二、非齐次线性方程组
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLL
L
L
2211
22222121
11212111
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
=
n
x
x
x
X
M
2
1
=
m
b
b
b
B
M
2
1
系数矩阵
BAX =
OAX =
方程组的矩阵形式非齐次方程组的导出组
（1）
非齐次线性方程组的有解判定
=
m
b
b
b
M
2
1
β
=
1
21
11
1
m
a
a
a
M
α
=
2
22
12
2
m
a
a
a
M
α
=
mn
n
n
n
a
a
a
M
2
1
αL
βααα =+++
nn
xxx L
2211
引进向量方程组的向量方程方程组（1）有解线性表示可由
n
αααβ,,,
21
L?
)()(),,,,,(
21
ArArA
n
==? βααα L
.)1(),,,,(
21
的增广矩阵称为方程组βααα
n
A L=
非齐次线性方程组的解法
1.非齐次线性方程组解的性质性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。
BABA ==
21
,ηη OA = )(
21
ηη
性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是非齐次方程组（1）的解。
OABA == ξη,BA =+? )( ξη
2.非齐次线性方程组的通解特解，是非齐次方程组的一个设
η
rnrn
kkk

++++ ξξξη L
2211
出组的基础解系，
是其导
rn?
ξξξ,,,
21
L
则非齐次方程组（1）的通解为定理：
).(,,,
21
Arrkkk
rn
=
为任意常数，L
推论：
）有惟一解；时，方程组（1)()()( nArAri ==
）有无穷多解，其时，方程组（1)()()( nArArii <=
通解为
rnrn
kkk

++++ ξξξη L
2211
）无解。时，方程组（1)()()( ArAriii ≠
=?+
=++
=?+
274
032
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx例1：求解方程组
=
2
0
1
174
132
121
M
M
M
A
→
2
2
1
310
310
121
M
M
M

→
0
2
1
000
310
121
M
M
M
→
0
2
3
000
310
501
M
M
M
→
0
2
3
000
310
501
M
M
M
有解
)()( ArAr =
+=
=
23
35
32
31
xx
xx
同解方程组为
ξη k+
通解为
=,0
3
x
=
=
2
3
2
1
x
x
=,1
3
x
=
=
3
5
2
1
x
x
T
)0,2,3(?=∴
η特解为所以基础解系为
T
)1,3,5(?=ξ
=
=
32
31
3
5
xx
xx
例2：求方程组的通解
=+
=?+?
=+
2/132
13
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx



=
2/1
1
0
3211
3111
1111
A


→
2/1
1
0
2100
4200
1111

→
0
2/1
0
0000
2100
1111

→
0
2/1
2/1
0000
2100
1011
同解方程组为
+=
++=
2/12
2/1
43
421
xx
xxx
0
42
== xx 2/1
31
==? xx
T
)0,2/1,0,2/1(=
η特解为有解
)()( ArAr =
=
1
0
,
0
1
4
2
x
x
=
2
1
,
0
1
3
1
x
x
=
+=
43
421
2xx
xxx
T
)0,0,1,1(
1
=ξ
T
)1,2,0,1(
2
=ξ
基础解系为：
2211
ξξη kk ++
通解为非齐次方程组的求解步骤;
)()(.1
断是否有解以判与化为梯形阵；从而求出，并将写出ArArAA
同解方程组；自由未知量，并写出未知量与化为行最简形，确定真在有解时，进一步将A.2
通解。
写出，以求出基础解系；并；再给自由未知量取值解而求出特求出真未知量的值，从先令自由未知量为零，
η
.3
如何确定？
注意什么？
含参数的方程组在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。
而参数值的确定，要依据有解的条件即：
)()( ArAr =
一般而言，有两种方法确定参数值。
一种是行列式法，另一种是初等变换法。
求其解。无穷多解？并在有解时无解？有惟一解？为何值时，方程组例
=?+
=+?
=?+
1554
2
12
.1
321
321
321
xxx
xxax
xaxx
a
解：
=
554
11
12
a
a
A
554
11
12
=? a
a
A
2
5104
5410
a
aa
+
+=
45
2
= aa
5
4
,10?==?= aaA
时，方程组有惟一解。且
5
4
1?≠≠∴ aa
补充时，方程组为1=a
=?+
=+?
=?+
1554
2
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
不再是含参数的方程组了。
时，方程组为
5
4
=a
=?+
=+
=
1554
2
5
4
1
5
4
2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
不再是含参数的方程组了。
有解？为何值时，方程组例
=+
=?+?
=+
λ
λ
4321
4321
4321
32
13
0
.2
xxxx
xxxx
xxxx



=
λ
1
0
3211
3111
1111
A

→
λ
1
0
2100
4200
1111
+

→
2/1
2/1
0
0000
2100
1111
λ
，方程组有解。时，)()(
2
1
ArAr =?=?λ
问题：此题能用行列式法求解吗？
不能！
两个关于方程组的问题：
的通解。，求），，，（
，），，，（是它的三个特解，且，，
，的秩为的系数矩阵设四元非齐次方程组
BAX
ABAX
T
T
==+
=
=
4321
5432
3.1
32
1321
ηη
ηηηη
由题设，基础解系只含一个解向量，可取为
，），，，（），，，（
TTT
)6,5,4,3(432154322)(2
21
=?=+?= ηηηξ
.
1
ξη k+∴通解为
.),3,,1(
,)3,2,1,1(,)4,1,2,1(,)5,0,3,1(.2
321
T
TTT
ba=
===
β
ααα设线性表示？表示式为？，，能用取何值时）
（详见参考书第82页。）
（
321
,1 αααβba
线性表示？，，不能用取何值时）（
321
,2 αααβba
332211
αααβ xxx ++=设
AX
x
x
x
=
=?
3
2
1
321
),,( αααβ
=
==
3
2
1
321
,
345
210
123
111
),,(
x
x
x
XA ααα
是否有解的问题。组线性表示转化为方程，，能用取何值时
β
αααβ
=AX
ba
321
,
（详见参考书第82页。）