行列式概念的引进
=+
=+
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
21122211
121211
2
21122211
212122
1
aaaa
baba
x
aaaa
baba
x
=
=
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
=
121211
221
111
212122
222
121
baba
ba
ba
baba
ab
ab
=
=
2221
1211
221
111
2
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ba
ba
x
aa
aa
ab
ab
x ==
332112322311312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa

++
=
有两种方式确定三阶行列式的计算公式。
一是利用对角线法则或称“沙流氏规则”。
二是利用二阶方阵的行列式。
)(
)()(
3122322113
33213123123223332211
333231
232221
131211
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
+
+?=
=
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a +?=
3231
2221
13
31
3331
2321
12
21
3332
2322
11
11
)1(
)1()1(
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
+
++
+
+?=
3231
2221
31
13
3331
2321
21
12
3332
2322
11
11
)1(,)1(
)1(
aa
aa
A
aa
aa
A
aa
aa
A
++
+
=?=
=，记
131312121111
AaAaAaA ++=
321
332211
，，，
类似地有
=++= iAaAaAaA
iiiiii
321
332211
，，，或=++= jAaAaAaA
jjjjjj
的代数余子式。成为元素
ijij
aA
一般地,对n阶方阵A,有:
代数余子式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
=
ij
M
ij
ji
M
+
)1(
ij
A
ij
ji
ij
MA
+
= )1(
ij
a
例如3阶行列式
163
925
841
63
41
23
=M
63
41
23
=A
一般地，余子式为
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
LL
MLMMLM
LL
LL
MLMMLM
LL
)1()1(1
)1()1)(1()1)(1(1)1(
)1()1)(1()1)(1(1)1(
1)1(1)1(111
+?
+++?++
+
+?
=
ij
M
),,( ni
AaAaAaD
ininiiii
L
L
21
2211
=
+++=
),,( nj
AaAaAaD
njnjjjjj
L
L
21
2211
=
+++=
或
nn
a
a
a
O
22
11
.1例
nn
aaa L
2211
=
四、特殊行列式的计算
nn
n
n
nnnn
a
aa
aaa
aaa
aa
a
MO
L
L
OMM
222
11211
21
2221
11
.2 =例
nn
aaa L
2211
=
1
)1(221
1)1(111
)1(1
2)1(2
1
.3
n
n
nn
nnnnn
nn
n
a
aa
aaa
aaa
aa
a
NM
L
L
L
MN
=例
1)1(21
2
)1(
)1(
nnn
nn
aaa L
=
记忆是非常重要的。
以上三例需牢牢记住。
3351
1102
4315
2113
1.


=D例
72016
1102
6408
2113

=
=
7216
112
648

40=
5020
112
2016

=
520
216
=
xy
yx
yx
yx
yx
D
0
0
0
0
0
0
.2
L
OM
OOO
O
=
计算例解：按第一列展开，得
x
yx
yx
yx
x
D
OO
=
nnn
yx
1
)1(
+
+=
yx
y
x
yx
y
y
n
O
O
1
)1(
+
+
行列式的性质
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
=设
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
=
则转置行列式为
T
DD =：性质1
号。即：互换两行，行列式变性质2
nnn
ini
jnj
n
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
L
MLM
L
MLM
L
MLM
L
L
MLM
L
MLM
L
MLM
L
1
1
1
111
1
1
1
111
=
则行列式为零。
行元素完全相同，推论：若行列式中有两乘此行列式。素，等于用元乘行列式某一行中所有：用数性质
k
k3
即：
nnn
ini
n
nnn
ini
n
aa
aa
aa
k
aa
kaka
aa
L
MLM
L
MLM
L
L
MLM
L
MLM
L
1
1
111
1
1
111
=
例，则行列式为零。
素对应成比：若行列式中有两行元性质4
。提到行列式符号的外面素的公因子可以推论：某一行的所有元个行列式的和。和，则行列式可拆成两素是两数之：若行列式某一行的元性质5
即：
=++
nnn
nini
n
aa
baba
aa
L
MLM
L
MLM
L
1
11
111
+
nnn
ini
n
aa
aa
aa
L
MLM
L
MLM
L
1
1
111
nnn
n
n
aa
bb
aa
L
MLM
L
MLM
L
1
1
111
行列式的和。
个可以写成个元素的和，则行列式的元素都是推论：若行列式某一行
m
m
不变。即：
倍，行列式的值一行对应元素的上另：行列式某一行元素加性质
k
6
nnn
jnj
ini
n
nnn
jnj
jninjii
n
aa
aa
aa
aa
aa
aa
kaakaa
aa
L
MLM
L
MLM
L
MLM
L
L
MLM
L
MLM
L
MLM
L
1
1
1
111
1
1
1
111
=
++
用性质计算行列式
3222
2322
2232
2223
3 =D：计算例公因子提出来。
行，然后将全加到第行、、一定数，故将第分析：各行元素之和为
1
432
==
3222
2322
2232
9999
D
解：
=
3222
2322
2232
1111
9
1000
0100
0010
1111
9
=9
一般地，可以计算
abb
bab
bba
L
MOMM
L
L
请牢记这种方法，这类题就这种做法。