s
I1(s)
+-+
-
2 3
返 回
s.
.
ssI
405
51
10
)(1
ss.
s.
)405(
5110
5.12
75.12
ss 25.121 75.12 iei t
ss
s
)5.12(
75.325
下 页上 页
10/s
0.3s
1.5V
0.1s
I1(s)
+-+
-
2 3
注意 )0()0(
11 ii )0()0( 22 ii
返 回
5.1)s(s3.0)( 11 IsU L 375.0
5.12
56.6?
s
UL1(s)
)(1.0)(2 ssIsU L? 5.1219.237 5.0 s
tL ettu 5.122 19.2)(375.0)(
tL etu 5.121 56.6)(3 7 5.0)t(
下 页上 页
10/s
0.3s
1.5V
0.1s
I1(s)
+-+
-
2 3
返 回
3.75
t
i15
2
0
tL ettu 5.121 56.6)(3 7 5.0)(
tL ettu 5.122 19.2)(375.0)(
下 页上 页
25.121 75.12 iei t
uL1
-6.56
t
-0.375?(t)
0
0.375?(t)
uL2
t-2.190
返 回
A75.31.0375.0)0()0( 22 ii
i
L
Ai 75.33.0 3 7 5.053.0)0(1
下 页上 页注意
① 由于拉氏变换中用 0- 初始条件,跃变情况自动包含在响应中,故不需先求 t =0+时的跃变值。
② 两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。
③ 满足磁链守恒。
返 回
)0()()0()0( 212211 iLLiLiL
75.34.0053.0
下 页上 页返 回
14.6 网络函数的定义
1,网络函数 H（ s）的定义线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数 H(s)。
)(
)(
( L
)(L
L
L
)(
d e f
sE
sR
te
tr
sH
）激励函数零状态响应下 页上 页返 回
① 由于激励 E(s)可以是电压源或电流源，响应 R(s)
可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。
下 页上 页注意
② 若 E(s)=1,响应 R(s)=H(s),即 网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。
2.网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回
)(
)()(
sE
sRsH? )()()( sEsHsR?
例
)()(
)()(
21
21s
tStS
uutti
、求阶跃响应
，、，响应为图示电路,
下 页上 页
1/4F 2H2?i(t) u
1
+ +
- -
u21?
解 画运算电路返 回
65
44
22
1
1
4
1
)(
)(
)( 1
1
ss
s
ss
sI
sU
sH
2
S
65
4
22
)(2
)(
)()(
2
11
2 ss
s
s
ssU
sI
sUsH
S
)65(
44)()()(
211
sss
ssIsHsU
S
)65(
4)()s()(
222 sss
ssIHsU
S
tt eetS 32
1 3
82
3
2)(
tt eetS 322 44)(
下 页上 页
I1(s)
4/s
2s
I(s)
U1(s) U2(s)
2+ +
- -
1
返 回例下 页上 页解 画运算电路电路激励为 )()(
S tti )(tuC
，求冲激响应
G C
+
uc
is
sC
+
Uc(s)
)(sIs
G
RC
s
CGsC
sZ
sU
sE
sR
sH
C
1
111
)(
1
)(
)(
)(
)(
1
11 1 1 1
( ) ( ) L [ ( ) ] L e ( )
1
t
RC
C
h t u t H s t
CC
s
RC
1
11 1 1 1
( ) ( ) L [ ( ) ] L e ( )
1
t
RC
C
h t u t H s t
CC
s
RC
返 回下 页上 页
3,应用卷积定理求电路响应
)()()( sEsHsR?
t
0
t
0
1
d)()(d)()(
)(*)()()(L)(
thehte
thtesHsEtr
结论 可以通过求网络函数 H(s)与任意激励的象函数 E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。
返 回
212
6.0
1
5)( 21
s
K
s
K
sssU C
K1=3,K2= -3
ttc eeu 33 2
例
)()(L)()( 1C sEsHtrtu解下 页上 页
teth 5)(图示电路 ts eu 26.0,冲激响应,求 uC(t)。
线性无源电阻网络
+
-
us C uc
+
-
返 回
14.7 网络函数的极点和零点
1,极点和零点
)())((
)())((
)(
)()(
21
210
n
m
pspsps
zszszsH
sD
sNsH
下 页上 页
n
j
j
m
i
i
zs
zs
H
1
1
0
)(
)(
当 s =zi 时,H(s)=0，
称 zi 为零点,zi 为重根，
称为重零点；
当 s =pj 时,H(s) ∞，
称 pj 为极点,pj为重根，
称为重极点；
返 回
2,复平面（或 s 平面）
js
在复平面上把 H(s) 的极点用 ‘? ’ 表示,
零点用 ‘ o ’表示。
零、极点分布图下 页上 页
zi,Pj 为复数
j?
o
o
返 回
42 )( 21 zzsH,的零点为：
2
3
2
31 )s(
3,21 jppH,的极点为：
例
364
16122)(
23
2
sss
sssH 绘出其极零点图。
解 )4)(2(216122)( 2 sssssN
)
2
3
j
2
3
)(
2
3
j
2
3
)(1(
364)( 23
sss
ssssD
下 页上 页返 回下 页上 页
2 4
-1?
j?
oo o
返 回
14.8 极点、零点与冲激响应零状态
e(t) r(t)
激励 响应
)()()( sEsHsR?
1)( )()( sEtte 时，当?
下 页上 页
1,网络函数与冲击响应
)(L)()( )()( 1 sHthtrsHsR
零状态
δ(t) h(t)
1 R(s)
冲击响应
H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回
)1(
)1()( 0
ss
sHsH
H0=-10
例 已知网络函数有两个极点为 s =0,s =-1，一个单零点为 s=1，且有,求 H(s) 和 h(t)10)(lim?
tht
解 由已知的零、极点得：
teHH
ss
sHsHth
00
011 2
)1(
)1(L )]([L)(
10)(lim tht令：
下 页上 页
)1(
)1(10)(
ss
ssH
返 回下 页上 页
2,极点、零点与冲激响应若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：
tp
n
i
n
i i
i ieK
ps
K
1
i
1
1 ][L )]s([L)( 1 Hth
讨论
① 当 pi为负实根时,h(t)为衰减的指数函数,当 pi
为正实根时,h(t)为增长的指数函数；
极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。
注意返 回下 页上 页
j?
o
assH
1)(
不稳定电路
assH
1)(
稳定电路返 回下 页上 页
j?
o
② 当 pi为共轭复数时,h(t)为衰减或 增长的正弦函数；
22)()(?
assH
不稳定电路
22)()(?
assH
稳定电路返 回下 页上 页
j?
0
③ 当 pi为 虚根 时,h(t)为 纯正弦函数,当 Pi为零时，
h(t)为实数；
22)(?
ssH
ssH
1)(?
注意 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。
返 回
14.9 极点、零点与频率响应
j
n
1j
j
m
1
0
)j(
)j(
)j(
H)j( eH
p
z
H
i
i
令网络函数 H(s)中复频率 s =j?，分析 H(j?)随
变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。
对于某一固定的角频率?
下 页上 页返 回
n
1j
j
m
1
0
)j(
)j(
)j(
p
z
HH
i
i
n
1j
j
m
1
)ja r g ()ja r g ()j(a r g pzH
i
i
幅频特性相频特性下 页上 页例 定性分析 RC串联电路以电压 uC为输出时电路的频率响应。
R
C
+
_
+
u2
_
uS解
)(
)()(
sU
sUsH
S
C?
返 回
sC
R
sCsH
1
1
)(
RC
s
RC
1
1
一个极点
RC
s 1j,
1
0 sRCH设下 页上 页
R
C
+
_
+
u2
_
uS
1
00
j/1j
)j(
p
H
RC
HH
j
0)j(
Me
HH? 1j p
用线段 M1表示?
j?
-1/RC
M1
1
M2
j?1
j?2
o
返 回幅频特性 相频特性下 页上 页
)j()j(
/1j
)j( 0
H
RC
HH
|H(j?)|
1 低通特性
o?
1?2?3
1
1
M
RC
2
1
M
RC
3
1
M
RC
|?(j?)|
-?/2
o?1?2?3
返 回
)(
)()( 2
sU
sUsH
S
RC
s
s
1
j
j
)j(
Me
NeH?
若以电压 uR为输出时电路的频率响应为：
上 页
R
C+
_
+
u2
_
uS
|H(j?)|
1/RC
1
0.707
o?
j?
-1/RC
M1 N1
1?1? o
o
返 回
14.1 拉普拉斯变换的定义
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
14.4 运算电路
14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
14.6 网络函数的定义
14.7 网络函数的极点和零点
14.8 极点、零点与冲激响应
14.9 极点、零点与频率响应首 页一、内容提要及本章重点
〃 内容提要
重点
(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质
(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤
(3) 网 络函数的概念
(4) 网络函数的极点和零点返 回二、参考书：
1.江辑光主编，电路原理（第二版），北京：
清华大学出版社
2.王蔼编著，电路基本原理（修订版），上海：
上海交大出版社
3.龙建忠等编著，电路理论，北京：科学出版社拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t)与复变函数 F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。 应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，
又称运算法。
14.1 拉普拉斯变换的定义
1,拉氏变换法下 页上 页返 回例 一些常用的变换
① 对数变换
ABBA
ABBA
lglglg
乘法运算变换为加法运算
② 相量法
III
iii
21
21
相量正弦量时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换
F(s)(频域象函数 )
对应
f(t)(时域原函数 )
下 页上 页返 回
)s(L)( )(L)s( FtftfF -1,简写
js
2,拉氏变换的定义定义 [ 0,∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
d)(
πj2
1
)(
d)()(
0
sesFtf
tetfsF
st
jc
jc
st
正变换反变换
s 复频率下 页上 页返 回
0
0
0
积分下限从 0? 开始，称为 0? 拉氏变换 。
积分下限从 0 + 开始，称为 0 + 拉氏变换 。
① 积分域注意今后讨论的均为 0? 拉氏变换。
tetftetftetfsF ststst d)(d)( d)()( 0000
[0?,0＋ ]区间
f(t) =?(t)时此项? 0
② 象函数 F(s) 存在的条件：
tetf st d )(0
下 页上 页返 回如果存在有限常数 M和 c 使函数 f(t) 满足：
),0[ )( tMetf ct
tMetetf tct dd)( 0 )s(s0
csM
则 f(t)的拉氏变换式 F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的 s 值使上式积分为有限值。
下 页上 页
③ 象函数 F(s) 用大写字母表示,如 I(s),U(s)
原函数 f(t) 用小写字母表示,如 i(t),u(t)
返 回
3.典型函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数的象函数
d)()(
0
tetfsF st
)()( ttf
tettsF st d)()]([L)( 0
0
1 ste
s s
1?
0 d te st
下 页上 页返 回
(3)指数函数的象函数
01 )( tase
as
as?
1
(2)单位冲激函数的象函数
00 d)( tet st?
)()( ttf
tettsF st d )()]([L)(
0
10 se
atetf?)(
teeesF statat dL)(
0
下 页上 页返 回
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
tetfAtfA st d )()(
0 2211
tetfAtetfA stst d)(d)( 0 220 11
)()( 2211 sFAsFA
)()( 2211 sFAsFA
)(])(L[,)(])(L[ 2211 sFtfsFtf若
)(L)( L)()( L 22112211 tfAtfAtfAtfA则
)()( L 2211 tfAtfA?
下 页上 页证返 回的象函数求 )1()(,ateKtf
j
1
j
1
j2
1
ss 22?
s
例 1
解 as KsK -atKeKsF L ]L[)(
例 2 的象函数求 ) s i n ()(,ttf
解)(s inL)( ωtsF
)(
j2
1L tjtj ee
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。
下 页上 页结论
)( ass Ka
返 回
2,微分性质
0
)d)((
0
)( tsetftfe stst
)()0( ssFf
)0()(s
d
)(dL
fsF
t
tf则：
)()( L sFtf?若：
00
)(ddd )(d tfetet tf stst ttfd )(dL
下 页上 页证
uvuvvu dd 利用若?足够大
0
返 回
0
1
22?
ss 22
s
s
的象函数) (c o s)( 1)( ttf
例解
)( s i n (
d
d1L][ c o sL t
t
t?
)(c o s
d
)ds in ( t
t
t
下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数
t
tt
d
)d ( s i n1)(c o s?
返 回推广：
)0()0()( '2 fsfsFs
的象函数) ()( 2)( tδtf?
解
t
tt
d
)(d)(
s
1)]([L?t?
]
d
)(d[L
n
n
t
tf )0()0()( 11
nnn ffssFs?
]
d
)(d[L
2
2
t
tf )0()]0()([ '
ffssFs
101 ss ]d )(d[L)(L t tt
下 页上 页返 回下 页上 页
3.积分性质
)s()]([L Ftf?若,)s(s
1]d)([L
0
Ff
t
则：
证 )s(]d)([L
0
t ttf令
t
ttf
t
tf
0
d)(
d
d L)]([L
应用微分性质
0
0
d)()(s)( tt ttfssF?
s
)s()s( F
0
返 回的象函数和求 )()t() ()(,2 ttftttf
下 页上 页
]d2[L
0?
t tt
例
)(L tt? 2111 sss ]d)([L
0?
tt?
)]([L 2 tt?
3
2
s?
解返 回
4.延迟性质
tettf st
t
d)(
0
0
)(0 sFe st
)()]([L sFtf?若,)()]()([L 000 sFettttf st则：
tettttfttttf st d)()()()(L
0 0000
d)(
0
)( 0
tsef
0 tt令延迟因子 0ste?
下 页上 页证
d)(
0
0?
sst efe
返 回例 1
)()()( Ttttf
TeF s
s
1
s
1)s(
)]()([)( Tttttf
)()()()()( TtTTtTttttf
TT eTeF ss
22 ss
1
s
1)s(
例 2
求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解下 页上 页
T
T
f(t)
o
1
T t
f(t)
o
返 回求周 期函数的拉氏变换设 f1(t)为一个周期的函数
)2()2(
)()()()(
1
11
TtTtf
TtTtftftf
])[( 321 sTsTsT eeesF )(1 1 1 sFe sT
例 3
解
)()]([L 11 sFtf?
)()()()]([L 1211 sFesFesFtf sTsT
下 页上 页
...
t
f(t)
1
T/2 To
返 回
)
s
1
s
1()s( 2/s
1
TeF
)
2
()()(1 Ttttf
)1 1(1 2/sTes
)(
1
1)]([L
1 sFetf sT
)11(
1
1 2/sT
sT esse
)]([L tf
下 页上 页对于本题脉冲序列
5.拉普拉斯的卷积定理
)()]([L )()]([L 2211 sFtfsFtf若：
返 回下 页上 页
)()(
d)()(L)]()([L
21
t
0 2121
sFsF
ftftftf
则：
证 tftfetftf st dd )()()]()([L t
0 21021
tfttfe st dd )()()(
0 210
tx 令 xeefxxf sxs dd )()()(
0 0 21
0 20 1 d )(d)()(ssx efxexxf
)()( 21 sFsF?
返 回
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 seFtf stj
j
d)s(
πj2
1)( c
c?
(2)对简单形式的 F(s)可以 查拉氏变换表得原函数下 页上 页
(3)把 F(s)分解为简单项的组合
)()()()( 21 sFsFsFsF n
)()()()( 21 tftftftf n
部分分式展开法返 回利用部分分式可将 F(s)分解为：
)(
)(
)()(
1
10
1
10 mn
bsbsb
asasa
sD
sNsF
n
nn
m
mm
nppns 10)(D ( 1 ) 个单根分别为有若下 页上 页象函数的一般形式
n
n
ps
K
ps
K
ps
KsF
2
2
1
1)(
待定常数讨论
tptptp eKeKeKtf n21
n21)(
返 回
n321 ))((,、、ipssFK
ipsii
待定常数的确定：
方法 1
下 页上 页
n
n
ps
K
ps
KpsKFps
2
2
111 )()s()(
方法 2
求极限的方法
)s(
)s)(s(lim
p D
pNK i
si i
令 s = p1
返 回
)s(
)s()s)(s(lim
'
'
p D
NpN i
s i
)(
)(
'
i
i
i pD
pN
K?
下 页上 页
)s(
)s)(s(lim
p D
pNK i
si i
的原函数求 6s5s 5s4)s( 2F
3s2s
21
KK
33s 5s4 21SK 7
2s
5s4
3s2
K
例解法 1
6s5s
5s4)s(
2
F
返 回
)(7)(3)( 32 tetetf tt
352 54)( )( 2
1
'
1
1
ss
s
pD
pNK
7
52
54
(
)(
3
2
'
2
2
ss
s
)pD
pNK
解法 2
下 页上 页
tp
n
ntptp ne
pD
pNe
pD
pNe
pD
pNtf
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
'
2
'
2
1
'
1 21
原函数的一般形式返 回
jp
jp
2
1
)())((
)(
)(
)()(
1 sDjsjs
sN
sD
sNsF
)(
)(
1
121
sD
sN
js
K
js
K?
具有共轭复根若 0)( )2(?sD
下 页上 页
K1,K2也是一对共轭复数注意
j
21 )(
)(
)j)((
j
s
sD
sN
ssFK
s
，
返 回
)t()( 1)(j)(j feeKeeK tjtj
)t(][ 1)(j)(j feeeK ttt
)()c o s (2 1 tfteK t
j2j1 e e -KKKK设：
)t()()( 1)j(2)j(1 feKeKtf tt
下 页上 页返 回
)( 52 3)( 2 tfss ssF 的原函数求
2j121,p
4525.050j50
)j21( 2j1s1
,.
s
sK
4525.0
)j21(s
s
2j1s2K
)452c o s (2)( tetf t
例解 的根,0522 ss
4525.0
22s
s
)s(
)s(
2j1s'1D
NK或：
下 页上 页返 回
)p(
)(
1
1
10
n
m
mm
s
asasasF
n
n
n
n
ps
K
ps
K
ps
K
ps
KsF
)()()(
)(
1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
具有重根若 0)( )3(?sD
下 页上 页
1)]()[( 11 ps
n
n sFpsK
1
)]()(dd[ 111 psnn sFpssK
1s11
1
11 )()(d
d
)!1(
1
p
n
n
n
sFps
sn
K
返 回
2
22211
)1()1( s
K
s
K
s
K
)t( )1( 4)( 2 fss ssF 的原函数求,
4)1( 4 021sssK 34
122
ss
sK
1
2
21 )]()1[(d
d
ssFssK 4]4[
d
d
1
ss
s
s
tt teetf 344)(
例解
2)1(
4)(
ss
ssF
下 页上 页返 回
n =m 时将 F(s)化成真分式和多项式之和
n
n
p
K
p
K
p
KAF
sss
)s(
2
2
1
1
由 F(s)求 f(t) 的步骤：
② 求真分式分母的根,将真分式展开成部分分式
③ 求各部分分式的系数
④ 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换
)s(
)s()s( 0
D
NAF
下 页上 页小结返 回的原函数求,
65
119)(
2
2
ss
sssF
65
541
2
ss
s
3
7
2
31
ss
)37()()( 23 tt eettf
例解
65
119)(
2
2
ss
sssF
下 页上 页返 回
14.4 运算电路基尔霍夫定律的时域表示：
0)( ti 0)( tu
1.基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页
0)(sI
0)s( U
根据拉氏变换的线性性质得 KCL,KVL的运算形式对任一结点对任一回路返 回
u=Ri
)()( sGUsI?
)()( sRIsU?
GsY
RsZ
)(
)(
2.电路元件的运算形式
① 电阻 R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路下 页上 页
uR(t)
i(t)
R
+
-
时域形式：
R
+
-
)(sU
)(sI
返 回
t
iLu
d
d?
)0()(
))0()(()(
Liss L I
issILsU
s
i
sL
sUsI )0()()(
sLsY
sLsZ
1)(
)(
② 电感 L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得
L的运算电路下 页上 页
i(t)
+ u(t) -
L
+ -
sL )0(?Li
U(s)
I(s) +-
时域形式：
sL
+ U(s)
I(s )
si )0(?
-
返 回
d )( 1)0(
0
t iCuu
s
usI
sCsU
)0()(1)(
)0()()( Cuss C UsI
sCsY
sCsZ
)(
1)(
③ 电容 C的运算形式
C的运算电路下 页上 页
i(t)
+ u(t) -
C
时域形式：
取拉氏变换,由积分性质得
+ -
1/sC su )0(?
U(s)
I(s) -+
1/sC
Cu(0-)
+ U(s)
I(s )
-
返 回
t
i
M
t
i
Lu
t
i
M
t
i
Lu
d
d
d
d
d
d
d
d
12
22
21
11
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
Miss M IiLsIsLsU
Miss M IiLsIsLsU
④ 耦合电感的运算形式下 页上 页
i1
**
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M 时域形式：
取拉氏变换,由微分性质得
sMsY
sMsZ
M
M
1)(
)(
互感运算阻抗返 回耦合电感的运算电路下 页上 页
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
Miss M IiLsIsLsU
Miss M IiLsIsLsU
+
-
+
sL2
+
sM
+
+
)(2 sU
sL1
)(2 sI
)0(22?iL
)0(1?Mi
)(1 sI
)(1 sU --
-
-
)0(11?iL
)0(2?Mi
-+
返 回
12
11 /
ii
Rui
)()(
/)()(
12
11
sIsI
RsUsI
⑤ 受控源的运算形式受控源的运算电路下 页上 页时域形式：
取拉氏变换
i1
+
_
u2
i2
_
u1
i1
+
R
)(1 sU
)(1 sI?
)(2 sU
)(1 sI
+
__
+
R
)(2 sI
返 回
3,RLC串联电路的运算形式下 页上 页
u (t)
R
C-
+
i
L
U (s)
R
1/sC-
+
sL
I (s)
时域电路 0)0(
0)0(
L
c
i
u若：
t c tiCtiLiRu 0 d1dd
)(1)()()( sIsCss LIRsIsU
拉氏变换运算电路
)()()1)(( sZsIsCsLRsI
sC
sLR
sY
sZ 1
)(
1)(
运算阻抗返 回
)()()(
)()()(
sUsYsI
sIsZsU
下 页上 页运算形式的欧姆定律
u (t)
R
C-
+
i
L
0)0( 0)0( Lc iu若：
+
-U (s)
R
1/sC-
+ sL
I (s)
+-
Li(0-)su c )0(?
拉氏变换返 回
s
u
LisU
sIsZsI
sC
sLR
)0(
)0()(
)()()()
1
(
C?
下 页上 页
s
usI
sC
LisLIRsIsU )0()(1)0()(s)()( C
+
-U (s)
R
1/sC-
+ sL
I (s)
+-
Li(0-)su c )0(?
返 回
① 电压、电流用象函数形式；
② 元件用运算阻抗或运算导纳表示；
③ 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
下 页上 页电路的运算形式小结例 给出图示电路的运算电路模型。
1F 10?
0.5H
50V
+
-
uC
+ -
iL 5?
10?
20?
解 t=0 时开关打开
uc(0-)=25V
iL(0-)=5A
时域电路返 回注意附加电源下 页上 页
1F 10?
0.5H
50V
+
-
uC
+ -
iL 5?
10?
20? 20
0.5s
-
+
+
-
1/s
25/s 2.5V
5
IL(s)
UC(s)
t >0 运算电路返 回
14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
① 由换路前的电路计算 uc(0-),iL(0-) ；
② 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；
③ 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；
④ 反变换求原函数。
下 页上 页
1,运算法的计算步骤返 回例 1
0)0(Li
(2) 画运算电路
sL 1s?
s
1
1s
11?
sC
V1)0(cu
解 (1) 计算初值下 页上 页电路原处于稳态,t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。
1V
1H
1?1F
i
+
-
1?
1/s
s
1
1/s
I(s)
+
-
1
+
-
uC(0-)/s
返 回
(3) 应用回路电流法下 页上 页
1/s
s
1
1/s
I(s)
+
-
1
+
-
uC(0-)/s
)(1 sI
)(2 sI
0)0(1)s(1)()11( C21susIssIss
ss
uI
sIs
1)0()s()11()s(1 C
21
-
返 回下 页上 页
2)2(
1)()(
21 ssssIsI
)j1s(j1)(
321
K
s
K
s
KsI
(4)反变换求原函数
j1j10,30)(D 321 ppps,，个根有
2
1)s(
01ssIK
j)2 ( 1
1)j1)((
j12sssIK
j)2 ( 1
1)j1)((
j13sssIK
返 回下 页上 页
)j1(
)j1(21
j1
)j1(2121)(
sss
sI
)s i nec o se1(21)()(L 1 tttisI tt
例 2,求 uC(t),iC(t)。 0)0(),(
cs uti?
图示电路
R C
+
uc
is
解 画运算电路
1/sC
+
Uc(s)
( ) 1sIs?
R
)(C sI
返 回
sCsIsCR
RsU
sC
1)(
/1)(
)/1( RCsRC
R
1
)()(
R s C
R s CsCsUsI
CC 1
11
R s C
)0(1 / teCu RCtc
)0(1)( / te
RC
ti RCtc?
下 页上 页
1/sC
+
Uc(s)
( ) 1sIs?
R
)(C sI
返 回
t = 0时打开开关,求电感电流和电压。
0)0(
A5)0(
2
1
i
i
例 3
下 页上 页解 计算初值 +
-
i1 0.3H
0.1H10V
2? 3?
i2
画运算电路
10/s
0.3s
1.5V
0.1s
I1(s)
+-+
-
2 3
返 回
s.
.
ssI
405
51
10
)(1
ss.
s.
)405(
5110
5.12
75.12
ss 25.121 75.12 iei t
ss
s
)5.12(
75.325
下 页上 页
10/s
0.3s
1.5V
0.1s
I1(s)
+-+
-
2 3
注意 )0()0(
11 ii )0()0( 22 ii
返 回
5.1)s(s3.0)( 11 IsU L 375.0
5.12
56.6?
s
UL1(s)
)(1.0)(2 ssIsU L? 5.1219.237 5.0 s
tL ettu 5.122 19.2)(375.0)(
tL etu 5.121 56.6)(3 7 5.0)t(
下 页上 页
10/s
0.3s
1.5V
0.1s
I1(s)
+-+
-
2 3
返 回
3.75
t
i15
2
0
tL ettu 5.121 56.6)(3 7 5.0)(
tL ettu 5.122 19.2)(375.0)(
下 页上 页
25.121 75.12 iei t
uL1
-6.56
t
-0.375?(t)
0
0.375?(t)
uL2
t-2.190
返 回
A75.31.0375.0)0()0( 22 ii
i
L
Ai 75.33.0 3 7 5.053.0)0(1
下 页上 页注意
① 由于拉氏变换中用 0- 初始条件,跃变情况自动包含在响应中,故不需先求 t =0+时的跃变值。
② 两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。
③ 满足磁链守恒。
返 回
)0()()0()0( 212211 iLLiLiL
75.34.0053.0
下 页上 页返 回
14.6 网络函数的定义
1,网络函数 H（ s）的定义线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数 H(s)。
)(
)(
( L
)(L
L
L
)(
d e f
sE
sR
te
tr
sH
）激励函数零状态响应下 页上 页返 回
① 由于激励 E(s)可以是电压源或电流源，响应 R(s)
可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。
下 页上 页注意
② 若 E(s)=1,响应 R(s)=H(s),即 网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。
2.网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回
)(
)()(
sE
sRsH? )()()( sEsHsR?
例
)()(
)()(
21
21s
tStS
uutti
、求阶跃响应
，、，响应为图示电路,
下 页上 页
1/4F 2H2?i(t) u
1
+ +
- -
u21?
解 画运算电路返 回
65
44
22
1
1
4
1
)(
)(
)( 1
1
ss
s
ss
sI
sU
sH
2
S
65
4
22
)(2
)(
)()(
2
11
2 ss
s
s
ssU
sI
sUsH
S
)65(
44)()()(
211
sss
ssIsHsU
S
)65(
4)()s()(
222 sss
ssIHsU
S
tt eetS 32
1 3
82
3
2)(
tt eetS 322 44)(
下 页上 页
I1(s)
4/s
2s
I(s)
U1(s) U2(s)
2+ +
- -
1
返 回例下 页上 页解 画运算电路电路激励为 )()(
S tti )(tuC
，求冲激响应
G C
+
uc
is
sC
+
Uc(s)
)(sIs
G
RC
s
CGsC
sZ
sU
sE
sR
sH
C
1
111
)(
1
)(
)(
)(
)(
1
11 1 1 1
( ) ( ) L [ ( ) ] L e ( )
1
t
RC
C
h t u t H s t
CC
s
RC
1
11 1 1 1
( ) ( ) L [ ( ) ] L e ( )
1
t
RC
C
h t u t H s t
CC
s
RC
返 回下 页上 页
3,应用卷积定理求电路响应
)()()( sEsHsR?
t
0
t
0
1
d)()(d)()(
)(*)()()(L)(
thehte
thtesHsEtr
结论 可以通过求网络函数 H(s)与任意激励的象函数 E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。
返 回
212
6.0
1
5)( 21
s
K
s
K
sssU C
K1=3,K2= -3
ttc eeu 33 2
例
)()(L)()( 1C sEsHtrtu解下 页上 页
teth 5)(图示电路 ts eu 26.0,冲激响应,求 uC(t)。
线性无源电阻网络
+
-
us C uc
+
-
返 回
14.7 网络函数的极点和零点
1,极点和零点
)())((
)())((
)(
)()(
21
210
n
m
pspsps
zszszsH
sD
sNsH
下 页上 页
n
j
j
m
i
i
zs
zs
H
1
1
0
)(
)(
当 s =zi 时,H(s)=0，
称 zi 为零点,zi 为重根，
称为重零点；
当 s =pj 时,H(s) ∞，
称 pj 为极点,pj为重根，
称为重极点；
返 回
2,复平面（或 s 平面）
js
在复平面上把 H(s) 的极点用 ‘? ’ 表示,
零点用 ‘ o ’表示。
零、极点分布图下 页上 页
zi,Pj 为复数
j?
o
o
返 回
42 )( 21 zzsH,的零点为：
2
3
2
31 )s(
3,21 jppH,的极点为：
例
364
16122)(
23
2
sss
sssH 绘出其极零点图。
解 )4)(2(216122)( 2 sssssN
)
2
3
j
2
3
)(
2
3
j
2
3
)(1(
364)( 23
sss
ssssD
下 页上 页返 回下 页上 页
2 4
-1?
j?
oo o
返 回
14.8 极点、零点与冲激响应零状态
e(t) r(t)
激励 响应
)()()( sEsHsR?
1)( )()( sEtte 时，当?
下 页上 页
1,网络函数与冲击响应
)(L)()( )()( 1 sHthtrsHsR
零状态
δ(t) h(t)
1 R(s)
冲击响应
H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回
)1(
)1()( 0
ss
sHsH
H0=-10
例 已知网络函数有两个极点为 s =0,s =-1，一个单零点为 s=1，且有,求 H(s) 和 h(t)10)(lim?
tht
解 由已知的零、极点得：
teHH
ss
sHsHth
00
011 2
)1(
)1(L )]([L)(
10)(lim tht令：
下 页上 页
)1(
)1(10)(
ss
ssH
返 回下 页上 页
2,极点、零点与冲激响应若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：
tp
n
i
n
i i
i ieK
ps
K
1
i
1
1 ][L )]s([L)( 1 Hth
讨论
① 当 pi为负实根时,h(t)为衰减的指数函数,当 pi
为正实根时,h(t)为增长的指数函数；
极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。
注意返 回下 页上 页
j?
o
assH
1)(
不稳定电路
assH
1)(
稳定电路返 回下 页上 页
j?
o
② 当 pi为共轭复数时,h(t)为衰减或 增长的正弦函数；
22)()(?
assH
不稳定电路
22)()(?
assH
稳定电路返 回下 页上 页
j?
0
③ 当 pi为 虚根 时,h(t)为 纯正弦函数,当 Pi为零时，
h(t)为实数；
22)(?
ssH
ssH
1)(?
注意 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。
返 回
14.9 极点、零点与频率响应
j
n
1j
j
m
1
0
)j(
)j(
)j(
H)j( eH
p
z
H
i
i
令网络函数 H(s)中复频率 s =j?，分析 H(j?)随
变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。
对于某一固定的角频率?
下 页上 页返 回
n
1j
j
m
1
0
)j(
)j(
)j(
p
z
HH
i
i
n
1j
j
m
1
)ja r g ()ja r g ()j(a r g pzH
i
i
幅频特性相频特性下 页上 页例 定性分析 RC串联电路以电压 uC为输出时电路的频率响应。
R
C
+
_
+
u2
_
uS解
)(
)()(
sU
sUsH
S
C?
返 回
sC
R
sCsH
1
1
)(
RC
s
RC
1
1
一个极点
RC
s 1j,
1
0 sRCH设下 页上 页
R
C
+
_
+
u2
_
uS
1
00
j/1j
)j(
p
H
RC
HH
j
0)j(
Me
HH? 1j p
用线段 M1表示?
j?
-1/RC
M1
1
M2
j?1
j?2
o
返 回幅频特性 相频特性下 页上 页
)j()j(
/1j
)j( 0
H
RC
HH
|H(j?)|
1 低通特性
o?
1?2?3
1
1
M
RC
2
1
M
RC
3
1
M
RC
|?(j?)|
-?/2
o?1?2?3
返 回
)(
)()( 2
sU
sUsH
S
RC
s
s
1
j
j
)j(
Me
NeH?
若以电压 uR为输出时电路的频率响应为：
上 页
R
C+
_
+
u2
_
uS
|H(j?)|
1/RC
1
0.707
o?
j?
-1/RC
M1 N1
1?1? o
o
返 回
