第 4章 电路定理首 页叠加定理4.1
替代定理4.2
戴维宁定理和诺顿定理4.3
最大功率传输定理4.4
一、本章内容提要及重点
· 内容提要
重点,
熟练掌握叠加定理、戴维宁定理和最大功率传输定理的内容、适用范围及应用方法。
返 回二、参考书
1,李瀚荪 编著，电路分析基础（第 4版），
北京：高等教育出版社
2,王勇，龙建忠等编著，电路理论基础，
北京：科学出版社
3,C.K.Alexander M.N.O.Sadiku著，电路基础，刘巽亮、倪国强译。北京：清华大学出版社（英文版），电子工业出版社（中译版）
1,叠加定理 在线性电路中,各独立源 (电压源,
电流源 )共同作用时,在任一支路产生的电流 (或电压 )可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
2,定理的证明应用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
下 页上 页返 回
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n
或表示为：
)3(
1
)2(
1
)1(
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
支路电流为：
)3(
3
)2(
3
)1(
3
32
13
3
332
32
2
32
23
3313
)()()(
iii
GG
iG
u
GG
GG
u
GG
GG
Guui SSSSn
)3(
2
)2(
2
)1(
2332211
32
12
32
323
2
232
23
2212
)()(
iiiububib
GG
iG
GG
uGG
u
GG
GG
Guui
SSS
SS
SSn
下 页上 页
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
返 回结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，
产生的响应之叠加。
3,几点说明
① 叠加定理只适用于线性电路。
② 一个电源作用，其余电源为零电压源为零 — 短路。
电流源为零 — 开路。
下 页上 页结论返 回三个电源共同作用 is1单独作用
=
下 页上 页
+
us2单独作用 us3单独作用
+
G1 G3
us3
+
–
)3(2i
)3(3iG
1 G3
)2(3i
)2(2i
us2
+
–
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
)1(2i )1(3iG1
is1
G2 G3
返 回
③ 功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
④ u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
⑤ 含受控源 (线性 )电路亦可用叠加,但受控源应始终保留 。 受控源不能当作激励信号,单独作用 。
下 页上 页
4,叠加定理的应用求电压源的电流及功率例 1
4?2A 70V 10?
5?2?
+ －
I
解 画出分电路图返 回
＋
2A电流源作用，电桥平衡：
0)1(?I
70V电压源作用,A157/7014/70)2(I
A15)2()1( III
下 页上 页
I (1)4?2A 10?
5?2?
4? 70V 10?
5?2?
+ －
I (2）
两个简单电路发出功率）1 0 5 0 W (1570P
应用叠加定理使计算简化返 回例 2 计算电压 u
3A电流源作用：
下 页上 页解 u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A
3?6?
6V
＋ －
画出分电路图
＋
u(2)i (2)
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
1?
3A
3?6?
＋ －
u(1)
V93)13//6()1(u
其余电源作用,A2)36/()126()2(i
V81266 )2()2( iu V1789)2()1( uuu
返 回叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，
取决于使分析计算简便。
下 页上 页注意例 3 计算电压 u,电流 i。
解 画出分电路图
u（ 1）＋
－
10V 2i(1)＋
－
1?2? ＋
－
i（ 1）
＋
受控源始终保留
u＋
－
10V 2i＋
－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)
i (2) ＋
－
1?2? ＋
－
5A
返 回
)12/()210( )1()1( ii
V6321 )1()1()1()1( iiiu
A2)1(?i10V电源作用：
下 页上 页
u（ 1）＋
－
10V 2i(1)＋
－
1?2? ＋
－
i（ 1）
＋
5A电源作用,02)5(12 )2()2()2( iii
A1)2(i V2)1(22 )2()2( iu
V826u A1)1(2i
u(2)
2i (2)
i (2) ＋
－
1?2? ＋
－
5A
返 回例 4 封装好的电路如图，已知下列实验数据：
A2 A 1,V1 iiu SS 响应时当,
？, iiu SS A 5,V3 响应时求下 页上 页研究激励和响应关系的实验方法
1A 2 A,V1 iiu SS 响应时当,
解 根据叠加定理
SS ukiki 21
代入实验数据：
221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
A253 SS iui
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
返 回
5.齐性原理下 页上 页线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
① 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
② 具有可加性 。
注意返 回
iR1 R1 R1
R2 RL
+
–
us R2R2
例采用倒推法：设 i'=1A
则求电流 iRL=2? R1=1? R2=1? us=51V，
+
–
2V
2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–
us'=34V
3A8A21A
5A13A
i '=1A
A5.11
34
51'
' 's
s
'
s
s i
u
ui
u
u
i
i 即解下 页上 页返 回
4.2 替代定理对于给定的任意一个具有唯一解的电路,
若某一支路电压为 uk,电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的独立电压源,或者用一个电流等于 ik的独立电流源,或用 R=uk/ik的电阻来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
1.替代定理下 页上 页返 回支路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
下 页上 页
ik
+
–
uk R=uk/ik
ik
返 回
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
证毕 !
2,定理的证明下 页上 页
uk
uk
－ ＋＋
－A
ik
+
–
uk
支路
k
+
–
uk
返 回例 求图示电路的支路电压和电流解
A10
10//)105(5/1 1 01
i
A65/3 12 ii
A45/2 13 ii
V6010 2 iu
替代替代以后有：
A105/)601 1 0(1i
A415/603i
替代后各支路电压和电流完全不变。
下 页上 页
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V 10?
i2i1 ＋
－
u
注意
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
返 回替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的
u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变
(KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,其余支路电流不变 (KCL)，
其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因
① 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
下 页上 页注意返 回
③ 替代后其余支路及参数不能改变。
② 替代后电路必须有唯一解。
无电压源回路；
无电流源结点 (含广义结点 )。
1.5A
2.5A
1A
下 页上 页注意
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
10V
2＋
－ －
＋
2.5
5V
+
－
？
？
返 回例 1 若使 试求 Rx,
8
1 II
x?
3,替代定理的应用解 用替代：
= +
下 页上 页
– +U'
0.5?
0.5?1?I
0.5? 0.5? 0.5?
0.5?1? I
8
1
U''– +
0.5?
0.5?
10V
3? 1? RxIx
– +U
I
0.5?
＋
－ 0.5?
0.5?1?I
0.5?
I81
返 回
1,5 1' 0,5 0,5 0,1
2,5 2,5U I I I
IIU 0 7 5.01815.2 5.1''
下 页上 页
U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I
Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2?
– +U'
0.5?
0.5?1?I
0.5? 0.5? 0.5?
0.5?1? I
8
1
U''– +
返 回例 2 求电流 I1
解 用替代：
A5.261542 42671I
下 页上 页
6?
5?
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2? 4?
4A
＋
－
7V
I1
返 回例 3 已知,uab=0,求电阻 R
解用结点法：
14 201)4121( a a u点
V8ba uu A11?I A211R II
V12820bCR uuu Ω6212?R
下 页上 页
R
8?3V
4?
b＋ －
2?
+
－
a 20V
3?
I
V20?Cu
R
8?
4?
b
2?
+
－
a 20V1A
c
I1
IR
返 回
4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
下 页上 页返 回
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而电阻等于该一端口的输入电阻
（ 或等效电阻 Req） 。
下 页上 页
a
b
i
u
+
-
N
i a
b
Req
Uoc
+
-
u
+
-
返 回例下 页上 页
10? 10?
+
–
20V
+
–
Uoc
a
b
+
–
10V
1A
5?
2A +
–
Uoc
a
b
5?
15V
a
b
Req
Uoc
+
-
应用电源等效变换返 回
I例
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求输入电阻 Req
A5.020 1020I
Ω510//10 eqR
V1510105.0 ocU
下 页上 页
10? 10?
+
–
20V
+
–
Uoc
a
b
+
–
10V
5?
15V
a
b
Req
Uoc
+
-
应用电戴维宁定理两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。
注意返 回
2.定理的证明
+
替代叠加
A中独立源置零下 页上 页
a
b
i
+
–u AN
u'
a
b
+
–N
ocuu?
' iRu
eq
''
a
b
i
+
–u
N0
u''
a
b
i
+
–
N
Req
返 回
iRuuuu eqoc '''
下 页上 页
i
+
–
u N
a
b
Req
Uoc
+
-
返 回
3.定理的应用
（ 1） 开路电压 Uoc 的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,电流源开路 )后,所得无源一端口网络的输入电阻 。 常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。 计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算 。
下 页上 页返 回
2 3 方法更有一般性。
① 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y互换的方法计算等效电阻；
③ 开路电压，短路电流法。
② 外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；
i
uR
eq?
sc
oc
eq i
uR?
下 页上 页
u
a
b
i
+
–
N
Req
i a
b
Req
Uoc
+
-
u
+
-
a
b
u
i+
–
N
Req
返 回
① 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变
(伏 -安特性等效 )。
② 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
下 页上 页注意例 1 计算 Rx分别为 1.2?、
5.2?时的电流 I IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解 断开 Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：
返 回
② 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
③ Rx =1.2?时,
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时,
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
下 页上 页
Uoc = U1 - U2
= 10? 6/(4+6) -10?4/(4+6)
= 6-4=2V
① 求开路电压
b
+ –10V
4?
6?
6?
4? +
-Uoc
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Req
+ U1 -
+ U2-
b 4?
6?
6?
4? +
-Uoc
返 回求电压 Uo例 2
解 ① 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
② 求等效电阻 Req 方法 1：加压求流下 页上 页
3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
+– 6I
3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0C
+– 6I
+
–
U
Io
独立源置零
U=6I+3I=9I
I=Io?6/(6+3)=(2/3)Io
U =9? (2/3)I0=6Io
Req = U /Io=6?
返 回
＋
9V
－
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
6I+3I=0
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6?
独立源保留下 页上 页
3?
6?
I+
–
9V
+– 6I
IscI1
U0+
-
+
-
6?
9V
3?③ 等效电路
V3336 90U
返 回计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，
以计算简便为好。
求 负载 RL消耗的功率对 100Ω电阻以左电路等效：
例 3
解 ① 求开路电压 U
oc
下 页上 页注意
100?
50?
+
–
40V
RL
+ –50V
I1
4I1
50?
5?
100?
50?
+
–
40V
I1
4I1
50?
返 回
A1.01?I
V101 0 0 1oc IU
② 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
A4.01 0 0/40scI
Ω254.0/10
sc
oc
eq I
UR
下 页上 页
100?
50?
+
–
40V
I150?
200I1
+
–
Uoc
–+
Isc100
50
+
–
40V
I150
200I1 –+
40100200100 111 III
Isc
50?
+
–
40V
50?
返 回下 页上 页
Uoc
Req 5?
＋
－
50V
IL
+
–
10V
25?
A23060525 50 ocL UI
W20455 2 LL IP
返 回任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,
可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；
电流源的电流等于该一端口的短路电流,电阻等于该一端口的输入电阻 。
4,诺顿定理一般情况,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。
下 页上 页
a
b
i
u
+
-
N
a
b
Req
Isc
注意返 回例 1 求电流 I
① 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
② 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67?
③ 诺顿等效电路,
应用分流公式
I =2.83A
下 页上 页
12V
2? 10?
+
–
24V4?
I + –
Isc
12V
2 10
+
–
24V
+ –
Req 2?10?
I1 I2
4?
I
-9.6A
1.67?
返 回例 2 求电压 U
① 求短路电流 Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b处的短路电流比开路电压容易求。
下 页上 页
a
b
3?
6?
+
–
24V
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
A363 366//3 242136//6 24scI
Isc
a
b
3?
6?
+
–
3?
6?
6?
6?
返 回
Ω466//3//63//6eqR
下 页上 页
② 求等效电阻 Req
a
b
3?
6?
3?
6?
6?
6? Req
③ 诺顿等效电路,
V164)13(U
Isc
a
b
1A
4? ＋
－
U3A
返 回下 页上 页
① 若一端口网络的等效电阻 Req= 0,该 一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。
注意
② 若一端口网络的等效电阻 Req=?,该 一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。
a
b
N0 Req=0
＋
－
Uoc
a
b
N0 Req=?
Isc
返 回
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,
一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
下 页上 页
i +
–
uN 负载应用戴维宁定理
i
Uoc
+
–
Req
RL
返 回
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
RL
P
0
P max
0
)(
)(2)(
4
2
2'?
Leq
LeqLLeq
oc RR
RRRRR
uP
eqL RR?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件对 P求导：
下 页上 页返 回例 RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率
① 求开路电压 Uoc
2021 RUII
A221 II
V602020102 2 IU oc
A121 II
下 页上 页解
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–UR
RL
10?
20
RU
20
+
–20V
a
b
2A
+
–UR
10
20
RU
＋
－
Uoc
I1 I2
返 回
② 求等效电阻 Req
Ω20 IUR eq
IIIU 202/2010
221 III
下 页上 页
③ 由最大功率传输定理得,
20 eqL RR 时其上可获得最大功率
W45
204
60
4
22
m a x
eq
oc
R
UP
20?
+
–
I
a
b
UR
10?
20
RU
U
I2I1
+
_
返 回
① 最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况 ;
② 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
③ 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
下 页上 页注意返 回
4.5* 特勒根定理
1,特勒根定理 1
任何时刻，一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
b
k
kk iu
1
0 功率守恒任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
下 页上 页表明返 回
46
5
1
2 3
4
2
3
1
应用 KCL:
0654 iii
0421 iii
0632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211?
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
支路电压用结点电压表示下 页上 页定理证明：
返 回
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
下 页上 页
46
5
1
2 3
4
2
3
1
2,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
返 回
b
k
kk iu
1
0
b
k
kk iu
1
0?
),( kk iu )?,?( kk iu
下 页上 页
46
5
1
2 3
4
2
3
1 46
5
1
2 3
4
2
3
1
拟功率定理返 回定理证明：
对电路 2应用 KCL,0 654 iii
0 421 iii
0 632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
63252421
3323111
)()(
)(?
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
0)(
)()(
6323
65424211
iiiu
iiiuiiiu
n
nn
下 页上 页返 回例 1 ① R1=R2=2?,Us=8V时,I1=2A,U2 =2V
② R1=1.4?,R2=0.8?,Us=9V时,I1=3A,求此时的 U2
解 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理 2
下 页上 页由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
2
2
22
1
1
)45(
3
844139
,
U//RUI
AI
V..U
得由 ( 2 )
–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2无源电阻网络返 回
),(
)(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk
128.425.1234 22 UU
V6.15.1/4.2 2U
下 页上 页
–
+
4V
+
–
1A
–
+
2V
无源电阻网络
2A
–
+
4.8V
+
– –
+无源电阻网络
3A 2)45(?U/
2
U
返 回例 2
解已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU
11 2
IU
V11U
)(
2 2211
1
1 IUIU
UU
110)5(
2
10 11
UU
下 页上 页
–
+U
1
–
+
U2 I2
I1
P 2?1?U 2?U
1
I
2
I
–
+
–
+P
返 回应用特勒根定理：
① 电路中的支路电压必须满足 KVL;
② 电路中的支路电流必须满足 KCL;
③ 电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号）
④ 定理的正确性与元件的特征全然无关。
下 页上 页注意返 回
4.6* 互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,同一激励所产生的响应并不改变 。
具有互易性的网络叫互易网络,互易定理是对电路的这种性质所进行的概括,它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
下 页上 页返 回
1,互易定理对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
下 页上 页返 回
情况 1 激励 电压源 电流响应当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则端口电压电流满足关系：
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或下 页上 页
i2线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
线性电阻网络
NR
+
–
a
b
c
d
i1 u
S2
(b)
注意返 回证明,由特勒根定理,0? 0
11
b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得,iuiu iuiu
22112211
下 页上 页返 回将图 (a)与图 (b)中端口条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu
0?0 221211 iuiiiu SS
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或下 页上 页
i2线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
线性电阻网络
NR
+
–
a
b
c
d
i1 u
S2
(b)
返 回
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u 或
情况 2 激励 电流源 电压响应则端口电压电流满足关系：
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
下 页上 页注意
+
–
u2
线性电阻网络
NR
iS1
a
b
c
d(a)
+
–
u1
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
iS2
返 回
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
或
情况 3
则端口电压电流在数值上满足关系：
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
下 页上 页激励电流源电压源图 b
图 a 电流响应 电压图 b
图 a
注意
+
–
uS2
+
–
u1
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
i2
线性电阻网络
NR
iS1
a
b
c
d(a)
返 回
③ 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,端口两个支路电压电流关系 。
① 互易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅理想电源搬移；
② 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致
（要么都关联，要么都非关联 )；
④ 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意：
下 页上 页返 回例 1 求 (a)图电流 I,(b)图电压 U
解 利用互易定理
A5.1216//61 12I V623U
下 页上 页
1?
6? I+
–
12V
2?
(a)
4? 1?
6?
I
+
–
12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U6?
6A
(b)
1
2?
4?+
–
U 6?
6A
返 回例 2 求电流 I
解 利用互易定理
I1 = I '?2/(4+2)=2/3A
I2 = I '?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
A2
4
8
2//12//42
8
'
I
下 页上 页
2?1?
2?4?
+ –8V 2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
2?1?
2?4?
+
–
8V
2?
Ia b c
d
返 回例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V,求 b图中的电流 I
解 1
① 利用互易定理知 c图的
）开路电压(V5? 1?u
下 页上 页
U1
+
–
+
–
U2
线性电阻网络
NR
2A
a
b
c
d(a)
5?
2A +
–
I
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
(c)
+
–1
U
2A +
–
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
返 回
② 结合 a图，知 c图的等效电阻：
Ω52102 1 uR eq
戴维宁等效电路
A5.055 5I
下 页上 页
Req
(c)
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
5?
5?
+
–
5V
a
b
I
返 回解 2 应用特勒根定理：
iuiu iuiu 22112211
0)2(?5 )2(5?10 211uii
A5.0?1 Ii
下 页上 页
U1
+
–
+
–
U2
线性电阻网络
NR
2A
a
b
c
d(a)
5?
2A +
–
I
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
返 回例 4 问图示电路?与?取何关系时电路具有互易性解 在 a-b端加电流源，解得：
S
cd
I
II
UIUU
3)1(
3 )1(
3
在 c-d端加电流源，解得：
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
下 页上 页
1?
3? 1?
+
–?U
I
a
b
c
d
I
+– U
IS
1?
3? 1?
+
–?U
I
a
b
c
d
I
+– U
IS
返 回如要电路具有互易性，则：
cdab UU?
)3(3)1(
2
一般有受控源的电路不具有互易性。
下 页上 页结论返 回
4.7* 对偶原理在对偶电路中,某些元素之间的关系 (或方程 )
可以通过对偶元素的互换而相互转换 。 对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。
下 页上 页
1,对偶原理根据对偶原理,如果在某电路中导出某一关系式和结论,就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论 。
2,对偶原理的应用返 回下 页上 页
+ _
R1 R n
+ _u ki + _u1 + _un
u
Rk
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
例 1 串联电路 和并联 电路的对偶
u
R
R
u
R
u
i
RR
k
k
n
k
k
分压公式电流总电阻
1
i
G
G
i
G
i
u
GG
k
k
n
k
k
分流公式电压总电导
1
返 回将串联电路中的电压 u与并联电路中的电流 i
互换，电阻 R与电导 G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻 R与电导 G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。
下 页上 页结论返 回下 页上 页
＋
－
im1
R1
us1
＋
－
us2
R3
R2 im2
2S2m321m2
1S2m21m21
)(
)(
uiRRiR
uiRiRR
网孔电流方程结点电压 方程
2S2n321n2
1S2n21n21
)(
)(
iuGGuG
iuGuGG
例 2 网孔电流与结点电压 的对偶
un1
G1
is1 is2
G3
G2 un2
返 回把 R 和 G,us 和 is,网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。
所以“网孔电流”和“结点电压“是对偶元素，
这两个平面电路称为对偶电路。
下 页上 页结论返 回定理的综合应用例 1 图示线性电路,当 A支路中的电阻 R＝ 0时，
测得 B支路电压 U=U1,当 R＝?时,U＝ U2,已知 ab端口的等效电阻为 RA，求 R为任意值时的电压 U
下 页上 页
U
–
+
RRA
a
b
AB 线性有源网络返 回
② 应用替代定理：
③ 应用叠加定理：
21 kIkU
220 UkUIR
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
下 页上 页
U
–
+
RRA
a
b
AB 线性有源网络
① 应用戴维宁定理：解
R
a
b
I+
–
Uoc
RA
I
U
–
+ R
A
a
b
AB 线性有源网络返 回解得：
22
21
1 UkRU
UUk
A
oc
A
AA
oc
A
oc
R
RR
UUU
RR
UR
U
UUUU
212212
下 页上 页例 2 图 a为线性电路,N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流 i1=I1,i2＝ I2,求 b图中的 i’1
N NUS
i2i1
b
a
+
-
(a)
NUS
i'1
b
a
+
-
(b)
返 回解 对图 (c)应用叠加和互易定理
21
"
1 IIi
上 页
N NUS
i"1
b
a
+
-
(c)
+
-
US
对图 (c)应用戴维宁定理
R
Uoc
i=0 a
+
-
Uoc
+
-
R
21
'
1
"
1 IIii
返 回
替代定理4.2
戴维宁定理和诺顿定理4.3
最大功率传输定理4.4
一、本章内容提要及重点
· 内容提要
重点,
熟练掌握叠加定理、戴维宁定理和最大功率传输定理的内容、适用范围及应用方法。
返 回二、参考书
1,李瀚荪 编著，电路分析基础（第 4版），
北京：高等教育出版社
2,王勇，龙建忠等编著，电路理论基础，
北京：科学出版社
3,C.K.Alexander M.N.O.Sadiku著，电路基础，刘巽亮、倪国强译。北京：清华大学出版社（英文版），电子工业出版社（中译版）
1,叠加定理 在线性电路中,各独立源 (电压源,
电流源 )共同作用时,在任一支路产生的电流 (或电压 )可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
2,定理的证明应用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
下 页上 页返 回
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n
或表示为：
)3(
1
)2(
1
)1(
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
支路电流为：
)3(
3
)2(
3
)1(
3
32
13
3
332
32
2
32
23
3313
)()()(
iii
GG
iG
u
GG
GG
u
GG
GG
Guui SSSSn
)3(
2
)2(
2
)1(
2332211
32
12
32
323
2
232
23
2212
)()(
iiiububib
GG
iG
GG
uGG
u
GG
GG
Guui
SSS
SS
SSn
下 页上 页
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
返 回结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，
产生的响应之叠加。
3,几点说明
① 叠加定理只适用于线性电路。
② 一个电源作用，其余电源为零电压源为零 — 短路。
电流源为零 — 开路。
下 页上 页结论返 回三个电源共同作用 is1单独作用
=
下 页上 页
+
us2单独作用 us3单独作用
+
G1 G3
us3
+
–
)3(2i
)3(3iG
1 G3
)2(3i
)2(2i
us2
+
–
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
)1(2i )1(3iG1
is1
G2 G3
返 回
③ 功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
④ u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
⑤ 含受控源 (线性 )电路亦可用叠加,但受控源应始终保留 。 受控源不能当作激励信号,单独作用 。
下 页上 页
4,叠加定理的应用求电压源的电流及功率例 1
4?2A 70V 10?
5?2?
+ －
I
解 画出分电路图返 回
＋
2A电流源作用，电桥平衡：
0)1(?I
70V电压源作用,A157/7014/70)2(I
A15)2()1( III
下 页上 页
I (1)4?2A 10?
5?2?
4? 70V 10?
5?2?
+ －
I (2）
两个简单电路发出功率）1 0 5 0 W (1570P
应用叠加定理使计算简化返 回例 2 计算电压 u
3A电流源作用：
下 页上 页解 u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A
3?6?
6V
＋ －
画出分电路图
＋
u(2)i (2)
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
1?
3A
3?6?
＋ －
u(1)
V93)13//6()1(u
其余电源作用,A2)36/()126()2(i
V81266 )2()2( iu V1789)2()1( uuu
返 回叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，
取决于使分析计算简便。
下 页上 页注意例 3 计算电压 u,电流 i。
解 画出分电路图
u（ 1）＋
－
10V 2i(1)＋
－
1?2? ＋
－
i（ 1）
＋
受控源始终保留
u＋
－
10V 2i＋
－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)
i (2) ＋
－
1?2? ＋
－
5A
返 回
)12/()210( )1()1( ii
V6321 )1()1()1()1( iiiu
A2)1(?i10V电源作用：
下 页上 页
u（ 1）＋
－
10V 2i(1)＋
－
1?2? ＋
－
i（ 1）
＋
5A电源作用,02)5(12 )2()2()2( iii
A1)2(i V2)1(22 )2()2( iu
V826u A1)1(2i
u(2)
2i (2)
i (2) ＋
－
1?2? ＋
－
5A
返 回例 4 封装好的电路如图，已知下列实验数据：
A2 A 1,V1 iiu SS 响应时当,
？, iiu SS A 5,V3 响应时求下 页上 页研究激励和响应关系的实验方法
1A 2 A,V1 iiu SS 响应时当,
解 根据叠加定理
SS ukiki 21
代入实验数据：
221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
A253 SS iui
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
返 回
5.齐性原理下 页上 页线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
① 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
② 具有可加性 。
注意返 回
iR1 R1 R1
R2 RL
+
–
us R2R2
例采用倒推法：设 i'=1A
则求电流 iRL=2? R1=1? R2=1? us=51V，
+
–
2V
2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–
us'=34V
3A8A21A
5A13A
i '=1A
A5.11
34
51'
' 's
s
'
s
s i
u
ui
u
u
i
i 即解下 页上 页返 回
4.2 替代定理对于给定的任意一个具有唯一解的电路,
若某一支路电压为 uk,电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的独立电压源,或者用一个电流等于 ik的独立电流源,或用 R=uk/ik的电阻来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
1.替代定理下 页上 页返 回支路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
下 页上 页
ik
+
–
uk R=uk/ik
ik
返 回
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
证毕 !
2,定理的证明下 页上 页
uk
uk
－ ＋＋
－A
ik
+
–
uk
支路
k
+
–
uk
返 回例 求图示电路的支路电压和电流解
A10
10//)105(5/1 1 01
i
A65/3 12 ii
A45/2 13 ii
V6010 2 iu
替代替代以后有：
A105/)601 1 0(1i
A415/603i
替代后各支路电压和电流完全不变。
下 页上 页
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V 10?
i2i1 ＋
－
u
注意
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
返 回替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的
u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变
(KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,其余支路电流不变 (KCL)，
其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因
① 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
下 页上 页注意返 回
③ 替代后其余支路及参数不能改变。
② 替代后电路必须有唯一解。
无电压源回路；
无电流源结点 (含广义结点 )。
1.5A
2.5A
1A
下 页上 页注意
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
10V
2＋
－ －
＋
2.5
5V
+
－
？
？
返 回例 1 若使 试求 Rx,
8
1 II
x?
3,替代定理的应用解 用替代：
= +
下 页上 页
– +U'
0.5?
0.5?1?I
0.5? 0.5? 0.5?
0.5?1? I
8
1
U''– +
0.5?
0.5?
10V
3? 1? RxIx
– +U
I
0.5?
＋
－ 0.5?
0.5?1?I
0.5?
I81
返 回
1,5 1' 0,5 0,5 0,1
2,5 2,5U I I I
IIU 0 7 5.01815.2 5.1''
下 页上 页
U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I
Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2?
– +U'
0.5?
0.5?1?I
0.5? 0.5? 0.5?
0.5?1? I
8
1
U''– +
返 回例 2 求电流 I1
解 用替代：
A5.261542 42671I
下 页上 页
6?
5?
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2? 4?
4A
＋
－
7V
I1
返 回例 3 已知,uab=0,求电阻 R
解用结点法：
14 201)4121( a a u点
V8ba uu A11?I A211R II
V12820bCR uuu Ω6212?R
下 页上 页
R
8?3V
4?
b＋ －
2?
+
－
a 20V
3?
I
V20?Cu
R
8?
4?
b
2?
+
－
a 20V1A
c
I1
IR
返 回
4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
下 页上 页返 回
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而电阻等于该一端口的输入电阻
（ 或等效电阻 Req） 。
下 页上 页
a
b
i
u
+
-
N
i a
b
Req
Uoc
+
-
u
+
-
返 回例下 页上 页
10? 10?
+
–
20V
+
–
Uoc
a
b
+
–
10V
1A
5?
2A +
–
Uoc
a
b
5?
15V
a
b
Req
Uoc
+
-
应用电源等效变换返 回
I例
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求输入电阻 Req
A5.020 1020I
Ω510//10 eqR
V1510105.0 ocU
下 页上 页
10? 10?
+
–
20V
+
–
Uoc
a
b
+
–
10V
5?
15V
a
b
Req
Uoc
+
-
应用电戴维宁定理两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。
注意返 回
2.定理的证明
+
替代叠加
A中独立源置零下 页上 页
a
b
i
+
–u AN
u'
a
b
+
–N
ocuu?
' iRu
eq
''
a
b
i
+
–u
N0
u''
a
b
i
+
–
N
Req
返 回
iRuuuu eqoc '''
下 页上 页
i
+
–
u N
a
b
Req
Uoc
+
-
返 回
3.定理的应用
（ 1） 开路电压 Uoc 的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,电流源开路 )后,所得无源一端口网络的输入电阻 。 常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。 计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算 。
下 页上 页返 回
2 3 方法更有一般性。
① 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y互换的方法计算等效电阻；
③ 开路电压，短路电流法。
② 外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；
i
uR
eq?
sc
oc
eq i
uR?
下 页上 页
u
a
b
i
+
–
N
Req
i a
b
Req
Uoc
+
-
u
+
-
a
b
u
i+
–
N
Req
返 回
① 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变
(伏 -安特性等效 )。
② 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
下 页上 页注意例 1 计算 Rx分别为 1.2?、
5.2?时的电流 I IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解 断开 Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：
返 回
② 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
③ Rx =1.2?时,
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时,
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
下 页上 页
Uoc = U1 - U2
= 10? 6/(4+6) -10?4/(4+6)
= 6-4=2V
① 求开路电压
b
+ –10V
4?
6?
6?
4? +
-Uoc
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Req
+ U1 -
+ U2-
b 4?
6?
6?
4? +
-Uoc
返 回求电压 Uo例 2
解 ① 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
② 求等效电阻 Req 方法 1：加压求流下 页上 页
3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
+– 6I
3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0C
+– 6I
+
–
U
Io
独立源置零
U=6I+3I=9I
I=Io?6/(6+3)=(2/3)Io
U =9? (2/3)I0=6Io
Req = U /Io=6?
返 回
＋
9V
－
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
6I+3I=0
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6?
独立源保留下 页上 页
3?
6?
I+
–
9V
+– 6I
IscI1
U0+
-
+
-
6?
9V
3?③ 等效电路
V3336 90U
返 回计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，
以计算简便为好。
求 负载 RL消耗的功率对 100Ω电阻以左电路等效：
例 3
解 ① 求开路电压 U
oc
下 页上 页注意
100?
50?
+
–
40V
RL
+ –50V
I1
4I1
50?
5?
100?
50?
+
–
40V
I1
4I1
50?
返 回
A1.01?I
V101 0 0 1oc IU
② 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
A4.01 0 0/40scI
Ω254.0/10
sc
oc
eq I
UR
下 页上 页
100?
50?
+
–
40V
I150?
200I1
+
–
Uoc
–+
Isc100
50
+
–
40V
I150
200I1 –+
40100200100 111 III
Isc
50?
+
–
40V
50?
返 回下 页上 页
Uoc
Req 5?
＋
－
50V
IL
+
–
10V
25?
A23060525 50 ocL UI
W20455 2 LL IP
返 回任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,
可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；
电流源的电流等于该一端口的短路电流,电阻等于该一端口的输入电阻 。
4,诺顿定理一般情况,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。
下 页上 页
a
b
i
u
+
-
N
a
b
Req
Isc
注意返 回例 1 求电流 I
① 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
② 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67?
③ 诺顿等效电路,
应用分流公式
I =2.83A
下 页上 页
12V
2? 10?
+
–
24V4?
I + –
Isc
12V
2 10
+
–
24V
+ –
Req 2?10?
I1 I2
4?
I
-9.6A
1.67?
返 回例 2 求电压 U
① 求短路电流 Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b处的短路电流比开路电压容易求。
下 页上 页
a
b
3?
6?
+
–
24V
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
A363 366//3 242136//6 24scI
Isc
a
b
3?
6?
+
–
3?
6?
6?
6?
返 回
Ω466//3//63//6eqR
下 页上 页
② 求等效电阻 Req
a
b
3?
6?
3?
6?
6?
6? Req
③ 诺顿等效电路,
V164)13(U
Isc
a
b
1A
4? ＋
－
U3A
返 回下 页上 页
① 若一端口网络的等效电阻 Req= 0,该 一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。
注意
② 若一端口网络的等效电阻 Req=?,该 一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。
a
b
N0 Req=0
＋
－
Uoc
a
b
N0 Req=?
Isc
返 回
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,
一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
下 页上 页
i +
–
uN 负载应用戴维宁定理
i
Uoc
+
–
Req
RL
返 回
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
RL
P
0
P max
0
)(
)(2)(
4
2
2'?
Leq
LeqLLeq
oc RR
RRRRR
uP
eqL RR?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件对 P求导：
下 页上 页返 回例 RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率
① 求开路电压 Uoc
2021 RUII
A221 II
V602020102 2 IU oc
A121 II
下 页上 页解
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–UR
RL
10?
20
RU
20
+
–20V
a
b
2A
+
–UR
10
20
RU
＋
－
Uoc
I1 I2
返 回
② 求等效电阻 Req
Ω20 IUR eq
IIIU 202/2010
221 III
下 页上 页
③ 由最大功率传输定理得,
20 eqL RR 时其上可获得最大功率
W45
204
60
4
22
m a x
eq
oc
R
UP
20?
+
–
I
a
b
UR
10?
20
RU
U
I2I1
+
_
返 回
① 最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况 ;
② 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
③ 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
下 页上 页注意返 回
4.5* 特勒根定理
1,特勒根定理 1
任何时刻，一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
b
k
kk iu
1
0 功率守恒任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
下 页上 页表明返 回
46
5
1
2 3
4
2
3
1
应用 KCL:
0654 iii
0421 iii
0632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211?
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
支路电压用结点电压表示下 页上 页定理证明：
返 回
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
下 页上 页
46
5
1
2 3
4
2
3
1
2,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
返 回
b
k
kk iu
1
0
b
k
kk iu
1
0?
),( kk iu )?,?( kk iu
下 页上 页
46
5
1
2 3
4
2
3
1 46
5
1
2 3
4
2
3
1
拟功率定理返 回定理证明：
对电路 2应用 KCL,0 654 iii
0 421 iii
0 632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
63252421
3323111
)()(
)(?
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
0)(
)()(
6323
65424211
iiiu
iiiuiiiu
n
nn
下 页上 页返 回例 1 ① R1=R2=2?,Us=8V时,I1=2A,U2 =2V
② R1=1.4?,R2=0.8?,Us=9V时,I1=3A,求此时的 U2
解 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理 2
下 页上 页由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
2
2
22
1
1
)45(
3
844139
,
U//RUI
AI
V..U
得由 ( 2 )
–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2无源电阻网络返 回
),(
)(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk
128.425.1234 22 UU
V6.15.1/4.2 2U
下 页上 页
–
+
4V
+
–
1A
–
+
2V
无源电阻网络
2A
–
+
4.8V
+
– –
+无源电阻网络
3A 2)45(?U/
2
U
返 回例 2
解已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU
11 2
IU
V11U
)(
2 2211
1
1 IUIU
UU
110)5(
2
10 11
UU
下 页上 页
–
+U
1
–
+
U2 I2
I1
P 2?1?U 2?U
1
I
2
I
–
+
–
+P
返 回应用特勒根定理：
① 电路中的支路电压必须满足 KVL;
② 电路中的支路电流必须满足 KCL;
③ 电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号）
④ 定理的正确性与元件的特征全然无关。
下 页上 页注意返 回
4.6* 互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,同一激励所产生的响应并不改变 。
具有互易性的网络叫互易网络,互易定理是对电路的这种性质所进行的概括,它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
下 页上 页返 回
1,互易定理对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
下 页上 页返 回
情况 1 激励 电压源 电流响应当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则端口电压电流满足关系：
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或下 页上 页
i2线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
线性电阻网络
NR
+
–
a
b
c
d
i1 u
S2
(b)
注意返 回证明,由特勒根定理,0? 0
11
b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得,iuiu iuiu
22112211
下 页上 页返 回将图 (a)与图 (b)中端口条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu
0?0 221211 iuiiiu SS
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或下 页上 页
i2线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
线性电阻网络
NR
+
–
a
b
c
d
i1 u
S2
(b)
返 回
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u 或
情况 2 激励 电流源 电压响应则端口电压电流满足关系：
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
下 页上 页注意
+
–
u2
线性电阻网络
NR
iS1
a
b
c
d(a)
+
–
u1
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
iS2
返 回
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
或
情况 3
则端口电压电流在数值上满足关系：
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
下 页上 页激励电流源电压源图 b
图 a 电流响应 电压图 b
图 a
注意
+
–
uS2
+
–
u1
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
i2
线性电阻网络
NR
iS1
a
b
c
d(a)
返 回
③ 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,端口两个支路电压电流关系 。
① 互易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅理想电源搬移；
② 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致
（要么都关联，要么都非关联 )；
④ 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意：
下 页上 页返 回例 1 求 (a)图电流 I,(b)图电压 U
解 利用互易定理
A5.1216//61 12I V623U
下 页上 页
1?
6? I+
–
12V
2?
(a)
4? 1?
6?
I
+
–
12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U6?
6A
(b)
1
2?
4?+
–
U 6?
6A
返 回例 2 求电流 I
解 利用互易定理
I1 = I '?2/(4+2)=2/3A
I2 = I '?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
A2
4
8
2//12//42
8
'
I
下 页上 页
2?1?
2?4?
+ –8V 2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
2?1?
2?4?
+
–
8V
2?
Ia b c
d
返 回例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V,求 b图中的电流 I
解 1
① 利用互易定理知 c图的
）开路电压(V5? 1?u
下 页上 页
U1
+
–
+
–
U2
线性电阻网络
NR
2A
a
b
c
d(a)
5?
2A +
–
I
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
(c)
+
–1
U
2A +
–
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
返 回
② 结合 a图，知 c图的等效电阻：
Ω52102 1 uR eq
戴维宁等效电路
A5.055 5I
下 页上 页
Req
(c)
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
5?
5?
+
–
5V
a
b
I
返 回解 2 应用特勒根定理：
iuiu iuiu 22112211
0)2(?5 )2(5?10 211uii
A5.0?1 Ii
下 页上 页
U1
+
–
+
–
U2
线性电阻网络
NR
2A
a
b
c
d(a)
5?
2A +
–
I
线性电阻网络
NR
a
b
c
d
(b)
返 回例 4 问图示电路?与?取何关系时电路具有互易性解 在 a-b端加电流源，解得：
S
cd
I
II
UIUU
3)1(
3 )1(
3
在 c-d端加电流源，解得：
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
下 页上 页
1?
3? 1?
+
–?U
I
a
b
c
d
I
+– U
IS
1?
3? 1?
+
–?U
I
a
b
c
d
I
+– U
IS
返 回如要电路具有互易性，则：
cdab UU?
)3(3)1(
2
一般有受控源的电路不具有互易性。
下 页上 页结论返 回
4.7* 对偶原理在对偶电路中,某些元素之间的关系 (或方程 )
可以通过对偶元素的互换而相互转换 。 对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。
下 页上 页
1,对偶原理根据对偶原理,如果在某电路中导出某一关系式和结论,就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论 。
2,对偶原理的应用返 回下 页上 页
+ _
R1 R n
+ _u ki + _u1 + _un
u
Rk
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
例 1 串联电路 和并联 电路的对偶
u
R
R
u
R
u
i
RR
k
k
n
k
k
分压公式电流总电阻
1
i
G
G
i
G
i
u
GG
k
k
n
k
k
分流公式电压总电导
1
返 回将串联电路中的电压 u与并联电路中的电流 i
互换，电阻 R与电导 G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻 R与电导 G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。
下 页上 页结论返 回下 页上 页
＋
－
im1
R1
us1
＋
－
us2
R3
R2 im2
2S2m321m2
1S2m21m21
)(
)(
uiRRiR
uiRiRR
网孔电流方程结点电压 方程
2S2n321n2
1S2n21n21
)(
)(
iuGGuG
iuGuGG
例 2 网孔电流与结点电压 的对偶
un1
G1
is1 is2
G3
G2 un2
返 回把 R 和 G,us 和 is,网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。
所以“网孔电流”和“结点电压“是对偶元素，
这两个平面电路称为对偶电路。
下 页上 页结论返 回定理的综合应用例 1 图示线性电路,当 A支路中的电阻 R＝ 0时，
测得 B支路电压 U=U1,当 R＝?时,U＝ U2,已知 ab端口的等效电阻为 RA，求 R为任意值时的电压 U
下 页上 页
U
–
+
RRA
a
b
AB 线性有源网络返 回
② 应用替代定理：
③ 应用叠加定理：
21 kIkU
220 UkUIR
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
下 页上 页
U
–
+
RRA
a
b
AB 线性有源网络
① 应用戴维宁定理：解
R
a
b
I+
–
Uoc
RA
I
U
–
+ R
A
a
b
AB 线性有源网络返 回解得：
22
21
1 UkRU
UUk
A
oc
A
AA
oc
A
oc
R
RR
UUU
RR
UR
U
UUUU
212212
下 页上 页例 2 图 a为线性电路,N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流 i1=I1,i2＝ I2,求 b图中的 i’1
N NUS
i2i1
b
a
+
-
(a)
NUS
i'1
b
a
+
-
(b)
返 回解 对图 (c)应用叠加和互易定理
21
"
1 IIi
上 页
N NUS
i"1
b
a
+
-
(c)
+
-
US
对图 (c)应用戴维宁定理
R
Uoc
i=0 a
+
-
Uoc
+
-
R
21
'
1
"
1 IIii
返 回
