2.相关性的判定定理定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关。
推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。
.)(
),2,1(
),2,1(),,,(4
21
22221
11211
2
1
21
mAr
aaa
aaa
aaa
A
mi
miaaanm
mnmm
n
n
m
i
iniii
<
=
=
=
==
的秩构成的矩阵相关的充要条件是由线性维向量个：定理
L
MLMM
L
L
M
L
LL
α
α
α
α
α
的相关性。：讨论例)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(1
321
=?=?= ααα
解：
=
=
114
132
121
3
2
1
α
α
α
A
→
370
370
121
→
000
370
121
32)( <=∴ Ar
线性相关。
321
,,ααα?
）线性相关？，，，，（），，，，，（
），，，，，（），，，，，（为何值时，向量组：例
λαα
ααλ
113152232
32312211112
43
21
==
==
解：
=
=
λ
α
α
α
α
1131
52232
32312
21111
4
3
2
1
A
→
20220
10010
10110
21111
λ
→A
20220
10010
10110
21111
λ
→
40000
00100
10110
21111
λ
,43)(4 <==? Ar时，λ
线性相关。
4321
,,,αααα
证明定理4.
:""?
,,,,
21
线性相关
m
ααα L
=
m
m
m
α
α
向量线性表示为个可由其余妨设知，必有某个向量（不由定理1)1
1111
++
mm
kk αα L
写成分量形式为
jmmjjmj
akakaka
,112211
+++= L
对A作初等变换
=
=
mnmm
nmmm
n
m
m
aaa
aaa
aaa
A
L
L
MLMM
L
M
21
,12,11,1
11211
1
1
α
α
α
→
000
,12,11,1
11211
L
L
MLMM
L
nmmm
n
aaa
aaa
mAr <? )(
:""?
,0,)( ><= rmrAr不妨设0≠
r
DrA阶子式的最左上角的且考虑A的r+1阶子式
jrrrr
jrrrr
jr
r
aaa
aaa
aaa
D
,1,11,1
,1
,1111
1
+++
+
=
L
L
MMLM
L
0)(
1
=?=
+r
DrAr
按最后一列展开，有：将
j
D
0
,12211
=++++
+ rjrjrjjj
DaAaAaAa L
nj,,2,1 L=
按向量形式写，上式为：
=++++
+ rrj
DAAA
12211
αααα L
0
,0≠
r
DQ
,,,,
121
线性相关
+r
ααα L
线性相关。从而
m
ααα,,,
21
L
推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。
推论2：任意m 个n 维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A= 的秩r(A)=m。
nm
A
×
推论3：任意n 个n 维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。或r(A)=n.
推论4：任意n 个n 维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。或r(A)<n.
定理5：若m 个r维向量线性无关，则对应的m 个r+1维向量也线性无关。
),,2,1(),,,(
21
miaaa
iriii
LL ==α
),,2,1(),,,,(
1,21
miaaaa
riiriii
LL ==
+
β
用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加n-r 个相应分量组成的n
维向量仍旧线性无关。
证明：
=
=
mrmm
r
r
m
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
M
21
22221
11211
2
1
α
α
α
=
=
+
+
+
1,21
1,222221
1,111211
2
1
rmmrmm
rr
rr
m
aaaa
aaaa
aaaa
B
L
MMLMM
L
L
M
β
β
β
mBrArm ≤≤=? )()( mBr =? )(
线性无关。
m
βββ,,,
21
L∴
向量组的极大无关组满足定义1：设
r
T ααα,,,
21
L的部分向量组向量组线性无关；
r
i ααα,,,)(
21
L
中向量均可由Tii)(
线性表示。
r
ααα,,,
21
L
或
.α中任一向量T
线性相关。
r
αααα,,,,
21
L
则称
T
r
是向量组ααα,,,
21
L
的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.
注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价;
3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的.
例:求向量组的极大无关组.
)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(
321
=?=?= ααα
=
=
114
132
121
3
2
1
α
α
α
A
→
370
370
121
→
000
370
121
32)( <=∴ Ar
线性相关。
321
,,ααα?
是一个极大无关组；线性无关，但
2121
,,αααα ∴
也是一个极大无关组。也线性无关，
3131
,,αααα ∴
极大无关组的性质定理1：设有两个n维向量组
,,,,)(
21 r
I ααα L,,,,)(
21 s
II βββ L
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表示，则r ≤ s.
=
=
rnrr
n
n
r
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
M
21
22221
11211
2
1
α
α
α
证：设
=
=
snss
n
n
s
bbb
bbb
bbb
B
L
MLMM
L
L
M
21
22221
11211
2
1
β
β
β
=
r
s
C
α
α
α
β
β
β
M
M
2
1
2
1
→
O
O
O
s
M
M
β
β
β
2
1
sCrArr ≤≤=∴ )()(
推论1：若向量组可由向量组
r
ααα,,,
21
L
s
βββ,,,
21
L
性表示，且r >s,则向量组线性相关。
r
ααα,,,
21
L
线定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。
向量组的秩推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。
m
ααα,,,
21
L
定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，
称为向量组的秩，记为).,,,(
21 m
r ααα L
注：
（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。
（2）向量组线性无关?秩=向量个数。
可由若
m
ααα,,,
21
L线性表示，则
s
βββ,,,
21
L
≤),,,(
21 m
r ααα L ),,,(
21 s
r βββ L
定理3：
推论：等价的向量组有相同的秩。
必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。
= n
例1：设向量组
nn
eee ααα,,,,,,
2121
LL可由向量组线性表示,
).,,,(
21 n
r ααα L
求例2：
设有两个n维向量组与
s
ααα,,,
21
L,,,,
21 s
βββ L
若
=
s
β
β
β
M
2
1
sssss
s
s
aaa
aaa
aaa
α
α
α
M
L
MLMM
L
L
2
1
21
22221
11211
=
ssss
s
s
aaa
aaa
aaa
K
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
线性无关。，则若证明
s
sKr βββ,,,)(:
21
L=
与
s
ααα,,,
21
L等价。
s
βββ,,,
21
L
你能举一个反例吗？
线性无关且
s
ααα,,,
21
L
向量组的秩的求法定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。
推论：矩阵的行秩与列秩相等。
这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。
例1：求向量组的秩。
)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(
4321
===?= αααα
解：
=
=
0221
14703
2130
4211
4
3
2
1
α
α
α
α
A
→
4010
2130
2130
4211
→
4010
2130
2130
4211
→
2130
2130
4010
4211
→
0000
10100
4010
4211
3)(),,,(
4321
==? Arr αααα
== ),,,(
4321
ααααA
01424
2712
2031
1301
→
4220
0110
1330
1301
→
4220
1330
0110
1301
→
4000
1000
0110
1301
→
0000
1000
0110
1301
极大无关组的求法列摆行变换法。
例2：求向量组的秩及极大无关组。
)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(
4321
===?= αααα
== ),,,(
4321
ααααA
01424
2712
2031
1301
→
+
4220
0110
1330
1301
12
rr
→
4220
1330
0110
1301
→
4000
1000
0110
1301
→
0000
1000
0110
1301
3)(),,,(
4321
==? Arr αααα
是一个极大无关组。
421
,,,ααα
（记录法与逐个考察法就不介绍了。）
列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。
如上例，
也是一个极大无关组。
431
,,ααα
）线性相关？并，，，，（），，，，，（
），，，，，（），，，，，（为何值时，向量组：例
λαα
ααλ
113152232
32312211113
43
21
==
==
求秩及一个极大无关组。
,43)(4 <==? Ar时，λ
线性相关。
4321
,,,αααα
是一个极大无关组。
321
,,ααα
)0,1,1(),0,1,1(),0,0,1(
321
=== ααα
=
=
011
011
001
3
2
1
α
α
α
A
→
+
012
011
001
13
rr
→
010
011
001
23
2rr
是一个极大无关组。
32
,αα∴
矛盾反例：
但，行摆行变换不行！
我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：
{ })(),(min)( BrArBAr
nssm
≤
××
这是一个非常重要的关于秩的不等式！
设有n两个维向量组与
s
ααα,,,
21
L,,,,
21 s
βββ L
若
=
s
β
β
β
M
2
1
sssss
s
s
aaa
aaa
aaa
α
α
α
M
L
MLMM
L
L
2
1
21
22221
11211
=
ssss
s
s
aaa
aaa
aaa
K
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
sKr
s
=? )(,,,
21
线性无关则βββ L
这又是一个非常有用的公式。
的列向量组线性无关。，证明：设BEBA
nnmmn
=
××
线性无关且
s
ααα,,,
21
L
则整个向量组也必定线性相关。
推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。
.)(
),2,1(
),2,1(),,,(4
21
22221
11211
2
1
21
mAr
aaa
aaa
aaa
A
mi
miaaanm
mnmm
n
n
m
i
iniii
<
=
=
=
==
的秩构成的矩阵相关的充要条件是由线性维向量个：定理
L
MLMM
L
L
M
L
LL
α
α
α
α
α
的相关性。：讨论例)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(1
321
=?=?= ααα
解：
=
=
114
132
121
3
2
1
α
α
α
A
→
370
370
121
→
000
370
121
32)( <=∴ Ar
线性相关。
321
,,ααα?
）线性相关？，，，，（），，，，，（
），，，，，（），，，，，（为何值时，向量组：例
λαα
ααλ
113152232
32312211112
43
21
==
==
解：
=
=
λ
α
α
α
α
1131
52232
32312
21111
4
3
2
1
A
→
20220
10010
10110
21111
λ
→A
20220
10010
10110
21111
λ
→
40000
00100
10110
21111
λ
,43)(4 <==? Ar时，λ
线性相关。
4321
,,,αααα
证明定理4.
:""?
,,,,
21
线性相关
m
ααα L
=
m
m
m
α
α
向量线性表示为个可由其余妨设知，必有某个向量（不由定理1)1
1111
++
mm
kk αα L
写成分量形式为
jmmjjmj
akakaka
,112211
+++= L
对A作初等变换
=
=
mnmm
nmmm
n
m
m
aaa
aaa
aaa
A
L
L
MLMM
L
M
21
,12,11,1
11211
1
1
α
α
α
→
000
,12,11,1
11211
L
L
MLMM
L
nmmm
n
aaa
aaa
mAr <? )(
:""?
,0,)( ><= rmrAr不妨设0≠
r
DrA阶子式的最左上角的且考虑A的r+1阶子式
jrrrr
jrrrr
jr
r
aaa
aaa
aaa
D
,1,11,1
,1
,1111
1
+++
+
=
L
L
MMLM
L
0)(
1
=?=
+r
DrAr
按最后一列展开，有：将
j
D
0
,12211
=++++
+ rjrjrjjj
DaAaAaAa L
nj,,2,1 L=
按向量形式写，上式为：
=++++
+ rrj
DAAA
12211
αααα L
0
,0≠
r
DQ
,,,,
121
线性相关
+r
ααα L
线性相关。从而
m
ααα,,,
21
L
推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。
推论2：任意m 个n 维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A= 的秩r(A)=m。
nm
A
×
推论3：任意n 个n 维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。或r(A)=n.
推论4：任意n 个n 维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。或r(A)<n.
定理5：若m 个r维向量线性无关，则对应的m 个r+1维向量也线性无关。
),,2,1(),,,(
21
miaaa
iriii
LL ==α
),,2,1(),,,,(
1,21
miaaaa
riiriii
LL ==
+
β
用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加n-r 个相应分量组成的n
维向量仍旧线性无关。
证明：
=
=
mrmm
r
r
m
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
M
21
22221
11211
2
1
α
α
α
=
=
+
+
+
1,21
1,222221
1,111211
2
1
rmmrmm
rr
rr
m
aaaa
aaaa
aaaa
B
L
MMLMM
L
L
M
β
β
β
mBrArm ≤≤=? )()( mBr =? )(
线性无关。
m
βββ,,,
21
L∴
向量组的极大无关组满足定义1：设
r
T ααα,,,
21
L的部分向量组向量组线性无关；
r
i ααα,,,)(
21
L
中向量均可由Tii)(
线性表示。
r
ααα,,,
21
L
或
.α中任一向量T
线性相关。
r
αααα,,,,
21
L
则称
T
r
是向量组ααα,,,
21
L
的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.
注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价;
3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的.
例:求向量组的极大无关组.
)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(
321
=?=?= ααα
=
=
114
132
121
3
2
1
α
α
α
A
→
370
370
121
→
000
370
121
32)( <=∴ Ar
线性相关。
321
,,ααα?
是一个极大无关组；线性无关，但
2121
,,αααα ∴
也是一个极大无关组。也线性无关，
3131
,,αααα ∴
极大无关组的性质定理1：设有两个n维向量组
,,,,)(
21 r
I ααα L,,,,)(
21 s
II βββ L
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表示，则r ≤ s.
=
=
rnrr
n
n
r
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
M
21
22221
11211
2
1
α
α
α
证：设
=
=
snss
n
n
s
bbb
bbb
bbb
B
L
MLMM
L
L
M
21
22221
11211
2
1
β
β
β
=
r
s
C
α
α
α
β
β
β
M
M
2
1
2
1
→
O
O
O
s
M
M
β
β
β
2
1
sCrArr ≤≤=∴ )()(
推论1：若向量组可由向量组
r
ααα,,,
21
L
s
βββ,,,
21
L
性表示，且r >s,则向量组线性相关。
r
ααα,,,
21
L
线定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。
向量组的秩推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。
m
ααα,,,
21
L
定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，
称为向量组的秩，记为).,,,(
21 m
r ααα L
注：
（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。
（2）向量组线性无关?秩=向量个数。
可由若
m
ααα,,,
21
L线性表示，则
s
βββ,,,
21
L
≤),,,(
21 m
r ααα L ),,,(
21 s
r βββ L
定理3：
推论：等价的向量组有相同的秩。
必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。
= n
例1：设向量组
nn
eee ααα,,,,,,
2121
LL可由向量组线性表示,
).,,,(
21 n
r ααα L
求例2：
设有两个n维向量组与
s
ααα,,,
21
L,,,,
21 s
βββ L
若
=
s
β
β
β
M
2
1
sssss
s
s
aaa
aaa
aaa
α
α
α
M
L
MLMM
L
L
2
1
21
22221
11211
=
ssss
s
s
aaa
aaa
aaa
K
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
线性无关。，则若证明
s
sKr βββ,,,)(:
21
L=
与
s
ααα,,,
21
L等价。
s
βββ,,,
21
L
你能举一个反例吗？
线性无关且
s
ααα,,,
21
L
向量组的秩的求法定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。
推论：矩阵的行秩与列秩相等。
这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。
例1：求向量组的秩。
)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(
4321
===?= αααα
解：
=
=
0221
14703
2130
4211
4
3
2
1
α
α
α
α
A
→
4010
2130
2130
4211
→
4010
2130
2130
4211
→
2130
2130
4010
4211
→
0000
10100
4010
4211
3)(),,,(
4321
==? Arr αααα
== ),,,(
4321
ααααA
01424
2712
2031
1301
→
4220
0110
1330
1301
→
4220
1330
0110
1301
→
4000
1000
0110
1301
→
0000
1000
0110
1301
极大无关组的求法列摆行变换法。
例2：求向量组的秩及极大无关组。
)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(
4321
===?= αααα
== ),,,(
4321
ααααA
01424
2712
2031
1301
→
+
4220
0110
1330
1301
12
rr
→
4220
1330
0110
1301
→
4000
1000
0110
1301
→
0000
1000
0110
1301
3)(),,,(
4321
==? Arr αααα
是一个极大无关组。
421
,,,ααα
（记录法与逐个考察法就不介绍了。）
列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。
如上例，
也是一个极大无关组。
431
,,ααα
）线性相关？并，，，，（），，，，，（
），，，，，（），，，，，（为何值时，向量组：例
λαα
ααλ
113152232
32312211113
43
21
==
==
求秩及一个极大无关组。
,43)(4 <==? Ar时，λ
线性相关。
4321
,,,αααα
是一个极大无关组。
321
,,ααα
)0,1,1(),0,1,1(),0,0,1(
321
=== ααα
=
=
011
011
001
3
2
1
α
α
α
A
→
+
012
011
001
13
rr
→
010
011
001
23
2rr
是一个极大无关组。
32
,αα∴
矛盾反例：
但，行摆行变换不行！
我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：
{ })(),(min)( BrArBAr
nssm
≤
××
这是一个非常重要的关于秩的不等式！
设有n两个维向量组与
s
ααα,,,
21
L,,,,
21 s
βββ L
若
=
s
β
β
β
M
2
1
sssss
s
s
aaa
aaa
aaa
α
α
α
M
L
MLMM
L
L
2
1
21
22221
11211
=
ssss
s
s
aaa
aaa
aaa
K
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
sKr
s
=? )(,,,
21
线性无关则βββ L
这又是一个非常有用的公式。
的列向量组线性无关。，证明：设BEBA
nnmmn
=
××
线性无关且
s
ααα,,,
21
L
