第 13章 非正弦周期电流电路非正弦周期信号13.1
周期函数分解为傅里叶级数13.2
有效值、平均值和平均功率13.3
非正弦周期电流电路的计算13.4
首 页本章重点和信号的频谱
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,周期函数分解为傅里叶级数返 回
13.1 非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化 )()( nTtftf
下 页上 页返 回例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下 页上 页例 1 半波整流电路的输出信号返 回脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例 3
下 页上 页返 回交直流共存电路例 4
+V
Es
下 页上 页返 回
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
ttf
T
d )(
0
若周期函数满足狄利赫利条件：
① 周期函数极值点的数目为有限个；
② 间断点的数目为有限个；
③ 在一个周期内绝对可积，即：
可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。
下 页上 页返 回直流分量基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
高次谐波
)c o s()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
周期函数展开成傅里叶级数：
下 页上 页返 回
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
a r c t a n
s i n c o s
22
00
系数之间的关系为：
下 页上 页返 回
π2
0
11
π2
0
11
0
00
)(d)s i n ()(
π
1
)(d)c o s ()(
π
1
d)(
1
ttktfb
ttktfa
ttf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
系数的计算：
下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化
① 偶函数
0 )()( kbtftf
0 )()( katftf
② 奇函数
③ 奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
注意
－ T/2 tT/2
f (t)
o
－ T/2 tT/2
f (t)
o
t
f (t)
T/2 To
下 页上 页返 回周期函数的频谱图：
m1~kAk? 的图形幅度频谱
1111 7 5 3
Akm
o kω1
相位频谱 的图形
1~k k
下 页上 页返 回周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
ti
S
2
0
2
0
)(
m
2d
1d)(1
0
2/
0
mT T
mSO
ItI
TttiTI
直流分量：
谐波分量, π2
0
) (ds i n)(π1 ttktib SK
K为偶数
K为奇数
π
2
0
)c o s1(
π
π
0
k
Itk
k
I
m
m?
t
T/2 T
Si
mI
o
下 页上 页返 回
0s i n
1
π
2
)(dc o s)(
π
2
π
0
π2
0
tk
k
I
ttktia
m
Sk
π
22
k
2
kk k
IbabA m
K （ k为奇数）
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i nπ22 tttIIi mmS
下 页上 页返 回
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波下 页上 页返 回
)5s i n513s i n31( s i nπ22 tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si
5si
下 页上 页
IS0
1si 3si 5si
等效电源返 回
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n
π
2
2
tttIIi mmS
1111 7 5 3
Akm
o
矩形波的幅度 频谱
t
T/2 T
Si
mI
1111 7 5 3
kω1o
-π/2
1~k k
矩形波的相位频谱下 页上 页返 回
π20π20 0)(dc o s 0)(ds i n ttkttk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
① 正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
k整数② sin2,cos2 在一个周期内的积分为?。
π)(dc o s π)(ds i n π20 2π20 2 ttkttk
下 页上 页返 回
0)(ds i ns i n
0)(dc o sc o s
0)(ds i nc o s
π2
0
π2
0
π2
0
ttptk
ttptk
ttptk
pk?
③ 三角函数的正交性下 页上 页返 回
2,非正弦周期函数的有效值
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若则有效值,
)(dc o s
1
)(d
1
2
0
1
0
0
2
ttkII
T
tti
T
I
T
k
kkm
T
下 页上 页返 回
)(dc o s1
2
0
1
0 ttkIITI
T
k
kkm
d)(c o s1
0
2
1
22T
kkkm IttkIT
d1
0
2
0
2
0
T ItI
T
0d)c o s (21
0 0?
T k ttkIT
0d)c o s ()c o s (21
0?
T qqmkkm ttqItkIT
qk?
下 页上 页返 回
21
2
2
0?
k
kmIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
222120 IIII
结论下 页上 页返 回
3,非正弦周期函数的平均值
00 d)(
1 Itti
T
I T其直流值为：
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若其平均值为：
T
av ttiTI 0 d)(
1?
正弦量的平均值为：
8 9 8.0dc o s1
0?
T mav IttITI?
下 页上 页返 回
4.非正弦周期交流电路的平均功率
T tiu
T
P
0
d1
)c o s ()(
1
0 uk
k
km tkUUtu
)c o s ()(
1
0 ik
k
km tkIIti
利用三角函数的正交性，得：
......
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
下 页上 页返 回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论下 页上 页返 回
13.4 非正弦周期电流电路 的计算
1,计算步骤
② 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路、
L 相于短路。）
① 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
③ 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
下 页上 页返 回
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
μs28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
TI
CLR
m,
、、
t
T/2 T
Si
mI
解 (1) 方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
π
2
2
t
tt
II
i mm
S
μs28.6,μA157 TI m代入已知数据：
0
下 页上 页
R
L
C uS
i
返 回直流分量,A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m
A 1 0 014.3 57.1221 mm II基波最大值：
μA2051 15 mm II五次谐波最大值：
r a d / s101028.6 14.32π2 66T?角频率：
三次谐波最大值,μA3.33
3
1
13 mm II
下 页上 页返 回
μA5.780?SI
电流源 各频率的谐波分量为：
μA10s i n1 0 0 61 ti s?
μA103s i n3100 63 ti s μA105s i n5100 65 ti s
（ 2） 对 各次谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
μA5.780?SI
电容断路，电感短路
mV57.1105.7820 600SRIU
下 页上 页
R u
0SI
返 回
（ b)基波作用 μA 10s i n1 0 0 6
1 ti s?
Ωk11010
Ωk1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
k Ω50)(j )j()j()( 1 RC LR XXXXR XXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
mV
2
5 0 0 050
2
10100( 6
111
）?ZIU
下 页上 页
R
L
C u1S
i
返 回
(c)三次谐波作用 μA 103s i n
3
100 6
3 ti s
0
33
33
1 19.895.374)(j
)j)(j()3(
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk3101033
k33.0
101 0 0 0103
1
3
1
36
1
126
1
L
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
下 页上 页
R
L
C u3S
i
返 回
(d)五次谐波作用 μA105s i n
5
1 0 0 6
5 ti s
53.893.208)5(j )j)(j()5(
55
55
1
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk5101055
k2.0
101 0 0 0105
1
5
1
36
1
126
1
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5(
6
15s5
ZIU
下 页上 页
R
L
C u5S
i
返 回
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (1 6 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n5 0 0 057.1
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV250001?U? mV53.89
2
1 6 6.4
5
U
下 页上 页返 回
V,)4π2 0 0 0c o s (601 0 0 0c o s12030, ttu已知求电路中各表读数 (有效值 ) 。
例 2
V1
L1
C1
C2
L240mH
10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
A3
A2
V2
1
A1
a
下 页上 页返 回解
(1)u0=30V作用于电路,L1,L2短路,C1,C2开路。
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,
iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
a
i
iC1 iL2
L1
C1 C
2
L240mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
a
iC10 iL20
L1
C1 C2
L2
+ _
30?
b
c d
0
i0
下 页上 页返 回
(2) u1=120cos1000t V作用
Ω40
10251000
111
Ω1010101000 Ω4010401000
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V01201U
0
0
c b 1
211
U
II L
A903
40j
0120j
1111
UCI
C?
V01 2 011ad UU
1U?
1I?
11CI? 21LI?
j40?
j40j40?
j10?
a+
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用
Ω20
10252000
1
2
1
2
1
Ω20101020002,80104020002
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V45602U
A45320j 4560j2
2
1
22
L
UI
L?
0122 CII
V4560
0
2c b 2
a d 2
UU
U
2I?
12CI? 22LI?
j80?
j20j20?
j20?
2U?a +
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
周期函数分解为傅里叶级数13.2
有效值、平均值和平均功率13.3
非正弦周期电流电路的计算13.4
首 页本章重点和信号的频谱
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,周期函数分解为傅里叶级数返 回
13.1 非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化 )()( nTtftf
下 页上 页返 回例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下 页上 页例 1 半波整流电路的输出信号返 回脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例 3
下 页上 页返 回交直流共存电路例 4
+V
Es
下 页上 页返 回
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
ttf
T
d )(
0
若周期函数满足狄利赫利条件：
① 周期函数极值点的数目为有限个；
② 间断点的数目为有限个；
③ 在一个周期内绝对可积，即：
可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。
下 页上 页返 回直流分量基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
高次谐波
)c o s()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
周期函数展开成傅里叶级数：
下 页上 页返 回
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
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22
00
系数之间的关系为：
下 页上 页返 回
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1
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1
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T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
系数的计算：
下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化
① 偶函数
0 )()( kbtftf
0 )()( katftf
② 奇函数
③ 奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
注意
－ T/2 tT/2
f (t)
o
－ T/2 tT/2
f (t)
o
t
f (t)
T/2 To
下 页上 页返 回周期函数的频谱图：
m1~kAk? 的图形幅度频谱
1111 7 5 3
Akm
o kω1
相位频谱 的图形
1~k k
下 页上 页返 回周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
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T
T
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0
2
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m
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1d)(1
0
2/
0
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直流分量：
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0
) (ds i n)(π1 ttktib SK
K为偶数
K为奇数
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2
0
)c o s1(
π
π
0
k
Itk
k
I
m
m?
t
T/2 T
Si
mI
o
下 页上 页返 回
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1
π
2
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K （ k为奇数）
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的展开式为：
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下 页上 页返 回
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波下 页上 页返 回
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下 页上 页
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等效电源返 回
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1111 7 5 3
Akm
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矩形波的幅度 频谱
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T/2 T
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1111 7 5 3
kω1o
-π/2
1~k k
矩形波的相位频谱下 页上 页返 回
π20π20 0)(dc o s 0)(ds i n ttkttk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
① 正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
k整数② sin2,cos2 在一个周期内的积分为?。
π)(dc o s π)(ds i n π20 2π20 2 ttkttk
下 页上 页返 回
0)(ds i ns i n
0)(dc o sc o s
0)(ds i nc o s
π2
0
π2
0
π2
0
ttptk
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③ 三角函数的正交性下 页上 页返 回
2,非正弦周期函数的有效值
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若则有效值,
)(dc o s
1
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1
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下 页上 页返 回
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k
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周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
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结论下 页上 页返 回
3,非正弦周期函数的平均值
00 d)(
1 Itti
T
I T其直流值为：
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若其平均值为：
T
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1?
正弦量的平均值为：
8 9 8.0dc o s1
0?
T mav IttITI?
下 页上 页返 回
4.非正弦周期交流电路的平均功率
T tiu
T
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1
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k
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)c o s ()(
1
0 ik
k
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利用三角函数的正交性，得：
......
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
下 页上 页返 回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论下 页上 页返 回
13.4 非正弦周期电流电路 的计算
1,计算步骤
② 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路、
L 相于短路。）
① 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
③ 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
下 页上 页返 回
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
μs28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
TI
CLR
m,
、、
t
T/2 T
Si
mI
解 (1) 方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
π
2
2
t
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II
i mm
S
μs28.6,μA157 TI m代入已知数据：
0
下 页上 页
R
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C uS
i
返 回直流分量,A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m
A 1 0 014.3 57.1221 mm II基波最大值：
μA2051 15 mm II五次谐波最大值：
r a d / s101028.6 14.32π2 66T?角频率：
三次谐波最大值,μA3.33
3
1
13 mm II
下 页上 页返 回
μA5.780?SI
电流源 各频率的谐波分量为：
μA10s i n1 0 0 61 ti s?
μA103s i n3100 63 ti s μA105s i n5100 65 ti s
（ 2） 对 各次谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
μA5.780?SI
电容断路，电感短路
mV57.1105.7820 600SRIU
下 页上 页
R u
0SI
返 回
（ b)基波作用 μA 10s i n1 0 0 6
1 ti s?
Ωk11010
Ωk1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
k Ω50)(j )j()j()( 1 RC LR XXXXR XXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
mV
2
5 0 0 050
2
10100( 6
111
）?ZIU
下 页上 页
R
L
C u1S
i
返 回
(c)三次谐波作用 μA 103s i n
3
100 6
3 ti s
0
33
33
1 19.895.374)(j
)j)(j()3(
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk3101033
k33.0
101 0 0 0103
1
3
1
36
1
126
1
L
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
下 页上 页
R
L
C u3S
i
返 回
(d)五次谐波作用 μA105s i n
5
1 0 0 6
5 ti s
53.893.208)5(j )j)(j()5(
55
55
1
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk5101055
k2.0
101 0 0 0105
1
5
1
36
1
126
1
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5(
6
15s5
ZIU
下 页上 页
R
L
C u5S
i
返 回
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (1 6 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n5 0 0 057.1
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV250001?U? mV53.89
2
1 6 6.4
5
U
下 页上 页返 回
V,)4π2 0 0 0c o s (601 0 0 0c o s12030, ttu已知求电路中各表读数 (有效值 ) 。
例 2
V1
L1
C1
C2
L240mH
10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
A3
A2
V2
1
A1
a
下 页上 页返 回解
(1)u0=30V作用于电路,L1,L2短路,C1,C2开路。
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,
iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
a
i
iC1 iL2
L1
C1 C
2
L240mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
a
iC10 iL20
L1
C1 C2
L2
+ _
30?
b
c d
0
i0
下 页上 页返 回
(2) u1=120cos1000t V作用
Ω40
10251000
111
Ω1010101000 Ω4010401000
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V01201U
0
0
c b 1
211
U
II L
A903
40j
0120j
1111
UCI
C?
V01 2 011ad UU
1U?
1I?
11CI? 21LI?
j40?
j40j40?
j10?
a+
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用
Ω20
10252000
1
2
1
2
1
Ω20101020002,80104020002
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V45602U
A45320j 4560j2
2
1
22
L
UI
L?
0122 CII
V4560
0
2c b 2
a d 2
UU
U
2I?
12CI? 22LI?
j80?
j20j20?
j20?
2U?a +
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
