n元向量一,向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
，，为何值时，向量组例)3,2,3,1,2()2,1,1,1,1( 1
21
== ααλ
.
),1,1,3,1()5,2,2,3,2(
43
组并求一个极大线性无关
？，线性相关？秩为多少，λαα?==
,
532
1221
1231
3311
1221
)(
4321
==
λ
αααα，，，设解A
有经若干次初等变换后，
.
0000
4000
0100
2110
1221
→→
λ
行变换A
.,,,,3
43)(,,,4
431321
4321
为极大线性无关组或，秩为
，向量组线性相关，时，＝故当
αααααα
Ar)αααr(α <==λ
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列摆放成矩阵，并做初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”,若仅仅只是求向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一样的.
,3 )1 1 1 1(
)7 3 12 1()3 2 1 ()3 1 1 1( 2
4
321
aa
aa
，求的秩为，，，
，，，，，，，，，，，，设向量组例
=
===
α
ααα
,
1733
1321
11211
111
),,,(
4321
==
a
a
a
A αααα设解
.
24330
220
02210
111
+
+
→
a
aa
aa
a
AA作初等行变换，有对化为，则若 1 Aa =
.
0000
0000
1230
1111
2460
1230
0000
1111
→
→A
，于是，不合题意，故此时1 2)( ≠= aAr
+
+
→
24330
220
0210
111
a
aa
a
A
32
cc?
+
+
23340
220
0120
111
a
aa
a
.
21300
100
0120
111
+
+
→
a
aa
a
=
+
+
= 1
213
1
3,,,
4321
a
aa
r)αααr(α
,023
213
1
2
==
+
+
aa
a
aa
.3),,,(
3
2
,
3
2
1
4321
=?=?=?≠ ααααraaa时，故当，因此但
2.利用向量组的等价求向量组的秩已知向量组例 3
.,,,,)(
,,,,)(
,,,)(
21
21
21
γααα
βααα
ααα
s
s
s
C
B
A
L
L
L；
.,,,,
,1)(,)()(
s21
的秩求向量组若各向量组的秩分别为
βγααα?
+===
L
sCrsBrAr
线性表示，设表示式为可由线性相关，故线性无关，而由题设知，解
,,,
,,,,,,,
21
2121
s
ss
αααβ
βαααααα
L
LL
,
2211 ss
kkk αααβ +++= L
,
11 ss
kk ααγβγ=? L则,,,,
21
βγααα?
s
L从而
.,,,,
21
线性表示可由γααα
s
L
),()(
2211
βγαααβγβγ?++++=?+=
ss
kkk L又等价，故与线性表示，因此可由故
,,,,,,,,
,,,,,,,,
2121
2121
γαααβγααα
βγαααγααα
ss
ss
LL
LL
.1),,,,(),,,,(
2121
+==? srr
ss
γαααβγααα LL
.II
IIII
,,II,,I 4
11
等价与向量组线性表示，证明向量组可由向量组相同，且向量组的秩：与向量组：设向量组例
nm
ββαα LL
,
11
=
=
nm
BA
β
β
α
α
MM，记证
.II,,
I,,)()(
1
1
的极大无关组为向量组的极大无关组，为向量组，设
jsj
isi
sBrAr
ββ
αα
L
L==
线性表示，设表示式为可由由题设,,,,
11 isijsj
ααββ LL
,
1
1
1111
=
is
i
sss
s
js
j
aa
aa
α
α
β
β
M
L
MM
L
M
,)(
11
1
1
1
1
KABaKBA
ssij
js
j
is
i
==
=
=
×
，则，，设
β
β
α
α
MM
,)( )( )()()(
11
sKrsKrKrKArBrs ≤≥≤==，但显然有知：由
.,,,,,,
,,)(
111
11
1
1
等价与线性表示，从而可由
，即为可逆阵，故有，即故
jsjisijsj
isi
BKAKsKr
ββααββ
αα
LLL
L
==
.,,
,,
1
1
等价与组的等价性得由极大无关组与原向量
n
m
ββ
αα
L
L
注：1,两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一定的条件后可以等价,因此，读者应注意：向量组的等价仅由秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2,在例4中，因为m 与n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故取极大无关组来做,实际上，此题若不利用极大无关组是很难证出来的,因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题证明矩阵为矩阵，为设例,5 nsBsmA ××
)}.(),(min{)( BrArABr ≤
),,,,(,,,
s21s21
αααααα LL =AA，即的列向量组为设证
，则有的列向量组为且设
nnsij
CABCbB γγγ,,,.)(
21
L==
×
()( )
==
snss
n
n
sn
bbb
bbb
bbb
C
L
MMM
L
L
LL
21
22221
11211
2121
,,,,,,αααγγγ
),
,,,(
2211
22221121221111
ssnnn
ssss
bbb
bbbbbb
ααα
αααααα
+++
++++++=
L
LLL
+++=
+++=
+++=
,
,
,
2211
22221122
12211111
ssnnnn
ss
ss
bbb
bbb
bbb
αααγ
αααγ
αααγ
L
LL
L
L
从而有
).,,,(),,,(
,,,,,,
2121
2121
sn
sn
rr αααγγγ
αααγγγ
LL
LL
≤
线性表示，故可由即
).()()(
)(),,,()(),,,(
2121
ArABrCr
ArrCrr
sn
≤=
==，所以，而αααγγγ LL
).()()()()(
BrBrABrCrCr
ABC
TTTT
TTT
=≤==
=：，由上面证明的结果知又
)}.(),(min{)( BrArABr ≤综上：
注：1,也可按照r(AB)≤r(A) 的方式证明r(AB)≤r(B),读者可自己完成.
2,此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来解决矩阵的问题.
3,r(AB)≤min{r(A),r(B)}是一个很有用的公式.
二,相关性的判定
1,利用定义讨论向量组的线性相关性骤为：的线性相关性，一般步利用定义讨论向量组,,,
21 m
ααα L；设0 )1(
2211
=+++
mm
kkk ααα L
的方程组并求解；将向量方程转化为,,,)2(
21 m
kkk L
.,,,,
,,0
)3(
2121
2121
线性相关不全为零，则向量组若线性无关；，则向量组若组的线性相关性，即根据解的情况判断向量
mm
mm
kkk
kkk
ααα
ααα
LL
LL ====
.,,,,
,,,,
,,,,,,,6
21
21
2121
线性无关向量组线性相关，证明线性无关的，但向量组都是与向量组设向量组例
βγααα
βααα
γαααααα
s
s
ss
L
L
LL
,0)(,,,,
1121
=?+++ βγαα kkkkkkk
sss
LL使设有常数证线性表示，不妨设可由线性相关知：线性无关，由题设
,,,
,,,,,,,
s21
s21s21
αααβ
βαααααα
L
LL
,
2211 ss
lll αααβ ++= L
,0)(
22112211
=++++
ssss
lllkkkk αααγααα LL则有
.0)()()(
222111
=+?++?+? γααα kklkklkklk
sss
L整理得是线性无关的，故有由于,,,,
21
γααα
s
L
.0
,0
,0
,0
22
11
=
=?
=?
=?
k
klk
klk
klk
ss
LL
,
,,,,0
2121
线性无关
，从而由此方程组得
βγ
ααα
=====
ss
kkkk LL
,
,,,,,,7
2121
线性无关维正交向量组，证明为设例
mm
n αααααα LL
,0
,,,
11
21
=++
mm
m
kk
kkk
αα L
L使设有常数证
.0),(),(),(
11
=++++
mimiiii
i
kkk αααααα
α
LL
规律得的内积并由内积的运算等式两边取与式变为是正交向量组，所以上因为,,,
21 m
ααα L
,0),( =
iii
k αα
.,,,,,2,1
0 0),( 0
21
2
线性无关，故
，其中，所以，从而由于
m
iiiii
mi
k
ααα
αααα
LL=
=≠=≠
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量α
1
=(1,1,0,0)
与α
2
=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然(α
1
,α
2
)=2 不为零，故α
1
,α
2
不是正交向量组,不过我们可以利用施密特正交化方法将线性无关的向量组化为正交向量组.
.,,,,,,,
,,,2,1,,2,1
,0,,,8
2121
21
线性无关量组证明向，使，且存在向量线性无关，满足阶方阵，为设例
tt
iii
it
tiAti
AnA
ηηηξξξ
ξηη
ξξξξ
LL
LL
L
===
=
(1) 0,
,,,,,,,
22112211
2121
=+++++++
tttt
tt
lllkkk
lllkkk
ηηηξξξ LL
LL使设有常数证代入，得：，，式，并将左乘用,,2,10 )1( tiAAA
iii
L=== ξηξ
(2) 0,
2211
=+++
tt
lll ξξξ L
.0
)2(,,,
21
21
====
t
t
lll L
L式，有线性无关，故由因为ξξξ
,,,,,,,,.0
0,)1(
2121
212211
线性无关从而向量组故又有式，有代入
ttt
tt
k
kkkkk
ηηηξξξ
ξξξ
LL
LL
==
===+++
.,,,,.2,1,;321,,
,,9
213212
121
32121
线性无关证明向量组足都是线性无关的，且满向量组与阶方阵，向量组为，常数设例
ββαααβλβ
αλαββ
αααλλ
==
==
≠
jA
,,iA
nA
jj
ii
)1(,0
,,,,
2211332211
21321
=++++ ββααα llkkk
llkkk使设有常数证代入，得：
式，并将左乘用2,1,;321,)1(
21
==== jA,,iAA
jjii
βλβαλα
)2(,0
222121313212111
=++++ βλβλαλαλαλ llkkk
)3(,0
)1(
212111313212111
1
=++++ βλβλαλαλαλ
λ
llkkk
式得乘用
,0)()(
)3()2(
21221121
=?+?
βλλβλλ ll
式得式
.0)(
0)(
,
122
121
21
＝
，＝
线性无关，所以因为
λλ
λλ
ββ
l
l
,0
)1(,0
332211
2121
=++
==≠
ααα
λλ
kkk
ll式得：代回，故必有又由于
.,,,,
0,,
21321
321321
线性无关向量组，从而线性无关得由
ββααα
ααα === kkk
2,利用等价讨论向量组的线性相关性
,
,,,,10
2
1
21
22221
11211
2
1
s1s1
=
sssss
s
s
s
kkk
kkk
kkk
α
α
α
β
β
β
ββαα
L
MMM
L
L
M
LL
可由其线性表示为线性无关且向量组设向量组例
.,,,)( )(
s21
线性无关时，，证明当设βββ LsKrkK
ssij
==
×
故由于，则设证,)( ;,
2
1
2
1
sKrKABBA
ss
==
=
=
β
β
β
α
α
α
M
,,,,,,,
.,,,,,,,,,
,,,
s21s21
s21s21s21
s21
1
也是线性无关的线性无关知由等价与线性表示，即由也可，因此阶可逆阵，从而有为
βββααα
αααββββββ
ααα
LL
LLL
LBKAssK
=×
注：1.可以证明在例10的假设条件下，β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关的充要条件为r(K)=s.
2,这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类型的题目.
.________
,,,11
4321
向量组为的线性无关，则线性无关已知向量组例αααα
.,,,)(;,,,)(;,,,)(;,,,)(
14433221
14433221
14433221
14433221
αααααααα
αααααααα
αααααααα
αααααααα
++
+++
++++
D
C
B
A;3)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKA对解;3)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKB对;4)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKC对
.3)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKD对
).( C因此选
3,利用秩讨论向量组的线性相关性
,
12
的列向量组线性无关证明
，阶矩阵，且为阶矩阵，为设例
B
EABnmBmnA =××
,},min{)()(
,)()(
nnmBrABrn
nErABrEAB
≤≤≤=
===又，故因为证
.)( nBr =所以
，，则个向量，记为阶矩阵，其列向量组含为因为
nBrr
nnmB
nn
==
×
)(),,(,,
2121
ββββββ LL
.,,
21
线性无关从而
n
βββ L
,
,,,,13
2
1
21
22221
11211
2
1
s1s1
=
sssss
s
s
s
kkk
kkk
kkk
α
α
α
β
β
β
ββαα
L
MMM
L
L
M
LL
可由其线性表示为线性无关且向量组设向量组例
.)(
,,,)(
s21
sKr
kK
ssij
=
=
×
线性无关的充要条件为，证明当设βββ L
.,
2
1
2
1
KABBA
ss
=
=
=，则记证
β
β
β
α
α
α
M
，，又线性无关，所以因为必要性KABsBr == )(,,
s1
ββ L
,)()( sKrBrs ≤≤=故
.)( sKr =所以为满秩阵，故有，即因为充分性 )( KsKr =
,)()()( sArKArBr ===
.,,
s1
线性无关从而ββ L
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方法来讨论向量组的相关性,在这三种方法中，定义的方法是十分重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义来做,所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性或证明向量组是线性无关的方法.
三,向量空间的基、维数及坐标的求法的一组标准正交基？
进一步，能否求出的一组基及维数求
，，，，，，，，，，，，设例
),,(
,),,(
)1 1 1 0()1 1 1 2()1 0 1 1( 41
321
321
321
ααα
ααα
ααα
L
VLV ==
=?=?=
=
111
1 1 0
1 1 1
0 2 1
) (
321
ααα
因为解
1412
,rrrr +?
110
1 1 0
1 1 0
0 2 1
,
000
2 0 0
1 1 0
0 2 1
2324
,rrrr ++
.,,3 ),,(
,,3),,(
321321
321321
为一组基，的维数为间线性无关，从而向量空，即故
αααααα
αααααα
L
r =
正交化，令将,,
321
ααα
),1,0,1,1(
11
==αβ
),1,3,1,2(
3
1
3
1
,1,
3
1
,
3
2
)1,0,1,1(
3
4
)1,1,1,2(
),(
),(
1
11
12
22
=
=
=?= β
ββ
βα
αβ
),2,4,2,4(
5
1
15
6
,
15
12
,
15
6
,
15
12
)1,3,1,2(
15
1
)1,0,1,1(
3
2
)1,1,1,0(
),(
),(
),(
),(
2
22
23
1
11
13
33
=
=
== β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβ
，取)1,0,1,1(
3
11
1
1
1
== β
β
ε
，)1,3,1,2(
15
11
2
2
2
== β
β
ε
，)1,2,1,2(
10
11
3
3
3
== β
β
ε
,),,(,,
321321
的一组标准正交基是则αααεεε L
注：1,若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性无关组，维数就是向量组的秩,因此，基与维数的求法类似于向量组的极大无关组与秩的求法.
2,任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两正交的向量组.
,)1,1,1(
),1,1,1(),1,1,1( )1,2,1( 15
3
21
下的坐标在基求向量例
=
===
ε
εεα
，则有下的坐标为在基设解),,(,,I
321321
xxxεεεα
.
332211
αεεε =++ xxx
(),
3
2
1
321
αεεε =
== AX
x
x
x
XA，则上式化为，记
()
=
1111
2111
1111
M
M
M
MαA由于
1312
,rrrr
0220
1200
1111
M
M
M
)
2
1
(),
2
1
(,
3232
rrrr
2
1
100
0110
1111
M
M
M
3221
,rrrr
,
2/1100
1/2010
1001
M
M
M
.
2
1
,
2
1
,1,,
2
1
,
2
1
,1
321
=下的坐标为在基，即故εεεαX
，则有设解
332211
II εεεα xxx ++=
=
+=
++=
.3
,2
,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
2
1
,
2
1
,1
321
=== xxx解之得
.,,
321
下的坐标在基这就是εεεα
()，为一已知向量，令为一组基，
设求出坐标是借助于求解矩阵方程注：解法
n
n
A εεεα
εεε
,,,.I
21
21
L
L
=
() ()，初等行变换XEA MM →→α
.,,,
21
下的坐标在基即为则
n
X εεεα L
.,,,
II
21
2211
即可出转化为线性方程组并求的，将向量方程是用方程组的方法来求解法
nnn
xxxx
xx
L
L
ε
εεα
+
++=
下的坐标，其中在基的过渡矩阵，并求到基求由基例
,,,)1,0,0,1(
,,,,,,16
4321
43214321
ηηηηα
ηηηηεεεε
=
=
=
=
=
=
=
=
=
).3,1,6,6(
),1,2,3,5(
),0,1,3,0(
),1,1,1,2(
),1,0,0,0(
),0,1,0,0(
),0,0,1,0(
),0,0,0,1(
4
3
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η
ε
ε
ε
ε
+++=
+++=
+=
+?+=
,366
,235
,3
,2
43214
43213
322
43211
εεεεη
εεεεη
εεη
εεεεη
因为解
()(),
3101
1211
6331
6502
,,,,,,
43214321
= εεεεηηηη即
.
3101
1211
6331
6502
,,,,,,
43214321
=A
的过渡矩阵为到基故由基ηηηηεεεε
，则下的坐标为在设),,,(,,,
43214321
xxxxηηηηα
()().,,,,,,
4
3
2
1
4321
4
3
2
1
4321
=
=
x
x
x
x
A
x
x
x
x
εεεεηηηηα
，即下的坐标为在又)1,0,0,1(,,,
21
n
εεεα L
(),
1
0
0
1
,,,
4321
= εεεεα
，
由坐标的唯一性，有
TT
xxxxA )1,0,0,1(),,,(
4321
=
==
1
0
0
1
26937
18009
239121
3327912
27
1
),,,(
1
4321
αAxxxx
T
从而
.)11,9,8,15(
9
1
T
=
).11,9,8,15(
9
1
,,,
4321
下的坐标为在基即ηηηηα
.,,,
,,
,,17
21
21
的一组基为维空间且为证明一中有一个向量表示法惟线性表示，且元向量中中每个向量都可由设向量空间例
Vn
VV
nVV
n
n
ααα
α
αα
L
L
.,,,
21
线性无关由基的定义，只需证明证
n
ααα L
,
,,,
0
22110
21
02211
nn
n
nn
lll
kkk
αααα
ααα
αααα
+++=
=+++
L
L
L
惟一线性表示为可由，又由题设，设向量设
,)()()(
2221110 nnn
lklklk αααα ++++++= L则
).,,2,1( 0
0
nik
lkl
i
iii
L=
+=
＝
，从而的表示法惟一，得由α
,
,,,,,,
2121
的一组基为
，的维数为线性无关，也就是即
V
nV
n
n
α
ααααα LL
四,关于线性表示、线性相关性的问题
,,,,
,,,,
,,,,,,18
121
121
12121
线性表示线性表示，但不能由可由线性表示，证明线性表示，但不能由可由设例
n
nn
nn
ααα
βαααα
ααααααβ
L
L
LL
)1(,
,,,
112211
21
nnnn
n
kkkk ααααβ
αααβ
++++=
L
L线性表示，不妨设可由由题设证
，因此式中线性表示，所以不能由又0 )1(,,,
121
≠
nn
kαααβ L
),(
1
112211
=
nn
n
n
kkk
k
αααβα L
.,,,,
121
线性表示可由即βαααα
nn
L
)2(,
,,,
112211
121
+++=
nnn
nn
lll αααα
αααα
L
L线性表示，设表示式为可由若
,)()()(
)1()2(
111222111
++++++=
nnnnnn
lkklkklkk αααβ L
式，整理得式代入把
.,,,
,,,
121
121
线性表示由不能线性表示相矛盾，故不能由与已知
n
nn
ααα
ααααβ
L
L
.,,,
,,,,,,19
21
2121
的线性相关性；讨论表示，
线性可由向量组设向量组例
m
nm
nm ααα
βββααα
L
LL
>
,),,,(),,,(
,,,,,,
2121
2121
mnrr
nm
nm
<≤≤ βββααα
βββααα
LL
LL
所以线性表示，可由向量组由于解
.,,,
21
是线性相关的故
m
ααα L
.,
.)2,,0,( ),1,6,3,1()II(
)3,2,1,1( ),4,1,2,1( ),5,0,3,1( )I(
)II()I( 20
21
321
的值求；
等价，其中与设向量组例
b a
ba==
===
ββ
ααα
.
0 00
0 00
2 10
101
345
210
123
111
)(
321
→→
=初等行变换由于解ααα
由于之间的相互表示问题与故只需考察为一极大无关组且，故
,,,;2,2),,(
2121
21321321
ββαα
αααααααα +?==r
(),
22000
3000
3610
111
2145
610
0323
111
2121
= →→
a
ab
a
a
b
a
M
M
M
M
M
M
M
M
M初等行变换ββαα
2.),,,(),(),(
,,
21212121
2121
=== ββααββαα
ββαα
rrr
等价，则有与若
=
=
=?
=?
.3
,1
,022
,03
b
a
a
ab
故
(),
0000
0000
3610
2501
0000
0000
3610
1111
3,1
2121
→
→
==
M
M
M
M
M
M
M
M
M ββαα
时，当ba
.,,,
31,.,,
,,,,.,
,,,,,
21321
2121
21212121
21212121
等价与时，从而当线性表示也可由关组，故的一个极大无也是显然线性表示可由的一个极大无关组，故是易知
ββααα
ββαα
ββααββαα
ββββαααα
== ba
.
,,,
.
0000
5100
30
2
1
0
2001
),,,( 21
4321
4321
表示用这个极大无关组线性
，并将其余向量的一个极大线性无关组求向量组且
，经过初等变换得到矩阵设矩阵例
αααα
αααα
=
=
B
BA
.3),,,( 3)(
4321
== ααααrBr，故显然解又因为无关组为一个极大的，故按“列摆行变换”得到就是将向量组经初等变换得到的，也是由因为
,
,,,
,,
32143
21
ααααα
ααAB
(),
0000
5100
6010
2001
4321
→→→→=行变换行变换BA αααα
.562
3214
αααα?+?=故
.,,),,( )1(
321
线性表示都可由任一向量解αααβ cba=
.
200
170
121
132
200
121
),,( )2(
321
→
== αααA因为
.,,),,(
,,
321
3
321
线性表示都可由向量的一组基，因此任给线性无关，从而构成故
αααβ
ααα
cba
R
=
,)2(
,,),,( )1(
).1,2,1( ),3,0,2( ),2,0,1( 22
321
321
证明你的结论线性表示？能否由向量任一向量设例
αααβ
ααα
cba=
=?==
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
，，为何值时，向量组例)3,2,3,1,2()2,1,1,1,1( 1
21
== ααλ
.
),1,1,3,1()5,2,2,3,2(
43
组并求一个极大线性无关
？，线性相关？秩为多少，λαα?==
,
532
1221
1231
3311
1221
)(
4321
==
λ
αααα，，，设解A
有经若干次初等变换后，
.
0000
4000
0100
2110
1221
→→
λ
行变换A
.,,,,3
43)(,,,4
431321
4321
为极大线性无关组或，秩为
，向量组线性相关，时，＝故当
αααααα
Ar)αααr(α <==λ
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列摆放成矩阵，并做初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”,若仅仅只是求向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一样的.
,3 )1 1 1 1(
)7 3 12 1()3 2 1 ()3 1 1 1( 2
4
321
aa
aa
，求的秩为，，，
，，，，，，，，，，，，设向量组例
=
===
α
ααα
,
1733
1321
11211
111
),,,(
4321
==
a
a
a
A αααα设解
.
24330
220
02210
111
+
+
→
a
aa
aa
a
AA作初等行变换，有对化为，则若 1 Aa =
.
0000
0000
1230
1111
2460
1230
0000
1111
→
→A
，于是，不合题意，故此时1 2)( ≠= aAr
+
+
→
24330
220
0210
111
a
aa
a
A
32
cc?
+
+
23340
220
0120
111
a
aa
a
.
21300
100
0120
111
+
+
→
a
aa
a
=
+
+
= 1
213
1
3,,,
4321
a
aa
r)αααr(α
,023
213
1
2
==
+
+
aa
a
aa
.3),,,(
3
2
,
3
2
1
4321
=?=?=?≠ ααααraaa时，故当，因此但
2.利用向量组的等价求向量组的秩已知向量组例 3
.,,,,)(
,,,,)(
,,,)(
21
21
21
γααα
βααα
ααα
s
s
s
C
B
A
L
L
L；
.,,,,
,1)(,)()(
s21
的秩求向量组若各向量组的秩分别为
βγααα?
+===
L
sCrsBrAr
线性表示，设表示式为可由线性相关，故线性无关，而由题设知，解
,,,
,,,,,,,
21
2121
s
ss
αααβ
βαααααα
L
LL
,
2211 ss
kkk αααβ +++= L
,
11 ss
kk ααγβγ=? L则,,,,
21
βγααα?
s
L从而
.,,,,
21
线性表示可由γααα
s
L
),()(
2211
βγαααβγβγ?++++=?+=
ss
kkk L又等价，故与线性表示，因此可由故
,,,,,,,,
,,,,,,,,
2121
2121
γαααβγααα
βγαααγααα
ss
ss
LL
LL
.1),,,,(),,,,(
2121
+==? srr
ss
γαααβγααα LL
.II
IIII
,,II,,I 4
11
等价与向量组线性表示，证明向量组可由向量组相同，且向量组的秩：与向量组：设向量组例
nm
ββαα LL
,
11
=
=
nm
BA
β
β
α
α
MM，记证
.II,,
I,,)()(
1
1
的极大无关组为向量组的极大无关组，为向量组，设
jsj
isi
sBrAr
ββ
αα
L
L==
线性表示，设表示式为可由由题设,,,,
11 isijsj
ααββ LL
,
1
1
1111
=
is
i
sss
s
js
j
aa
aa
α
α
β
β
M
L
MM
L
M
,)(
11
1
1
1
1
KABaKBA
ssij
js
j
is
i
==
=
=
×
，则，，设
β
β
α
α
MM
,)( )( )()()(
11
sKrsKrKrKArBrs ≤≥≤==，但显然有知：由
.,,,,,,
,,)(
111
11
1
1
等价与线性表示，从而可由
，即为可逆阵，故有，即故
jsjisijsj
isi
BKAKsKr
ββααββ
αα
LLL
L
==
.,,
,,
1
1
等价与组的等价性得由极大无关组与原向量
n
m
ββ
αα
L
L
注：1,两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一定的条件后可以等价,因此，读者应注意：向量组的等价仅由秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2,在例4中，因为m 与n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故取极大无关组来做,实际上，此题若不利用极大无关组是很难证出来的,因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题证明矩阵为矩阵，为设例,5 nsBsmA ××
)}.(),(min{)( BrArABr ≤
),,,,(,,,
s21s21
αααααα LL =AA，即的列向量组为设证
，则有的列向量组为且设
nnsij
CABCbB γγγ,,,.)(
21
L==
×
()( )
==
snss
n
n
sn
bbb
bbb
bbb
C
L
MMM
L
L
LL
21
22221
11211
2121
,,,,,,αααγγγ
),
,,,(
2211
22221121221111
ssnnn
ssss
bbb
bbbbbb
ααα
αααααα
+++
++++++=
L
LLL
+++=
+++=
+++=
,
,
,
2211
22221122
12211111
ssnnnn
ss
ss
bbb
bbb
bbb
αααγ
αααγ
αααγ
L
LL
L
L
从而有
).,,,(),,,(
,,,,,,
2121
2121
sn
sn
rr αααγγγ
αααγγγ
LL
LL
≤
线性表示，故可由即
).()()(
)(),,,()(),,,(
2121
ArABrCr
ArrCrr
sn
≤=
==，所以，而αααγγγ LL
).()()()()(
BrBrABrCrCr
ABC
TTTT
TTT
=≤==
=：，由上面证明的结果知又
)}.(),(min{)( BrArABr ≤综上：
注：1,也可按照r(AB)≤r(A) 的方式证明r(AB)≤r(B),读者可自己完成.
2,此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来解决矩阵的问题.
3,r(AB)≤min{r(A),r(B)}是一个很有用的公式.
二,相关性的判定
1,利用定义讨论向量组的线性相关性骤为：的线性相关性，一般步利用定义讨论向量组,,,
21 m
ααα L；设0 )1(
2211
=+++
mm
kkk ααα L
的方程组并求解；将向量方程转化为,,,)2(
21 m
kkk L
.,,,,
,,0
)3(
2121
2121
线性相关不全为零，则向量组若线性无关；，则向量组若组的线性相关性，即根据解的情况判断向量
mm
mm
kkk
kkk
ααα
ααα
LL
LL ====
.,,,,
,,,,
,,,,,,,6
21
21
2121
线性无关向量组线性相关，证明线性无关的，但向量组都是与向量组设向量组例
βγααα
βααα
γαααααα
s
s
ss
L
L
LL
,0)(,,,,
1121
=?+++ βγαα kkkkkkk
sss
LL使设有常数证线性表示，不妨设可由线性相关知：线性无关，由题设
,,,
,,,,,,,
s21
s21s21
αααβ
βαααααα
L
LL
,
2211 ss
lll αααβ ++= L
,0)(
22112211
=++++
ssss
lllkkkk αααγααα LL则有
.0)()()(
222111
=+?++?+? γααα kklkklkklk
sss
L整理得是线性无关的，故有由于,,,,
21
γααα
s
L
.0
,0
,0
,0
22
11
=
=?
=?
=?
k
klk
klk
klk
ss
LL
,
,,,,0
2121
线性无关
，从而由此方程组得
βγ
ααα
=====
ss
kkkk LL
,
,,,,,,7
2121
线性无关维正交向量组，证明为设例
mm
n αααααα LL
,0
,,,
11
21
=++
mm
m
kk
kkk
αα L
L使设有常数证
.0),(),(),(
11
=++++
mimiiii
i
kkk αααααα
α
LL
规律得的内积并由内积的运算等式两边取与式变为是正交向量组，所以上因为,,,
21 m
ααα L
,0),( =
iii
k αα
.,,,,,2,1
0 0),( 0
21
2
线性无关，故
，其中，所以，从而由于
m
iiiii
mi
k
ααα
αααα
LL=
=≠=≠
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量α
1
=(1,1,0,0)
与α
2
=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然(α
1
,α
2
)=2 不为零，故α
1
,α
2
不是正交向量组,不过我们可以利用施密特正交化方法将线性无关的向量组化为正交向量组.
.,,,,,,,
,,,2,1,,2,1
,0,,,8
2121
21
线性无关量组证明向，使，且存在向量线性无关，满足阶方阵，为设例
tt
iii
it
tiAti
AnA
ηηηξξξ
ξηη
ξξξξ
LL
LL
L
===
=
(1) 0,
,,,,,,,
22112211
2121
=+++++++
tttt
tt
lllkkk
lllkkk
ηηηξξξ LL
LL使设有常数证代入，得：，，式，并将左乘用,,2,10 )1( tiAAA
iii
L=== ξηξ
(2) 0,
2211
=+++
tt
lll ξξξ L
.0
)2(,,,
21
21
====
t
t
lll L
L式，有线性无关，故由因为ξξξ
,,,,,,,,.0
0,)1(
2121
212211
线性无关从而向量组故又有式，有代入
ttt
tt
k
kkkkk
ηηηξξξ
ξξξ
LL
LL
==
===+++
.,,,,.2,1,;321,,
,,9
213212
121
32121
线性无关证明向量组足都是线性无关的，且满向量组与阶方阵，向量组为，常数设例
ββαααβλβ
αλαββ
αααλλ
==
==
≠
jA
,,iA
nA
jj
ii
)1(,0
,,,,
2211332211
21321
=++++ ββααα llkkk
llkkk使设有常数证代入，得：
式，并将左乘用2,1,;321,)1(
21
==== jA,,iAA
jjii
βλβαλα
)2(,0
222121313212111
=++++ βλβλαλαλαλ llkkk
)3(,0
)1(
212111313212111
1
=++++ βλβλαλαλαλ
λ
llkkk
式得乘用
,0)()(
)3()2(
21221121
=?+?
βλλβλλ ll
式得式
.0)(
0)(
,
122
121
21
＝
，＝
线性无关，所以因为
λλ
λλ
ββ
l
l
,0
)1(,0
332211
2121
=++
==≠
ααα
λλ
kkk
ll式得：代回，故必有又由于
.,,,,
0,,
21321
321321
线性无关向量组，从而线性无关得由
ββααα
ααα === kkk
2,利用等价讨论向量组的线性相关性
,
,,,,10
2
1
21
22221
11211
2
1
s1s1
=
sssss
s
s
s
kkk
kkk
kkk
α
α
α
β
β
β
ββαα
L
MMM
L
L
M
LL
可由其线性表示为线性无关且向量组设向量组例
.,,,)( )(
s21
线性无关时，，证明当设βββ LsKrkK
ssij
==
×
故由于，则设证,)( ;,
2
1
2
1
sKrKABBA
ss
==
=
=
β
β
β
α
α
α
M
,,,,,,,
.,,,,,,,,,
,,,
s21s21
s21s21s21
s21
1
也是线性无关的线性无关知由等价与线性表示，即由也可，因此阶可逆阵，从而有为
βββααα
αααββββββ
ααα
LL
LLL
LBKAssK
=×
注：1.可以证明在例10的假设条件下，β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关的充要条件为r(K)=s.
2,这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类型的题目.
.________
,,,11
4321
向量组为的线性无关，则线性无关已知向量组例αααα
.,,,)(;,,,)(;,,,)(;,,,)(
14433221
14433221
14433221
14433221
αααααααα
αααααααα
αααααααα
αααααααα
++
+++
++++
D
C
B
A;3)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKA对解;3)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKB对;4)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKC对
.3)(,
1001
1100
0110
0011
),( =
= KrKD对
).( C因此选
3,利用秩讨论向量组的线性相关性
,
12
的列向量组线性无关证明
，阶矩阵，且为阶矩阵，为设例
B
EABnmBmnA =××
,},min{)()(
,)()(
nnmBrABrn
nErABrEAB
≤≤≤=
===又，故因为证
.)( nBr =所以
，，则个向量，记为阶矩阵，其列向量组含为因为
nBrr
nnmB
nn
==
×
)(),,(,,
2121
ββββββ LL
.,,
21
线性无关从而
n
βββ L
,
,,,,13
2
1
21
22221
11211
2
1
s1s1
=
sssss
s
s
s
kkk
kkk
kkk
α
α
α
β
β
β
ββαα
L
MMM
L
L
M
LL
可由其线性表示为线性无关且向量组设向量组例
.)(
,,,)(
s21
sKr
kK
ssij
=
=
×
线性无关的充要条件为，证明当设βββ L
.,
2
1
2
1
KABBA
ss
=
=
=，则记证
β
β
β
α
α
α
M
，，又线性无关，所以因为必要性KABsBr == )(,,
s1
ββ L
,)()( sKrBrs ≤≤=故
.)( sKr =所以为满秩阵，故有，即因为充分性 )( KsKr =
,)()()( sArKArBr ===
.,,
s1
线性无关从而ββ L
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方法来讨论向量组的相关性,在这三种方法中，定义的方法是十分重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义来做,所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性或证明向量组是线性无关的方法.
三,向量空间的基、维数及坐标的求法的一组标准正交基？
进一步，能否求出的一组基及维数求
，，，，，，，，，，，，设例
),,(
,),,(
)1 1 1 0()1 1 1 2()1 0 1 1( 41
321
321
321
ααα
ααα
ααα
L
VLV ==
=?=?=
=
111
1 1 0
1 1 1
0 2 1
) (
321
ααα
因为解
1412
,rrrr +?
110
1 1 0
1 1 0
0 2 1
,
000
2 0 0
1 1 0
0 2 1
2324
,rrrr ++
.,,3 ),,(
,,3),,(
321321
321321
为一组基，的维数为间线性无关，从而向量空，即故
αααααα
αααααα
L
r =
正交化，令将,,
321
ααα
),1,0,1,1(
11
==αβ
),1,3,1,2(
3
1
3
1
,1,
3
1
,
3
2
)1,0,1,1(
3
4
)1,1,1,2(
),(
),(
1
11
12
22
=
=
=?= β
ββ
βα
αβ
),2,4,2,4(
5
1
15
6
,
15
12
,
15
6
,
15
12
)1,3,1,2(
15
1
)1,0,1,1(
3
2
)1,1,1,0(
),(
),(
),(
),(
2
22
23
1
11
13
33
=
=
== β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβ
，取)1,0,1,1(
3
11
1
1
1
== β
β
ε
，)1,3,1,2(
15
11
2
2
2
== β
β
ε
，)1,2,1,2(
10
11
3
3
3
== β
β
ε
,),,(,,
321321
的一组标准正交基是则αααεεε L
注：1,若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性无关组，维数就是向量组的秩,因此，基与维数的求法类似于向量组的极大无关组与秩的求法.
2,任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两正交的向量组.
,)1,1,1(
),1,1,1(),1,1,1( )1,2,1( 15
3
21
下的坐标在基求向量例
=
===
ε
εεα
，则有下的坐标为在基设解),,(,,I
321321
xxxεεεα
.
332211
αεεε =++ xxx
(),
3
2
1
321
αεεε =
== AX
x
x
x
XA，则上式化为，记
()
=
1111
2111
1111
M
M
M
MαA由于
1312
,rrrr
0220
1200
1111
M
M
M
)
2
1
(),
2
1
(,
3232
rrrr
2
1
100
0110
1111
M
M
M
3221
,rrrr
,
2/1100
1/2010
1001
M
M
M
.
2
1
,
2
1
,1,,
2
1
,
2
1
,1
321
=下的坐标为在基，即故εεεαX
，则有设解
332211
II εεεα xxx ++=
=
+=
++=
.3
,2
,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
2
1
,
2
1
,1
321
=== xxx解之得
.,,
321
下的坐标在基这就是εεεα
()，为一已知向量，令为一组基，
设求出坐标是借助于求解矩阵方程注：解法
n
n
A εεεα
εεε
,,,.I
21
21
L
L
=
() ()，初等行变换XEA MM →→α
.,,,
21
下的坐标在基即为则
n
X εεεα L
.,,,
II
21
2211
即可出转化为线性方程组并求的，将向量方程是用方程组的方法来求解法
nnn
xxxx
xx
L
L
ε
εεα
+
++=
下的坐标，其中在基的过渡矩阵，并求到基求由基例
,,,)1,0,0,1(
,,,,,,16
4321
43214321
ηηηηα
ηηηηεεεε
=
=
=
=
=
=
=
=
=
).3,1,6,6(
),1,2,3,5(
),0,1,3,0(
),1,1,1,2(
),1,0,0,0(
),0,1,0,0(
),0,0,1,0(
),0,0,0,1(
4
3
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η
ε
ε
ε
ε
+++=
+++=
+=
+?+=
,366
,235
,3
,2
43214
43213
322
43211
εεεεη
εεεεη
εεη
εεεεη
因为解
()(),
3101
1211
6331
6502
,,,,,,
43214321
= εεεεηηηη即
.
3101
1211
6331
6502
,,,,,,
43214321
=A
的过渡矩阵为到基故由基ηηηηεεεε
，则下的坐标为在设),,,(,,,
43214321
xxxxηηηηα
()().,,,,,,
4
3
2
1
4321
4
3
2
1
4321
=
=
x
x
x
x
A
x
x
x
x
εεεεηηηηα
，即下的坐标为在又)1,0,0,1(,,,
21
n
εεεα L
(),
1
0
0
1
,,,
4321
= εεεεα
，
由坐标的唯一性，有
TT
xxxxA )1,0,0,1(),,,(
4321
=
==
1
0
0
1
26937
18009
239121
3327912
27
1
),,,(
1
4321
αAxxxx
T
从而
.)11,9,8,15(
9
1
T
=
).11,9,8,15(
9
1
,,,
4321
下的坐标为在基即ηηηηα
.,,,
,,
,,17
21
21
的一组基为维空间且为证明一中有一个向量表示法惟线性表示，且元向量中中每个向量都可由设向量空间例
Vn
VV
nVV
n
n
ααα
α
αα
L
L
.,,,
21
线性无关由基的定义，只需证明证
n
ααα L
,
,,,
0
22110
21
02211
nn
n
nn
lll
kkk
αααα
ααα
αααα
+++=
=+++
L
L
L
惟一线性表示为可由，又由题设，设向量设
,)()()(
2221110 nnn
lklklk αααα ++++++= L则
).,,2,1( 0
0
nik
lkl
i
iii
L=
+=
＝
，从而的表示法惟一，得由α
,
,,,,,,
2121
的一组基为
，的维数为线性无关，也就是即
V
nV
n
n
α
ααααα LL
四,关于线性表示、线性相关性的问题
,,,,
,,,,
,,,,,,18
121
121
12121
线性表示线性表示，但不能由可由线性表示，证明线性表示，但不能由可由设例
n
nn
nn
ααα
βαααα
ααααααβ
L
L
LL
)1(,
,,,
112211
21
nnnn
n
kkkk ααααβ
αααβ
++++=
L
L线性表示，不妨设可由由题设证
，因此式中线性表示，所以不能由又0 )1(,,,
121
≠
nn
kαααβ L
),(
1
112211
=
nn
n
n
kkk
k
αααβα L
.,,,,
121
线性表示可由即βαααα
nn
L
)2(,
,,,
112211
121
+++=
nnn
nn
lll αααα
αααα
L
L线性表示，设表示式为可由若
,)()()(
)1()2(
111222111
++++++=
nnnnnn
lkklkklkk αααβ L
式，整理得式代入把
.,,,
,,,
121
121
线性表示由不能线性表示相矛盾，故不能由与已知
n
nn
ααα
ααααβ
L
L
.,,,
,,,,,,19
21
2121
的线性相关性；讨论表示，
线性可由向量组设向量组例
m
nm
nm ααα
βββααα
L
LL
>
,),,,(),,,(
,,,,,,
2121
2121
mnrr
nm
nm
<≤≤ βββααα
βββααα
LL
LL
所以线性表示，可由向量组由于解
.,,,
21
是线性相关的故
m
ααα L
.,
.)2,,0,( ),1,6,3,1()II(
)3,2,1,1( ),4,1,2,1( ),5,0,3,1( )I(
)II()I( 20
21
321
的值求；
等价，其中与设向量组例
b a
ba==
===
ββ
ααα
.
0 00
0 00
2 10
101
345
210
123
111
)(
321
→→
=初等行变换由于解ααα
由于之间的相互表示问题与故只需考察为一极大无关组且，故
,,,;2,2),,(
2121
21321321
ββαα
αααααααα +?==r
(),
22000
3000
3610
111
2145
610
0323
111
2121
= →→
a
ab
a
a
b
a
M
M
M
M
M
M
M
M
M初等行变换ββαα
2.),,,(),(),(
,,
21212121
2121
=== ββααββαα
ββαα
rrr
等价，则有与若
=
=
=?
=?
.3
,1
,022
,03
b
a
a
ab
故
(),
0000
0000
3610
2501
0000
0000
3610
1111
3,1
2121
→
→
==
M
M
M
M
M
M
M
M
M ββαα
时，当ba
.,,,
31,.,,
,,,,.,
,,,,,
21321
2121
21212121
21212121
等价与时，从而当线性表示也可由关组，故的一个极大无也是显然线性表示可由的一个极大无关组，故是易知
ββααα
ββαα
ββααββαα
ββββαααα
== ba
.
,,,
.
0000
5100
30
2
1
0
2001
),,,( 21
4321
4321
表示用这个极大无关组线性
，并将其余向量的一个极大线性无关组求向量组且
，经过初等变换得到矩阵设矩阵例
αααα
αααα
=
=
B
BA
.3),,,( 3)(
4321
== ααααrBr，故显然解又因为无关组为一个极大的，故按“列摆行变换”得到就是将向量组经初等变换得到的，也是由因为
,
,,,
,,
32143
21
ααααα
ααAB
(),
0000
5100
6010
2001
4321
→→→→=行变换行变换BA αααα
.562
3214
αααα?+?=故
.,,),,( )1(
321
线性表示都可由任一向量解αααβ cba=
.
200
170
121
132
200
121
),,( )2(
321
→
== αααA因为
.,,),,(
,,
321
3
321
线性表示都可由向量的一组基，因此任给线性无关，从而构成故
αααβ
ααα
cba
R
=
,)2(
,,),,( )1(
).1,2,1( ),3,0,2( ),2,0,1( 22
321
321
证明你的结论线性表示？能否由向量任一向量设例
αααβ
ααα
cba=
=?==
