第 6章 储能元件首 页电容元件6.1
电感元件6.2
电容、电感元件的串联与并联6.3
一、本章内容提要及重点
· 内容提要
1,电容元件的特性
3,电容、电感的串并联等效
重点：
2,电感元件的特性返 回二、参考书
1,李翰荪 编著，电路分析基础（第 4版），北京：高等教育出版社
2,张年凤，王宏远编著，电路基本理论，北京：
清华大学出版社，北京交大出版社
6.1 电容元件电容器 在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的部件。
下 页上 页
_+ q q
U
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。注意返 回
1,定义电容元件储存电能的两端元件。任何时刻其储存的电荷 q 与其两端的电压 u能用 q～ u 平面上的一条曲线来描述。
0),(?quf
u
q
下 页上 页
o
返 回任何时刻,电容元件极板上的电荷 q与电压
u 成正比 。 q?u 特性曲线是过原点的直线 。
C u ( t ) tq?)( q
uo
下 页上 页
2.线性时不变电容元件
t a n
u
q
C
电容器的电容返 回
电路符号
C
＋ －
u
+q -q
F (法拉 ),常用?F,pF等表示 。 单位下 页上 页
1F=106?F
1?F =106pF
返 回
t
tuC
t
tCu
t
tqti
d
)(d
d
)(d
d
)(d)(
3,电容的电压? 电流关系电容元件 VCR
的微分形式下 页上 页
u,i 取关联参考方向
C
＋ －u
i
返 回
t
tuCti
d
)(d)(?
② 当 u 为常数 (直流 )时,i =0。电容相当于开路，
电容有隔断直流作用；
下 页上 页表明
C
＋ －
u
+q -q
① 某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是动态元件；
返 回
③ 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，
则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
i
dt
du
t ξiCt u d)(1)(?
0
0 d)(1d)(1
t
t
t ξi
CξiC
)(
0
0 d1 tt ξiCu t
下 页上 页
t
u
0
返 回
)()(
0
0 d1 t
t
ξi
C
uu tt
① 某一时刻的电容电压值与 -?到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
表明下 页上 页
② 研究某一初始时刻 t0 以后的电容电压，需要知道 t0时刻开始作用的电流 i 和 t0时刻的电压 u（ t0）。
电容元件
VCR的积分形式返 回
① 当电容的 u,i 为非关联方向时,上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
下 页上 页注意
② 上式中 u(t0)称为电容电压的初始值,它反映电容初始时刻的储能状况,也称为初始状态 。
t
uCi
d
d
)()(
0
0 )d1( tt ξiCuu tt
返 回
4.电容的功率和储能
t
uCuuip
d
d
① 当电容充电,p >0,电容吸收功率。
② 当电容放电,p <0,电容发出功率。
功率电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是储能元件，它本身不消耗能量。
u,i 取关联参考方向下 页上 页表明返 回从 t0到 t 电容储能的变化量：
)(21)(21 022 tCutCuW C
t
t
C Cuξξ
uCuW
)ξ(
2
1d
d
d 2
电容的储能下 页上 页
)(21)(21 22 CutCu )(21 2 tCu?
返 回
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
② 电容储存的能量一定大于或等于零。
下 页上 页表明
0)(
2
1)t(W 2
C tCu
返 回例
＋
－
)(tus C 0.5F
i
求电容电流 i、功率 P (t)和储能 W (t)
21 t /s
2
0
uS/V 电源波形解 uS (t)的函数表示式为,
s2 0
s21 42
s10 2
0 0
)(
S
t
tt
tt
t
tu
下 页上 页返 回
st
tt
tt
t
tu
2 0
s21 42
s10 2
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S
st
t
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t
t
u
Cti
2 0
s21 1
s10 1
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d
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S
解得电流 21 t /s
1
i/A
-1
下 页上 页
0
返 回
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s10 2
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tt
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吸收功率发出功率下 页上 页返 回
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t
tt
tt
t
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21 t /s
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下 页上 页返 回
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t
t
t
t
ti
21 t /s
1
i/A
-1
若已知电流求电容电压，有
220d11d01)(s10 00 t ttξCξCtcu t
tC tutu 1 24d)1(5.0 1)1()(?s21 t
t?2 t
C utu 2 0d05.0
1)2()(?
下 页上 页
0
返 回实际电容器的模型下 页上 页
_q+ q
i
C
＋ －
u
G
C
＋ －
u
G
C
＋ －u
i
返 回下 页上 页实际电容器返 回下 页上 页电力电容返 回下 页上 页冲击电压发生器 返 回
6.2 电感元件
i (t)
+ -u (t)
电感线圈 把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。
(t)＝ N? (t)
下 页上 页返 回
1,定义电感元件储存磁能的两端元件。任何时刻，其特性可用?～ i 平面上的一条曲线来描述。
0),(?if?
i
下 页上 页
o
返 回任何时刻,通过电感元件的电流 i 与其磁链? 成正比 。 ~ i 特性为过原点的直线 。
2,线性时不变电感元件
)()( tLit
io
下 页上 页
t a n
i
L
返 回
电路符号
H (亨利 ),常用?H,mH表示 。
+ -u (t)
i L
单位下 页上 页电感器的自感
1H=103 mH
1 mH =103? H
返 回
t
ti
L
t
tu
d
)(d
d
d
)(
3.线性电感的电压、电流关系
u,i 取关联参考方向电感元件 VCR
的微分关系
+ -u (t)
i L
根据电磁感应定律与楞次定律下 页上 页返 回
t
tiLtu
d
)(d)(?
① 电感电压 u 的大小取决于 i 的变化率,与 i 的大小无关，电感是动态元件；
② 当 i为常数 (直流 )时,u =0。电感相当于短路；
③ 实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数,
+ -u (t)
i L
下 页上 页表明返 回
d1)(t ξuLti
电感元件 VCR
的积分关系下 页上 页
0
0 d1d1
t
t
t ξu
L
ξu
L
)(
0
0 d1 tt ξuLi t
表明
① 某一时刻的电感电流值与 -?到该时刻的所有电流值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感元件也是记忆元件。
② 研究某一初始时刻 t0 以后的电感电流，不需要了解 t0以前的电流，只需知道 t0时刻开始作用的电压 u 和 t0时刻的电流 i（ t0）。
返 回下 页上 页注意
① 当电感的 u,i 为非关联方向时,上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
t
iL
d
du
)()(i
0
0 )d1( t
t
ξu
L
i tt
② 上式中 i(t0)称为电感电压的初始值,它反映电感初始时刻的储能状况,也称为初始状态 。
返 回下 页上 页
4.电感的功率和储能
功率 i
t
iLuip
d
d
u,i 取关联参考方向
① 当电流增大,p>0,电感吸收功率。
② 当电流减小,p<0,电感发出功率。
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
表明返 回从 t0到 t 电感储能的变化量：
)(
2
1)(
2
1
0
22 tLitLiW
L
t
t
L Liξξ
iLiW
)ξ(
2
1d
d
d 2
电感的储能下 页上 页
)(21 2 tLi? )(21)(21 22 LitLi
返 回
① 电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变。
② 电感储存的能量一定大于或等于零。
0)(
2
1 2 tLiW
L
下 页上 页表明返 回
实际电感线圈的模型下 页上 页
L
＋ －u
G
+ －u (t)
i L
＋
L
－u
G
C
返 回下 页上 页贴片型功率电感贴片电感返 回下 页上 页贴片型空心线圈 可调式电感环形线圈 立式功率型电感返 回下 页上 页电抗器返 回下 页上 页
6.3 电容,电感元件 的串联与并联
1.电容的串联
u1
u
C2
C1
u2+
++
-
-
i
t ξξiCu d)(1
1
1
t ξξi
C
u d)(1
2
2
t ξξi
CC
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21
21
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等效电容返 回下 页上 页
C
21
21
CC
CC
i
u
+
-
C
等效
u1
u
C2
C1
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++
-
-
i
返 回
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1
1
下 页上 页
t ξξi
C
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2
2
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C
Cu
21
2
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C
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21
1
2
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i
u
+
-
C
u1
u
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C1
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++
-
-
i
串联电容的分压返 回下 页上 页
i2i1
u
+
-
C1 C2
i
t
uCi
d
d
11? t
uCi
d
d
22?
t
uCCiii
d
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2121
t
uC
d
d?
CCC 21
i
u
+
-
C
等效
2.电容的并联
等效电容返 回下 页上 页
i2i1
u
+
-
C1 C2
i
t
uCi
d
d
11? t
uCi
d
d
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t
uCi
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C
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2
i
u
+
-
C
并联电容的分流返 回
3,电感的串联
t
iLu
d
d
11?
下 页上 页
t
iL
t
iLLuuu
d
d
d
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u1
u
L2
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-
i
i
u
+
-
L
t
iLu
d
d
22?
等效
等效电感返 回
u
LL
Lu
L
L
t
iLu
21
11
11 d
d
下 页上 页
u
LL
Lu
L
L
t
iLu
21
22
22 d
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u1
u
L2
L1
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-
-
i
i
u
+
-
L等效
串联电感的分压返 回
t ξξuLi d)(1
1
1
下 页上 页
u
+
-
L1 L2
i2i1 i
u
+
-
L等效
t ξξuLi d)(1
2
2
t
ξξu
LL
iii d)(11
11
21?
t ξξuL d)(1
21
21
11
111
LL
LL
LL
L
4.电感的并联
等效电感返 回
iLξξutd)(
下 页上 页
21
2
11
1 d)(
1
LL
iLi
L
Lξξu
L
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21
1
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1
LL
iLi
L
Lξξu
L
i t
u
+
-
L1 L2
i2i1 i
u
+
-
L等效
并联电感的分流返 回下 页上 页推论关于两个电容或两个电感的串联和并联等效，但其结论可以推广到 n 个电容或
n 个电感 的串联 和并联等效 。
返 回
n
k
k
n
k
k
LL
CC
1
1
11
)1( 串联
n
k
k
n
k
k
LL
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1
1
1
1
)2( 并联电梯按钮前视图
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电容模型侧视图实例下 页上 页
C1
C3C2
返 回
u(t)
+
-
us(t)
+
-
固定电容
C1
C u(t)
+
-
us(t)
+
-
输出电压：
u
CC
tuC
tu )0(
)(
)(
1
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下 页上 页返 回
C1
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+
-
us(t)
+
-
C2C2
( 0 ))()(
21
S1 u
CCC
tuCtu?
输出电压：
控制计算机检测到输出电压的下降，导致电梯到达相应楼层。
上 页返 回
电感元件6.2
电容、电感元件的串联与并联6.3
一、本章内容提要及重点
· 内容提要
1,电容元件的特性
3,电容、电感的串并联等效
重点：
2,电感元件的特性返 回二、参考书
1,李翰荪 编著，电路分析基础（第 4版），北京：高等教育出版社
2,张年凤，王宏远编著，电路基本理论，北京：
清华大学出版社，北京交大出版社
6.1 电容元件电容器 在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的部件。
下 页上 页
_+ q q
U
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。注意返 回
1,定义电容元件储存电能的两端元件。任何时刻其储存的电荷 q 与其两端的电压 u能用 q～ u 平面上的一条曲线来描述。
0),(?quf
u
q
下 页上 页
o
返 回任何时刻,电容元件极板上的电荷 q与电压
u 成正比 。 q?u 特性曲线是过原点的直线 。
C u ( t ) tq?)( q
uo
下 页上 页
2.线性时不变电容元件
t a n
u
q
C
电容器的电容返 回
电路符号
C
＋ －
u
+q -q
F (法拉 ),常用?F,pF等表示 。 单位下 页上 页
1F=106?F
1?F =106pF
返 回
t
tuC
t
tCu
t
tqti
d
)(d
d
)(d
d
)(d)(
3,电容的电压? 电流关系电容元件 VCR
的微分形式下 页上 页
u,i 取关联参考方向
C
＋ －u
i
返 回
t
tuCti
d
)(d)(?
② 当 u 为常数 (直流 )时,i =0。电容相当于开路，
电容有隔断直流作用；
下 页上 页表明
C
＋ －
u
+q -q
① 某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是动态元件；
返 回
③ 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，
则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
i
dt
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0
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t
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下 页上 页
t
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返 回
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ξi
C
uu tt
① 某一时刻的电容电压值与 -?到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
表明下 页上 页
② 研究某一初始时刻 t0 以后的电容电压，需要知道 t0时刻开始作用的电流 i 和 t0时刻的电压 u（ t0）。
电容元件
VCR的积分形式返 回
① 当电容的 u,i 为非关联方向时,上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
下 页上 页注意
② 上式中 u(t0)称为电容电压的初始值,它反映电容初始时刻的储能状况,也称为初始状态 。
t
uCi
d
d
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0
0 )d1( tt ξiCuu tt
返 回
4.电容的功率和储能
t
uCuuip
d
d
① 当电容充电,p >0,电容吸收功率。
② 当电容放电,p <0,电容发出功率。
功率电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是储能元件，它本身不消耗能量。
u,i 取关联参考方向下 页上 页表明返 回从 t0到 t 电容储能的变化量：
)(21)(21 022 tCutCuW C
t
t
C Cuξξ
uCuW
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2
1d
d
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电容的储能下 页上 页
)(21)(21 22 CutCu )(21 2 tCu?
返 回
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
② 电容储存的能量一定大于或等于零。
下 页上 页表明
0)(
2
1)t(W 2
C tCu
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＋
－
)(tus C 0.5F
i
求电容电流 i、功率 P (t)和储能 W (t)
21 t /s
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uS/V 电源波形解 uS (t)的函数表示式为,
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s21 42
s10 2
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吸收功率发出功率下 页上 页返 回
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若已知电流求电容电压，有
220d11d01)(s10 00 t ttξCξCtcu t
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t?2 t
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1)2()(?
下 页上 页
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返 回实际电容器的模型下 页上 页
_q+ q
i
C
＋ －
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G
C
＋ －
u
G
C
＋ －u
i
返 回下 页上 页实际电容器返 回下 页上 页电力电容返 回下 页上 页冲击电压发生器 返 回
6.2 电感元件
i (t)
+ -u (t)
电感线圈 把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。
(t)＝ N? (t)
下 页上 页返 回
1,定义电感元件储存磁能的两端元件。任何时刻，其特性可用?～ i 平面上的一条曲线来描述。
0),(?if?
i
下 页上 页
o
返 回任何时刻,通过电感元件的电流 i 与其磁链? 成正比 。 ~ i 特性为过原点的直线 。
2,线性时不变电感元件
)()( tLit
io
下 页上 页
t a n
i
L
返 回
电路符号
H (亨利 ),常用?H,mH表示 。
+ -u (t)
i L
单位下 页上 页电感器的自感
1H=103 mH
1 mH =103? H
返 回
t
ti
L
t
tu
d
)(d
d
d
)(
3.线性电感的电压、电流关系
u,i 取关联参考方向电感元件 VCR
的微分关系
+ -u (t)
i L
根据电磁感应定律与楞次定律下 页上 页返 回
t
tiLtu
d
)(d)(?
① 电感电压 u 的大小取决于 i 的变化率,与 i 的大小无关，电感是动态元件；
② 当 i为常数 (直流 )时,u =0。电感相当于短路；
③ 实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数,
+ -u (t)
i L
下 页上 页表明返 回
d1)(t ξuLti
电感元件 VCR
的积分关系下 页上 页
0
0 d1d1
t
t
t ξu
L
ξu
L
)(
0
0 d1 tt ξuLi t
表明
① 某一时刻的电感电流值与 -?到该时刻的所有电流值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感元件也是记忆元件。
② 研究某一初始时刻 t0 以后的电感电流，不需要了解 t0以前的电流，只需知道 t0时刻开始作用的电压 u 和 t0时刻的电流 i（ t0）。
返 回下 页上 页注意
① 当电感的 u,i 为非关联方向时,上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
t
iL
d
du
)()(i
0
0 )d1( t
t
ξu
L
i tt
② 上式中 i(t0)称为电感电压的初始值,它反映电感初始时刻的储能状况,也称为初始状态 。
返 回下 页上 页
4.电感的功率和储能
功率 i
t
iLuip
d
d
u,i 取关联参考方向
① 当电流增大,p>0,电感吸收功率。
② 当电流减小,p<0,电感发出功率。
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
表明返 回从 t0到 t 电感储能的变化量：
)(
2
1)(
2
1
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2
1d
d
d 2
电感的储能下 页上 页
)(21 2 tLi? )(21)(21 22 LitLi
返 回
① 电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变。
② 电感储存的能量一定大于或等于零。
0)(
2
1 2 tLiW
L
下 页上 页表明返 回
实际电感线圈的模型下 页上 页
L
＋ －u
G
+ －u (t)
i L
＋
L
－u
G
C
返 回下 页上 页贴片型功率电感贴片电感返 回下 页上 页贴片型空心线圈 可调式电感环形线圈 立式功率型电感返 回下 页上 页电抗器返 回下 页上 页
6.3 电容,电感元件 的串联与并联
1.电容的串联
u1
u
C2
C1
u2+
++
-
-
i
t ξξiCu d)(1
1
1
t ξξi
C
u d)(1
2
2
t ξξi
CC
uuu d)()11(
21
21
t ξξiC d)(1
等效电容返 回下 页上 页
C
21
21
CC
CC
i
u
+
-
C
等效
u1
u
C2
C1
u2+
++
-
-
i
返 回
t ξξiCu d)(1
1
1
下 页上 页
t ξξi
C
u d)(1
2
2
t ξξiCu d)(1
u
CC
Cu
C
Cu
21
2
1
1 uCC
Cu
C
Cu
21
1
2
2
i
u
+
-
C
u1
u
C2
C1
u2+
++
-
-
i
串联电容的分压返 回下 页上 页
i2i1
u
+
-
C1 C2
i
t
uCi
d
d
11? t
uCi
d
d
22?
t
uCCiii
d
d)(
2121
t
uC
d
d?
CCC 21
i
u
+
-
C
等效
2.电容的并联
等效电容返 回下 页上 页
i2i1
u
+
-
C1 C2
i
t
uCi
d
d
11? t
uCi
d
d
22?
t
uCi
d
d?
iCi
21
11
1 CC
Ci
C
iCC CiCCi
21
22
2
i
u
+
-
C
并联电容的分流返 回
3,电感的串联
t
iLu
d
d
11?
下 页上 页
t
iL
t
iLLuuu
d
d
d
d)(
2121
21 LLL
u1
u
L2
L1
u2+
++
-
-
i
i
u
+
-
L
t
iLu
d
d
22?
等效
等效电感返 回
u
LL
Lu
L
L
t
iLu
21
11
11 d
d
下 页上 页
u
LL
Lu
L
L
t
iLu
21
22
22 d
d
u1
u
L2
L1
u2+
++
-
-
i
i
u
+
-
L等效
串联电感的分压返 回
t ξξuLi d)(1
1
1
下 页上 页
u
+
-
L1 L2
i2i1 i
u
+
-
L等效
t ξξuLi d)(1
2
2
t
ξξu
LL
iii d)(11
11
21?
t ξξuL d)(1
21
21
11
111
LL
LL
LL
L
4.电感的并联
等效电感返 回
iLξξutd)(
下 页上 页
21
2
11
1 d)(
1
LL
iLi
L
Lξξu
L
i t
21
1
22
2 d)(
1
LL
iLi
L
Lξξu
L
i t
u
+
-
L1 L2
i2i1 i
u
+
-
L等效
并联电感的分流返 回下 页上 页推论关于两个电容或两个电感的串联和并联等效，但其结论可以推广到 n 个电容或
n 个电感 的串联 和并联等效 。
返 回
n
k
k
n
k
k
LL
CC
1
1
11
)1( 串联
n
k
k
n
k
k
LL
CC
1
1
1
1
)2( 并联电梯按钮前视图
C1
电容模型侧视图实例下 页上 页
C1
C3C2
返 回
u(t)
+
-
us(t)
+
-
固定电容
C1
C u(t)
+
-
us(t)
+
-
输出电压：
u
CC
tuC
tu )0(
)(
)(
1
S1?
下 页上 页返 回
C1
C u(t)
+
-
us(t)
+
-
C2C2
( 0 ))()(
21
S1 u
CCC
tuCtu?
输出电压：
控制计算机检测到输出电压的下降，导致电梯到达相应楼层。
上 页返 回
