电子教案目 录二次型 2
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,实二次型及其矩阵 2
2,实二次型的标准形与规范形 2
3,惯性定理、正负惯性指数与符号差 3
4,用可逆线性变换化二次型为标准形 3
5,矩阵合同 3
6,实对称矩阵的性质 3
7,用正交变换化实二次型为标准形 3
8,正定二次型与正定矩阵 4
9,正定二次型与正定矩阵判别法 4
三、典型例题 4
（一）正交变换下的标准型 4
（二）用配方法化二次型为标准型 12
（三）二次型的正定性 13
二次型一、基本要求
1,了解二次型及其矩阵表示；
2,会用配方法和初等变换化二次型为标准形；
3,熟练掌握用正交变换化实二次型为标准形；
4,知道惯性定理与二次型的秩；
5,了解实二次型的正定性及其判别法,
二、内容提要
1,实二次型及其矩阵
其中
实对称矩阵A称为实二次型的矩阵,
2,实二次型的标准形与规范形
实二次型可以经过可逆线性变换化为标准形：
实二次型可以经过可逆线性变换化为规范形：
3,惯性定理、正负惯性指数与符号差
任一实二次型的规范形中,正项个数p与负项个数都是唯一的,
p与分别称为相应实二次型的正、负惯性指数,称为符号差,
4,用可逆线性变换化二次型为标准形
（1）配方法；
（2）初等变换法,
5,矩阵合同
对n阶矩阵A、B,若存在可逆矩阵C,使,则称A与B合同,
6,实对称矩阵的性质
（1）实对称矩阵的特征值都是实数；
（2）实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交；
（3）实对称矩阵可与对角形矩阵合同,相似,
7,用正交变换化实二次型为标准形
（1）求特征值 解,得A的相异特征值；
（2）求特征向量 求的基础解系；
（3）正交化 将正交化得；
（4）单位化 令,得；
（5）作正交矩阵
,令,则
8,正定二次型与正定矩阵
对实二次型,如果对任意一组不全为零的实数,都有,则称为正定二次型,
正定二次型的矩阵A称为正定矩阵,
9,正定二次型与正定矩阵判别法
n元实二次型为正定二次型
(f的正惯性指数p = n,
(A为正定矩阵,
(A的顺序主子式全大于零,
(A的特征值全大于零,
(A与单位矩阵I合同,
三、典型例题
（一）正交变换下的标准型
例1 设A、B都是实对称矩阵,证明存在正交矩阵C使的充要条件是A与B有相同的特征值,
证 充分性
设A与B的相同特征值为,又由于A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵P,使
（6-2）
又因为B也是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使
（6-3）
由式（6-2）、式（6-3）可得
,
又,,故有,即,,
因为P,Q都是正交矩阵,所以及也是正交矩阵,
令,则,
必要性
存在正交矩阵C,使,且则
即A与B有相同的特征值,
例2 设A是n阶实对称矩阵且,证明存在正交矩阵C使
其中1的个数等于R(A),
证 设(是A的任一特征值,(是A对应于(的特征向量,则
A( = ((,A2( = A(A() = A((() = ((A() = (2(
( = 0,( ( 0
故,得或,
又因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵C,使
由于C是可逆矩阵,故,即主对角线上1的个数等于R(A),
例3 设
求正交矩阵C使为对角形,
解 （1）求特征值
特征值为（三重）,,
（2）求特征向量
求的基础解系
解之得基础解系
将正交化：
再将单位化：
解,即
解之,得基础解系
将单位化：
（3）令
则有
例4 用正交变换化二次型
为标准形,
解 f的矩阵为
A的特征多项式为
A的特征值为（二重）,
可得A对应于的两个线性无关特征向量为
显然已经正交,
得A对于的特征向量为
将
作正交变换
则 ,
例5 已知二次型通过正交变换化成标准形,
（1）求参数a及所用的正交变换矩阵；
（2）表示什么曲面？
解 二次型f的矩阵为
A的特征多项式为
由题设可知A的特征值为
将代入,得
因,故取,这时,,
对于,解,即
解得对应的特征向量为 ,
对于,解,即得对应的特征向量为,
对于,解,可得对应的特征向量为,
将单位化：
故所用正交变换的矩阵为
；
（2）当时,是椭球面,
例6 设二次型
经正交变换化成,
其中,,P是三阶正交矩阵,试求常数a,b,
解 二次型f经变换前后的矩阵分别为
故二次型f可写为
由于且P为正交矩阵,故且,
因此
即
由此式可得为所求的常数,
例7 对一般的n元实二次型,证明：f在条件下的最大值不超过矩阵A的最大特征值,
证 对于n元实二次型,存在正交变换使二次型化为标准形：
其中是A的特征值,设A的最大特征值为,则由
可得
即
所以
,
（二）用配方法化二次型为标准型
例 1 用配方法化二次型为标准形,
解 先将含x1的各项合并在一起,配成完全平方,再接着处理,
令 （6-1）
得二次型的标准形为
例2 用配方法化二次型为标准形
解 令
则
令
则
,
用配方法化二次型为标准形,例4、例5是两种典型情况,如果二次型中含有平方项,则可直接配平方,如果二次型中不含平方项、则采用例2的方法,先构造出平方项再配平方,
（三）二次型的正定性
例1 用配方法化二次型为标准形,并判断f的正定性
解 先将含x1的各项合并在一起,配成完全平方,再接着处理,
令 （5-1）
得二次型的标准形为
因f的正惯性指数小于3,故f非正定二次型,
例2 设A是n阶实对称矩阵,且,证明：存在正交矩阵T,使
其中,p是A所对应二次型的正惯性指数,
证 由题设且,故,A为对称的正交矩阵,
设(是A对应于特征值(的特征向量,则
A2( = A(A() = A((() = (2( = I( =(
于是,,
设作为的重根的重数为p,则A所对应的二次型的正惯性指数为p,且存在正交矩阵T,使
例3 求(的值,使二次型
是正定的,并讨论的情况,
解 f的矩阵为
f正定的充要条件是A正定,而A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式全大于零,
A的各阶顺序主子式为
由以上各式可知,当时,A的各阶顺序主子式全大于零,此时A正定,因而f正定,
当时,A的各阶顺序方子式非负,此时f为半正定,
当时,A的各阶顺序主子式符号不确定,此时f是不定的,
例4 设二次型
问(取何值时,f为正定二次型？
解 f的矩阵为
f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零,事实上,A的顺序主子式为：
于是,f正定的充要条件是且,联解不等式组：
可得,
当时,f正定,
例5 设A、B是两个n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,证明：存在n阶可逆矩阵P,使与同时为对角形,
证 由B正定,可知存在可逆矩阵Q,使
又,也是实对称矩阵,故存在正交矩阵R,使
令,则有
例6 设n元实二次型,A的特征值,证明：对任意n维实向量X,
证 对实二次型,存在正交变换（C为正交矩阵）使
（5-4）
由于,且
故对任意n维实向量X,由式（5-4）可得
（5-5）
又因为C是正交矩阵,,故
例7 设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明：,
证 因为A是正定矩阵,故存在正交矩阵Q,使
其中,是A的特征值,
在上式两端取行列式可得
所以,,
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,实二次型及其矩阵 2
2,实二次型的标准形与规范形 2
3,惯性定理、正负惯性指数与符号差 3
4,用可逆线性变换化二次型为标准形 3
5,矩阵合同 3
6,实对称矩阵的性质 3
7,用正交变换化实二次型为标准形 3
8,正定二次型与正定矩阵 4
9,正定二次型与正定矩阵判别法 4
三、典型例题 4
（一）正交变换下的标准型 4
（二）用配方法化二次型为标准型 12
（三）二次型的正定性 13
二次型一、基本要求
1,了解二次型及其矩阵表示；
2,会用配方法和初等变换化二次型为标准形；
3,熟练掌握用正交变换化实二次型为标准形；
4,知道惯性定理与二次型的秩；
5,了解实二次型的正定性及其判别法,
二、内容提要
1,实二次型及其矩阵
其中
实对称矩阵A称为实二次型的矩阵,
2,实二次型的标准形与规范形
实二次型可以经过可逆线性变换化为标准形：
实二次型可以经过可逆线性变换化为规范形：
3,惯性定理、正负惯性指数与符号差
任一实二次型的规范形中,正项个数p与负项个数都是唯一的,
p与分别称为相应实二次型的正、负惯性指数,称为符号差,
4,用可逆线性变换化二次型为标准形
（1）配方法；
（2）初等变换法,
5,矩阵合同
对n阶矩阵A、B,若存在可逆矩阵C,使,则称A与B合同,
6,实对称矩阵的性质
（1）实对称矩阵的特征值都是实数；
（2）实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交；
（3）实对称矩阵可与对角形矩阵合同,相似,
7,用正交变换化实二次型为标准形
（1）求特征值 解,得A的相异特征值；
（2）求特征向量 求的基础解系；
（3）正交化 将正交化得；
（4）单位化 令,得；
（5）作正交矩阵
,令,则
8,正定二次型与正定矩阵
对实二次型,如果对任意一组不全为零的实数,都有,则称为正定二次型,
正定二次型的矩阵A称为正定矩阵,
9,正定二次型与正定矩阵判别法
n元实二次型为正定二次型
(f的正惯性指数p = n,
(A为正定矩阵,
(A的顺序主子式全大于零,
(A的特征值全大于零,
(A与单位矩阵I合同,
三、典型例题
（一）正交变换下的标准型
例1 设A、B都是实对称矩阵,证明存在正交矩阵C使的充要条件是A与B有相同的特征值,
证 充分性
设A与B的相同特征值为,又由于A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵P,使
（6-2）
又因为B也是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使
（6-3）
由式（6-2）、式（6-3）可得
,
又,,故有,即,,
因为P,Q都是正交矩阵,所以及也是正交矩阵,
令,则,
必要性
存在正交矩阵C,使,且则
即A与B有相同的特征值,
例2 设A是n阶实对称矩阵且,证明存在正交矩阵C使
其中1的个数等于R(A),
证 设(是A的任一特征值,(是A对应于(的特征向量,则
A( = ((,A2( = A(A() = A((() = ((A() = (2(
( = 0,( ( 0
故,得或,
又因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵C,使
由于C是可逆矩阵,故,即主对角线上1的个数等于R(A),
例3 设
求正交矩阵C使为对角形,
解 （1）求特征值
特征值为（三重）,,
（2）求特征向量
求的基础解系
解之得基础解系
将正交化：
再将单位化：
解,即
解之,得基础解系
将单位化：
（3）令
则有
例4 用正交变换化二次型
为标准形,
解 f的矩阵为
A的特征多项式为
A的特征值为（二重）,
可得A对应于的两个线性无关特征向量为
显然已经正交,
得A对于的特征向量为
将
作正交变换
则 ,
例5 已知二次型通过正交变换化成标准形,
（1）求参数a及所用的正交变换矩阵；
（2）表示什么曲面？
解 二次型f的矩阵为
A的特征多项式为
由题设可知A的特征值为
将代入,得
因,故取,这时,,
对于,解,即
解得对应的特征向量为 ,
对于,解,即得对应的特征向量为,
对于,解,可得对应的特征向量为,
将单位化：
故所用正交变换的矩阵为
；
（2）当时,是椭球面,
例6 设二次型
经正交变换化成,
其中,,P是三阶正交矩阵,试求常数a,b,
解 二次型f经变换前后的矩阵分别为
故二次型f可写为
由于且P为正交矩阵,故且,
因此
即
由此式可得为所求的常数,
例7 对一般的n元实二次型,证明：f在条件下的最大值不超过矩阵A的最大特征值,
证 对于n元实二次型,存在正交变换使二次型化为标准形：
其中是A的特征值,设A的最大特征值为,则由
可得
即
所以
,
（二）用配方法化二次型为标准型
例 1 用配方法化二次型为标准形,
解 先将含x1的各项合并在一起,配成完全平方,再接着处理,
令 （6-1）
得二次型的标准形为
例2 用配方法化二次型为标准形
解 令
则
令
则
,
用配方法化二次型为标准形,例4、例5是两种典型情况,如果二次型中含有平方项,则可直接配平方,如果二次型中不含平方项、则采用例2的方法,先构造出平方项再配平方,
（三）二次型的正定性
例1 用配方法化二次型为标准形,并判断f的正定性
解 先将含x1的各项合并在一起,配成完全平方,再接着处理,
令 （5-1）
得二次型的标准形为
因f的正惯性指数小于3,故f非正定二次型,
例2 设A是n阶实对称矩阵,且,证明：存在正交矩阵T,使
其中,p是A所对应二次型的正惯性指数,
证 由题设且,故,A为对称的正交矩阵,
设(是A对应于特征值(的特征向量,则
A2( = A(A() = A((() = (2( = I( =(
于是,,
设作为的重根的重数为p,则A所对应的二次型的正惯性指数为p,且存在正交矩阵T,使
例3 求(的值,使二次型
是正定的,并讨论的情况,
解 f的矩阵为
f正定的充要条件是A正定,而A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式全大于零,
A的各阶顺序主子式为
由以上各式可知,当时,A的各阶顺序主子式全大于零,此时A正定,因而f正定,
当时,A的各阶顺序方子式非负,此时f为半正定,
当时,A的各阶顺序主子式符号不确定,此时f是不定的,
例4 设二次型
问(取何值时,f为正定二次型？
解 f的矩阵为
f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零,事实上,A的顺序主子式为：
于是,f正定的充要条件是且,联解不等式组：
可得,
当时,f正定,
例5 设A、B是两个n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,证明：存在n阶可逆矩阵P,使与同时为对角形,
证 由B正定,可知存在可逆矩阵Q,使
又,也是实对称矩阵,故存在正交矩阵R,使
令,则有
例6 设n元实二次型,A的特征值,证明：对任意n维实向量X,
证 对实二次型,存在正交变换（C为正交矩阵）使
（5-4）
由于,且
故对任意n维实向量X,由式（5-4）可得
（5-5）
又因为C是正交矩阵,,故
例7 设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明：,
证 因为A是正定矩阵,故存在正交矩阵Q,使
其中,是A的特征值,
在上式两端取行列式可得
所以,,
