电子教案目 录特征值 2
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,特征值与特征向量 2
2,特征向量的性质 2
3,特征多项式 2
4,特征值与特征向量的求法 3
5,相似矩阵 3
6,矩阵A与对角形矩阵相似（称为A可对角化）的条件 3
7,若n阶矩阵A的特征值全是的单根,则A可对角化. 3
8,矩阵对角化的步骤 3
三、典型例题 4
（一）特征值与特征向量 4
（二）矩阵的相似 13
特征值一、基本要求
1,理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法；
2,了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件,会化矩阵为相似对角形,
二、内容提要
1,特征值与特征向量
设A为n阶方阵,(为n维非零列向量,(为一个数,使得
A( = ((
则称(为A的一个特征值,(为A对应于(的一个特征向量,
2,特征向量的性质
（1）对应于不同特征值的特征向量是线性无关的；
（2）同一特征值的特征向量的任意非零线性组合
仍然是对应于的特征向量,
3,特征多项式
其中,
是A的全部特征值,
4,特征值与特征向量的求法
（1）求的相异根；
（2）分别求的基础解系,则非零线性组合
是A对应于的全部特征向量,
5,相似矩阵
对于n阶矩阵A、B,如果存在可逆矩阵P,使得
则称A与B相似,记为A～B,
6,矩阵A与对角形矩阵相似（称为A可对角化）的条件
n阶矩阵A可对角化 ( A有n个线性无关的特征向量,
( 对于A的每一个ki重特征值,
( 对于A的每一个ki重特征值的基础解系由个解向量组成,
7,若n阶矩阵A的特征值全是的单根,则A可对角化,
8,矩阵对角化的步骤
（1）求A的全部特征值；
（2）对每个不同的求的基础解系；
（3）以A的n个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵
则
其中,的排列顺序与一致,
三、典型例题
（一）特征值与特征向量例1 如果任意非零n维列向量都是n阶矩阵A的特征向量,试证A是数量矩阵（即主对角线元素相同的对角形矩阵）,
证 设
又设
是A对应于特征值的特征向量,则由可得：
同理可证：
再设
是A对应于特征值(的特征向量,则由A( = ((可得：
故A为数量矩阵,
例2 已知可逆矩阵A的特征值与特征向量,求与的特征值与特征向量,
解 设(是A的特征值,(是A对应于(的特征向量,则由A可逆且可知
A( = (( ( 0
于是,
且 ((()
即 (,(
故是的特征值,(是的特征向量,
又,,所以,(
即,是的特征值,(是的特征向量,
例3 设A是正交矩阵且,证明：是A的一个特征值,
证
所以,,即,是A的一个特征值,
要证明是矩阵A的特征值,可以设法证明存在列向量(,使A( =(,也可以设法证明是A的特征多项式的根,同样,要证明(是A对应于特征值的特征向量,也可以设法证明A( =(或(是齐次线性方程组的解向量,
例4 设(是矩阵A的特征值,f (x)是x的多项式,试证：f (()是f (A)的特征值,
证 首先证明若(是A的特征值,则是的特征值,
由A( =(可得(()=(A()=(
设( = (,则
( = A(() = A(() = (A() =((() =(
其次,设
= ((＋(
(
(
所以,是的特征值,
例5 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；A对应于特征值1、2的特征向量分别是
,
（1）求A对应于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵A,
解 （1）设A对应于3的特征向量为
因为A是实对称矩阵,故不同特征值的特征向量相互正交,即有
其基础解系为,故A对应于特征值3的特征向量为,；
（2）记,则应有
于是 ,求得
将代入上式得
例6 求n阶方阵
的特征值,
解 A的特征多项式
所以,重)与是A的特征值,
例7 设是矩阵A对应于不同特征值的特征向量,且,试证＋不是A的特征向量,
证 用反证法,
设＋是A对应于特征值(的特征向量,则有
A(＋) = ((＋)
上式左端 =(A)＋(A)=＋ （5-1）
右端 = ＋ （5-2）
比较式（5-1）,式（5-2）
＋= ＋
()＋()= 0 （5-3）
因为是不同特征值的特征向量,故线性无关,欲使（5-3）式成立,必有
= = 0 （5-4）
由式（5-4）可得,与矛盾,故＋不是A的特征向量,
例8 求矩阵A的特征值与特征向量
解
特征值为（二重根）,
将代入,得
其基础解系为,A对应于的全部特征向量为,
将代入,得系数矩阵
对作初等行变换可化为
对应齐次线性方程组的基础解系为,特征向量为,
将代入,得
对作初等变换可化为
对应齐次线性方程组的基础解系为,特征向量为,
在例8中我们应注意两个问题,一是的表达式中,x1的系数全为零,对应的齐次线性方程组只有x1是自由未知量,是四元线性方程组,不要误认为是由组成的三元一次方程组,二是是二重特征根,但的基础解系由一个解向量组成,一般说来,的基础解系所含解向量个数不大于作为的根的重数,
例9 已知向量是矩阵
的逆矩阵的特征向量,试求常数k的值,
解一 设(是对应于特征值(的特征向量,则由((可得( = (A(,即
由此可得方程组
其解为,
于是,当或1时,(是的特征向量,
解二 设(是对应于特征值(的特征向量,则由((可得A( = (,即是A的特征值,(为A对应于的特征向量,于是,
A( = (
即
由此可得方程组
解得时,；时,,
例10 设3阶矩阵A的特征值为,对应的特征向量依次为
, ,
又向量,
（1）将(用线性表出；
（2）求(n为自然数),
解 （1）设,即
得基础解系为,故
；
（2）解一
由于 (i, ,(i = 1,2,3)
故
－2＋
解二
设,则
因为
所以
例11 设方阵A满足条件
试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1,
证 设X是A对应于特征值(的实特征向量,则
由此可得
,
因为X是实特征向量,故,所以
即,
例12 设矩阵
有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件,
解 A的特征多项式
特征值为（二重）,,
故A有三个线性无关特征向量的充要条件是有两个线性无关的特征向量,
欲使有两个线性无关的特征向量,矩阵的秩必须等于1
的充要条件是
所以,A有三个线性无关的特征向量必须满足的条件,
（二）矩阵的相似例1 设矩阵A与B相似,其中
（1）求x与y的值；
（2）求可逆矩阵P,使,
解 （1）因为A～B,故其特征多项式相同
即 （5-5）
令,由式（5-5）可得,即,
令,则,
由此可得x = 0；
（2）由可得
A的特征值为,
将代入可得对应的一个特征向量为,同样可求得所对应的另两个特征向量为,,
令
则 ,
例2 已知
其中
求 （1）A的特征值与特征向量；
（2）的特征值；
（3）使为对角形矩阵的Q与A,
解 （1）由题设可知：,故P为正交矩阵,
所以,A的特征值为（三重）,,
将代入,其系数矩阵为
所对应的线性无关的特征向量为
,,
将代入,可求得所对应的一个特征向量为
；
（2）设,则的特征值为
；
（3）因为
故,
例3 设(是A对应于的特征向量,试求对应于的特征向量,
解 由题设,向量(应为的非零解向量,
因为( =(,
所以( =( =,
故( 是的特征向量,
例4 两个对角形矩阵
,
相似的充要条件是是的一个排列,
证 必要性
若A～B,则A,B有相同的特征值,而分别是A,B的特征值,故应是的一个排列,
充分性
若是的一个排列,因为A有n个线性无关的特征向量,将这些向量依照的顺序作为矩阵P的列向量,则
,即A～B
例5 设矩阵A可逆且A～B,证明A*～B*,
证 因为A可逆且A～B,故存在可逆矩阵P使,所以
将上式两端同乘以,得
又,于是
即
例6 设n阶矩阵A有n个相异特征值,B与A的特征值相同,证明：有矩阵R及可逆矩阵Q,使
,
证 设是A的互异特征值,则A与B都与矩阵(相似：
所以,存在可逆矩阵Q,使
,即
令,则
,
例7 设A是n阶下三角形矩阵,证明：
（1）若,则A与一个对角形矩阵相似；
（2）若,且至少有一个,则A不能与对角形矩阵相似,
证 （1）由
因为,所以A有n个互不相同的特征值；
故A可与对角形矩阵相似；
（2）证一
设且有,若A可与对角形矩阵B相似,则B的特征值即其主对角线元素与A的特征值相同,故
且存在可逆矩阵Q,使
这与A至少有一个矛盾,
故A不能与对角形矩阵相似,
证二
因为A的特征值只有（n重）,且A至少有一个,故对应于特征值的齐次线性方程组
的系数矩阵的秩,故基础解系所含向量个数
故A不可能有n个线性无关的特征向量,故A不能与对角形矩阵相似,
例8 设
求可逆矩阵P,使为对角形,
解
故A的特征值为（二重）,,
解方程组,即
基础解系为
解方程组,得基础解系为
解方程组,得基础解系为
令
则
例9 设
求,
解 A的特征多项式为
A的特征值为,
解方程组,得A对应于的特征向量
解方程组,得A对应于的特征向量
解方程组,得A对应于的特征向量
令
则
例10 设
（1）证明：当时,
（2）求,
证 （1）
即,当时,成立,
设对成立,即有
将上式两端同乘以A
,
解 （2）由上式可得
本例求不能采用例9的方法,这是因为,对于本例的A
A的特征值(二重),
解方程组,系数矩阵
故,的基础解系由一个解向量组成,故A不能与对角形矩阵相似,不能象例24那样有一个简便的算法,
例11 设n阶矩阵A有n个特征值且方阵B～A,求,
解一
因为A有n个相异特征值,所以
又因为,B～A,所以,B～(,即,存在可逆矩阵P,使
于是
解二
因为A有n个相异特征值,且B～A,故B与对角形矩阵
相似,即,存在可逆矩阵P,使
所以
例12 证明：
（1）若二阶实矩阵A的行列式,则A与对角形矩阵相似；
（2）若,则二阶实矩阵与对角形矩阵相似,
证 （1）,其中,,
设A的特征值为,则由根与系数的关系可得
所以,与异号,故A有两个不同的特征值,A与对角形矩阵相似,
（2）设,则
,由二次三项式的判别式
于是,有两个相异特征值,故A能与对角形矩阵相似,
例13 设A～B,且
,
（1）确定a,b；
（2）求可逆矩阵P,使,
解 （1）因为A～B,所以存在可逆矩阵C,使,于是
所以
又因为1是B的特征值,故1也是A的特征值
联立解
得；
（2）因为B的特征值为,且A～B,故A的特征值也是,下面求A的特征向量,
求解,即
得A对应于的一个特征向量为,
解,得A对应于的一个特征向量为,
解,得A对应于的一个特征向量为,
令
则P可逆,且
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,特征值与特征向量 2
2,特征向量的性质 2
3,特征多项式 2
4,特征值与特征向量的求法 3
5,相似矩阵 3
6,矩阵A与对角形矩阵相似（称为A可对角化）的条件 3
7,若n阶矩阵A的特征值全是的单根,则A可对角化. 3
8,矩阵对角化的步骤 3
三、典型例题 4
（一）特征值与特征向量 4
（二）矩阵的相似 13
特征值一、基本要求
1,理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法；
2,了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件,会化矩阵为相似对角形,
二、内容提要
1,特征值与特征向量
设A为n阶方阵,(为n维非零列向量,(为一个数,使得
A( = ((
则称(为A的一个特征值,(为A对应于(的一个特征向量,
2,特征向量的性质
（1）对应于不同特征值的特征向量是线性无关的；
（2）同一特征值的特征向量的任意非零线性组合
仍然是对应于的特征向量,
3,特征多项式
其中,
是A的全部特征值,
4,特征值与特征向量的求法
（1）求的相异根；
（2）分别求的基础解系,则非零线性组合
是A对应于的全部特征向量,
5,相似矩阵
对于n阶矩阵A、B,如果存在可逆矩阵P,使得
则称A与B相似,记为A～B,
6,矩阵A与对角形矩阵相似（称为A可对角化）的条件
n阶矩阵A可对角化 ( A有n个线性无关的特征向量,
( 对于A的每一个ki重特征值,
( 对于A的每一个ki重特征值的基础解系由个解向量组成,
7,若n阶矩阵A的特征值全是的单根,则A可对角化,
8,矩阵对角化的步骤
（1）求A的全部特征值；
（2）对每个不同的求的基础解系；
（3）以A的n个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵
则
其中,的排列顺序与一致,
三、典型例题
（一）特征值与特征向量例1 如果任意非零n维列向量都是n阶矩阵A的特征向量,试证A是数量矩阵（即主对角线元素相同的对角形矩阵）,
证 设
又设
是A对应于特征值的特征向量,则由可得：
同理可证：
再设
是A对应于特征值(的特征向量,则由A( = ((可得：
故A为数量矩阵,
例2 已知可逆矩阵A的特征值与特征向量,求与的特征值与特征向量,
解 设(是A的特征值,(是A对应于(的特征向量,则由A可逆且可知
A( = (( ( 0
于是,
且 ((()
即 (,(
故是的特征值,(是的特征向量,
又,,所以,(
即,是的特征值,(是的特征向量,
例3 设A是正交矩阵且,证明：是A的一个特征值,
证
所以,,即,是A的一个特征值,
要证明是矩阵A的特征值,可以设法证明存在列向量(,使A( =(,也可以设法证明是A的特征多项式的根,同样,要证明(是A对应于特征值的特征向量,也可以设法证明A( =(或(是齐次线性方程组的解向量,
例4 设(是矩阵A的特征值,f (x)是x的多项式,试证：f (()是f (A)的特征值,
证 首先证明若(是A的特征值,则是的特征值,
由A( =(可得(()=(A()=(
设( = (,则
( = A(() = A(() = (A() =((() =(
其次,设
= ((＋(
(
(
所以,是的特征值,
例5 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；A对应于特征值1、2的特征向量分别是
,
（1）求A对应于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵A,
解 （1）设A对应于3的特征向量为
因为A是实对称矩阵,故不同特征值的特征向量相互正交,即有
其基础解系为,故A对应于特征值3的特征向量为,；
（2）记,则应有
于是 ,求得
将代入上式得
例6 求n阶方阵
的特征值,
解 A的特征多项式
所以,重)与是A的特征值,
例7 设是矩阵A对应于不同特征值的特征向量,且,试证＋不是A的特征向量,
证 用反证法,
设＋是A对应于特征值(的特征向量,则有
A(＋) = ((＋)
上式左端 =(A)＋(A)=＋ （5-1）
右端 = ＋ （5-2）
比较式（5-1）,式（5-2）
＋= ＋
()＋()= 0 （5-3）
因为是不同特征值的特征向量,故线性无关,欲使（5-3）式成立,必有
= = 0 （5-4）
由式（5-4）可得,与矛盾,故＋不是A的特征向量,
例8 求矩阵A的特征值与特征向量
解
特征值为（二重根）,
将代入,得
其基础解系为,A对应于的全部特征向量为,
将代入,得系数矩阵
对作初等行变换可化为
对应齐次线性方程组的基础解系为,特征向量为,
将代入,得
对作初等变换可化为
对应齐次线性方程组的基础解系为,特征向量为,
在例8中我们应注意两个问题,一是的表达式中,x1的系数全为零,对应的齐次线性方程组只有x1是自由未知量,是四元线性方程组,不要误认为是由组成的三元一次方程组,二是是二重特征根,但的基础解系由一个解向量组成,一般说来,的基础解系所含解向量个数不大于作为的根的重数,
例9 已知向量是矩阵
的逆矩阵的特征向量,试求常数k的值,
解一 设(是对应于特征值(的特征向量,则由((可得( = (A(,即
由此可得方程组
其解为,
于是,当或1时,(是的特征向量,
解二 设(是对应于特征值(的特征向量,则由((可得A( = (,即是A的特征值,(为A对应于的特征向量,于是,
A( = (
即
由此可得方程组
解得时,；时,,
例10 设3阶矩阵A的特征值为,对应的特征向量依次为
, ,
又向量,
（1）将(用线性表出；
（2）求(n为自然数),
解 （1）设,即
得基础解系为,故
；
（2）解一
由于 (i, ,(i = 1,2,3)
故
－2＋
解二
设,则
因为
所以
例11 设方阵A满足条件
试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1,
证 设X是A对应于特征值(的实特征向量,则
由此可得
,
因为X是实特征向量,故,所以
即,
例12 设矩阵
有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件,
解 A的特征多项式
特征值为（二重）,,
故A有三个线性无关特征向量的充要条件是有两个线性无关的特征向量,
欲使有两个线性无关的特征向量,矩阵的秩必须等于1
的充要条件是
所以,A有三个线性无关的特征向量必须满足的条件,
（二）矩阵的相似例1 设矩阵A与B相似,其中
（1）求x与y的值；
（2）求可逆矩阵P,使,
解 （1）因为A～B,故其特征多项式相同
即 （5-5）
令,由式（5-5）可得,即,
令,则,
由此可得x = 0；
（2）由可得
A的特征值为,
将代入可得对应的一个特征向量为,同样可求得所对应的另两个特征向量为,,
令
则 ,
例2 已知
其中
求 （1）A的特征值与特征向量；
（2）的特征值；
（3）使为对角形矩阵的Q与A,
解 （1）由题设可知：,故P为正交矩阵,
所以,A的特征值为（三重）,,
将代入,其系数矩阵为
所对应的线性无关的特征向量为
,,
将代入,可求得所对应的一个特征向量为
；
（2）设,则的特征值为
；
（3）因为
故,
例3 设(是A对应于的特征向量,试求对应于的特征向量,
解 由题设,向量(应为的非零解向量,
因为( =(,
所以( =( =,
故( 是的特征向量,
例4 两个对角形矩阵
,
相似的充要条件是是的一个排列,
证 必要性
若A～B,则A,B有相同的特征值,而分别是A,B的特征值,故应是的一个排列,
充分性
若是的一个排列,因为A有n个线性无关的特征向量,将这些向量依照的顺序作为矩阵P的列向量,则
,即A～B
例5 设矩阵A可逆且A～B,证明A*～B*,
证 因为A可逆且A～B,故存在可逆矩阵P使,所以
将上式两端同乘以,得
又,于是
即
例6 设n阶矩阵A有n个相异特征值,B与A的特征值相同,证明：有矩阵R及可逆矩阵Q,使
,
证 设是A的互异特征值,则A与B都与矩阵(相似：
所以,存在可逆矩阵Q,使
,即
令,则
,
例7 设A是n阶下三角形矩阵,证明：
（1）若,则A与一个对角形矩阵相似；
（2）若,且至少有一个,则A不能与对角形矩阵相似,
证 （1）由
因为,所以A有n个互不相同的特征值；
故A可与对角形矩阵相似；
（2）证一
设且有,若A可与对角形矩阵B相似,则B的特征值即其主对角线元素与A的特征值相同,故
且存在可逆矩阵Q,使
这与A至少有一个矛盾,
故A不能与对角形矩阵相似,
证二
因为A的特征值只有（n重）,且A至少有一个,故对应于特征值的齐次线性方程组
的系数矩阵的秩,故基础解系所含向量个数
故A不可能有n个线性无关的特征向量,故A不能与对角形矩阵相似,
例8 设
求可逆矩阵P,使为对角形,
解
故A的特征值为（二重）,,
解方程组,即
基础解系为
解方程组,得基础解系为
解方程组,得基础解系为
令
则
例9 设
求,
解 A的特征多项式为
A的特征值为,
解方程组,得A对应于的特征向量
解方程组,得A对应于的特征向量
解方程组,得A对应于的特征向量
令
则
例10 设
（1）证明：当时,
（2）求,
证 （1）
即,当时,成立,
设对成立,即有
将上式两端同乘以A
,
解 （2）由上式可得
本例求不能采用例9的方法,这是因为,对于本例的A
A的特征值(二重),
解方程组,系数矩阵
故,的基础解系由一个解向量组成,故A不能与对角形矩阵相似,不能象例24那样有一个简便的算法,
例11 设n阶矩阵A有n个特征值且方阵B～A,求,
解一
因为A有n个相异特征值,所以
又因为,B～A,所以,B～(,即,存在可逆矩阵P,使
于是
解二
因为A有n个相异特征值,且B～A,故B与对角形矩阵
相似,即,存在可逆矩阵P,使
所以
例12 证明：
（1）若二阶实矩阵A的行列式,则A与对角形矩阵相似；
（2）若,则二阶实矩阵与对角形矩阵相似,
证 （1）,其中,,
设A的特征值为,则由根与系数的关系可得
所以,与异号,故A有两个不同的特征值,A与对角形矩阵相似,
（2）设,则
,由二次三项式的判别式
于是,有两个相异特征值,故A能与对角形矩阵相似,
例13 设A～B,且
,
（1）确定a,b；
（2）求可逆矩阵P,使,
解 （1）因为A～B,所以存在可逆矩阵C,使,于是
所以
又因为1是B的特征值,故1也是A的特征值
联立解
得；
（2）因为B的特征值为,且A～B,故A的特征值也是,下面求A的特征向量,
求解,即
得A对应于的一个特征向量为,
解,得A对应于的一个特征向量为,
解,得A对应于的一个特征向量为,
令
则P可逆,且
