二次型的分类
1.定义：
),,,(
21 n
xxxf L
AXX
T
=
是一个实二次型，若对于任何非零的向量恒有,),,,(
21
T
n
ccc L
)0(0),,,(
21
<>
n
cccf L；称为正定（负定）矩阵而其对应的矩阵二次型负定是正定则称
A
,)(),,,(
21 n
xxxf L
矩阵的正定与负定是怎样定义的？;)(,
)(),0(0),,,(
21
定二次型负称为准正其对应的矩阵二次型定负则称二次型是准正若恒有
A
cccf
n
≤≥L
.,
,,),,,(
21
二次型其对应的矩阵称为不定定二次型则称二次型是不也有小于零有大于零若
n
cccf L
2.二次型正定的判别法：
判别法I：用定义。
例1：见教材。
例2：
.,,阶正定阵也为证明阶正定阵均为设nBAnBA +
证：
,,阶正定阵为nBAQ
判别法II：用标准形。
定理1：实二次型
22
22
2
1121
),,,(
nnn
xdxdxdxxxf +++= LL
都是正数。正定的充要条件为),,2,1( nid
i
L=显然。
阶正定阵。为nBA
定理2：可逆线性变换不改变二次型的正定性。
+?
.0,0,
1
>>?≠?∴
×
BXXAXXOX
TT
n
0)( >+∴ XBAX
T
11
21
21
)(,,),,,(
),,,(
===
=
=
BCCAACCBBYYyyyg
CYX
AXXxxxf
TTT
n
T
n
或变成新变元的二次型变换经可逆线性正定二次型
L
L证明：
,,),,,(
1
21
XCYCYXOkkkY
T
n
T?
==≠=有由对任何L
1
2
1
=
C
k
k
k
n
M
n
x
x
x
M
2
1
方程组有非零解则由克莱姆法不全为零由于
,
,,,,
21 n
kkk L
T
n
cccX ),,,(
21
L
o
=
BYYkkkg
T
n
=),,,(
21
L
oo
XBCCX
TT 11
)(
= 0),,,(
21
>==
n
T
cccfAXX L
oo
)()(
11
oo
XCBXC
T
=
。是正定的从而 ),,,(
21 n
yyyg L
正定的充要条件AXXxxxf
T
n
=),,,(
21
L
个系数全为正数。的标准形中为nf
。的全部特征值都是正数为矩阵正定的充要条件二次型推论
A
AXXxxxf
T
n
=),,,(:1
21
L
定理3：实二次型
.0,:2 >AA则正定若推论使即有可逆阵与单位阵合同则正定若推论,,,:3 CAA
EACC
T
=
==
AQQAQQ
T1
Λ=
n
λ
λ
O
1
正数。
且都为的特征值矩阵为
,
,,
1
A
n
λλ L
证：由推论2及A正定,存在正交矩阵Q，使
=
n
C
λ
λ
1
1
1
1
O
ECCCC
T
=Λ=Λ?
1111
EQCAQCCAQQC
TTT
==? )()()(
1111
必须掌握这一推论的证明。
判别法III：用特征值。
.,,:3
1
都是正定阵证明为正定阵设例
AAA
,,的特征值全大于零为正定阵AA?Q
判别法IV：用顺序主子式。
定义：位于矩阵A的最左上角的1,2,···,n阶子式，称为矩阵
A的1,2,···,n阶顺序主子式。
.阶顺序主子式表示第i
i
Δ
,,
1
的特征值全大于零
∴ AA,,
1
都是正定阵
∴ AA
定理4：
,
),,,(
21
于零的各阶顺序主子式都大为矩阵正定的充要条件二次型
A
AXXxxxf
T
n
=L
.0>Δ
i
即
,:4二次型正定为何值时例t
323121
2
3
2
2
2
1321
2245),,( xxxxxxtxxxxxxf+++=
,05
1
>=Δ
,01
12
25
2
>==Δ
t
A
11
112
125
3
==Δ
2?= t
.0,2
3
>Δ>?时t
.,2二次型正定时>∴t
请记住，这类题就这样做！
=
t
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是一个实二次型，若对于任何非零的向量恒有,),,,(
21
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A
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矩阵的正定与负定是怎样定义的？;)(,
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21
定二次型负称为准正其对应的矩阵二次型定负则称二次型是准正若恒有
A
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n
≤≥L
.,
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21
二次型其对应的矩阵称为不定定二次型则称二次型是不也有小于零有大于零若
n
cccf L
2.二次型正定的判别法：
判别法I：用定义。
例1：见教材。
例2：
.,,阶正定阵也为证明阶正定阵均为设nBAnBA +
证：
,,阶正定阵为nBAQ
判别法II：用标准形。
定理1：实二次型
22
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2
1121
),,,(
nnn
xdxdxdxxxf +++= LL
都是正数。正定的充要条件为),,2,1( nid
i
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阶正定阵。为nBA
定理2：可逆线性变换不改变二次型的正定性。
+?
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1
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或变成新变元的二次型变换经可逆线性正定二次型
L
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1
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个系数全为正数。的标准形中为nf
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A
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21
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定理3：实二次型
.0,:2 >AA则正定若推论使即有可逆阵与单位阵合同则正定若推论,,,:3 CAA
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=
==
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λ
λ
O
1
正数。
且都为的特征值矩阵为
,
,,
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证：由推论2及A正定,存在正交矩阵Q，使
=
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1
1
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1111
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必须掌握这一推论的证明。
判别法III：用特征值。
.,,:3
1
都是正定阵证明为正定阵设例
AAA
,,的特征值全大于零为正定阵AA?Q
判别法IV：用顺序主子式。
定义：位于矩阵A的最左上角的1,2,···,n阶子式，称为矩阵
A的1,2,···,n阶顺序主子式。
.阶顺序主子式表示第i
i
Δ
,,
1
的特征值全大于零
∴ AA,,
1
都是正定阵
∴ AA
定理4：
,
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21
于零的各阶顺序主子式都大为矩阵正定的充要条件二次型
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请记住，这类题就这样做！
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