线性方程组一,基本概念题
).( 0 1
35
ArXA仅有零解，求设齐次线性方程组例=
×
.3)( )(
0 3
==
==
ArnAr
AXn
，故零解，所以有惟一，又方程组方程组中未知量个数解
),(|| )1(
2
的增广矩阵为矩阵，求为有解，其中元非齐次线性方程组设例
AAAnn
AbAXn
×+
=
.0|| 1)()( =+<≤== AnnArArbAX，从而有解，故因为解
,
02
,0
,0
3 k
zyx
zkyx
zykx
有非零解，求若例
=+?
=?+
=++
.4 1 0||
112
11
11
3)( 0
===
=
=<=
kkAk
k
A
nArAX
或，解得，故有
，又有非零解，所以因为解
,)4,3,2,1(
)5,4,3,2(,,3
4
321321
的通解，求
，是它的三个特解，且，为的秩的系数矩阵组设四元非齐次线性方程例
β
ηηηηηη
β
==
+=
=
AX
AAX
T
T
,0 3)(4 的基础解系含一个向量，故，因为解=== AXArn
0 0
)6,5,4,3()(2 )3,
2
5
,2,
2
3
(
2
321
32
1
的一个基础解系，的解，从而为为或又
==
=+?==
+
=
AXAX
TT
ηηηξ
ηη
ηξ
.,)6,5,4,3()5,4,3,2(
,)3,
2
5
,2,
2
3
()5,4,3,2(
0
1111
Ckk
Ckkk
AX
TT
TT
∈+
∈+=+
=
或的通解为所以方程组
ξη
二,求解线性方程组
1,求AX=0的通解或基础解系步骤：
(1) 写出系数矩阵A并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得到r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2,求AX=b的通解当有解时，则，判断是否有解及为行最简形式，求出并用初等行变换将其化写出增广矩阵步骤：
,)( )(
)1(
ArAr
A
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出AX=0的基础解系及AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
=?++
=?++
=?+
=?+?
.23657
,112 3
,3
,4342
5
4321
4321
431
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
求解方程组例
=
236517
112113
31101
43412
M
M
M
M
A解
，
－－
－－
行变换
00000
00000
21210
31101
M
M
M
M
,224
2)()(
个解向量含导出组的基础解系，方程组有无穷多解且故
=?
== ArAr
对应的同解方程组为
）（*
.22
,3
432
431
=
+?=
xxx
xxx
.)0,0,2,3(* 0
43
T
xx=== η，得特解取
.)1,0,1,1(,)0,1,2,1(
1
1
2
1
1
0
0
1
21
2
1
4
3
TT
x
x
x
x
=?=
=
=
ξξ基础解系为
，从而导出组的，，故，取
.,,*
212211
为任意常数方程组的通解为kkkk ξξη ++
注：1,在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形式，这样有利于求解.
2,根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数加进去.
三,特殊方程组的求解
,
,)0,,0,1(1 )( 6
11
的解求方程组
，是实正交阵，且设例
bAX
baaA
T
nnij
=
===
×
L
，由正交阵的定义知：又有惟一解
，所以方程组为正交阵，故由于解
1,
)( )(
==
==
×
n
nnij
abAX
nAraA
,
0
0
0001
32
22322
=
nnnn
n
aaa
aaa
A
L
MMMM
L
L
方程组为：
=++
=++
=
.0
,0
,1
22
2222
1
nnnn
nn
xaxa
xaxa
x
L
LL
L
,)0,,0,1( 为其全部解故
T
L=η
,132
032 7
321
321
的全部解的基础解系，并求求例
=++++
=++++
n
n
nxxxx
nxxxx
L
L
()
,1
1)( 321
个解向量含
，方程组的基础解系，故解
==
n
ArnA L
，取因为)32(
321 n
nxxxx +++?= L
,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
3
2
=
M
L
MMM
n
x
x
x
,
1
0
0
,,
0
1
0
3
,
0
0
1
2
121
为一个基础解系则
=
=
=
M
L
MM
n
n-
ξξξ
，其全部解可表示为特解的一个是显然
132,0)(1,0,*
321
=++++=
n
T
nxxxx LLη
.1,,2,1,,*
1111
=∈+++
niCkkk
inn
LL ξξη
.,
0
0
0
0
13345
62210
31123
11111
10065
02321
01021
00121
8
5
4
3
2
1
解系试求方程组的一个基础的解向量方程组的行向量都是齐次线性已知例
=
=
x
x
x
x
x
B
组的解，线性无关，又都是方程无关组，即构成向量组的一个极大向量，且第一、二、四行的又个解向量含
，故基础解系，并求得记方程组的系数矩阵为解
)1,0,0,6,5(,)0,1,0
,2,1(,)0,0,1,2,1(
3)(,325
2)(
3
21
TT
T
Br
ArA
=
=?=
==?
=
ξ
ξξ
.,,
321
为一个基础解系故ξξξ
四,含参数的方程组
.
)()(
,
,
,
,
确定参数值件法，这时依据有解的条其他情形常用初等变换一般方程组方程组化为不含参数的数值，从而将含参数的方程确定出参系数行列式等于零这一式等于零时，我们可由而当系数行列时，方程组有惟一解；即当系数行列式不为零则，其理论依据为克莱姆法列式法容易求出时更是首选行或系数行列式式法，特别当阶数较小参数时，常考虑用行列且系数中含有数，即系数矩阵为方阵未知数个数等于方程个当等变换法一是行列式法，二是初有两种方法确定参数：
一般而言，解之前要先确定参数对含参数的方程组，求
ArAr =
.
1554
,2
,1 2
9
321
321
321
有解时求其解解、有无穷多解？并在无解、有惟一为何值时，方程组例
=?+
=+?
=?+
xxx
xxax
xaxx
a
),45)(1(
554
11
12
+?=
aaa
a
原方程组的系数行列式解
,
5
4
1 时，方程组有惟一解且故当?≠≠ aa
=?+
=+?
=?+
=
.1554
,2
,1 2
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a时，原方程组为当
,
0000
1110
1001
0000
1110
2111
1554
2111
1112
→
→
M
M
M
M
M
M
M
M
M
行变换化为：对其增广矩阵施行初等
,)1,1,0()0,1,1(
1
为任意实数）（
组解，其通解为时，原方程组有无穷多因此，当
kk
a
TT
+?
=
=?+
=?+
=?
=
.1554
,01554
,55410
5
4
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a
－
程组为时，原方程组的同解方当
,
9000
10554
55410
1554
10554
55410
→
M
M
M
M
M
M
行变换化为：对其增广矩阵施行初等
,
5
4
时，原方程组无解由此可知当?=a
,
)2(
.0)(
,02 )(22
,0 )1(
01
21
21
21
非零解取何值时，该方程组有当设有齐次线性方程组例
a
n
xannxnx
xxax
xxxa
n
n
n
≥
=++++
=++++
=++++
L
LL
L
L
annn
a
a
D
+
+
+
=
L
MMM
L
L
222
111
方程组的系数行列式为解
n
rrr +++ L
21
annn
a
an
+
+
++++
L
MMM
L
L
L
222
111
)21(
a
a
a
nn
L
MMM
L
L
00
00
111
2
)1(
+
+
=
.
2
)1(
1
+
+
=
a
nn
a
n
,
2
)1(
0 时方程组有非零解或故当
+
==
nn
aa
.
2
,2
,2 2
11
2
321
321
321
解有解？并在有解时求其为何值时，方程组例
=?+
=+?
=++?
λ
λλ
xxx
xxx
xxx
=
2
211
121
2112
λ
λ
M
M
M
A解
23
,
321
rrrrr?++
+
λλ
λ
λλ
2
2
33 0
1 21
20 0 0
M
M
M
，
+
→
20 0 0
3
11 0
1 21
2
2
λλ
λλ
λ
M
M
M
,2 1 02
2
时，方程组有解或即当?===?+ λλλλ
，时，
→
→=
00 0 0
011 0
110 1
00 0 0
011 0
11 21
1
M
M
M
M
M
M
Aλ
.,
1
1
1
0
0
1
Ckk ∈
+
故通解为
，时，
→
→?=
00 0 0
211 0
210 1
0 0 0 0
2 11 0
21 21
2
M
M
M
M
M
M
Aλ
.,
1
1
1
0
2
2
Ckk ∈
+
故通解为穷多解？有惟一解、无解、有无为何值时，方程组参数例
=+
=++?
=+++
=+++
bxxxx
xaxxx
xxxx
xxxx
ba
4321
4321
4321
4321
12105
,315 3
,3 6 3
,13 2
,21
=
b
a
A
M
M
M
M
121051
31513
31631
13221
解
→
191260
06640
22420
13211
b
a
M
M
M
M
.
53000
42200
11210
13211
+
+
→
b
a
M
M
M
M
,2 时方程组有惟一解故当?≠a
,2 时当?=a
,
10000
21000
11210
13211
53000
42000
11210
13211
→
+
→
bb
A
M
M
M
M
M
M
M
M
,1 1 解时，方程组有无穷多组时方程组无解；当故当=?≠ bb
.
1,2 1,2
,2
方程组有无穷多组解时，时，方程组无解；当当时方程组有惟一解综上所述，当
=?=?≠?=
≠
baba
a
,
,2 3345
,622
,03 23
,
31
54321
5432
54321
54321
方程组有解取何值时，当参数例ba
xxxxx
bxxxx
xxxxx
axxxxx
=?+++
=+++
=?+++
=++++
=
213345
62210
031123
11111
M
M
M
M
b
a
A解行变换
,
2200000
300000
362210
11111
a
ab
a
a
M
M
M
M
,3,1
,022
,03
时，方程组有解即故当==
=?
=?
ba
a
ab
五,证明题利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
.)()(
0,14
nBrAr
ABnBA
≤+
=，证明阶方阵，且均为设例的解，故为方程组，则，设因为证
0
,,),,( 0
11
=
==
AX
BAB
nn
ββββ LL
).(),,(
1
Arnr
n
≤ββ L
.)()( )()( nBrArArnBr ≤+?≤，从而有即
,
,,,0 0
15
1
1
是线性无关的
，证明向量组，且有解向量
，使线性方程组阶矩阵，若存在正整数是设例
α
αααα
≠=
k
kk
A
AAXA
knA
L
)1(,0
,,,
1
21
21
=+++
αλαλαλ
λλλ
k
k
k
AA L
L使得设有常数证
,0
22
2
1
1
1
=+++
αλαλαλ
k
k
kk
k
AAA
A
L
，有等式两端左乘
.0 0 00
1
11
1
=≠==
λααλα，所以，但，有由
kkk
AAA
(2),0
)1( 0
1
2
1
=++
=
αλαλ
λ
k
k
AA L
式，得代入将
,0
321
2
2
=++
αλαλ
k
k
k
k
AA
A
L
，有等式两端左乘
.0
,0 0
32
1
2
==
===
k
k
A
λ
λλαλ L类似地可求得，故有从而有
.,,,
1
是线性无关的因此向量组ααα
k
AA L
,*,
,*,**,0
,,,* 16
21
21
线性无关的一个基础解系，证明是其导出组的一个解，是非齐次方程组设例
n-r
n-r
AX
bAX
ξη
ξηξηη
ξξξη
+
++=
=
L
L
0,)*()*()*(*
,,,
22110
10
=+++++++
n-rn-r
rn
kkkk
kkk
ξηξηξηη L
L，使设有常数证
(1) 0,*)(
221110
=+++++++
n-rn-rn-r
kkkkkk ξξξη LL
则有
，有，并注意到两边左乘rniAbAA
i
==≠=,,2,1,0,0* Lξη
0,)(
10
=+++ bkkk
n-r
L
(2) 0,)(
10
=+++ bkkk
n-r
L
从而
0,)1(
2211
=+++
n-rn-r
kkk ξξξ L式，有代入
,0
)2( 0
,,,0,,,
0
21
2121
=
====
=
k
kkk
AX
rn
n-rn-r
式，得，代入线性无关的，故有是的基础解系，因此是由于
L
LL ξξξξξξ
,*,,*,**,
21
线性无关这就证明了
n-r
ξηξηξηη +++ L
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘A”的方法，希望读者能用心体会并掌握它.
).()( 17
1+
=
nn
ArArnA阶方阵，证明为设例
,0 0
1
同解与只需证明方程组证==
+
XAXA
nn
,0 0
0 0
0 0 0
11
1
≠=
==
===
α
ααα
βββ
nn
nn
nnn
AXA
AXA
AAXA
的解，即不是，若的解，即为反之，设；，显然有的解，即为设
＋＋
＋
,,,15
1
ααα
k
AA L知由例
).()(
0 0,0
1
1
1
+
+
=
===
+
nn
nnn
ArAr
XAXAA
nn
所以同解，与因此能的，从而必有是不可元向量线性无关，但这个是线性无关的，即
α
).()( 18 AArArnmA
T
=×阶矩阵，证明为设例
,0 0 同解与只需证明方程组证== AXAAX
T
).()(
0 0,0 0)()(
0 0 0
AArAr
AXAAXAAA
AAAAA
T
TT
TT
=
====
===
同解，所以与因此，从而
，则；反之，若，显然有若
βββ
βαα
六,应用题利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、面关系问题.
.),3,,1(
,)3,2,1,1(,)4,1,2,1(,)5,0,3,1( 19
321
T
TTT
ba=
===
β
ααα设例
.,,,)2(
.,,,)1(
321
321
线性表示不能用取何值时，
式线性表示？并求出表示能用取何值时，
αααβ
αααβ
ba
ba
(),
3
2
1
321
332211
AX
x
x
x
xxx
=
=
++=
αααβ
αααβ，则有设解
(),,
345
210
123
111
3
2
1
321
=
==
x
x
x
XA ααα其中
.
,,
321
有解的问题是否线性表示转化为方程组能否用从而βαααβ =AX
()
==
b
a
AA
M
M
M
M
M
345
3210
123
1111
β
因为
→
5210
3210
3210
1111
b
a
M
M
M
M
.
2000
000
3210
1111
+?
→
ab
a
a
M
M
M
M
,
,,2 0
3
21
线性表示不能用时，方程组无解，从而或故当
α
ααβ≠?≠ aba
此时性表示线可由时，方程组有解，从而，且当
,
,,2 0
321
αααβ== ba
,
0000
0000
3210
2101
0000
0000
3210
1111
→
→
M
M
M
M
M
M
M
M
A
.)1,2,1()0,3,2(
TT
k?+?方程组的通解为
.,)23()2(
,,
321
321
为任意常数其中线性表示为可由从而
kkkk αααβ
αααβ
+?++?=
注：讨论向量β能否由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示，并进一步求出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解的问题.
,0
.032,032,032
20
111
置关系时，讨论三条直线的位当
：：：
的方程分别为设平面上三条不同直线例
=++
=++=++=++
cba
baycxlacybxlcbyaxl
考虑方程组解
)1(
,32
,32
,32
=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
.
000
32
32
32
32
32
0
213
=
=++
++
M
M
M
M
M
M
acb
cba
bac
acb
cba
A
cba
rrr
，故由于
.0])([
]222[
])([2)(2
2
2
222
22
22
≠+++?=
++?=
++?=?=
baba
baba
bbaabac
cb
ba
又因为
.,,
)1(2)()(
321
交于一点有惟一解，即三直线，从而方程组所以
lll
ArAr ==
).( 0 1
35
ArXA仅有零解，求设齐次线性方程组例=
×
.3)( )(
0 3
==
==
ArnAr
AXn
，故零解，所以有惟一，又方程组方程组中未知量个数解
),(|| )1(
2
的增广矩阵为矩阵，求为有解，其中元非齐次线性方程组设例
AAAnn
AbAXn
×+
=
.0|| 1)()( =+<≤== AnnArArbAX，从而有解，故因为解
,
02
,0
,0
3 k
zyx
zkyx
zykx
有非零解，求若例
=+?
=?+
=++
.4 1 0||
112
11
11
3)( 0
===
=
=<=
kkAk
k
A
nArAX
或，解得，故有
，又有非零解，所以因为解
,)4,3,2,1(
)5,4,3,2(,,3
4
321321
的通解，求
，是它的三个特解，且，为的秩的系数矩阵组设四元非齐次线性方程例
β
ηηηηηη
β
==
+=
=
AX
AAX
T
T
,0 3)(4 的基础解系含一个向量，故，因为解=== AXArn
0 0
)6,5,4,3()(2 )3,
2
5
,2,
2
3
(
2
321
32
1
的一个基础解系，的解，从而为为或又
==
=+?==
+
=
AXAX
TT
ηηηξ
ηη
ηξ
.,)6,5,4,3()5,4,3,2(
,)3,
2
5
,2,
2
3
()5,4,3,2(
0
1111
Ckk
Ckkk
AX
TT
TT
∈+
∈+=+
=
或的通解为所以方程组
ξη
二,求解线性方程组
1,求AX=0的通解或基础解系步骤：
(1) 写出系数矩阵A并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得到r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2,求AX=b的通解当有解时，则，判断是否有解及为行最简形式，求出并用初等行变换将其化写出增广矩阵步骤：
,)( )(
)1(
ArAr
A
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出AX=0的基础解系及AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
=?++
=?++
=?+
=?+?
.23657
,112 3
,3
,4342
5
4321
4321
431
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
求解方程组例
=
236517
112113
31101
43412
M
M
M
M
A解
，
－－
－－
行变换
00000
00000
21210
31101
M
M
M
M
,224
2)()(
个解向量含导出组的基础解系，方程组有无穷多解且故
=?
== ArAr
对应的同解方程组为
）（*
.22
,3
432
431
=
+?=
xxx
xxx
.)0,0,2,3(* 0
43
T
xx=== η，得特解取
.)1,0,1,1(,)0,1,2,1(
1
1
2
1
1
0
0
1
21
2
1
4
3
TT
x
x
x
x
=?=
=
=
ξξ基础解系为
，从而导出组的，，故，取
.,,*
212211
为任意常数方程组的通解为kkkk ξξη ++
注：1,在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形式，这样有利于求解.
2,根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数加进去.
三,特殊方程组的求解
,
,)0,,0,1(1 )( 6
11
的解求方程组
，是实正交阵，且设例
bAX
baaA
T
nnij
=
===
×
L
，由正交阵的定义知：又有惟一解
，所以方程组为正交阵，故由于解
1,
)( )(
==
==
×
n
nnij
abAX
nAraA
,
0
0
0001
32
22322
=
nnnn
n
aaa
aaa
A
L
MMMM
L
L
方程组为：
=++
=++
=
.0
,0
,1
22
2222
1
nnnn
nn
xaxa
xaxa
x
L
LL
L
,)0,,0,1( 为其全部解故
T
L=η
,132
032 7
321
321
的全部解的基础解系，并求求例
=++++
=++++
n
n
nxxxx
nxxxx
L
L
()
,1
1)( 321
个解向量含
，方程组的基础解系，故解
==
n
ArnA L
，取因为)32(
321 n
nxxxx +++?= L
,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
3
2
=
M
L
MMM
n
x
x
x
,
1
0
0
,,
0
1
0
3
,
0
0
1
2
121
为一个基础解系则
=
=
=
M
L
MM
n
n-
ξξξ
，其全部解可表示为特解的一个是显然
132,0)(1,0,*
321
=++++=
n
T
nxxxx LLη
.1,,2,1,,*
1111
=∈+++
niCkkk
inn
LL ξξη
.,
0
0
0
0
13345
62210
31123
11111
10065
02321
01021
00121
8
5
4
3
2
1
解系试求方程组的一个基础的解向量方程组的行向量都是齐次线性已知例
=
=
x
x
x
x
x
B
组的解，线性无关，又都是方程无关组，即构成向量组的一个极大向量，且第一、二、四行的又个解向量含
，故基础解系，并求得记方程组的系数矩阵为解
)1,0,0,6,5(,)0,1,0
,2,1(,)0,0,1,2,1(
3)(,325
2)(
3
21
TT
T
Br
ArA
=
=?=
==?
=
ξ
ξξ
.,,
321
为一个基础解系故ξξξ
四,含参数的方程组
.
)()(
,
,
,
,
确定参数值件法，这时依据有解的条其他情形常用初等变换一般方程组方程组化为不含参数的数值，从而将含参数的方程确定出参系数行列式等于零这一式等于零时，我们可由而当系数行列时，方程组有惟一解；即当系数行列式不为零则，其理论依据为克莱姆法列式法容易求出时更是首选行或系数行列式式法，特别当阶数较小参数时，常考虑用行列且系数中含有数，即系数矩阵为方阵未知数个数等于方程个当等变换法一是行列式法，二是初有两种方法确定参数：
一般而言，解之前要先确定参数对含参数的方程组，求
ArAr =
.
1554
,2
,1 2
9
321
321
321
有解时求其解解、有无穷多解？并在无解、有惟一为何值时，方程组例
=?+
=+?
=?+
xxx
xxax
xaxx
a
),45)(1(
554
11
12
+?=
aaa
a
原方程组的系数行列式解
,
5
4
1 时，方程组有惟一解且故当?≠≠ aa
=?+
=+?
=?+
=
.1554
,2
,1 2
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a时，原方程组为当
,
0000
1110
1001
0000
1110
2111
1554
2111
1112
→
→
M
M
M
M
M
M
M
M
M
行变换化为：对其增广矩阵施行初等
,)1,1,0()0,1,1(
1
为任意实数）（
组解，其通解为时，原方程组有无穷多因此，当
kk
a
TT
+?
=
=?+
=?+
=?
=
.1554
,01554
,55410
5
4
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a
－
程组为时，原方程组的同解方当
,
9000
10554
55410
1554
10554
55410
→
M
M
M
M
M
M
行变换化为：对其增广矩阵施行初等
,
5
4
时，原方程组无解由此可知当?=a
,
)2(
.0)(
,02 )(22
,0 )1(
01
21
21
21
非零解取何值时，该方程组有当设有齐次线性方程组例
a
n
xannxnx
xxax
xxxa
n
n
n
≥
=++++
=++++
=++++
L
LL
L
L
annn
a
a
D
+
+
+
=
L
MMM
L
L
222
111
方程组的系数行列式为解
n
rrr +++ L
21
annn
a
an
+
+
++++
L
MMM
L
L
L
222
111
)21(
a
a
a
nn
L
MMM
L
L
00
00
111
2
)1(
+
+
=
.
2
)1(
1
+
+
=
a
nn
a
n
,
2
)1(
0 时方程组有非零解或故当
+
==
nn
aa
.
2
,2
,2 2
11
2
321
321
321
解有解？并在有解时求其为何值时，方程组例
=?+
=+?
=++?
λ
λλ
xxx
xxx
xxx
=
2
211
121
2112
λ
λ
M
M
M
A解
23
,
321
rrrrr?++
+
λλ
λ
λλ
2
2
33 0
1 21
20 0 0
M
M
M
，
+
→
20 0 0
3
11 0
1 21
2
2
λλ
λλ
λ
M
M
M
,2 1 02
2
时，方程组有解或即当?===?+ λλλλ
，时，
→
→=
00 0 0
011 0
110 1
00 0 0
011 0
11 21
1
M
M
M
M
M
M
Aλ
.,
1
1
1
0
0
1
Ckk ∈
+
故通解为
，时，
→
→?=
00 0 0
211 0
210 1
0 0 0 0
2 11 0
21 21
2
M
M
M
M
M
M
Aλ
.,
1
1
1
0
2
2
Ckk ∈
+
故通解为穷多解？有惟一解、无解、有无为何值时，方程组参数例
=+
=++?
=+++
=+++
bxxxx
xaxxx
xxxx
xxxx
ba
4321
4321
4321
4321
12105
,315 3
,3 6 3
,13 2
,21
=
b
a
A
M
M
M
M
121051
31513
31631
13221
解
→
191260
06640
22420
13211
b
a
M
M
M
M
.
53000
42200
11210
13211
+
+
→
b
a
M
M
M
M
,2 时方程组有惟一解故当?≠a
,2 时当?=a
,
10000
21000
11210
13211
53000
42000
11210
13211
→
+
→
bb
A
M
M
M
M
M
M
M
M
,1 1 解时，方程组有无穷多组时方程组无解；当故当=?≠ bb
.
1,2 1,2
,2
方程组有无穷多组解时，时，方程组无解；当当时方程组有惟一解综上所述，当
=?=?≠?=
≠
baba
a
,
,2 3345
,622
,03 23
,
31
54321
5432
54321
54321
方程组有解取何值时，当参数例ba
xxxxx
bxxxx
xxxxx
axxxxx
=?+++
=+++
=?+++
=++++
=
213345
62210
031123
11111
M
M
M
M
b
a
A解行变换
,
2200000
300000
362210
11111
a
ab
a
a
M
M
M
M
,3,1
,022
,03
时，方程组有解即故当==
=?
=?
ba
a
ab
五,证明题利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
.)()(
0,14
nBrAr
ABnBA
≤+
=，证明阶方阵，且均为设例的解，故为方程组，则，设因为证
0
,,),,( 0
11
=
==
AX
BAB
nn
ββββ LL
).(),,(
1
Arnr
n
≤ββ L
.)()( )()( nBrArArnBr ≤+?≤，从而有即
,
,,,0 0
15
1
1
是线性无关的
，证明向量组，且有解向量
，使线性方程组阶矩阵，若存在正整数是设例
α
αααα
≠=
k
kk
A
AAXA
knA
L
)1(,0
,,,
1
21
21
=+++
αλαλαλ
λλλ
k
k
k
AA L
L使得设有常数证
,0
22
2
1
1
1
=+++
αλαλαλ
k
k
kk
k
AAA
A
L
，有等式两端左乘
.0 0 00
1
11
1
=≠==
λααλα，所以，但，有由
kkk
AAA
(2),0
)1( 0
1
2
1
=++
=
αλαλ
λ
k
k
AA L
式，得代入将
,0
321
2
2
=++
αλαλ
k
k
k
k
AA
A
L
，有等式两端左乘
.0
,0 0
32
1
2
==
===
k
k
A
λ
λλαλ L类似地可求得，故有从而有
.,,,
1
是线性无关的因此向量组ααα
k
AA L
,*,
,*,**,0
,,,* 16
21
21
线性无关的一个基础解系，证明是其导出组的一个解，是非齐次方程组设例
n-r
n-r
AX
bAX
ξη
ξηξηη
ξξξη
+
++=
=
L
L
0,)*()*()*(*
,,,
22110
10
=+++++++
n-rn-r
rn
kkkk
kkk
ξηξηξηη L
L，使设有常数证
(1) 0,*)(
221110
=+++++++
n-rn-rn-r
kkkkkk ξξξη LL
则有
，有，并注意到两边左乘rniAbAA
i
==≠=,,2,1,0,0* Lξη
0,)(
10
=+++ bkkk
n-r
L
(2) 0,)(
10
=+++ bkkk
n-r
L
从而
0,)1(
2211
=+++
n-rn-r
kkk ξξξ L式，有代入
,0
)2( 0
,,,0,,,
0
21
2121
=
====
=
k
kkk
AX
rn
n-rn-r
式，得，代入线性无关的，故有是的基础解系，因此是由于
L
LL ξξξξξξ
,*,,*,**,
21
线性无关这就证明了
n-r
ξηξηξηη +++ L
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘A”的方法，希望读者能用心体会并掌握它.
).()( 17
1+
=
nn
ArArnA阶方阵，证明为设例
,0 0
1
同解与只需证明方程组证==
+
XAXA
nn
,0 0
0 0
0 0 0
11
1
≠=
==
===
α
ααα
βββ
nn
nn
nnn
AXA
AXA
AAXA
的解，即不是，若的解，即为反之，设；，显然有的解，即为设
＋＋
＋
,,,15
1
ααα
k
AA L知由例
).()(
0 0,0
1
1
1
+
+
=
===
+
nn
nnn
ArAr
XAXAA
nn
所以同解，与因此能的，从而必有是不可元向量线性无关，但这个是线性无关的，即
α
).()( 18 AArArnmA
T
=×阶矩阵，证明为设例
,0 0 同解与只需证明方程组证== AXAAX
T
).()(
0 0,0 0)()(
0 0 0
AArAr
AXAAXAAA
AAAAA
T
TT
TT
=
====
===
同解，所以与因此，从而
，则；反之，若，显然有若
βββ
βαα
六,应用题利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、面关系问题.
.),3,,1(
,)3,2,1,1(,)4,1,2,1(,)5,0,3,1( 19
321
T
TTT
ba=
===
β
ααα设例
.,,,)2(
.,,,)1(
321
321
线性表示不能用取何值时，
式线性表示？并求出表示能用取何值时，
αααβ
αααβ
ba
ba
(),
3
2
1
321
332211
AX
x
x
x
xxx
=
=
++=
αααβ
αααβ，则有设解
(),,
345
210
123
111
3
2
1
321
=
==
x
x
x
XA ααα其中
.
,,
321
有解的问题是否线性表示转化为方程组能否用从而βαααβ =AX
()
==
b
a
AA
M
M
M
M
M
345
3210
123
1111
β
因为
→
5210
3210
3210
1111
b
a
M
M
M
M
.
2000
000
3210
1111
+?
→
ab
a
a
M
M
M
M
,
,,2 0
3
21
线性表示不能用时，方程组无解，从而或故当
α
ααβ≠?≠ aba
此时性表示线可由时，方程组有解，从而，且当
,
,,2 0
321
αααβ== ba
,
0000
0000
3210
2101
0000
0000
3210
1111
→
→
M
M
M
M
M
M
M
M
A
.)1,2,1()0,3,2(
TT
k?+?方程组的通解为
.,)23()2(
,,
321
321
为任意常数其中线性表示为可由从而
kkkk αααβ
αααβ
+?++?=
注：讨论向量β能否由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示，并进一步求出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解的问题.
,0
.032,032,032
20
111
置关系时，讨论三条直线的位当
：：：
的方程分别为设平面上三条不同直线例
=++
=++=++=++
cba
baycxlacybxlcbyaxl
考虑方程组解
)1(
,32
,32
,32
=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
.
000
32
32
32
32
32
0
213
=
=++
++
M
M
M
M
M
M
acb
cba
bac
acb
cba
A
cba
rrr
，故由于
.0])([
]222[
])([2)(2
2
2
222
22
22
≠+++?=
++?=
++?=?=
baba
baba
bbaabac
cb
ba
又因为
.,,
)1(2)()(
321
交于一点有惟一解，即三直线，从而方程组所以
lll
ArAr ==
