矩阵的相似对角化一、矩阵与对角阵相似的条件：
相似，与对角阵设ΛA
APPPn
1?
=Λ?，使阶可逆阵存在一个
=Λ=
n
n
PPPP
λ
λ
λ
O
L
2
1
21
),,,(，设
APP
1?
=Λ
),,,(
21 n
APAPAPAP L=
),,,(
2211 nn
PPP λλλ L=
.,,2,1,niPAP
iii
L==? λ
是否为特征向量？）（
i
P
n
n
PPP
λ
λ
λ
O
L
2
1
21
),,,(
Λ=? PAP
=
0≠PQ
为非零向量。
n
PPP,,,
21
L∴
是特征向量。
n
PPP,,,
21
L?是特征值；
n
λλλ,,,
21
L?
对应的特征向量为的特征值是反之设,,,,
21
A
n
λλλ L
.,,,
21 n
PPP L
则有：，设,),,,(
2
1
21
=Λ=
n
n
PPPP
λ
λ
λ
O
L
),,,(
21 n
APAPAPAP L=
=
n
n
PPP
λ
λ
λ
O
L
2
1
21
),,,(
),,,(
2211 nn
PPP λλλ L=
Λ= P
由此可得什么结论？
线性无关。
可逆
n
PPP
PA
,,,
~
21
L
Λ
（且线性无关。）
定理1：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
推论：若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；但反之不对。
思考：矩阵能否与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。
若矩阵A的特征值互异，则矩阵能与对角阵相似，问题已经解决；若矩阵A有重特征值，则不能马上断言。这时要看特征向量了。
实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。
性无关的特征向量。
个线有即个线性无关的解向量，就有则重特征值，只要为设
kAkOXEA
knEArk
=?
=?
)(
,)(
λ
λλ
综上，有：
ii
m
i
im
rnEArAnrrrr?=Λ=
∑
=
)(~,,,,,
1
21
λ则L
：设定理2
,
21 m
A λλλ，，，的相异特征值为L
其重数分别为为对角阵。，使可逆阵在相似时求能否与对角阵相似，并例：判断
Λ=
=
APPP
A
1
101
131
002
解：
λ
λ
λ
λ

=?
101
131
002
EA
Λ? ~A
3,2,1
321
===? λλλ
,)2,1,0(1
11
T
== ξλ，求得特征向量为对
),,(
321
ξξξ=P
二、矩阵相似对角化的方法：
.)0,1,0(3
33
T
== ξλ，求得特征向量为对
T
)1,0,1(2
22
== ξλ，求得特征向量为对
)3)(2)(1( λλλ=
=
012
101
010
=Λ=∴
300
020
001
1
APP
矩阵相似对角化的步骤：
不与对角阵相似。则一定与对角阵相似；否时，当的重数为每个中互异的为与对角阵相似；若则互异，，若的所有特征值求出
A
AmirnEArr
A
Ai
iiii
mn
nn
,,,2,1,)(
,,,,,,,
,,,,,,)(
2121
2121
L
LL
LL
=?=?λλ
λλλλλ
λλλλλλ
=Λ=
=
n
nn
APP
P
nAAii
λ
λ
λ
ξξξξξξ
O
LL
2
1
1
2121
),,,(,,,
)(
，则有，并令向量个线性无关的特征的与对角阵相似时，求出当