电子教案目 录向量组 2
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,n维向量 2
2,向量组的线性表出和线性相关性 2
3,线性相关性的有关重要结论 3
4,向量组的秩与极大无关组 4
5,齐次线性方程组 4
6,非齐次线性方程组 5
三、典型例题 6
（一）向量的线性组合 6
（二）向量组的线性相关性 9
（三）最大无关组、秩 14
（四）线性方程组 19
向量组一、基本要求
1,理解 n 维向量的概念；
2,理解向量组线性相关、线性无关的定义；
3,了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论；
4,理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念；
5,理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程有解的充要条件；
6,理解齐次线性方程组的解的结构及通解等概念；
7,理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念；
8,掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法,
二、内容提要
1,n维向量
n个数组成的有序数组称为一个n维向量,其中第i个数称为这个向量的第i个分量,
分量全为零的向量称为零向量,
n维向量的两种线性运算（和、数乘）满足向量运算的八条运算规律,
2,向量组的线性表出和线性相关性
（1）设都是n维向量,若存在数使得
则称(是向量组的线性组合,或称(可由线性表出,
（2）设为n维向量组,若存在不全为零的数使得
（3-1）
则称线性相关,若式（3-1）成立仅有
则称线性无关,
（3）设,(为列向量组,,,则
① (可由线性表示出有解,其中为增广矩阵；
② 线性相关有非零解,
特别地,n个n维向量线性相关（无关）的充分必要条件是行列式
个数大于维数的向量组必线性相关,
3,线性相关性的有关重要结论
（1）向量组中有一部分向量线性相关,则该整个向量组线性相关,
（2）向量组线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表出,
（3）若线性无关,而,(线性相关,则(为的线性组合,且表达式唯一,
（4）线性无关向量组的每个向量都添上同样个数的分量后所得向量组也是线性无关的,
（5）若向量组可由向量组线性表出,且线性无关,则,即,若向量组可由向量组线性表出,如果,则线性相关,
特别地,两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等,
4,向量组的秩与极大无关组
（1）若向量组T满足：
① T中有r个向量线性无关；
② T中任意个向量组性相关；
则称为T的一个极大无关组,数r称为T的秩,
（2）为向量组T的线性无关部分组,它是极大无关组的充分必要条件是T中每一个向量均可由线性表出,
（3）向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价,
向量组的任意两个极大无关组都是等价的,它们所含向量的个数相等,
等价向量组秩相同,但秩相同的两个向量组不一定等价,
（4）矩阵A的秩 = A的行秩（行向量组的秩）
= A的列秩（列向量组的秩）
= A的不等于零的子式的最高阶数
5,齐次线性方程组
（1）齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是,其中
特别地,当时,必有非零解,
当时,有非零解的充分必要条件为,
（2）若为的解,则也是的解,
若(为的解,k为实数,则也是的解,
解向量的线性组合也为该方程组的解,
（3）设是的一组解向量,满足
① 线性无关；
② 的任一解向量都可表示为的组性组合；
则称为的基础解系,
设的系数矩阵A的秩,则有基础解系且其所含解向量个数为,这里n为方程组中未知数的个数,
6,非齐次线性方程组
（1）非齐次线性方程组有解的充分必要条件是
其中,为增广矩阵,
（2）设为非齐次线性方程组的两个解,则为的解,
设(为的解,(为的解,则为的解,
如果为的一个特解,(为的一个解,则的任一解(可表示成
（3-2）
因此,对于的任一特解,当(取遍它的导出组的全部解时,式（3-2）就给出的全部解,
（3）如果是非齐次线性方程组的一个特解,为其对应齐次方程组的一个基础解系,则非齐次方程组的一般解（通解）可以表示成
三、典型例题
（一）向量的线性组合例1 把向量(表成的线性组合：
（1）,,,,；
（2）,,,,,
解 （1）设
得方程组
解之得
所以,
（2）设,则得
解之得
所以,
例2 设向量(可由向量组线性表出,试证：表式唯一的充要条件是线性无关,
证 充分性：设有
由上述两式得
由线性无关知,仅有
即
即表式唯一,
必要性：设有
考虑
由上两式可得
因表式唯一,故有
所以仅有,故线性无关,
例3 设向量(可由向量组线性表示,但不能由线性表出,试证：
（1）不能由向量组线性表出；
（2）能由,(线性表出,
证 （1）反证法,若可由线性表出,设
又(可由线性表出,设
将上述前一式代入后一式中,可知(可由线性表出,矛盾,故不能由线性表出,
（2）因(可由线性表出,可设
由(不能由线性表出知必有
故有
即可由,(线性表出,
例4已知,,,,
（1）a,b为何值时,(不能表成的线性组合？
（2）a,b为何值时,(有的唯一的线性表达式？并写出该表达式？
解 设,则
(能否表成的线性组合,转化为上述方程组是否有解的问题,由
所以当时,(不能表成的线性组合,
当时,表式唯一,且
例5 若向量组(、(、(线性无关，而(、(、(线性相关，则(可由(、(、(线性表出,
证 由于(、(、(线性无关,因而(、(线性无关,又,(、(、(线性相关,所以,(可由(、(线性表出,设为
于是
故 (可由(、(、(线性表出,
（二）向量组的线性相关性例1 判别向量组的线性相关性,求一个极大无关组和向量组的秩,并将其余向量用该极大无关组线性表示：
（1）,,,,；
（2）,,；
（3）,,,,
解 （1）作
因而秩向量个数5,故线性相关,又
所以为的一个极大无关组,且有
；
（2）作
因而秩向量个数3,故线性相关,又
所以为一个极大无关组,且有
；
（3）由
知秩,故线性无关,极大无关组为其本身,
例2 设,,
（1）问t为何值时,线性无关？
（2）t为何值时,线性相关？
（3）当线性相关时,将表示为的线性组合,
解 设有实数使
于是得
（1）当时,,方程组有非零解,这时线性相关,
（2）当时,,方程组只有零解,这时线性无关,
（3）当时,由
故,
例3 设向量组线性相关,线性无关,问：
（1）能否则线性表出？证明结论,
（2）能否由线性表出？证明结论,
解 （1）能由线性表出
证一 因线性相关,所以存在不全为零的数使
若,则不全为零,由
知线性相关,于是线性相关,这与已知矛盾,故,这样,就有
证二 由线性无关知,必有线性无关,又线性相关,所以为的极大无关组,故能由线性表出,
（2）不能由线性表出
证 （反证）设可由线性表出,即有
由（1）又有,将之代入上式得
即可由线性表出,所以线性相关,这与已知矛盾,故不能由线性表出,
例4 试证：向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关,
证 必要性：设有数,使
则有
由线性无关知,仅有
即仅有,于是线性无关,
充分性：设有数使
则有
因线性无关,所以仅有
即得
故线性无关,
（三）最大无关组、秩
例1 向量组
与向量组
有相同的秩的充要条件是每个都可由线性表出,
证 设
（I）
与向量组
（II）
秩相等,则当秩为0时,由（II）中均为0向量知结论成立,
若秩不为0,由秩（I）= 秩（II）且（I）包含在（II）中知,（I）的极大无关组也是（II）的极大无关组,因此每个都可由此极大无关组线性表出,从而可由（I）线性表出,
反之,若可由（I）线性表出,则显然（I）与组（II）等价,故它们秩相等,
例2 设向量组线性无关,且可由向量组线性表出,证明：这两个向量组等价,从而也线性无关,
证法一：因为可由线性表出,故对任意,有可由线性表出,由知
必线性相关,又,线性无关,故可由线性表出,所以与等价,因而
秩= 秩
故线性无关,
证法二：由例1知,
（I）：,
与
（II）：
等价,所以
秩（I）= 秩（II）
由线性无关知
秩（I）
所以秩秩（II）,而（II）中只有r个向量,故
秩（II）= r
即线性无关,
由秩（I）= 秩（II）和；均线性无关知,；均为（I）的极大无关组,故与等价,
例3（1）秩相等的两向量组是否一定等价？
（2）若两向量组秩相等,且其中之一可由另一组线性表出,证明这两个向量组等价,
证 （1）不一定,例如：
与
秩相等,但不能由线性表出,故与不等价,
（2）设
（I）：；（II）
秩相等,为r,且
（III）：；（IV）
分别为（I）、（II）的极大无关组,若（I）可由（II）线性表出,则（III）可由（IV）线性表出,因（III）线性无关,故据例2知
（III）与（IV）等价故（I）与（II）等价,
例4 设向量组的秩为r,在其中任取m个向量,试证这个部分组的秩,
证 因为r = 秩= 秩= 秩＋秩秩
秩
例5 设向量组与之间有如下关系
……
,试证秩= 秩,
证 不妨设与均为列向量组,则据已知有
=
因为
所以有
即也可由线性表出,所以与等价,故
秩=秩
例6 设A、B分别为矩阵,其中,若,则B的列向量组线性无关,
证一：由B为矩阵知
又由
得知,故B的列向量组线性无关,
证二：设Bn),其中b为B的列向量组,
考察
x1b1＋x2b2＋…＋xnbn = 0
即
n)
其中,由上式得
,即
即,即仅有,故n线性无关,
例7 证明：若向量组
中,有r个向量使得每个向量可由这r个向量唯一线性表出,则的秩为r,
证 不妨设中每个可由
唯一地线性表出,于是,线性无关,又,显然可由线性表出,故
等价于
因而
秩= 秩
例8 证明：一个向量组中的任何一个线性无关组,都可以扩充成一个极大无关组,
证 设
（I）：
为向量组
（II）：
的一个线性无关组,若（II）中每个向量都可由（I）线性表出,则（I）本身就是（II）的一个极大无关组；若（II）中有向量不能由（I）线性表出,则
（III）
也是（II）的一个线性无关组,
若（III）已是（II）的极大无关组,结论得证：若不是,同据同样道理,（II）中必有不能由（III）线性表出,则
必线性无关,
继续上述过程,总可得到一个包含（I）在内的线性无关组,使（II）中每个向量都可由它线性表示,即它是（II）的一个包含（I）的极大无关组,也即每个无关组都可扩大为一个极大无关组,
（四）线性方程组
例1 求齐次线性方程组的基础解系：
（1） （2）
解 （1）对系数阵A作行初等变换
所以,得同解方程组
取,得
取,得
取,得
于是得原方程组的基解系为；
（2）
,得同解方程组
取得基解系
,
例2 求方程组的一般解：
（1）； （2）
解 （1）对增广阵作初等行变换
,有无穷多解,得同解方程组
取得非齐次方程组特解
由对应齐次方程组
取得对应齐次方程组的基解系
所以原方程组的一般解
；
（2）
,有无穷多解,得同解方程组
取,得非齐次方程组特解
由对应齐次方程组
取,得
取,得
得对应齐次方程组基础解系为
故原方程组一般解
,
例3 方程组
当a为何值时有解？有多少解？有解时并求解,
解
当时,,无解,
当时,,有无穷多解,此时
得同解方程组
取得非齐次方程组特解
由对应齐次方程组
取,得
取,得
故时,原方程组一般解
,
例4 a,b为何值时,方程组
有解,有解时求一般解,
解 对增广阵作初等行变换
可见,只有时,才有
原方程组有解,
当时,得
得同解方程组
取,得非齐次方程组的特解
由上述方程组的对应齐次方程组取,得
取,得
取,得
于是时,原方程组一般解,
,
例5 试证方程组
有解的充要条件是,并在有解的情形下,求出它的一般解,
解
可见的充要条件为
即原方程组有解的充要条件为,
当时,得同解方程组
取得非齐次方程组特解
由上述方程组的齐次方程组取得对应齐次方程组的基解系为
于是,原方程组一般解为
,
例6 设四元齐次线性方程组
（I）
又已知某齐次线性方程组（II）的通解为
（1）求线性方程组（I）的基础解系；
（2）问（I）和（II）是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解,若没有,则说明理由,
解（1） （I）的系数阵为
故（I）的基解系可取为
（2）有非零公共解
将（II）的通解代入方程组（I）,则
解得,
当时,则
满足方程组（I）（显然是（II）的解）,故（I）、（II）有非零公共解,所有非零公共解是
,
例7 设A为n阶矩阵,试证：存在一个n阶非零矩阵B,使得AB = O的充分必要条件是,
证 设
B = n)
其中bi为B的列向量组,由
(Ab1,Ab2,…,Abn)
易知,AB = O的充要条件是bi均为齐次线性方程组AB = O的解,
必要性：若存在,使AB = O,则n中必有非零向量,又bi均为的解,即有非零解,故,
充分性：若,则有非零解,取n个非零解为列向量,作矩阵B,则且
AB = O,
例8 设D为方程组
的系数行列式,Dj是把D中第j列换成常数项
所得行列式,
（1）证明：此方程组有唯一解的充分必要条件是；
（2）当时,此方程组一定有无穷多解,对不对？
证 （1）若,则由克莱姆法则知,原方程组有唯一解,
反之,若原方程组有唯一解,则必有
所以
；
（2）当时,方程组不一定有无穷多解,因为此时有
但不能保证,例如
显然,但是无解,
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,n维向量 2
2,向量组的线性表出和线性相关性 2
3,线性相关性的有关重要结论 3
4,向量组的秩与极大无关组 4
5,齐次线性方程组 4
6,非齐次线性方程组 5
三、典型例题 6
（一）向量的线性组合 6
（二）向量组的线性相关性 9
（三）最大无关组、秩 14
（四）线性方程组 19
向量组一、基本要求
1,理解 n 维向量的概念；
2,理解向量组线性相关、线性无关的定义；
3,了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论；
4,理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念；
5,理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程有解的充要条件；
6,理解齐次线性方程组的解的结构及通解等概念；
7,理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念；
8,掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法,
二、内容提要
1,n维向量
n个数组成的有序数组称为一个n维向量,其中第i个数称为这个向量的第i个分量,
分量全为零的向量称为零向量,
n维向量的两种线性运算（和、数乘）满足向量运算的八条运算规律,
2,向量组的线性表出和线性相关性
（1）设都是n维向量,若存在数使得
则称(是向量组的线性组合,或称(可由线性表出,
（2）设为n维向量组,若存在不全为零的数使得
（3-1）
则称线性相关,若式（3-1）成立仅有
则称线性无关,
（3）设,(为列向量组,,,则
① (可由线性表示出有解,其中为增广矩阵；
② 线性相关有非零解,
特别地,n个n维向量线性相关（无关）的充分必要条件是行列式
个数大于维数的向量组必线性相关,
3,线性相关性的有关重要结论
（1）向量组中有一部分向量线性相关,则该整个向量组线性相关,
（2）向量组线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表出,
（3）若线性无关,而,(线性相关,则(为的线性组合,且表达式唯一,
（4）线性无关向量组的每个向量都添上同样个数的分量后所得向量组也是线性无关的,
（5）若向量组可由向量组线性表出,且线性无关,则,即,若向量组可由向量组线性表出,如果,则线性相关,
特别地,两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等,
4,向量组的秩与极大无关组
（1）若向量组T满足：
① T中有r个向量线性无关；
② T中任意个向量组性相关；
则称为T的一个极大无关组,数r称为T的秩,
（2）为向量组T的线性无关部分组,它是极大无关组的充分必要条件是T中每一个向量均可由线性表出,
（3）向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价,
向量组的任意两个极大无关组都是等价的,它们所含向量的个数相等,
等价向量组秩相同,但秩相同的两个向量组不一定等价,
（4）矩阵A的秩 = A的行秩（行向量组的秩）
= A的列秩（列向量组的秩）
= A的不等于零的子式的最高阶数
5,齐次线性方程组
（1）齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是,其中
特别地,当时,必有非零解,
当时,有非零解的充分必要条件为,
（2）若为的解,则也是的解,
若(为的解,k为实数,则也是的解,
解向量的线性组合也为该方程组的解,
（3）设是的一组解向量,满足
① 线性无关；
② 的任一解向量都可表示为的组性组合；
则称为的基础解系,
设的系数矩阵A的秩,则有基础解系且其所含解向量个数为,这里n为方程组中未知数的个数,
6,非齐次线性方程组
（1）非齐次线性方程组有解的充分必要条件是
其中,为增广矩阵,
（2）设为非齐次线性方程组的两个解,则为的解,
设(为的解,(为的解,则为的解,
如果为的一个特解,(为的一个解,则的任一解(可表示成
（3-2）
因此,对于的任一特解,当(取遍它的导出组的全部解时,式（3-2）就给出的全部解,
（3）如果是非齐次线性方程组的一个特解,为其对应齐次方程组的一个基础解系,则非齐次方程组的一般解（通解）可以表示成
三、典型例题
（一）向量的线性组合例1 把向量(表成的线性组合：
（1）,,,,；
（2）,,,,,
解 （1）设
得方程组
解之得
所以,
（2）设,则得
解之得
所以,
例2 设向量(可由向量组线性表出,试证：表式唯一的充要条件是线性无关,
证 充分性：设有
由上述两式得
由线性无关知,仅有
即
即表式唯一,
必要性：设有
考虑
由上两式可得
因表式唯一,故有
所以仅有,故线性无关,
例3 设向量(可由向量组线性表示,但不能由线性表出,试证：
（1）不能由向量组线性表出；
（2）能由,(线性表出,
证 （1）反证法,若可由线性表出,设
又(可由线性表出,设
将上述前一式代入后一式中,可知(可由线性表出,矛盾,故不能由线性表出,
（2）因(可由线性表出,可设
由(不能由线性表出知必有
故有
即可由,(线性表出,
例4已知,,,,
（1）a,b为何值时,(不能表成的线性组合？
（2）a,b为何值时,(有的唯一的线性表达式？并写出该表达式？
解 设,则
(能否表成的线性组合,转化为上述方程组是否有解的问题,由
所以当时,(不能表成的线性组合,
当时,表式唯一,且
例5 若向量组(、(、(线性无关，而(、(、(线性相关，则(可由(、(、(线性表出,
证 由于(、(、(线性无关,因而(、(线性无关,又,(、(、(线性相关,所以,(可由(、(线性表出,设为
于是
故 (可由(、(、(线性表出,
（二）向量组的线性相关性例1 判别向量组的线性相关性,求一个极大无关组和向量组的秩,并将其余向量用该极大无关组线性表示：
（1）,,,,；
（2）,,；
（3）,,,,
解 （1）作
因而秩向量个数5,故线性相关,又
所以为的一个极大无关组,且有
；
（2）作
因而秩向量个数3,故线性相关,又
所以为一个极大无关组,且有
；
（3）由
知秩,故线性无关,极大无关组为其本身,
例2 设,,
（1）问t为何值时,线性无关？
（2）t为何值时,线性相关？
（3）当线性相关时,将表示为的线性组合,
解 设有实数使
于是得
（1）当时,,方程组有非零解,这时线性相关,
（2）当时,,方程组只有零解,这时线性无关,
（3）当时,由
故,
例3 设向量组线性相关,线性无关,问：
（1）能否则线性表出？证明结论,
（2）能否由线性表出？证明结论,
解 （1）能由线性表出
证一 因线性相关,所以存在不全为零的数使
若,则不全为零,由
知线性相关,于是线性相关,这与已知矛盾,故,这样,就有
证二 由线性无关知,必有线性无关,又线性相关,所以为的极大无关组,故能由线性表出,
（2）不能由线性表出
证 （反证）设可由线性表出,即有
由（1）又有,将之代入上式得
即可由线性表出,所以线性相关,这与已知矛盾,故不能由线性表出,
例4 试证：向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关,
证 必要性：设有数,使
则有
由线性无关知,仅有
即仅有,于是线性无关,
充分性：设有数使
则有
因线性无关,所以仅有
即得
故线性无关,
（三）最大无关组、秩
例1 向量组
与向量组
有相同的秩的充要条件是每个都可由线性表出,
证 设
（I）
与向量组
（II）
秩相等,则当秩为0时,由（II）中均为0向量知结论成立,
若秩不为0,由秩（I）= 秩（II）且（I）包含在（II）中知,（I）的极大无关组也是（II）的极大无关组,因此每个都可由此极大无关组线性表出,从而可由（I）线性表出,
反之,若可由（I）线性表出,则显然（I）与组（II）等价,故它们秩相等,
例2 设向量组线性无关,且可由向量组线性表出,证明：这两个向量组等价,从而也线性无关,
证法一：因为可由线性表出,故对任意,有可由线性表出,由知
必线性相关,又,线性无关,故可由线性表出,所以与等价,因而
秩= 秩
故线性无关,
证法二：由例1知,
（I）：,
与
（II）：
等价,所以
秩（I）= 秩（II）
由线性无关知
秩（I）
所以秩秩（II）,而（II）中只有r个向量,故
秩（II）= r
即线性无关,
由秩（I）= 秩（II）和；均线性无关知,；均为（I）的极大无关组,故与等价,
例3（1）秩相等的两向量组是否一定等价？
（2）若两向量组秩相等,且其中之一可由另一组线性表出,证明这两个向量组等价,
证 （1）不一定,例如：
与
秩相等,但不能由线性表出,故与不等价,
（2）设
（I）：；（II）
秩相等,为r,且
（III）：；（IV）
分别为（I）、（II）的极大无关组,若（I）可由（II）线性表出,则（III）可由（IV）线性表出,因（III）线性无关,故据例2知
（III）与（IV）等价故（I）与（II）等价,
例4 设向量组的秩为r,在其中任取m个向量,试证这个部分组的秩,
证 因为r = 秩= 秩= 秩＋秩秩
秩
例5 设向量组与之间有如下关系
……
,试证秩= 秩,
证 不妨设与均为列向量组,则据已知有
=
因为
所以有
即也可由线性表出,所以与等价,故
秩=秩
例6 设A、B分别为矩阵,其中,若,则B的列向量组线性无关,
证一：由B为矩阵知
又由
得知,故B的列向量组线性无关,
证二：设Bn),其中b为B的列向量组,
考察
x1b1＋x2b2＋…＋xnbn = 0
即
n)
其中,由上式得
,即
即,即仅有,故n线性无关,
例7 证明：若向量组
中,有r个向量使得每个向量可由这r个向量唯一线性表出,则的秩为r,
证 不妨设中每个可由
唯一地线性表出,于是,线性无关,又,显然可由线性表出,故
等价于
因而
秩= 秩
例8 证明：一个向量组中的任何一个线性无关组,都可以扩充成一个极大无关组,
证 设
（I）：
为向量组
（II）：
的一个线性无关组,若（II）中每个向量都可由（I）线性表出,则（I）本身就是（II）的一个极大无关组；若（II）中有向量不能由（I）线性表出,则
（III）
也是（II）的一个线性无关组,
若（III）已是（II）的极大无关组,结论得证：若不是,同据同样道理,（II）中必有不能由（III）线性表出,则
必线性无关,
继续上述过程,总可得到一个包含（I）在内的线性无关组,使（II）中每个向量都可由它线性表示,即它是（II）的一个包含（I）的极大无关组,也即每个无关组都可扩大为一个极大无关组,
（四）线性方程组
例1 求齐次线性方程组的基础解系：
（1） （2）
解 （1）对系数阵A作行初等变换
所以,得同解方程组
取,得
取,得
取,得
于是得原方程组的基解系为；
（2）
,得同解方程组
取得基解系
,
例2 求方程组的一般解：
（1）； （2）
解 （1）对增广阵作初等行变换
,有无穷多解,得同解方程组
取得非齐次方程组特解
由对应齐次方程组
取得对应齐次方程组的基解系
所以原方程组的一般解
；
（2）
,有无穷多解,得同解方程组
取,得非齐次方程组特解
由对应齐次方程组
取,得
取,得
得对应齐次方程组基础解系为
故原方程组一般解
,
例3 方程组
当a为何值时有解？有多少解？有解时并求解,
解
当时,,无解,
当时,,有无穷多解,此时
得同解方程组
取得非齐次方程组特解
由对应齐次方程组
取,得
取,得
故时,原方程组一般解
,
例4 a,b为何值时,方程组
有解,有解时求一般解,
解 对增广阵作初等行变换
可见,只有时,才有
原方程组有解,
当时,得
得同解方程组
取,得非齐次方程组的特解
由上述方程组的对应齐次方程组取,得
取,得
取,得
于是时,原方程组一般解,
,
例5 试证方程组
有解的充要条件是,并在有解的情形下,求出它的一般解,
解
可见的充要条件为
即原方程组有解的充要条件为,
当时,得同解方程组
取得非齐次方程组特解
由上述方程组的齐次方程组取得对应齐次方程组的基解系为
于是,原方程组一般解为
,
例6 设四元齐次线性方程组
（I）
又已知某齐次线性方程组（II）的通解为
（1）求线性方程组（I）的基础解系；
（2）问（I）和（II）是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解,若没有,则说明理由,
解（1） （I）的系数阵为
故（I）的基解系可取为
（2）有非零公共解
将（II）的通解代入方程组（I）,则
解得,
当时,则
满足方程组（I）（显然是（II）的解）,故（I）、（II）有非零公共解,所有非零公共解是
,
例7 设A为n阶矩阵,试证：存在一个n阶非零矩阵B,使得AB = O的充分必要条件是,
证 设
B = n)
其中bi为B的列向量组,由
(Ab1,Ab2,…,Abn)
易知,AB = O的充要条件是bi均为齐次线性方程组AB = O的解,
必要性：若存在,使AB = O,则n中必有非零向量,又bi均为的解,即有非零解,故,
充分性：若,则有非零解,取n个非零解为列向量,作矩阵B,则且
AB = O,
例8 设D为方程组
的系数行列式,Dj是把D中第j列换成常数项
所得行列式,
（1）证明：此方程组有唯一解的充分必要条件是；
（2）当时,此方程组一定有无穷多解,对不对？
证 （1）若,则由克莱姆法则知,原方程组有唯一解,
反之,若原方程组有唯一解,则必有
所以
；
（2）当时,方程组不一定有无穷多解,因为此时有
但不能保证,例如
显然,但是无解,
