线性代数
1.内容简介
行列式、矩阵,n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论基础。
Leibniz在十七世纪就有了行列式的概念。
Vandermonde是第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人。
Cayley被公认为矩阵论的创立者。
线性代数前言
矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、经济学中有大量应用的数学分支 。
矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
2.课程特点
抽象性强，应用性强。
以离散变量为研究对象。
3.教学组织
以课堂教学为主。
注重讲解。
抓紧课下的学习、答疑与练习。
4.学习要求
在基本概念上下功夫。
勤于思考，勇于探索。
培养能力。
认真听讲，独立完成作业。
5.教学参考书
线性代数例题习题试题与解答西北工大出版社出版
大学数学学习指南——线性代数山东大学出版社出版多做练习啊
！
矩阵的概念
1.矩阵的定义 方程组
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLL
L
L
2211
22222121
11212111
系数排成一个矩形数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
这就是矩阵由 m×n个数按一定的次序排成的 m行 n列的矩形数表称为 m×n矩阵,简称矩阵.
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列
ij
a
称为矩阵的第i行 j列的元素,
元素为实数的称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.
矩阵通常用大写字母A,B,C等表示，例如
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
简记为
nmij
aA
×
= )(
)(
11211 n
aaa L
1
21
11
m
a
a
a
M
行矩阵列矩阵脚标
=
×
nnnn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
当 m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵。
主对角线几种特殊形式的矩阵
=
×
00
00
.1
L
MLM
L
nm
O
=Λ
nn
a
a
O
11
.2
k
k
O.3
1
1
.4 O
=
n
E
nn
n
n
a
aa
aaa
MO
L
L
222
11211
.5
nnnn
aaa
aa
a
L
OMM
21
2221
11
6.梯形阵 设
nmij
aA
×
= )(
若当 i>j时 (i<j)时,恒有
0=
ij
a 且各行中第一个（最后一个) 非零元素前( 后)
面零元素的个数随行数增大而增多 (减少),则称为上 (下 )梯形矩阵.简称为上 (下 )梯形阵,
它们统称为梯形阵
73325
00321
00069
00001
0022
0001
0000
00000
08700
54321
10000
98000
12210
312075
00000
00432
00605
00001
00001
00321
12344
它们是梯形阵吗?
不是!
请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义,
梯形阵是最常用的矩阵!
矩阵的运算一、线性运算
1.相等,两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等,即
( )
nm
ij
aA
×
=
( )
nm
ij
bB
×
=
=
型号相同
ijij
ba =
对应元素相等
2.加、减法
( )
nm
ij
aA
×
=
( )
nm
ij
bB
×
=
设矩阵与定义
nmijij
baBA
×
+=+ )(
nmijij
baBA
×
=? )(
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A-A=O
负矩阵 ( )
nm
ij
aA
×
= 的负矩阵为记作 -A,即
( )
nm
ij
aA
×
=?
( )
nm
ij
a
×
3.数乘
mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作,kA
=kA
1=k
A
1?=k
A? AA=1 OoA=
kBkABAk
lAkAAlkAkllAk
+=+
+=+=
)(
,)(,)()(
矩阵的乘法
{
3132121111
xaxaxay ++=
3232221212
xaxaxay ++=
+=
+=
+=
2321313
2221212
2121111
tbtbx
tbtbx
tbtbx
与
2321322121211
13113211211111
)(
)(
tbababa
tbababay
++
+++=
2322322221221
13123212211212
)(
)(
tbababa
tbababay
++
+++=
=
232221
131211
aaa
aaa
A
=
3231
2221
1211
bb
bb
bb
B
++++
++++
322322221221312321221121
321322121211311321121111
babababababa
babababababa
232221
131211
aaa
aaa
3231
2221
1211
bb
bb
bb
smij
aA
×
= )(
nsij
bB
×
= )(
一般地，有
nmij
c
×
= )(
sjisjijiij
bababac +++= L
2211
=
ABC =
)(
21 isii
aaa L
sj
j
j
b
b
b
M
2
1
ij
c
nssmnm
BAC
×××
=
=

=
11
11
,
11
11
1 BA：例
=AB
0
0
0
0

=
22
22
BA
= O
BAAB ≠显然这正是矩阵与数的不同
=
=

=
11
01
,
12
41
,
63
42
2 CBA：例

=

=
69
46
,
69
46
ACAB
ACAB =?
CB ≠
但是这又是矩阵与数的不同请记住：
1.矩阵乘法不满足交换率；
2.不满足消去率；
3.有非零的零因子。
nnmnmm
EAAAE
kBABkAABk
CABAACB
ACABCBA
BCACAB
××
==
==
+=+
+=+
=
.4
)()()(.3
)(
)(.2
)().(1
BAAB
BA
=
则为同阶方阵设,,.5
AB=
BA=
请特别注意性质 5,如果不是同阶方阵结果不成立,
成立吗
mnnmmnnm
BABA
××××
=
不成立 !
方阵的正整数幂
AAAA
k
L=
EA =
0
lklk
AAA =
+
kkk
BAAB ≠)(
问题
kkk
BAAB =)(
成立的条件?
矩阵的转置
( )
nm
ij
aA
×
= ( )
mn
ji
a
×
=
T
A
A
′
或
TT
TTT
TT
kAkA
BABA
AA
=
+=+
=
)(
)(
)(
=
T
AB)(
TT
AB
请记牢!
AB=BA
( )
sm
ij
aA
×
= ( )
ns
ij
bB
×
= ( )
nm
ij
cABC
×
==
mnij
TT
dAB
×
= )(
( )
ms
ji
T
aA
×
=( )
sn
ji
T
bB
×
=
sijsijijji
bababac +++= L
2211
jssijijiij
abababd +++= L
2211
ji
c
=
ij
d
也就是
TTT
ABAB =)(
TTTT
ABCABC =)(
11
=
=Λ
T
nn
T
a
a
O
Λ
ji
c
ij
d
=
对称阵与反对称阵
AA
T
=:对称阵
AA
T
=:反对称阵
TTT
AAAAAA +,,
T
AA?
22
TT
AAAA
A
+
+
=
任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和,
奇数阶反对称阵的行列式为零,
jiij
aa =
0=?=
iijiij
aaa 且
068
602
820
=
0
例 1:设矩阵A 与 B为同阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件为AB=BA,
证：
:?
T
AB)(Q
AB=
TTT
ABAB =)(又
BA=
BAAB =?
:?
BAAB =Q
TTT
ABAB =∴ )(
BA= AB=
为对称阵。AB?
例 2：求矩阵的幂
=


cossin
sincos
A
=
n
A

=


22
22
sincoscossin2
cossin2sincos
=


2cos2sin
2sin2cos
=




cossin
sincos
cossin
sincos
2
A


=


)1cos()1sin(
)1sin()1cos(
1
nn
nn
A
n
设


==




cossin
sincos
)1cos()1sin(
)1sin()1cos(
1
nn
nn
AAA
nn
则
=


nn
nn
cossin
sincos
=∴


nn
nn
A
n
cossin
sincos