向量空间一、向量空间及其子空间
1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭，即：
VkVRkV ∈∈+?∈∈? αβαβα,,,,
则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。
例如：
{}RaaaaaaR ∈==
32,132,1
3
,),(α
RaaaaaaR
nn
n
∈==,,),,(
2,12,1
LLα
RaaaaV
nn
∈==,,),,0(
22,1
LLα
{ }RkkkkkkV
mmm
∈+++==,,,
2122112
LLαααα
{ }RaaaaV
nn
∈==,,),,1(
22,3
LLα
),,,(
21 m
L αααL=
2.子空间：W、V 为向量空间，若W? V，则称W 是V 的子空间。
{}RaaaaV
nn
∈==,,),,0(
22,1
LLα
=
2
V ),,,(
21 m
L αααL都是的子空间。
n
R
1
V ),,,(
21 m
L
如
αααL=
2
V ),,,(
21 s
L βββL=
例：
212121
,,,,,,VV
sm
=等价，则与若βββαααLL
只需证明
2121
VVVV且向量空间的基与维数定义：
满足
r
Vn ααα,,,
21
L中的向量组维向量空间若线性无关；
r
i ααα,,,)(
21
L
中向量均可由Vii)(
线性表示。
r
ααα,,,
21
L
的一个基。为则称V
r
ααα,,,
21
L
基中所含向量个数r称为向量空间的维数。；的维数为nR
n
{ }；的维数为1
,,),,0(
22,1
∈==
n
RaaaaV
nn
LLα
).,,,(,,,
),,,(
2121
212
mm
m
r
LV
αααααα
ααα
LL
L
的秩的维数为=
的极大无关组。
m
ααα,,,
21
L；基为
n
eee,,,
21
L；基为
n
ee,,
2
L
基为若向量空间的基为
r
ααα,,,
21
L
),,,(
21 r
LV αααL=
向量在基下的坐标
rr
kkk αααα +++=L
2211
定义：设
r
ααα,,,
21
L
是向量空间V 的基，
且,V∈α
下的坐标。，，，
r
αααL
21
r
kkk，，，则称系数L
21
在基为α
注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）
2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。
你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？
3.向量在一组基下的坐标如何求？
一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。