矩阵一,矩阵的秩及其求法
1,利用定义求矩阵的秩利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是否为零来确定矩阵的秩.
).(
)( 1
ArAa
aAaA
ijij
ijijnnij
，求＝若的代数余子式，为为非零矩阵，设例
×
=；，所以至少有一个元素因为解00 ≠≠
ij
aA
行展开，有按第将 || iA
,0||
1
2
1
>==
∑∑
==
n
j
ij
n
j
ijij
aAaA
.)( nAr =故
.* *求逆有关中用，这时题目常常与若在；另一个是
）展开；；一是行列式按行（列方用到注：我们一般在两个地
AA
A
ij
.)( 2)( 2 A*r＝n－ArnA，求阶方阵且为设例阶子式全为零，的所有知：由解 1 2)(= nAnAr
.0*)(0* == ArA，从而故
.3)(
111
111
111
111
3 aAr
a
a
a
a
A，求，若设例=
=
，即，所以因为解0||3)( == AAr
.0)1)(3(
111
111
111
111
||
3
=?+== aa
a
a
a
a
A；，时，当1)(
1111
1111
1111
1111
1 =
== ArA a
，时，当
=?=
3111
1311
1131
1113
3 A a
，＝－
－
－
－
阶子式的由于016
311
131
113
3 ≠A
.33)(?== aAr，故有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4.
.0||
4
=
>××
AB
nmmnBnmA
求证
，矩阵，且为矩阵，为设例
,0||
},min{)()(
=>
=≤≤
ABABnm
mABnnmArABr
为降秩方阵，从而，故且阶方阵，为，而因为证
2,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将A化为阶梯阵，然后由阶梯阵的秩确定A的秩,
这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对.
.3)(
9113
1234
3221
5 <
= ArttA为何值时，，问设例
A因为解
1312
3,4 rrrr
0770
01180
3221
t
23
7 rr?÷
01180
0110
3221
t
,
0030
0110
3221
+
t
23
11rr?
.3 03 3 -tt r(A) ==+<，即，则欲使
).(,
301
020
201
2)( 34 6 ABrBArA求，阶矩阵且为设例
==×
B 因为解
13
rr +
,
500
020
201
为满秩阵，，即所以 3)( BBr =
.2)()( == ArABr从而二,逆阵及其求法
1,利用伴随矩阵A*求逆阵
.0 7
1?
≠?
= Abcad
dc
ba
A，求，例
,0 可逆，故因为解Aad-bc|A| ≠=
），从而有（读者可记住这一规律又 *
=
ac
bd
A
.
1
1
=
ac
bd
bcad
A
注：对2阶数字方阵求逆，一般都用A*来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用A*
求其逆阵，因为若用A*去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下面所介绍的初等变换法.
2,利用初等变换求逆阵方法与原理如下：
.,,2,1
1
）（
阶初等阵为，其中阶可逆阵，则为设
mi
nPPPAnA
im
L
L
=
=
），阶初等阵（也为，故minP PPA
im
-
,,2,1
11
1
11
LL ==
=
=
;
,
11
1
1
1
1
1
AEPP
EAPP
m
m
L
L
从而有
( ) ( ),
1?
→→ AEEA MLLM初等行变换即
,
153
132
543
8
1?
= AA，求例
=
100
010
001
153
132
543
M
M
M
M）（解EA
，
－
－－
－－
初等行变换
→→
131
7185
11298
100
010
001
M
M
M
LL
.
131
7185
11298
1
=
－
－－
－－
故A
,
1
001
0001
00001
9
1
321
2?
= A
aaaa
aa
a
A
nnn
，求例
L
MMMMM
L
L
L
( )
=
10000
00100
00010
00001
1
001
0001
00001
321
2
L
MMMMM
L
L
L
M
M
M
M
M
L
MMMMM
L
L
L
M
aaaa
aa
a
EA
nnn
解
1
1
1
2
312
,,,rarrararr
n
n
L
L
MMM
L
L
L
M
M
M
M
M
L
MMMMM
L
L
L
00
10
01
001
10
0010
00010
00001
1
2
32 nnn
a
a
a
aaa
a
→→ LL
,
1
1
1
1
1
1
a
a
OO
M
M
M
M
O
.
1000
0010
0001
00001
1
=
a
a
a
A
L
MMMMM
L
L
L
故注意：对于2阶数字方阵，一般不用初等变换法求其逆阵.
3,利用定义求逆阵利用定义求n 阶方阵A 的逆阵，即找或猜或凑一个n
阶方阵B，使AB=E或BA=E，从而A
－1
＝B.
,)0(0 10
1
1
1
≠
= Aaa
a
a
A
n
n
，求未写出的为，例LO
,
1
EABBA =
，使即找矩阵求分析可推测，由
1
=
n
a
a
A O
.
1
1
1
=
n
a
a
B O
,
1
EABAB =
，只需验证是否为
.
1
1
1
=
n
a
a
B O设解
.
1
1
1
1
===
n
a
a
BAEAB O，故因为
,
02 11
1
2
=
A
AEAAAn
并求可逆，求证满足阶方阵设例
,2)(02
2
EEAAEAA =?=，得：由证即
.
2
E
EA
A =
.
2
1
EA
AA
=
可逆且从而
,
12
BAAB
EAABBAA,B
=
=
可逆并进一步证明
，求证＋满足且阶方阵为同设例
，故因为证BEABABA )(?=?=
,)()( BEAEEA?=+?
,))(( EEAEA =+?从而有故可逆且即,)(
1
EBEAEA?=
),)(())(( EAEBEBEA=
,EBABAEBAAB +=+即
,BAAB =从而
.)()(2 13
13?
=? AEAEAAAn，求满足阶方阵已知例
，得由解
3
)(2 AEAA =?
,022
23
=+? AAA
,22
23
EEAAA?=?+?所以
.))((
2
EEAAAE =+从而有
.)(
21
EAAAE +?=?
即
4,利用分块矩阵求逆阵关于分块矩阵的几个基本公式则有阶方阵，为设,,,2,1 )1( sinA
ii
L=
|;||||| i)(
21
2
1
s
s
AAA
A
A
A
L
O
=
);()()( ii)(
21
2
1
s
s
ArArAr
A
A
A
r L
O
+=
是可逆的，可逆的充要条件为矩阵 iii)(
2
1
i
s
A
A
A
A
O
,
1
1
2
1
1
1
2
1
=
－
s
s
A
A
A
A
A
A
O
O
－
－
且有
，则有，阶方阵，为设21 )2( =inA
iii
|,|||
0
)i(
2211
2221
11
AA
AA
A
= |;|||
0
2211
22
1211
AA
A
AA
=
可逆且可逆的充要条件为 )21(
0
)ii(
2221
11
,iA
AA
A
ii
=
,
0
0
1
22
1
1121
1
22
1
11
1
2221
11
=
AAAA
A
AA
A
可逆且可逆的充要条件为 )21(
0
22
1211
,iA
A
AA
ii
=
.
0
0
1
22
1
2212
1
11
1
11
1
22
1211
=
A
AAAA
A
AA
阶方阵，则为阶方阵，为设 )3( nBmA
|;|||)1( )i( BA
CB
AO
mn
=
可逆且与可逆的充要条件为 )ii( BA
OB
AO
,
1
1
1
=
OA
BO
OB
AO
.
1100
2100
0052
0021
14
1?
= AA，求例
,
0
0
2
1
=
A
A
AA分块为将解
,
12
25
52
21
1
1
1
=
=
－
因为A
,
3
1
3
1
3
2
3
1
11
21
1
1
2
=
=
－
A
.
3
1
3
1
00
3
2
3
1
00
0012
0025
0
0
1
2
1
1 1
=
=
－
－
故
A
A
A
注：因为使用了分块矩阵的求逆公式，由求4阶方阵的逆阵转化为求两个2阶方阵的逆阵了，计算量大大减少.
.
2000
1200
3120
4312
15
1?
= AA，求例
，分块为将解
=
22
1211
0
A
AA
AA
,
2
1
0
4
1
2
1
20
12
1
22
1
1
11
=
=
= AA因为
,
8
6
4
1
16
5
8
5
1
2212
1
11
=
AAA而
.
2
1
00 0
4
1
2
1
0 0
8
5
4
1
2
1
0
16
5
8
5
4
1
2
1
0
1
22
1
2212
1
11
1
111
=
=
A
AAAA
A故
,0,,
00
00
00
16
1
1
1
1
≠
= Maa
a
a
a
M
n
n
n
，求，其中例L
L
L
MMM
L
,
0
0
=
B
A
MM分块为将解
).(
1
1
n
n
aB
a
a
A =
=
，其中O
从而
=
0
0
1
1
1
A
B
M
.
0
1
0
1
1
00
1
1
=
n
n
a
a
a
MO
L
5,利用定义证明某一矩阵B为矩阵A的逆阵
,或
3
1?
=== ABE BAE AB
BA
，从而证明是已知的，只需验证与不同，这类问题中矩阵与方法
.)(
) ( 0 17
121
++++=?
=
k
k
AAAEAE
kA
L
，证明为正整数设例
))((
12?
++++?
k
AAAEAE L
因为证
kkk
AAAAAAAE++++=
1212
LL
,EAE
k
=?=
.)(
121
++++=?
k
AAAEAE L故
.)()(
18
11
AABEBEBAE
BAEABEnBA
+=?
证明均可逆，与阶方阵，且为，设例因为证
〕〔AABEBEBAE
11
)()(
+?
AABEBBAEBAE
1
)()(
+?=
AABEBABBBAE
1
))((
+?=
AABEABEBBAE
1
))((
+?=
EBABAE =+?=
.)()(
11
AABEBEBAE
+=?故注：1,矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，
主要包括：
①证明矩阵A可逆；②求逆阵；③证明矩阵B是矩阵
A的逆阵.
2,证明矩阵A可逆，可利用A 的行列式不为零或证明A
满秩或找一个矩阵B，使AB=E或BA=E 等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用A*（如2阶矩阵）或初等变换（3阶及3阶以上的方阵）的方法来做，有时也利用分块矩阵来做；对抽象的矩阵A，若求其逆，一般是用定义或A*来做；证明矩阵B是矩阵A的逆阵，只需验证AB=E或BA=E即可,
三,矩阵方程及其求解方法标准的矩阵方程有三种形式：
,，，BAXCBXABAX ===
其中A,C 均为可逆阵.
.,1 XABAX可逆，求，=
,I
1
BAXA
－
＝可逆，故有因为：求解方法也为初等阵，，，故有，，，
为初等阵，，可逆知由：求解方法
－－
21
II
1
1
1
1
1
1
im
im
PPPAmi
PPPAA
LL
L
==
=
=
=
;
,
1
1
1
1
1
1
XBPP
EAPP
m
m
L
L
从而,〕〔〕〔即初等行变换XEBA MM →→
.
1000
2100
1210
321
1000
1100
1110
1111
19
=
L
MMMM
L
L
L
L
MMMM
L
L
L
n
n
n
X
求解矩阵方程例
=
1000
2100
1210
321
1000
1100
1110
1111
)(
L
MMMM
L
L
L
M
M
M
M
M
L
MMMM
L
L
L
M n
n
n
BA解
nn
rrrrrr
13221
,,L
，
1000
1110
1111
1
1
L
MMMM
L
L
M
M
M
M
O
O
.
1000
1100
1110
1111
=
L
MMMM
L
L
L
X故
.,2 XABXA可逆，求，=
,I
1－
＝：求解方法BAX
，有类似：求解方法I II
=
=
;
,
1
1
1
1
1
1
XPBP
EPAP
m
m
L
L
,
→→
X
E
E
A
LL初等列变换故
,
,III
X
XBXABXA
TTTT
求出进而，先求出得由：求解方法==
.,.3 XCABAXC可逆，求，=
,
11
来做或此方程可化为BAXCBCAX
==
.
021
102
341
010
100
001
100
001
010
20
=
X求解矩阵方程例
，，，记解
=
=
=
021
102
341
010
100
001
100
001
010
BCA
,
11
CCAACA ==
，为初等阵，且，易知
.
201
431
012
11
===
ABCBCAX故注：因为A，C 为初等阵，故可利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系很容易地写出ABC的结果，而无需做矩阵乘法.（有时）在求解矩阵方程时，应先将方程化简,见下面的例子.
,3
101
020
101
21 XXAAXA，求，且设例+=
=
.)3( 3 AXEAXAAX =?+=，得由解
=?
101
020
101
201
010
102
3
M
M
M
M〕〔AEA
101
020
101
102
010
201
M
M
M
)1(,
231
rrr
13
2rr +
303
020
101
300
010
201
M
M
M
)
3
1
(),
3
2
(
331
+ rrr
,
101
020
101
100
010
001
M
M
M
.
101
020
101
=X故
，，设例
=
=
200
120
312
100
110
011
22 CB,)(
1
ABCBCEA
TT
，求且=?
，由于解
TTTT
BCABCCCACBCEA )()()(
11
=?=?
从而故,)( BBCA
T
=?
.
121
133
013
121
012
001
100
110
011
])[(
1
=
=?=
T
BCBA
注：此题若不是先化简给出的矩阵方程，而是直接求
C
-1
以及C
-1
B 及E－C
-1
B，再求(E－C
-1
B )
T
及(E－C
-1
B
)
T
C
T
就麻烦多了,因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.
,*2*
100
021
012
23 BEBAABABA，求满足，矩阵设例+=
=
，得：两端右乘在解AEBAABA *2* +=; *2* AABAAABA +=
，故因为EEAAA 3||* ==
.)2(3 ABEA =?
.
3
1
00
0
3
1
3
2
0
3
2
3
1
100
012
021
3
1
=
=B
从而
)?(
24
为常数其中能用什么方法求矩阵
，，若已知矩阵为同阶方阵且，设例
kB
AkBAAABBA +=
,3
100
010
111
BkA求，，设=
=
,
BBkBAAAB
BAAB
为方程组来求，只能将矩阵方程转化求
，故由方程满足交换律，即一般来讲，矩阵乘法不解
+=
≠
，时，设当
=
=
333231
232221
131211
100
010
111
bbb
bbb
bbb
BA
,
333231
232221
332313322212312111
+?+?+?
=
bbb
bbb
bbbbbbbbb
AB因为
,
3331323131
2321222121
1311121111
+?
+?
+?
=
bbbbb
bbbbb
bbbbb
BA
.3 3 ABAABBAAAB =?+=，得由
+
+
+?+?++
3331323131
2321222121
3323131132222111312111
23434
43232
43232
bbbbb
bbbbb
bbbbbbbbbbb
－即
.
100
010
111
=
=+?
=?
=+?
=?
==
=+?+?
=+
=+
.123
,043
,043
,123
,0
,143
,123
,12
3331
3231
2321
2221
3121
33231311
32222111
312111
bb
bb
bb
bb
bb
bbbb
bbbb
bbb
从而有：
===
=?==
==?=
.
2
1
,0,0
,0,
2
1
,0
,0,0,
2
1
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
解之得：
.
2
1
00
0
2
1
0
00
2
1
=B故四,关于矩阵运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.
.)( 25
222
BABABBAAnBA +=?==，，阶方阵，且均为，设例
.0 == BAAB证明：
,0,,)(
222
=+==+=? BAABBBAABABA得及由证；从而BAAB?=；又BABAABAAABBAAABABAAB ==?===?==
22
.0 == BAAB故
,)1 0 1( 26
nTT
AA，求，，，设例ααα =?=
，故有显然解2
1
0
1
)1 0 1( =
=αα
T
TTTTTTTTnTn
A αααααααααααααααααα )())(()( LL ===
.2)(
11
A
nTnT
=?= αααα
(),
101
000
101
1 0 1
1
0
1
=?
=A因为
.
101
000
101
2
1
=
nn
A所以注：对一般的n阶方阵A，我们常常用归纳的方法求A
n
.
.2
100
001
010
27
22004
AAA?
=求，设例
100
010
001
100
001
010
100
001
010
2
，＝因为
=A
.)(
501501420044
EEAAEA ====，从而故
.
100
030
003
100
010
001
2
100
010
001
2
22004
=
=? AA所以
,28阶实反对称矩阵为阶实对称矩阵，为设例mBnA
,))((
1
为正交矩阵为可逆阵，证明：，且
+?= BABABABAAB
11
))((]))([(
+?+ BABABABA
T
因为证
11
))(()(])[(
++?= BABABABA
TT
11
))()((])[(
++?= BABABABA
TTT
11
))()(()(
+= BABABABA
TT
11
))()(()(
+?+= BABABABA
11
))(()(
+?+= BABBABBAAABA
EBABABABA =++=
11
))()(()(
,))((
1
为正交矩阵故
+ BABA
).2( 29
2
ABAABrEABAnBA +?=?，求阶方阵，且均为，设例
，可逆且，从而得由解BAAAEBAAEABA?==?=?
12
)(；
，由此得，即故有
BAAB
EBAAABAEABABAA
=
=?=?=?=?
)()(
22
.)()2()2( nArArABAABr ===+?故设为常数的矩阵，为阶非奇异阵，为设例,1 03 bnnA ×α
,
1
bAQ
b
A
Q
T
T
≠
=
αα
α
α
可逆的充要条件为，证明
，因而有存在，且非奇异，故因为证0||
1
≠
AAA
,
01
0
11
=
αα
α
α
α
α Ab
A
b
A
A
E
TTT
),(||||
1
αα
α
α
== AbA
b
A
Q
T
T
从而
,0||
1
bAQQ
T
≠≠
αα，即可逆的充要条件为故
,13可逆可逆等价于阶方阵，证明均为，设例BAEABEnBA
,|||| 即可只需证明证BAEABE?=?
，因为
=
EB
ABE
EB
AE
E
AE 0
0
.|| ABE
EB
AE
=故
，又因为
=
BAEB
E
E
AE
EB
AE 0
0
.|| BAE
EB
AE
=故
,|||| 可逆可逆等价于，即从而BAEABEBAEABE=?
1,利用定义求矩阵的秩利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是否为零来确定矩阵的秩.
).(
)( 1
ArAa
aAaA
ijij
ijijnnij
，求＝若的代数余子式，为为非零矩阵，设例
×
=；，所以至少有一个元素因为解00 ≠≠
ij
aA
行展开，有按第将 || iA
,0||
1
2
1
>==
∑∑
==
n
j
ij
n
j
ijij
aAaA
.)( nAr =故
.* *求逆有关中用，这时题目常常与若在；另一个是
）展开；；一是行列式按行（列方用到注：我们一般在两个地
AA
A
ij
.)( 2)( 2 A*r＝n－ArnA，求阶方阵且为设例阶子式全为零，的所有知：由解 1 2)(= nAnAr
.0*)(0* == ArA，从而故
.3)(
111
111
111
111
3 aAr
a
a
a
a
A，求，若设例=
=
，即，所以因为解0||3)( == AAr
.0)1)(3(
111
111
111
111
||
3
=?+== aa
a
a
a
a
A；，时，当1)(
1111
1111
1111
1111
1 =
== ArA a
，时，当
=?=
3111
1311
1131
1113
3 A a
，＝－
－
－
－
阶子式的由于016
311
131
113
3 ≠A
.33)(?== aAr，故有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4.
.0||
4
=
>××
AB
nmmnBnmA
求证
，矩阵，且为矩阵，为设例
,0||
},min{)()(
=>
=≤≤
ABABnm
mABnnmArABr
为降秩方阵，从而，故且阶方阵，为，而因为证
2,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将A化为阶梯阵，然后由阶梯阵的秩确定A的秩,
这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对.
.3)(
9113
1234
3221
5 <
= ArttA为何值时，，问设例
A因为解
1312
3,4 rrrr
0770
01180
3221
t
23
7 rr?÷
01180
0110
3221
t
,
0030
0110
3221
+
t
23
11rr?
.3 03 3 -tt r(A) ==+<，即，则欲使
).(,
301
020
201
2)( 34 6 ABrBArA求，阶矩阵且为设例
==×
B 因为解
13
rr +
,
500
020
201
为满秩阵，，即所以 3)( BBr =
.2)()( == ArABr从而二,逆阵及其求法
1,利用伴随矩阵A*求逆阵
.0 7
1?
≠?
= Abcad
dc
ba
A，求，例
,0 可逆，故因为解Aad-bc|A| ≠=
），从而有（读者可记住这一规律又 *
=
ac
bd
A
.
1
1
=
ac
bd
bcad
A
注：对2阶数字方阵求逆，一般都用A*来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用A*
求其逆阵，因为若用A*去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下面所介绍的初等变换法.
2,利用初等变换求逆阵方法与原理如下：
.,,2,1
1
）（
阶初等阵为，其中阶可逆阵，则为设
mi
nPPPAnA
im
L
L
=
=
），阶初等阵（也为，故minP PPA
im
-
,,2,1
11
1
11
LL ==
=
=
;
,
11
1
1
1
1
1
AEPP
EAPP
m
m
L
L
从而有
( ) ( ),
1?
→→ AEEA MLLM初等行变换即
,
153
132
543
8
1?
= AA，求例
=
100
010
001
153
132
543
M
M
M
M）（解EA
，
－
－－
－－
初等行变换
→→
131
7185
11298
100
010
001
M
M
M
LL
.
131
7185
11298
1
=
－
－－
－－
故A
,
1
001
0001
00001
9
1
321
2?
= A
aaaa
aa
a
A
nnn
，求例
L
MMMMM
L
L
L
( )
=
10000
00100
00010
00001
1
001
0001
00001
321
2
L
MMMMM
L
L
L
M
M
M
M
M
L
MMMMM
L
L
L
M
aaaa
aa
a
EA
nnn
解
1
1
1
2
312
,,,rarrararr
n
n
L
L
MMM
L
L
L
M
M
M
M
M
L
MMMMM
L
L
L
00
10
01
001
10
0010
00010
00001
1
2
32 nnn
a
a
a
aaa
a
→→ LL
,
1
1
1
1
1
1
a
a
OO
M
M
M
M
O
.
1000
0010
0001
00001
1
=
a
a
a
A
L
MMMMM
L
L
L
故注意：对于2阶数字方阵，一般不用初等变换法求其逆阵.
3,利用定义求逆阵利用定义求n 阶方阵A 的逆阵，即找或猜或凑一个n
阶方阵B，使AB=E或BA=E，从而A
－1
＝B.
,)0(0 10
1
1
1
≠
= Aaa
a
a
A
n
n
，求未写出的为，例LO
,
1
EABBA =
，使即找矩阵求分析可推测，由
1
=
n
a
a
A O
.
1
1
1
=
n
a
a
B O
,
1
EABAB =
，只需验证是否为
.
1
1
1
=
n
a
a
B O设解
.
1
1
1
1
===
n
a
a
BAEAB O，故因为
,
02 11
1
2
=
A
AEAAAn
并求可逆，求证满足阶方阵设例
,2)(02
2
EEAAEAA =?=，得：由证即
.
2
E
EA
A =
.
2
1
EA
AA
=
可逆且从而
,
12
BAAB
EAABBAA,B
=
=
可逆并进一步证明
，求证＋满足且阶方阵为同设例
，故因为证BEABABA )(?=?=
,)()( BEAEEA?=+?
,))(( EEAEA =+?从而有故可逆且即,)(
1
EBEAEA?=
),)(())(( EAEBEBEA=
,EBABAEBAAB +=+即
,BAAB =从而
.)()(2 13
13?
=? AEAEAAAn，求满足阶方阵已知例
，得由解
3
)(2 AEAA =?
,022
23
=+? AAA
,22
23
EEAAA?=?+?所以
.))((
2
EEAAAE =+从而有
.)(
21
EAAAE +?=?
即
4,利用分块矩阵求逆阵关于分块矩阵的几个基本公式则有阶方阵，为设,,,2,1 )1( sinA
ii
L=
|;||||| i)(
21
2
1
s
s
AAA
A
A
A
L
O
=
);()()( ii)(
21
2
1
s
s
ArArAr
A
A
A
r L
O
+=
是可逆的，可逆的充要条件为矩阵 iii)(
2
1
i
s
A
A
A
A
O
,
1
1
2
1
1
1
2
1
=
－
s
s
A
A
A
A
A
A
O
O
－
－
且有
，则有，阶方阵，为设21 )2( =inA
iii
|,|||
0
)i(
2211
2221
11
AA
AA
A
= |;|||
0
2211
22
1211
AA
A
AA
=
可逆且可逆的充要条件为 )21(
0
)ii(
2221
11
,iA
AA
A
ii
=
,
0
0
1
22
1
1121
1
22
1
11
1
2221
11
=
AAAA
A
AA
A
可逆且可逆的充要条件为 )21(
0
22
1211
,iA
A
AA
ii
=
.
0
0
1
22
1
2212
1
11
1
11
1
22
1211
=
A
AAAA
A
AA
阶方阵，则为阶方阵，为设 )3( nBmA
|;|||)1( )i( BA
CB
AO
mn
=
可逆且与可逆的充要条件为 )ii( BA
OB
AO
,
1
1
1
=
OA
BO
OB
AO
.
1100
2100
0052
0021
14
1?
= AA，求例
,
0
0
2
1
=
A
A
AA分块为将解
,
12
25
52
21
1
1
1
=
=
－
因为A
,
3
1
3
1
3
2
3
1
11
21
1
1
2
=
=
－
A
.
3
1
3
1
00
3
2
3
1
00
0012
0025
0
0
1
2
1
1 1
=
=
－
－
故
A
A
A
注：因为使用了分块矩阵的求逆公式，由求4阶方阵的逆阵转化为求两个2阶方阵的逆阵了，计算量大大减少.
.
2000
1200
3120
4312
15
1?
= AA，求例
，分块为将解
=
22
1211
0
A
AA
AA
,
2
1
0
4
1
2
1
20
12
1
22
1
1
11
=
=
= AA因为
,
8
6
4
1
16
5
8
5
1
2212
1
11
=
AAA而
.
2
1
00 0
4
1
2
1
0 0
8
5
4
1
2
1
0
16
5
8
5
4
1
2
1
0
1
22
1
2212
1
11
1
111
=
=
A
AAAA
A故
,0,,
00
00
00
16
1
1
1
1
≠
= Maa
a
a
a
M
n
n
n
，求，其中例L
L
L
MMM
L
,
0
0
=
B
A
MM分块为将解
).(
1
1
n
n
aB
a
a
A =
=
，其中O
从而
=
0
0
1
1
1
A
B
M
.
0
1
0
1
1
00
1
1
=
n
n
a
a
a
MO
L
5,利用定义证明某一矩阵B为矩阵A的逆阵
,或
3
1?
=== ABE BAE AB
BA
，从而证明是已知的，只需验证与不同，这类问题中矩阵与方法
.)(
) ( 0 17
121
++++=?
=
k
k
AAAEAE
kA
L
，证明为正整数设例
))((
12?
++++?
k
AAAEAE L
因为证
kkk
AAAAAAAE++++=
1212
LL
,EAE
k
=?=
.)(
121
++++=?
k
AAAEAE L故
.)()(
18
11
AABEBEBAE
BAEABEnBA
+=?
证明均可逆，与阶方阵，且为，设例因为证
〕〔AABEBEBAE
11
)()(
+?
AABEBBAEBAE
1
)()(
+?=
AABEBABBBAE
1
))((
+?=
AABEABEBBAE
1
))((
+?=
EBABAE =+?=
.)()(
11
AABEBEBAE
+=?故注：1,矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，
主要包括：
①证明矩阵A可逆；②求逆阵；③证明矩阵B是矩阵
A的逆阵.
2,证明矩阵A可逆，可利用A 的行列式不为零或证明A
满秩或找一个矩阵B，使AB=E或BA=E 等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用A*（如2阶矩阵）或初等变换（3阶及3阶以上的方阵）的方法来做，有时也利用分块矩阵来做；对抽象的矩阵A，若求其逆，一般是用定义或A*来做；证明矩阵B是矩阵A的逆阵，只需验证AB=E或BA=E即可,
三,矩阵方程及其求解方法标准的矩阵方程有三种形式：
,，，BAXCBXABAX ===
其中A,C 均为可逆阵.
.,1 XABAX可逆，求，=
,I
1
BAXA
－
＝可逆，故有因为：求解方法也为初等阵，，，故有，，，
为初等阵，，可逆知由：求解方法
－－
21
II
1
1
1
1
1
1
im
im
PPPAmi
PPPAA
LL
L
==
=
=
=
;
,
1
1
1
1
1
1
XBPP
EAPP
m
m
L
L
从而,〕〔〕〔即初等行变换XEBA MM →→
.
1000
2100
1210
321
1000
1100
1110
1111
19
=
L
MMMM
L
L
L
L
MMMM
L
L
L
n
n
n
X
求解矩阵方程例
=
1000
2100
1210
321
1000
1100
1110
1111
)(
L
MMMM
L
L
L
M
M
M
M
M
L
MMMM
L
L
L
M n
n
n
BA解
nn
rrrrrr
13221
,,L
，
1000
1110
1111
1
1
L
MMMM
L
L
M
M
M
M
O
O
.
1000
1100
1110
1111
=
L
MMMM
L
L
L
X故
.,2 XABXA可逆，求，=
,I
1－
＝：求解方法BAX
，有类似：求解方法I II
=
=
;
,
1
1
1
1
1
1
XPBP
EPAP
m
m
L
L
,
→→
X
E
E
A
LL初等列变换故
,
,III
X
XBXABXA
TTTT
求出进而，先求出得由：求解方法==
.,.3 XCABAXC可逆，求，=
,
11
来做或此方程可化为BAXCBCAX
==
.
021
102
341
010
100
001
100
001
010
20
=
X求解矩阵方程例
，，，记解
=
=
=
021
102
341
010
100
001
100
001
010
BCA
,
11
CCAACA ==
，为初等阵，且，易知
.
201
431
012
11
===
ABCBCAX故注：因为A，C 为初等阵，故可利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系很容易地写出ABC的结果，而无需做矩阵乘法.（有时）在求解矩阵方程时，应先将方程化简,见下面的例子.
,3
101
020
101
21 XXAAXA，求，且设例+=
=
.)3( 3 AXEAXAAX =?+=，得由解
=?
101
020
101
201
010
102
3
M
M
M
M〕〔AEA
101
020
101
102
010
201
M
M
M
)1(,
231
rrr
13
2rr +
303
020
101
300
010
201
M
M
M
)
3
1
(),
3
2
(
331
+ rrr
,
101
020
101
100
010
001
M
M
M
.
101
020
101
=X故
，，设例
=
=
200
120
312
100
110
011
22 CB,)(
1
ABCBCEA
TT
，求且=?
，由于解
TTTT
BCABCCCACBCEA )()()(
11
=?=?
从而故,)( BBCA
T
=?
.
121
133
013
121
012
001
100
110
011
])[(
1
=
=?=
T
BCBA
注：此题若不是先化简给出的矩阵方程，而是直接求
C
-1
以及C
-1
B 及E－C
-1
B，再求(E－C
-1
B )
T
及(E－C
-1
B
)
T
C
T
就麻烦多了,因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.
,*2*
100
021
012
23 BEBAABABA，求满足，矩阵设例+=
=
，得：两端右乘在解AEBAABA *2* +=; *2* AABAAABA +=
，故因为EEAAA 3||* ==
.)2(3 ABEA =?
.
3
1
00
0
3
1
3
2
0
3
2
3
1
100
012
021
3
1
=
=B
从而
)?(
24
为常数其中能用什么方法求矩阵
，，若已知矩阵为同阶方阵且，设例
kB
AkBAAABBA +=
,3
100
010
111
BkA求，，设=
=
,
BBkBAAAB
BAAB
为方程组来求，只能将矩阵方程转化求
，故由方程满足交换律，即一般来讲，矩阵乘法不解
+=
≠
，时，设当
=
=
333231
232221
131211
100
010
111
bbb
bbb
bbb
BA
,
333231
232221
332313322212312111
+?+?+?
=
bbb
bbb
bbbbbbbbb
AB因为
,
3331323131
2321222121
1311121111
+?
+?
+?
=
bbbbb
bbbbb
bbbbb
BA
.3 3 ABAABBAAAB =?+=，得由
+
+
+?+?++
3331323131
2321222121
3323131132222111312111
23434
43232
43232
bbbbb
bbbbb
bbbbbbbbbbb
－即
.
100
010
111
=
=+?
=?
=+?
=?
==
=+?+?
=+
=+
.123
,043
,043
,123
,0
,143
,123
,12
3331
3231
2321
2221
3121
33231311
32222111
312111
bb
bb
bb
bb
bb
bbbb
bbbb
bbb
从而有：
===
=?==
==?=
.
2
1
,0,0
,0,
2
1
,0
,0,0,
2
1
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
解之得：
.
2
1
00
0
2
1
0
00
2
1
=B故四,关于矩阵运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.
.)( 25
222
BABABBAAnBA +=?==，，阶方阵，且均为，设例
.0 == BAAB证明：
,0,,)(
222
=+==+=? BAABBBAABABA得及由证；从而BAAB?=；又BABAABAAABBAAABABAAB ==?===?==
22
.0 == BAAB故
,)1 0 1( 26
nTT
AA，求，，，设例ααα =?=
，故有显然解2
1
0
1
)1 0 1( =
=αα
T
TTTTTTTTnTn
A αααααααααααααααααα )())(()( LL ===
.2)(
11
A
nTnT
=?= αααα
(),
101
000
101
1 0 1
1
0
1
=?
=A因为
.
101
000
101
2
1
=
nn
A所以注：对一般的n阶方阵A，我们常常用归纳的方法求A
n
.
.2
100
001
010
27
22004
AAA?
=求，设例
100
010
001
100
001
010
100
001
010
2
，＝因为
=A
.)(
501501420044
EEAAEA ====，从而故
.
100
030
003
100
010
001
2
100
010
001
2
22004
=
=? AA所以
,28阶实反对称矩阵为阶实对称矩阵，为设例mBnA
,))((
1
为正交矩阵为可逆阵，证明：，且
+?= BABABABAAB
11
))((]))([(
+?+ BABABABA
T
因为证
11
))(()(])[(
++?= BABABABA
TT
11
))()((])[(
++?= BABABABA
TTT
11
))()(()(
+= BABABABA
TT
11
))()(()(
+?+= BABABABA
11
))(()(
+?+= BABBABBAAABA
EBABABABA =++=
11
))()(()(
,))((
1
为正交矩阵故
+ BABA
).2( 29
2
ABAABrEABAnBA +?=?，求阶方阵，且均为，设例
，可逆且，从而得由解BAAAEBAAEABA?==?=?
12
)(；
，由此得，即故有
BAAB
EBAAABAEABABAA
=
=?=?=?=?
)()(
22
.)()2()2( nArArABAABr ===+?故设为常数的矩阵，为阶非奇异阵，为设例,1 03 bnnA ×α
,
1
bAQ
b
A
Q
T
T
≠
=
αα
α
α
可逆的充要条件为，证明
，因而有存在，且非奇异，故因为证0||
1
≠
AAA
,
01
0
11
=
αα
α
α
α
α Ab
A
b
A
A
E
TTT
),(||||
1
αα
α
α
== AbA
b
A
Q
T
T
从而
,0||
1
bAQQ
T
≠≠
αα，即可逆的充要条件为故
,13可逆可逆等价于阶方阵，证明均为，设例BAEABEnBA
,|||| 即可只需证明证BAEABE?=?
，因为
=
EB
ABE
EB
AE
E
AE 0
0
.|| ABE
EB
AE
=故
，又因为
=
BAEB
E
E
AE
EB
AE 0
0
.|| BAE
EB
AE
=故
,|||| 可逆可逆等价于，即从而BAEABEBAEABE=?
