伴随矩阵
( )
nn
ij
aA
×
=
=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
数余子式的代为
ijij
aA
伴随矩阵时要注意什么？写
A
代数余子式的顺序!
例:求二阶A矩阵的伴随矩阵.
=
dc
ba
A
=
ac
bd
A
=
AA
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
L
MLMM
L
L
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
21
22221
11211
=
A
A
O EA=
AA
=
EAAAAA ==

一个很重要的式子
)aa(
aaaa
aaaa
aaaa
D
.
j
nij
i
n
n
nnn
n
n
n
=
=
∏
≤<≤

1
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
L
MLMMM
L
L
L
范德蒙行列式例关于范德蒙行列式注意以下三点
1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.
2.结果:可为正可为负可为零.
3.共n(n-1)/2项的乘积.
对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.
你能识别出范德蒙行列式吗？
你会用范德蒙行列式的结果做题吗？
如：
642718
16914
4312
1111
=D
)34)(14)(13)(24)(23)(21(= 12?=
1111
4321
)4()3()2()1(
)4()3()2()1(
2222
3333



=
aaaa
aaaa
aaaa
D
641641
27931
1111
8421
==D
12?
3333
2222
)4()3()2()1(
)4()3()2()1(
4321
1111



=
aaaa
aaaa
aaaa
D
3333
2222
)1()2()3()4(
)1()2()3()4(
1234
1111



=
aaaa
aaaa
aaaa
!1!2!3=
12=
克莱姆法则考虑方程组
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLL
L
L
2211
22222121
11212111
与二,三元方程组类似,n元方程组也可用行列式表示.
定理1 若方程组的系数行列式
0
21
22221
11211
≠=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
L
MLMM
L
L
则方程组有惟一解
D
D
x
D
D
x
D
D
x
n
n
===,,,
2
2
1
1
L
其中
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
D
LL
MLMMMLM
LL
)1()1(1
1)1(11)1(111
+?
+?
=
要证明这一定理,需证明两点.一是有解,
二是解惟一,为
D
D
x
j
j
=
),,2,1( nj L=
欲证
D
D
x
j
j
=
是解,只需证明等式
11
2
12
1
11
b
D
D
a
D
D
a
D
D
a
n
n
=+++ L
等n个式子成立.整理上式,得:
0
12121111
=
nn
DaDaDaDb L
为此构造n+1阶行列式
),,2,1( nj L=
nnnnn
n
n
n
aaab
aaab
aaab
D
L
MLMMM
L
L
21
112111
112111
1
=
+
此行列式为零.将其按第一行展开,得
==
+1
0
n
D
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
b
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
1
+?
nnnn
n
n
aab
aab
aab
a
L
MLMM
L
L
2
2222
1121
11
nnnn
n
n
aab
aab
aab
a
L
MLMM
L
L
1
2212
1111
12
++L
1,1
1,2212
1,1111
1
2
)1(
+
nnnn
n
n
n
n
aab
aab
aab
a
L
MLMM
L
L
nn
DaDaDaDb
12121111
= L
0=
再证解是惟一的,为
D
D
x
j
j
=
即
jj
DxD =?
nnjnjnjjnn
njjjj
j
aaxaaa
aaxaaa
xD
LL
MLMMMLM
LL
)1()1(1
1)1(11)1(111
+?
+?
=?
j
D=
由
0≠D
得证。
nknjkjkk
xaxaxab ++++= LL
11
),,2,1( nk L=
定理2 若方程组的系数行列式不为零,则方程组有惟一解.
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLLL
L
L
方程组称为齐次线性方程组.
定理3 若齐次方程组的系数行列式
0≠D
则方程组有惟一零解.
零解？为何值时，方程组有非：例λ1
=+?
=?+
=?+
02
0
0
zyx
zyx
zyx
λ
λ
λ
解若方程组有非零解,则其系数行列式为零,即
λ
λ
λ
12
11
11
=D
1
3
=λ
0=
1=?λ
故当
1=λ
时，方程组有非零解.
例2：证明：方程组有惟一零解。
=?+++
=++?+
=+++?
0)
2
1
(
0)
2
1
(
0)
2
1
(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLL
L
L
是整数。）
都（其中
ij
a
证：因为系数行列式为
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
L
MLMM
L
L
1222
2122
2212
2
1
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MLMM
L
L
0≠
按定义展开，除主对角线上的元素之乘积为奇数，其余数均是偶数。
故方程组有惟一零解。
行列式练习：
25
25
35
35
ON
NO
=
23
23
32
32
2
ON
NO
=
n
D
1.
第n+1列加到第n列,…
第2n列加到第1列.
10
10
35
35
1
1
=
+
ON
NO
L
行减第行第n
nn
5)1(?=
也可用按行或列展开做.
按第一行展开。
23
23
23
32
32
32
2
ON
NO
=
n
D
12
20
23
23
32
32
32
2
=
n
ON
NO
12
03
23
23
32
32
32
3
n
ON
NO
22
4
=
n
D
22
9
n
D
22
5
=
n
D
42
2
)5(
=
n
D
62
3
)5(
=
n
D
L=
2
1
)5( D
n?
=
n
)5(?=
5
23
32
2
=
=D
72
572
572
572
57
.2
OOO
=
n
D
1
7
=
n
D
72
5
72
57
52
5
OO
O?
21
107

=
nn
DD
(按第一行展开)
21
107

=
nnn
DDD
)5(25
211
=
nnnn
DDDD
)5(2
32
2

=
nn
DD
L=
)5(2
12
2
DD
n
=
n
2=
39
72
57
2
==D
7
1
=D
45
12
=? DD
)5(52
211
=?
nnnn
DDDD
)2(5
32
2

=
nn
DD
L=
)2(5
12
2
DD
n
=
n
5=
252
12
=? DD
1
5

nn
DD
n
2=
1
2
nn
DD
n
5=
3
25
11 ++
=?
nn
n
D
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