n 维向量
n 维向量及其线性运算一,n 维向量的概念维向量，简称为向量。
组成的有序数组，称为由数
n
aaa
n
L
,2,1
等表示。母向量通常用斜体希腊字 γβα,,
),,,,(
21 n
aaa L=
1.定义1:
α
行向量
T
n
n
aaa
a
a
a
),,,(
21
2
1
L
M
=
=α
列向量
i
a
第 i个分量
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
.,2,1
),,,(
21
mi
aaa
inii
L
L
=
T
mjjj
mj
j
j
aaa
a
a
a
),,,(
21
2
1
L
M
=
nj,,2,1 L=
矩阵 A的行向量矩阵 A的列向量
0 = ( 0,0,···,0 )
),,,(
21 n
aaa=? Lα
==
=
.,,2,1,niba
ii
L
维数相同，即同型。
βα
零向量负向量
2.定义2:
。记为的长度或范数或模称为向量数值
αα
α
,
),,,,(
22
2
2
121 nn
aaaaaa +++= LL
0000 >?≠=?= αααα
为单位向量。称 αα 1=
)
2
1
,
2
1
(),
3
1
,
3
1
,
3
1
( == βα
).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(
21
LLLL ===
n
eee
二,n 维向量的线性运算
),,,(
2211 nn
bababa +++=+ Lβα
1.加法:
),,,(
2211 nn
bababa=? Lβα
),,,,(
21 n
aaa L=α ),,,,(
21 n
bbb L=β
2.减法:
设向量
3.数乘:
),,,(
21 n
kakakak L=α
线性运算满足8 条运算规律,见教材.
向量组的线性相关性一、线性相关性
1.定义1:
使，
，若存在一组数设向量
m
m
kkk,,
,,,,
21
21
L
L αααβ
mm
kkk αααβ +++= L
2211
线性表示，可由向量则称向量
m
αααβ,,,
21
L
的线性组合。是向量或称向量
m
αααβ,,,
21
L
nnn
eaeaeaaaa +++== LL
221121
),,,(α
2.定义2:
使，零的数
，若存在一组不全为设向量组
m
m
kkk,,
,,,
21
21
L
L ααα
=+++
mm
kkk ααα L
2211
0
线性相关。则称向量组
m
ααα,,,
21
L
线性无关。称向量组
m
ααα,,,
21
L
否则
(1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线性相关 ;若该向量是非零向量,则它线性无关.
(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.
(3) 任一含有零向量的向量组线性相关,
3.讨论向量组的相关性：
的相关性。：讨论例 )1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(1
321
=?=?= ααα
解：
=++
332211
ααα kkk
O
设
042
321
=++? kkk
032
321
=+? kkk
0
321
=?+? kkk
系数行列式为
111
132
421

1412823?+?+?= 0=
方程组有非零解，即有非零的数使
321
,,kkk
=++
332211
ααα kkk
O
线性相关。
321
,,ααα?
故的相关性。，讨论向量组线性无关，：设向量组例
321133322
211321
,,,
,,,2
βββααβααβ
ααβααα
+=+=
+=
解：
即
=++
332211
βββ kkk设
O
=+++++
332221131
)()()( ααα kkkkkk
O
线性无关，
321
,,ααα
0
31
=+ kk 0
21
=+ kk 0
32
=+ kk
0
321
=== kkk,,,
321
线性无关βββ?
).1(,,
,,,3
21
21
21
>
+++=
m
m
m
m
线性无关，证明向量组线性无关，且：设向量组例
αβαβαβ
αααβ
ααα
L
L
L
=?++?+? )()()(:
2211 mm
kkk αβαβαβ L设证
O
+++=
m
αααβ L
21
由
)()()(
1131221?
+++++++++
mmmm
kkk ααααααα LLL
= O
mmmm
kkkkkkk ααα )()()(
1123112?
+++++++++ LLL
= O
即：
=++
=+++
=++
0
0
0
11
31
2
m
m
m
kk
kkk
kk
L
M
L
L
系数行列式为
011
101
110
L
MMMM
L
L
)1(
0)1)(1(
1
>
≠=
m
m
m
线性无关。，向量组
m
αβαβαβ∴ L,,
21
向量组的等价
1.定义1,设有两个 n 维向量组
s21
r21
,,,:)(
,,,:)(
βββ
ααα
L
L
II
I
若向量组（ I ）中每个向量都可由向量组（ II）线性表示，则称向量组（ I ）可由向量组（ II）线性表示；
若向量组（ I ）与向量组（ II）可以互相线性表示，
则称向量组（ I ）与向量组（II）等价。
向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。
例1,设 n 维向量组
,,,,
n21
ααα L
可由它
n21
,,,eee L
们线性表示，证明与
n21
,,,ααα L 等价。
n21
,,,eee L
证：
线性表示，显然可由
n21n21
,,,,,,eee LLQ ααα
又由题设可由
n21
,,,eee L
线性表示，
n21
,,,ααα L
等价。与
n21n21
,,,,,,eee LL ααα∴
相关性的判定及有关重要结论
1.线性相关与线性组合的关系定理各向量线性表示。余至少有一个向量可由其其中线性相关的充要条件是，，，：向量组定理
1
)2(1
21
≥
m
m
m
ααα L
证,
""?
使，，，在一组不全为零的数线性相关，则一定存，，，若向量组
,
)2(
21
21
m
m
kkk
m
L
L ≥ααα
=+++
mm
kkk ααα L
2211
0
，于是有：不妨设 0
1
≠k
m
m
k
k
k
k
ααα
1
2
1
2
1
= L
""?
不妨设
mm
kk ααα ++= L
221
=+++
mm
kk ααα L
221 O
线性相关。，，，即向量组 )2(
21
≥m
m
ααα L
。线性表示且表示式惟一
，，，可由线性相关，则，，，
，线性无关，而向量组，，，：设向量组定理
mm
m
αααβααα
βααα
LL
L
2121
21
2
证,
使，，，全为零的数一组不线性相关，则一定存在，，，向量组
,,
,
21
21
m
m
kkkk L
LQ αααβ
=++++
mm
kkkk αααβ L
2211
0
，否则，有这里必有 0≠k
=+++
mm
kkk ααα L
2211
0
线性无关知：，，，由向量组
m
ααα L
21
0
21
====
m
kkk L
线性表示。，，，可由故
m
αααβ L
21
mm
kkk αααβ +++= L
2211
设
mm
lll αααβ +++= L
2211
}?
=?++?+?
mmm
lklklk ααα )()()(
222111
L
O
线性无关知：，，，由向量组
m
ααα L
21
.,,2,1,milk
ii
L==
所以表示式惟一。