矩阵的初等变换矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换：
)()(
)(,)(
jijiijij
ccrrcr
jii
或的位置，记作列两行对换矩阵中第
).(,()(
ii
kckrikii记作列）行乘第用非零常数
).(,
)()(
jiji
kcckrr
ikjiii
++记作（列）对应元素上去行后加到第乘以常数列行将矩阵的第
=
4131
122122
2832
A
→
2832
122122
4131
31
rr
→
6690
4460
4131
13
12
2
2
rr
rr
→
2230
2230
4131
→
0000
2230
4131
连接。
或之间用记号与
，化为利用初等变换将
→BA
BA
利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。
作用矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。
例如：
=
301
020
201
A
→
500
020
201
=
9113
12334
3221
B
→
0770
011110
3221
→
100
010
001
→
0000
0110
3221
→
0000
0010
0001
矩阵的等价对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A B.?
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即：
CACBBAABBAAA,;;
nm
IA
×
=
00000
00000
00100
00010
00001
LL
MLMMLMM
LL
LL
MLMMOMM
LL
LL
A的标准形定理：任何一个矩阵都有标准形。
如上例：
→
0000
2230
4131
A
→
0000
2230
0001
14
13
12
4
3
cc
cc
cc
→
÷
+
0000
0010
0001
3
2
3
2
3
2
24
23
r
cc
cc
推论:矩阵A与B 等价的充要条件是A与B
有相同的标准形。
矩阵的秩
.
.1
2
阶子式的阶行列式，称为矩阵的个元素，按原次序组成行、列相交处的列，位于这些行中任取阶子式：在
kAk
k
kkAk
nm×
一般地：
个。阶子式有的矩阵
k
n
k
m
CCkAnm×
2.秩的定义:矩阵A 的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩.记作r(A),
显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有r(A)>0.并且:
};,min{)()( nmAri
nm
≤
×
.)(;)()(
rArr
rArrii
<
≥
阶子式全为零，则若所有的阶子式不为零，则若有一个
).()()( ArAriii
T
=
例:求矩阵A的秩.
=
00
00
2222
111211
LLLL
MMMMMM
LLLL
L
MLMO
LL
LL
rnrr
nr
nr
aa
aaa
aaaa
A
.)( rAr =显然利用初等变换可以求矩阵的秩,
)0(
2211
≠
rr
aaa L
秩的求法定理:矩阵经初等变换后其秩不变.
证:只证行变换的情形.
);()( BrArBA
ij
r
=?→
);()( BrArBA
i
kr
=?→
=
mnmm
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
MLMM
L
MLMM
L
21
21
21
11211
ji
krr +
→
B
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
mnmm
jnjj
jninjiji
n
=
+++
L
MLMM
L
MLMM
L
MLMM
L
21
21
2211
11211
由此可以推出:
)()()()( BrArBrAr ≤≥ )()( BrAr =?
例:求矩阵的秩:
=
4131
122122
2832
.1 A
→
→
2832
122122
4131
31
rr
A
→
0000
4460
4131
→
6690
4460
4131
2)( =? Ar
→
9300
121070
2220
4321
→
9300
5300
1110
4321
→
9300
121070
1110
4321
→
4000
5300
1110
4321
4)( =? Br
=
5021
0113
2101
4321
.2 B
=
9113
1234
3221
tA
？为何值时，3)( <Art
→
0770
01180
3221
tA
→
01180
0110
3221
t
+
→
0300
0110
3221
t
.3)(,3 <?=? Art
初等矩阵定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：
=
1
01
10
1
),(
O
L
MOM
L
O
jiE
对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。
=
1
1
))((
O
O
k
kiE
=
1
1
1
1
))(,(
O
MO
L
O
k
kjiE
初等矩阵的性质
1.
),(),( jiEjiE
T
=
=
1
01
10
1
),(
O
L
MOM
L
O
T
jiE
),( jiE=
))((
1
1
))((
kiE
kkiE
T
=
=
O
O
))(,(
1
1
1
1
))(,( kijE
k
kjiE
T
=
=
O
L
OM
O
))(())(( kiEkiE
T
=
))(,())(,( kijEkjiE
T
=
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.
1),(?=jiE
2.
kkiE =))(( 1))(,( =kjiE
初等矩阵都是非奇异的.
初等矩阵与初等变换的关系先看一个例子
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=
100
001
010
)2,1(E
=
333231
232221
131211
100
001
010
)2,1(
aaa
aaa
aaa
AE
=
333231
131211
232221
aaa
aaa
aaa
行变换相当于左乘初等矩阵;
列变换相当于右乘初等矩阵.
nmmmnm
AETAT
×××
= )()(
行行
)()(
nnnmnm
ETAAT
×××
=
列列
=
100
001
010
)2,1(
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
AE
=
333132
232122
131112
aaa
aaa
aaa
例：求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。
=
011
110
001
A
→
010
110
001
13
rr
→
110
010
001
32
rr
→
100
010
001
23
rr
I=
=
101
010
001
1
P
=
010
100
001
2
P
=
110
010
001
3
P
IAPPP =
123
可以验证
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
+++
=
133312321131
131211
232221
aaaaaa
aaa
aaa
B
=
100
001
010
1
P
=
101
010
001
2
P
BPAP =
21
)1(
BPAP =
12
)2(
BAPP =
21
)3(
BAPP =
12
)4(
4131
122122
2832
101
010
001
1000
0120
0010
0001
6903
122122
2832
1000
0120
0010
0001
69183
122162
28192
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换：
)()(
)(,)(
jijiijij
ccrrcr
jii
或的位置，记作列两行对换矩阵中第
).(,()(
ii
kckrikii记作列）行乘第用非零常数
).(,
)()(
jiji
kcckrr
ikjiii
++记作（列）对应元素上去行后加到第乘以常数列行将矩阵的第
=
4131
122122
2832
A
→
2832
122122
4131
31
rr
→
6690
4460
4131
13
12
2
2
rr
rr
→
2230
2230
4131
→
0000
2230
4131
连接。
或之间用记号与
，化为利用初等变换将
→BA
BA
利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。
作用矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。
例如：
=
301
020
201
A
→
500
020
201
=
9113
12334
3221
B
→
0770
011110
3221
→
100
010
001
→
0000
0110
3221
→
0000
0010
0001
矩阵的等价对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A B.?
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即：
CACBBAABBAAA,;;
nm
IA
×
=
00000
00000
00100
00010
00001
LL
MLMMLMM
LL
LL
MLMMOMM
LL
LL
A的标准形定理：任何一个矩阵都有标准形。
如上例：
→
0000
2230
4131
A
→
0000
2230
0001
14
13
12
4
3
cc
cc
cc
→
÷
+
0000
0010
0001
3
2
3
2
3
2
24
23
r
cc
cc
推论:矩阵A与B 等价的充要条件是A与B
有相同的标准形。
矩阵的秩
.
.1
2
阶子式的阶行列式，称为矩阵的个元素，按原次序组成行、列相交处的列，位于这些行中任取阶子式：在
kAk
k
kkAk
nm×
一般地：
个。阶子式有的矩阵
k
n
k
m
CCkAnm×
2.秩的定义:矩阵A 的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩.记作r(A),
显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有r(A)>0.并且:
};,min{)()( nmAri
nm
≤
×
.)(;)()(
rArr
rArrii
<
≥
阶子式全为零，则若所有的阶子式不为零，则若有一个
).()()( ArAriii
T
=
例:求矩阵A的秩.
=
00
00
2222
111211
LLLL
MMMMMM
LLLL
L
MLMO
LL
LL
rnrr
nr
nr
aa
aaa
aaaa
A
.)( rAr =显然利用初等变换可以求矩阵的秩,
)0(
2211
≠
rr
aaa L
秩的求法定理:矩阵经初等变换后其秩不变.
证:只证行变换的情形.
);()( BrArBA
ij
r
=?→
);()( BrArBA
i
kr
=?→
=
mnmm
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
MLMM
L
MLMM
L
21
21
21
11211
ji
krr +
→
B
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
mnmm
jnjj
jninjiji
n
=
+++
L
MLMM
L
MLMM
L
MLMM
L
21
21
2211
11211
由此可以推出:
)()()()( BrArBrAr ≤≥ )()( BrAr =?
例:求矩阵的秩:
=
4131
122122
2832
.1 A
→
→
2832
122122
4131
31
rr
A
→
0000
4460
4131
→
6690
4460
4131
2)( =? Ar
→
9300
121070
2220
4321
→
9300
5300
1110
4321
→
9300
121070
1110
4321
→
4000
5300
1110
4321
4)( =? Br
=
5021
0113
2101
4321
.2 B
=
9113
1234
3221
tA
？为何值时，3)( <Art
→
0770
01180
3221
tA
→
01180
0110
3221
t
+
→
0300
0110
3221
t
.3)(,3 <?=? Art
初等矩阵定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：
=
1
01
10
1
),(
O
L
MOM
L
O
jiE
对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。
=
1
1
))((
O
O
k
kiE
=
1
1
1
1
))(,(
O
MO
L
O
k
kjiE
初等矩阵的性质
1.
),(),( jiEjiE
T
=
=
1
01
10
1
),(
O
L
MOM
L
O
T
jiE
),( jiE=
))((
1
1
))((
kiE
kkiE
T
=
=
O
O
))(,(
1
1
1
1
))(,( kijE
k
kjiE
T
=
=
O
L
OM
O
))(())(( kiEkiE
T
=
))(,())(,( kijEkjiE
T
=
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.
1),(?=jiE
2.
kkiE =))(( 1))(,( =kjiE
初等矩阵都是非奇异的.
初等矩阵与初等变换的关系先看一个例子
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=
100
001
010
)2,1(E
=
333231
232221
131211
100
001
010
)2,1(
aaa
aaa
aaa
AE
=
333231
131211
232221
aaa
aaa
aaa
行变换相当于左乘初等矩阵;
列变换相当于右乘初等矩阵.
nmmmnm
AETAT
×××
= )()(
行行
)()(
nnnmnm
ETAAT
×××
=
列列
=
100
001
010
)2,1(
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
AE
=
333132
232122
131112
aaa
aaa
aaa
例：求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。
=
011
110
001
A
→
010
110
001
13
rr
→
110
010
001
32
rr
→
100
010
001
23
rr
I=
=
101
010
001
1
P
=
010
100
001
2
P
=
110
010
001
3
P
IAPPP =
123
可以验证
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
+++
=
133312321131
131211
232221
aaaaaa
aaa
aaa
B
=
100
001
010
1
P
=
101
010
001
2
P
BPAP =
21
)1(
BPAP =
12
)2(
BAPP =
21
)3(
BAPP =
12
)4(
4131
122122
2832
101
010
001
1000
0120
0010
0001
6903
122122
2832
1000
0120
0010
0001
69183
122162
28192
