矩阵的特征值与特征向量一,特征值与特征向量的求法
1.利用定义求特征值与特征向量
,0)( )2(
0|| )1(
的非零解求对；求出由步骤：
=?
=?
XEA
EA
λλ
λλ
,
242
422
221
1的特征值与特征向量求例
=A
),7()2(28243
)116()24()2(41616)2)((1
242
422
221
||
223
2
λλλλλ
λλλλλ
λ
λ
λ
+=?+=
++++++?=
=?λEA解
,7,2
321
的特征值为故A?=== λλλ
,
000
000
221
442
442
221
2
,2
21
→
=?
==
EA
λλ对
，故的同解方程为所以
321
22 0)2( xxxXEA +?==?
.
2 ),()1,0,2()0,1,2(
2121
的特征向量的属于特征值为不全为零Akkkk
TT
+?
).0()2,2,1( 7 ≠? kkA
T
的特征向量为的属于特征值同理，
,2)(,
33
351
315
2的特征值及，求设例AcAr
c
A =
=
，因为解7224
33
351
315
||?=
= c
c
A
.3 0|| 2)( === cAAr，故，所以又
.9,4,0
0||
333
351
315
321
===
=?
=
λλλ
的特征值，得，由此时AλEAA
,
3
2100
100
0001
0010
3
的其他特征值及的一个特征值，求：是，若设例
A
yA
y
A
=
].12)2()[1)(1(
]1)2)()[(1(
2100
100
001
001
||
2
2
++?+?=
=
=?
yy
y
y
EA
λλλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
λ设解
1,1,1,3,
1 012)2( 2
012)2( 3 3
2
2
=?++?=
=?++?
的全部特征值为故
，的另一根及的根，由此求得必为的一个特征值，所以是因为
A
yyy
yyA
λλ
λλ
注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值,为此，首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值,求特征向量即求齐次方程组(A-λE)X=0 的基础解系,
2.利用公式求特征值与特征向量则特征向量的的对应于特征值为的特征值，阶方阵为设
,21,
,n,,i
AAn
iii
L=
λαλ
,)(,,2,1
)( )( )( )1(
的多项式为，其中的特征向量为，对应于的特征值为
xxfni
,ffAf
iii
L=
αλλ
.,,2,1
)2(
111
n,i
AA
i
ii
L=
α
λλ
量为的特征向，对应于的特征值为可逆，则设
.,,2,1
||
||
* )3(
n,i
AA
AA
i
ii
L=α
λλ
向量为的特征，对应于的特征值为可逆，则设
.,,2,1,)4( niA
i
T
L=λ的特征值为
.,,2,1,
)5(
1
1
niP
BAPPB
i
ii
L=
=
α
λλ
为的特征向量，对应于的特征值为，则若
,
,
00
020
002
33
242
111
4
的特征值与特征向量及矩阵相似，求：与设例
A
ba
b
B
a
A
=
=
,,2,2,2,2
,~
bAb
BBABA
的特征值也为，所以为的特征值又有相同的特征值与，故因为解
)],1(3)3()[2(
33
242
111
||
2
++=
=?
aa
a
EA
λλλ
λ
λ
λ
λ由于
.6 6,2,2
6 0)1(3)3(
5,2 0)1(3)3( 2
2
2
=
=?++?
==?++?
b
Aaa
aaa
，故为的特征值，即的另一根为并求得代入，得的根，将是所以
λλ
λλ
,
000
000
111
333
222
111
2
2
21
→
=?
==
EA
时当λλ
.)1,1,0( )1,0,1(
21
TT
== αα及线性无关的特征向量为
,
000
230
103
133
222
115
6
6
3
→
=?
=
EA
时当λ
.)3,2,1(
3
T
=α特征向量为
,2*,,
|| 3 2 1 5
21
的特征值及求：，，，的三个特征值为已知三阶方阵例
EAAAA
AA
++
;6)3()2(1|| ==A解;
3
1
,
2
1
,1
1
的特征值为：A;2,3,6 *的特征值为：A
.4,1,4 1)3(2)3(
,1)2(22)(,1121 2
2
222
，即的特征值为：
++?
++?+?+++ EAA
12.6,4,的特征值为：解B
.72)3()6()4(|5|
3 6 4 5
==?
EA
EA所以，，，的特征值为：因为
.|5|
5,2,1,1 6
23
EA
BAABA
=?
特征值及的，求的特征值为设三阶方阵例
,
4
1
2 2 7
1
3
的一个特征值的特征值，求：是设例
= AAAλ
.
2
7
2
4
1
22
4
1
2
1
3
1
3
=
的一个特征值为解AA
,3
2 )0( 8
1
特征向量的一个特征值及对应的
，求的每行元素之和均为阶可逆阵设例
E
AaaAn
+
≠
.
1
1
1
32 3
2
,0
1
1
1
1
1
1
1
++
≠
=
M
MM
特征向量为的一个特征值，对应的为从而的一个特征值且为，所以由题设知解
EA
a
aAaaA
,*,
122
212
221
9
1
的特征值及，求：设例
+
= AEAAA
.2,2,
5
4
5,5,1 * 5||
1,1,5 )5()1(||
1
2
的特征值为；的特征值为，从而且的特征值为，所以因为解
+=
+=?
AEAA
AEA λλλ
.*
0||,2,0|3| 4 10
的一个特征值求：
，满足阶方阵设有例
A
AEAAAEA
T
<==+
，，所以，因为，故又的一个特征值，是知由于解
4|| 0||162||2
3 0|)3(||3|
42
=<===
==+
AAAEAA
AEAAE
T
,*
3
4
的一个特征值是从而A
,
211
121
112
)1,,1( 11
1
kAAk
T
的特征向量，求的逆是设例
==α
.4 4,1,1
1
0
0
1
0
1
ααααα
λ
α
αλαλα
===
=
AAAA
AA
或，故有的特征值为，因为也即
，的特征向量，即的属于特征值是设解
.2
1
1
1
1
211
121
112
=
=
= kkkA，解得时，有当αα
.1
1
1
4
1
1
211
121
112
4 =
=
= kkkA，解得时，有当αα
.1 2 =?= kk或所以
,
0 ),,,1(),,,,1( 12
22
的特征值和特征向量，求
，记且设例
AA
bbaa
T
T
nn
βα
αββα
=
=== LL
.0 0 0
)(
2
2
===
===
A
AA
TT
TTTTT
，故，所以
，因为，得由解
βααβ
ββααββααβα
.0 0
00 0
22222
的特征值全为，即从而
，，所以，因为的特征值且为则
，为对应的特征向量，即的任一特征值，是设
A
AA
AA
=
=≠==
=
λ
λααλαλ
λαααλ
()
,
000
000
11
1
1
2
2
2222
2
2
2
→
=
==?
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
L
M
n
nnnn
n
n
n
n
bb
babaa
babaa
bb
bb
a
a
AEA λ
,)1,,0,0,(,,)0,,0,1,(
0)(
121
T
nn
T
bb
XEA
LLL?=?=
=?
αα
λ的基础解系为所以
.,,
0
111111
不全为零的全部特征向量为的属于惟一特征值故
++
=
nnn
kkkk
A
LL αα
λ
二,A 与对角阵相似的解题方法
.
100
010
221
,
122
020
021
,13
=
= BA
角阵相似判断下列矩阵能否与对例
，的特征值为解2,1,1 A
,232)(
000
010
011
022
010
020
不能与对角阵相似，所以故
，因为
AEAr
EA
≠=?
→
=?
，的特征值为1,1,1?B
,231)(
000
000
111
000
000
222
能与对角阵相似，所以故
，因为
BEBr
EB
==?
→
=?
注：当矩阵有重特征值时，我们用定理,A与对角阵相似的充要条件为r(A-λ
i
E)=n-r
i
”来判定A能否与对角阵相似，其中r
i
为特征值λ
i
的重数，n为矩阵A的阶数.
,
324
1
223
14
1
及相应的对角阵为对角阵？并求使
，取何值时，存在可逆阵，问设例
PAPP
PkkkA
=
),1()1()1(8)9()1(
)3(2)3(2)1(848)3)(3)(1(
324
1
223
||
22
+?=++?=
+++?++?++?=
=?
λλλλλ
λλλλλλ
λ
λ
λ
λ
kkkk
kkEA
因为解
.1,1,1的特征值为所以A
,0 0
123)(
000
0
112
224
0
224
与对角阵相似时，，即
，从而件为与对角阵相似的充要条而
，由于
Akk
EArA
kkkkEA
==
=?=+
→
=+
.
1
0
1
1
2
0
1
0
2
1
1
3
21
=
==
时，对应的特征向量为当；与特征向量为时，对应的线性无关的当
λ
λλ
,
1
1
1
,
120
002
111
1
Λ=
=Λ
=
APPP，则令注：矩阵相似对角化的步骤：(1) 求出A的所有特征值λ
1
,λ
2
,…,
λ
n
，若λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异，则A与对角阵相似；若λ
1
,λ
2
,…,λ
n
中互异的为λ
1
,λ
2
,…,λ
m
，每个λ
i
的重数为r
i
，当r(A- λ
i
E)=n- r
i
时
(i=1,2,…m)，A 与对角阵相似；否则A 不能与对角阵相似.
(2) 当A 与对角阵相似时，求出A的n个线性无关的特征向量ξ
1
,
ξ
2
,…,ξ
n
，并令P=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
)，则P 可逆，且P
-1
AP=Λ.
.
2
1
0
,
2
1
0
11
1
11
15
1
=
=
AQQQ
lk
l
lk
k
A
，使正交阵及，求正交相似于设例
.0
0|| 0|| 0|2|,0||
,0|| 2,1,0
==
=?===?=?
=
lk
EAlkAEAEA
AA
，得，由，得，由的特征值，从而为由相似矩阵的性质知：解
.
101
010
101
=A故单位化，得，它们两两正交，将其的特征向量依次为，，的属于特征值
TT
T
A
)1,0,1(,)0,1,0(
,)1,0,1( 2 1 0
32
1
==
=
ξξ
ξ
(),
2
1
,0,
2
1
,0,1,0,
2
1
,0,
2
1
321
T
T
T
PPP
==
=
(),
2
1
0
2
1
010
2
1
0
2
1
321
== PPPQ令
.
2
1
0
1
=
AQQQ为正交阵且则
,)2(
)1(
.
4
1
2
1,4
2,
020
212
022
16
1
1
Λ=
Λ=
=Λ
=
AQQQ
APPP
A
，使求：正交阵；，使求：可逆阵
，记的特征值分别为设三阶方阵例
→
=+=?
=
220
012
024
220
232
024
2
2 )1(
1
1
EAEA λ
λ：，求其对应的特征向量对特征值解
,
000
110
012
→；故特征向量为
T
)2,2,1(
1
=ξ
,)1,2,2( 4
)2,1,2( 1
33
22
T
T
==
==
ξλ
ξλ
所对应的特征向量特征值及所对应的特征向量同理求得特征值
(),
122
212
121
,,
1
321
Λ=
==
APPPP为可逆阵且，则令ξξξ
.
3
1
,
3
1
,
3
1
,,,,)2(
332211
321321
ξηξηξη
ξξξλλλ
===
将它们单位化，得两两正交，互异，故为实对称阵，因为A
()
.
122
212
121
3
1
,,
1
321
Λ=
==
AQQ
QQ为正交阵且，则令ηηη
注：对于实对称矩阵A，一定有可逆阵P，使P
－1
AP为对角阵，P
的列向量为A的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为A的特征值，而且也一定有正交阵Q，使Q
－1
AQ为对角阵,当A的特征值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化，即可求得正交阵Q；当A有k重特征值时，这个k重特征值一定对应有
k个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵Q来了.
三,方阵A及其特征值、特征向量的互求
.,)2,1,2(,)1,2,2(
,)2,2,1(3,2,1,17
32
1
A
iiAA
TT
T
ii
求
，满足设三阶方阵例
=?=
===
αα
ααα
并取两两正交，将其单位化的特征向量，且于的分别属是的特征值，为知由解
,,3,2,1
,,3,2,1
321
321
ααα
ααααα AAiA
ii
=
，为正交阵显然) (
212
122
221
3
1
,
3
2
1
QQ
=
=Λ
.
622
250
207
3
1
1
=Λ=Λ=
T
QQQQA则有
,1 )1,2,2(
,)1,1,1( 3 111 18
2
1
AA
A
T
T
的特征向量，求的属于特征值是个特征值，的是三阶实对称方阵，，设例
=
=?
ξ
ξ
正交，即及与为实对称阵，故
，由于的特征向量为的属于特征值设解
),,( 1
213
3213
ξξξ
ξ
A
xxxA
T
=?
.022),(
,0),(
32132
32131
=++=
=++=
xxx
xxx
ξξ
ξξ
.)0,1,1(
3
T
=ξ解之得
，则令
==
011
121
121
),,(
321
ξξξP,
0
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
=
P
.
100
001
010
1
1
1
1
=
=
PPA且四,A
n
的求法
,55,,1
340
430
241
19
9
AA，求的特征值为设例?
=
,
5
5
1
3 3
1
=Λ=
APPP
A
，使阵得可逆个互异特征值，故可求阶方阵且有是因为解
.)(
19919
Λ=Λ= PPPPA
从而
,5,5,1 的特征向量的属于特征值，即求先求?AP；，求得特征向量对
T
)0,0,1( 1
11
== ξλ；，求得特征向量对
T
)2,1,2( 5
22
== ξλ
.)1,2,1( 5
33
T
=?= ξλ，求得特征向量对
()，则令
=
==
120
210
505
5
1
,
120
210
121
,,
1
321
PP ξξξ
=Λ=
120
210
505
)5(
5
1
120
210
121
5
1
9
9199
PPA
.
53540
54530
535545
5
1
99
99
99
+
=
.
3
2
00
1
3
1
0
21
2
1
lim 20
n
n
∞→
求例
,
3
2
00
1
3
1
0
21
2
1
n
A
=设解使，逆阵可与对角阵相似，即存在，从而的特征值为则
3
2
,
3
1
,
2
1
P
AA
,
3
2
3
1
2
1
,
3
2
3
1
2
1
11
=
= PPAPPA
n
n
n
n
.0
3
2
3
1
2
1
lim
3
2
00
1
3
1
0
21
2
1
lim
1
=
=
∞→∞→
PP
n
n
n
n
n
n
故五,证明题
,
,,,
3,,3 21
333222111
321
321
TTT
A
AA
ξξλξξλξξλ
ξξξ
λλλ
++=
证明是对应的单位特征向量个互异特征值，的是阶实对称阵，为设例
,
) (
3
2
1
1
321
Λ=
==
=
λ
λ
λ
ξξξ
AQQAQQ
Q
Q
T
为正交矩阵，且有性质知与特征向量的，由实对称阵的特征值令证
()
,
333222111
3
2
1
3
2
1
321
1
TTT
T
T
T
T
QQQQA
ξξλξξλξξλ
ξ
ξ
ξ
λ
λ
λ
ξξξ
++=
=
Λ=Λ=
从而
).()( 22
2
ArArA =为实对称阵，证明设例
，使逆阵为实对称阵，故存在可，因为设证PArAr )( =
,
0
0
1
1
=
O
O
r
APP
λ
λ
的非零特征值，即为,,
1
A
r
λλ L
,
0
0
1
1
= PPA
r
O
O
λ
λ
,
0
0
1
2
2
1
2?
= PPA
r
O
O
λ
λ
).()(
2
ArrAr ==从而
,2 23
2
可逆，求证满足阶方阵若例EAEAAn?=
,
,2 0|2| )I(
λαααλ =
≠?
AA
AEA
为对应的特征向量，即的任一特征值，为设的特征值不是，即只需证明证
,2 0|2| 2
1
2222
可逆，即的特征值，从而不是
，所以，从而，故有，又因为
EAEAA
EAA
≠?
±==== λαλααλα
,3)2)(2(
34 (II)
22
EEAEA
EEAEA
=+?
=?=，从而，得由证
,
3
2
)2( E
EA
EA =
+
即
.
3
2
)2( 2
1
EA
EAEA
+
=
－
可逆且因此
.0 1 24
2
或的特征值只能是，试证明：设例AAA =
.0 1 0
0 0)(
,
2
222
222
或，也就是知
，，由，从而有，即故
，，因为，有左乘是对应的特征向量，即的一个特征值，是设证
==?
≠=?==
====
λλλ
ααλλαλλααλα
αλαλαλαα
αλ
A
AAAAAA
A
.
0 25
一个特征值以零为有非零解，证明：阶方阵且为设例AAXnA =
.
0 0|| 0
征值的一个特是，故有非零解，所以因为证AAAX ==
.,26有相同的特征值与阶方阵，证明均为设例BAABnBA
.)( )(
)I(
000
00
αλαλααλα
λαλ
BBABBAB
ABAB
===及向量，则有的特征对应于为的非零特征值，是设证
.)()()(
00
ηλαλααηαη ===== BABBBBABAB，则令
.0 0
0 0)( 0
00
≠≠
≠====
ηα
λαλαηαη
矛盾，从而
，，，这与，有若ABAAB
有相同的零特征值与
，所以又因为有相同的非零特征值与的非零特征值，即的非零特征值也是同理可证的一个特征值是由此知：
||||,
,
0
BA
ABBAABBA
ABABBA
BA
=
λ
,有相同的特征值与综上所述，证明了BAAB
.|||| )II( BAEABE?=? λλ只需证明证
,
0
0
,
0
0
0
=
=
≠
E
A
AB
E
E
B
E
EB
AE
BAE
AE
EB
AE
EB
E
λ
λ
λ
λ
λλ
λ时，因为
|,|
|,|
0
ABE
AB
E
EB
AE
BAE
EB
E
n
=?=
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
有对上式两端取行列式，
.|||| BAEABE?=? λλ从而有
.,0有相同的特征值与故时，上式显然成立BAAB=λ
.
27
对称阵为明：个正交的特征向量，证有阶实矩阵设例AnAn
,
,,,,,,
1111
相似与对角阵线性无关，故知个正交的特征向量，易的为设
ΛA
nA
nn
ξξξξξξ LL
()
，从而且为正交阵，，则令
T
n
i
i
i
QQQQA
QQni
Λ=Λ=
===
1
21
,,,,,,2,1,εεε
ξ
ξ
ε LL
,
,Λ)(
为对称阵即A
AQQQQQQA
TTTTTT
=Λ==Λ=
.2||
).1(
00
0
28
r
r
EA
nr
E
An
=+
≤≤
证明：相似与对角阵阶方阵设例
.21122||
1,,1 2,,2,2
0,,0 1,,1,1
00
0
(I)
r
rnr
rnr
r
EA
EA
A
E
A
=?=+
+
LL
321
L
43421
L
321
L
321
L
，因此，的特征值为特征值，从而的为，相似知与对角阵由证个个个个所以，即
，使相似，故存在可逆阵与因为证
,
00
0
00
0
00
0
(II)
11
=
=
P
E
PA
E
APP
P
E
A
rr
r
.
0
02
0
0
00
0
00
0
1
1
11
=
+
=
+
=+
P
E
E
P
P
E
EE
P
PPP
E
PEA
rn
r
rn
rr
r
.2||
r
EA =+从而
1.利用定义求特征值与特征向量
,0)( )2(
0|| )1(
的非零解求对；求出由步骤：
=?
=?
XEA
EA
λλ
λλ
,
242
422
221
1的特征值与特征向量求例
=A
),7()2(28243
)116()24()2(41616)2)((1
242
422
221
||
223
2
λλλλλ
λλλλλ
λ
λ
λ
+=?+=
++++++?=
=?λEA解
,7,2
321
的特征值为故A?=== λλλ
,
000
000
221
442
442
221
2
,2
21
→
=?
==
EA
λλ对
，故的同解方程为所以
321
22 0)2( xxxXEA +?==?
.
2 ),()1,0,2()0,1,2(
2121
的特征向量的属于特征值为不全为零Akkkk
TT
+?
).0()2,2,1( 7 ≠? kkA
T
的特征向量为的属于特征值同理，
,2)(,
33
351
315
2的特征值及，求设例AcAr
c
A =
=
，因为解7224
33
351
315
||?=
= c
c
A
.3 0|| 2)( === cAAr，故，所以又
.9,4,0
0||
333
351
315
321
===
=?
=
λλλ
的特征值，得，由此时AλEAA
,
3
2100
100
0001
0010
3
的其他特征值及的一个特征值，求：是，若设例
A
yA
y
A
=
].12)2()[1)(1(
]1)2)()[(1(
2100
100
001
001
||
2
2
++?+?=
=
=?
yy
y
y
EA
λλλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
λ设解
1,1,1,3,
1 012)2( 2
012)2( 3 3
2
2
=?++?=
=?++?
的全部特征值为故
，的另一根及的根，由此求得必为的一个特征值，所以是因为
A
yyy
yyA
λλ
λλ
注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值,为此，首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值,求特征向量即求齐次方程组(A-λE)X=0 的基础解系,
2.利用公式求特征值与特征向量则特征向量的的对应于特征值为的特征值，阶方阵为设
,21,
,n,,i
AAn
iii
L=
λαλ
,)(,,2,1
)( )( )( )1(
的多项式为，其中的特征向量为，对应于的特征值为
xxfni
,ffAf
iii
L=
αλλ
.,,2,1
)2(
111
n,i
AA
i
ii
L=
α
λλ
量为的特征向，对应于的特征值为可逆，则设
.,,2,1
||
||
* )3(
n,i
AA
AA
i
ii
L=α
λλ
向量为的特征，对应于的特征值为可逆，则设
.,,2,1,)4( niA
i
T
L=λ的特征值为
.,,2,1,
)5(
1
1
niP
BAPPB
i
ii
L=
=
α
λλ
为的特征向量，对应于的特征值为，则若
,
,
00
020
002
33
242
111
4
的特征值与特征向量及矩阵相似，求：与设例
A
ba
b
B
a
A
=
=
,,2,2,2,2
,~
bAb
BBABA
的特征值也为，所以为的特征值又有相同的特征值与，故因为解
)],1(3)3()[2(
33
242
111
||
2
++=
=?
aa
a
EA
λλλ
λ
λ
λ
λ由于
.6 6,2,2
6 0)1(3)3(
5,2 0)1(3)3( 2
2
2
=
=?++?
==?++?
b
Aaa
aaa
，故为的特征值，即的另一根为并求得代入，得的根，将是所以
λλ
λλ
,
000
000
111
333
222
111
2
2
21
→
=?
==
EA
时当λλ
.)1,1,0( )1,0,1(
21
TT
== αα及线性无关的特征向量为
,
000
230
103
133
222
115
6
6
3
→
=?
=
EA
时当λ
.)3,2,1(
3
T
=α特征向量为
,2*,,
|| 3 2 1 5
21
的特征值及求：，，，的三个特征值为已知三阶方阵例
EAAAA
AA
++
;6)3()2(1|| ==A解;
3
1
,
2
1
,1
1
的特征值为：A;2,3,6 *的特征值为：A
.4,1,4 1)3(2)3(
,1)2(22)(,1121 2
2
222
，即的特征值为：
++?
++?+?+++ EAA
12.6,4,的特征值为：解B
.72)3()6()4(|5|
3 6 4 5
==?
EA
EA所以，，，的特征值为：因为
.|5|
5,2,1,1 6
23
EA
BAABA
=?
特征值及的，求的特征值为设三阶方阵例
,
4
1
2 2 7
1
3
的一个特征值的特征值，求：是设例
= AAAλ
.
2
7
2
4
1
22
4
1
2
1
3
1
3
=
的一个特征值为解AA
,3
2 )0( 8
1
特征向量的一个特征值及对应的
，求的每行元素之和均为阶可逆阵设例
E
AaaAn
+
≠
.
1
1
1
32 3
2
,0
1
1
1
1
1
1
1
++
≠
=
M
MM
特征向量为的一个特征值，对应的为从而的一个特征值且为，所以由题设知解
EA
a
aAaaA
,*,
122
212
221
9
1
的特征值及，求：设例
+
= AEAAA
.2,2,
5
4
5,5,1 * 5||
1,1,5 )5()1(||
1
2
的特征值为；的特征值为，从而且的特征值为，所以因为解
+=
+=?
AEAA
AEA λλλ
.*
0||,2,0|3| 4 10
的一个特征值求：
，满足阶方阵设有例
A
AEAAAEA
T
<==+
，，所以，因为，故又的一个特征值，是知由于解
4|| 0||162||2
3 0|)3(||3|
42
=<===
==+
AAAEAA
AEAAE
T
,*
3
4
的一个特征值是从而A
,
211
121
112
)1,,1( 11
1
kAAk
T
的特征向量，求的逆是设例
==α
.4 4,1,1
1
0
0
1
0
1
ααααα
λ
α
αλαλα
===
=
AAAA
AA
或，故有的特征值为，因为也即
，的特征向量，即的属于特征值是设解
.2
1
1
1
1
211
121
112
=
=
= kkkA，解得时，有当αα
.1
1
1
4
1
1
211
121
112
4 =
=
= kkkA，解得时，有当αα
.1 2 =?= kk或所以
,
0 ),,,1(),,,,1( 12
22
的特征值和特征向量，求
，记且设例
AA
bbaa
T
T
nn
βα
αββα
=
=== LL
.0 0 0
)(
2
2
===
===
A
AA
TT
TTTTT
，故，所以
，因为，得由解
βααβ
ββααββααβα
.0 0
00 0
22222
的特征值全为，即从而
，，所以，因为的特征值且为则
，为对应的特征向量，即的任一特征值，是设
A
AA
AA
=
=≠==
=
λ
λααλαλ
λαααλ
()
,
000
000
11
1
1
2
2
2222
2
2
2
→
=
==?
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
L
M
n
nnnn
n
n
n
n
bb
babaa
babaa
bb
bb
a
a
AEA λ
,)1,,0,0,(,,)0,,0,1,(
0)(
121
T
nn
T
bb
XEA
LLL?=?=
=?
αα
λ的基础解系为所以
.,,
0
111111
不全为零的全部特征向量为的属于惟一特征值故
++
=
nnn
kkkk
A
LL αα
λ
二,A 与对角阵相似的解题方法
.
100
010
221
,
122
020
021
,13
=
= BA
角阵相似判断下列矩阵能否与对例
，的特征值为解2,1,1 A
,232)(
000
010
011
022
010
020
不能与对角阵相似，所以故
，因为
AEAr
EA
≠=?
→
=?
，的特征值为1,1,1?B
,231)(
000
000
111
000
000
222
能与对角阵相似，所以故
，因为
BEBr
EB
==?
→
=?
注：当矩阵有重特征值时，我们用定理,A与对角阵相似的充要条件为r(A-λ
i
E)=n-r
i
”来判定A能否与对角阵相似，其中r
i
为特征值λ
i
的重数，n为矩阵A的阶数.
,
324
1
223
14
1
及相应的对角阵为对角阵？并求使
，取何值时，存在可逆阵，问设例
PAPP
PkkkA
=
),1()1()1(8)9()1(
)3(2)3(2)1(848)3)(3)(1(
324
1
223
||
22
+?=++?=
+++?++?++?=
=?
λλλλλ
λλλλλλ
λ
λ
λ
λ
kkkk
kkEA
因为解
.1,1,1的特征值为所以A
,0 0
123)(
000
0
112
224
0
224
与对角阵相似时，，即
，从而件为与对角阵相似的充要条而
，由于
Akk
EArA
kkkkEA
==
=?=+
→
=+
.
1
0
1
1
2
0
1
0
2
1
1
3
21
=
==
时，对应的特征向量为当；与特征向量为时，对应的线性无关的当
λ
λλ
,
1
1
1
,
120
002
111
1
Λ=
=Λ
=
APPP，则令注：矩阵相似对角化的步骤：(1) 求出A的所有特征值λ
1
,λ
2
,…,
λ
n
，若λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异，则A与对角阵相似；若λ
1
,λ
2
,…,λ
n
中互异的为λ
1
,λ
2
,…,λ
m
，每个λ
i
的重数为r
i
，当r(A- λ
i
E)=n- r
i
时
(i=1,2,…m)，A 与对角阵相似；否则A 不能与对角阵相似.
(2) 当A 与对角阵相似时，求出A的n个线性无关的特征向量ξ
1
,
ξ
2
,…,ξ
n
，并令P=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
)，则P 可逆，且P
-1
AP=Λ.
.
2
1
0
,
2
1
0
11
1
11
15
1
=
=
AQQQ
lk
l
lk
k
A
，使正交阵及，求正交相似于设例
.0
0|| 0|| 0|2|,0||
,0|| 2,1,0
==
=?===?=?
=
lk
EAlkAEAEA
AA
，得，由，得，由的特征值，从而为由相似矩阵的性质知：解
.
101
010
101
=A故单位化，得，它们两两正交，将其的特征向量依次为，，的属于特征值
TT
T
A
)1,0,1(,)0,1,0(
,)1,0,1( 2 1 0
32
1
==
=
ξξ
ξ
(),
2
1
,0,
2
1
,0,1,0,
2
1
,0,
2
1
321
T
T
T
PPP
==
=
(),
2
1
0
2
1
010
2
1
0
2
1
321
== PPPQ令
.
2
1
0
1
=
AQQQ为正交阵且则
,)2(
)1(
.
4
1
2
1,4
2,
020
212
022
16
1
1
Λ=
Λ=
=Λ
=
AQQQ
APPP
A
，使求：正交阵；，使求：可逆阵
，记的特征值分别为设三阶方阵例
→
=+=?
=
220
012
024
220
232
024
2
2 )1(
1
1
EAEA λ
λ：，求其对应的特征向量对特征值解
,
000
110
012
→；故特征向量为
T
)2,2,1(
1
=ξ
,)1,2,2( 4
)2,1,2( 1
33
22
T
T
==
==
ξλ
ξλ
所对应的特征向量特征值及所对应的特征向量同理求得特征值
(),
122
212
121
,,
1
321
Λ=
==
APPPP为可逆阵且，则令ξξξ
.
3
1
,
3
1
,
3
1
,,,,)2(
332211
321321
ξηξηξη
ξξξλλλ
===
将它们单位化，得两两正交，互异，故为实对称阵，因为A
()
.
122
212
121
3
1
,,
1
321
Λ=
==
AQQ
QQ为正交阵且，则令ηηη
注：对于实对称矩阵A，一定有可逆阵P，使P
－1
AP为对角阵，P
的列向量为A的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为A的特征值，而且也一定有正交阵Q，使Q
－1
AQ为对角阵,当A的特征值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化，即可求得正交阵Q；当A有k重特征值时，这个k重特征值一定对应有
k个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵Q来了.
三,方阵A及其特征值、特征向量的互求
.,)2,1,2(,)1,2,2(
,)2,2,1(3,2,1,17
32
1
A
iiAA
TT
T
ii
求
，满足设三阶方阵例
=?=
===
αα
ααα
并取两两正交，将其单位化的特征向量，且于的分别属是的特征值，为知由解
,,3,2,1
,,3,2,1
321
321
ααα
ααααα AAiA
ii
=
，为正交阵显然) (
212
122
221
3
1
,
3
2
1
=
=Λ
.
622
250
207
3
1
1
=Λ=Λ=
T
QQQQA则有
,1 )1,2,2(
,)1,1,1( 3 111 18
2
1
AA
A
T
T
的特征向量，求的属于特征值是个特征值，的是三阶实对称方阵，，设例
=
=?
ξ
ξ
正交，即及与为实对称阵，故
，由于的特征向量为的属于特征值设解
),,( 1
213
3213
ξξξ
ξ
A
xxxA
T
=?
.022),(
,0),(
32132
32131
=++=
=++=
xxx
xxx
ξξ
ξξ
.)0,1,1(
3
T
=ξ解之得
，则令
==
011
121
121
),,(
321
ξξξP,
0
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
=
P
.
100
001
010
1
1
1
1
=
=
PPA且四,A
n
的求法
,55,,1
340
430
241
19
9
AA，求的特征值为设例?
=
,
5
5
1
3 3
1
=Λ=
APPP
A
，使阵得可逆个互异特征值，故可求阶方阵且有是因为解
.)(
19919
Λ=Λ= PPPPA
从而
,5,5,1 的特征向量的属于特征值，即求先求?AP；，求得特征向量对
T
)0,0,1( 1
11
== ξλ；，求得特征向量对
T
)2,1,2( 5
22
== ξλ
.)1,2,1( 5
33
T
=?= ξλ，求得特征向量对
()，则令
=
==
120
210
505
5
1
,
120
210
121
,,
1
321
PP ξξξ
=Λ=
120
210
505
)5(
5
1
120
210
121
5
1
9
9199
PPA
.
53540
54530
535545
5
1
99
99
99
+
=
.
3
2
00
1
3
1
0
21
2
1
lim 20
n
n
∞→
求例
,
3
2
00
1
3
1
0
21
2
1
n
A
=设解使，逆阵可与对角阵相似，即存在，从而的特征值为则
3
2
,
3
1
,
2
1
P
AA
,
3
2
3
1
2
1
,
3
2
3
1
2
1
11
=
= PPAPPA
n
n
n
n
.0
3
2
3
1
2
1
lim
3
2
00
1
3
1
0
21
2
1
lim
1
=
=
∞→∞→
PP
n
n
n
n
n
n
故五,证明题
,
,,,
3,,3 21
333222111
321
321
TTT
A
AA
ξξλξξλξξλ
ξξξ
λλλ
++=
证明是对应的单位特征向量个互异特征值，的是阶实对称阵，为设例
,
) (
3
2
1
1
321
Λ=
==
=
λ
λ
λ
ξξξ
AQQAQQ
Q
Q
T
为正交矩阵，且有性质知与特征向量的，由实对称阵的特征值令证
()
,
333222111
3
2
1
3
2
1
321
1
TTT
T
T
T
T
QQQQA
ξξλξξλξξλ
ξ
ξ
ξ
λ
λ
λ
ξξξ
++=
=
Λ=Λ=
从而
).()( 22
2
ArArA =为实对称阵，证明设例
，使逆阵为实对称阵，故存在可，因为设证PArAr )( =
,
0
0
1
1
=
O
O
r
APP
λ
λ
的非零特征值，即为,,
1
A
r
λλ L
,
0
0
1
1
= PPA
r
O
O
λ
λ
,
0
0
1
2
2
1
2?
= PPA
r
O
O
λ
λ
).()(
2
ArrAr ==从而
,2 23
2
可逆，求证满足阶方阵若例EAEAAn?=
,
,2 0|2| )I(
λαααλ =
≠?
AA
AEA
为对应的特征向量，即的任一特征值，为设的特征值不是，即只需证明证
,2 0|2| 2
1
2222
可逆，即的特征值，从而不是
，所以，从而，故有，又因为
EAEAA
EAA
≠?
±==== λαλααλα
,3)2)(2(
34 (II)
22
EEAEA
EEAEA
=+?
=?=，从而，得由证
,
3
2
)2( E
EA
EA =
+
即
.
3
2
)2( 2
1
EA
EAEA
+
=
－
可逆且因此
.0 1 24
2
或的特征值只能是，试证明：设例AAA =
.0 1 0
0 0)(
,
2
222
222
或，也就是知
，，由，从而有，即故
，，因为，有左乘是对应的特征向量，即的一个特征值，是设证
==?
≠=?==
====
λλλ
ααλλαλλααλα
αλαλαλαα
αλ
A
AAAAAA
A
.
0 25
一个特征值以零为有非零解，证明：阶方阵且为设例AAXnA =
.
0 0|| 0
征值的一个特是，故有非零解，所以因为证AAAX ==
.,26有相同的特征值与阶方阵，证明均为设例BAABnBA
.)( )(
)I(
000
00
αλαλααλα
λαλ
BBABBAB
ABAB
===及向量，则有的特征对应于为的非零特征值，是设证
.)()()(
00
ηλαλααηαη ===== BABBBBABAB，则令
.0 0
0 0)( 0
00
≠≠
≠====
ηα
λαλαηαη
矛盾，从而
，，，这与，有若ABAAB
有相同的零特征值与
，所以又因为有相同的非零特征值与的非零特征值，即的非零特征值也是同理可证的一个特征值是由此知：
||||,
,
0
BA
ABBAABBA
ABABBA
BA
=
λ
,有相同的特征值与综上所述，证明了BAAB
.|||| )II( BAEABE?=? λλ只需证明证
,
0
0
,
0
0
0
=
=
≠
E
A
AB
E
E
B
E
EB
AE
BAE
AE
EB
AE
EB
E
λ
λ
λ
λ
λλ
λ时，因为
|,|
|,|
0
ABE
AB
E
EB
AE
BAE
EB
E
n
=?=
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
有对上式两端取行列式，
.|||| BAEABE?=? λλ从而有
.,0有相同的特征值与故时，上式显然成立BAAB=λ
.
27
对称阵为明：个正交的特征向量，证有阶实矩阵设例AnAn
,
,,,,,,
1111
相似与对角阵线性无关，故知个正交的特征向量，易的为设
ΛA
nA
nn
ξξξξξξ LL
()
，从而且为正交阵，，则令
T
n
i
i
i
QQQQA
QQni
Λ=Λ=
===
1
21
,,,,,,2,1,εεε
ξ
ξ
ε LL
,
,Λ)(
为对称阵即A
AQQQQQQA
TTTTTT
=Λ==Λ=
.2||
).1(
00
0
28
r
r
EA
nr
E
An
=+
≤≤
证明：相似与对角阵阶方阵设例
.21122||
1,,1 2,,2,2
0,,0 1,,1,1
00
0
(I)
r
rnr
rnr
r
EA
EA
A
E
A
=?=+
+
LL
321
L
43421
L
321
L
321
L
，因此，的特征值为特征值，从而的为，相似知与对角阵由证个个个个所以，即
，使相似，故存在可逆阵与因为证
,
00
0
00
0
00
0
(II)
11
=
=
P
E
PA
E
APP
P
E
A
rr
r
.
0
02
0
0
00
0
00
0
1
1
11
=
+
=
+
=+
P
E
E
P
P
E
EE
P
PPP
E
PEA
rn
r
rn
rr
r
.2||
r
EA =+从而
