显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：
定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).
!!!请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。
满秩矩阵定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；
否则称为降秩矩阵。
( 满秩?非奇异降秩?奇异）
E----满秩阵
O----降秩阵定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E,即
EA?
矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。
推论1：以下命题等价：
满秩；Ai)( ;)( EAii?
非奇异；Aiii)(
)(;)(
21
为初等矩阵。其中
im
PPPPAiv L=
)()()( iiiiii
定理
)
,0,)((
非奇异即A
AnAr ≠∴=Q
:)()( ivii?
,EA?Q
使，,,,,,,
121 mll
PPPPP LL
+
mll
PEPPPPA LL
121 +
=
mll
PPPPP LL
121 +
=
:)()( iiiv?
m
PPPA LQ
21
=
EPPP
m
L
21
=
EA?∴
初等矩阵?∴
)()()()( iviiiiii∴
证推论2：矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及
n阶满秩阵P、Q，使
nnmmnm
QBPA
××
=
由此还可得到：
若P、Q为满秩阵，则
r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ)
例：
).(,
301
020
201
,2)(
34
ABrBAr求设
==
×
,3)( =BrQ
满秩，B∴ 2)()( ==∴ ArABr
逆矩阵
.
.1,,0
111
==?≠?

aaaaaa使
EBAABBA ==使矩阵矩阵,?,
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。
（1）逆阵惟一。
1?
设B,C都是A的逆，则B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C
A
A的逆记为：
（2）并非每个方阵都可逆。
例如
=
00
01
A
就不可逆。
,
1
=
dc
ba
A
=
0000
01 ba
dc
ba
=
10
01
10 =?
这是不可能的。故
A不可逆。
要解决的问题：
1.方阵满足什么条件时可逆?
2.可逆时，逆阵怎样求？
复习：伴随矩阵
( )
nn
ij
aA
×
=
=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
数余子式的代为
ijij
aA
伴随矩阵时要注意什么？写
A
代数余子式的顺序!
二阶A矩阵的伴随矩阵.
=
dc
ba
A
=
ac
bd
A
=
AA
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
L
MLMM
L
L
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
21
22221
11211
=
A
A
O EA=
AA
=
EAAAAA ==

一个很重要的式子公式定理,n阶方阵A可逆的充要条件是

= A
A
A
1
1
.0≠A
证:
,
1
EAAA =?
可逆知”由“两边取行列式，
1
11
===

EAAAA 0≠? A
,0≠? A”由“
EAAAAA ==

EAA
A
A
A
A ==?

)
1
()
1
(

=? A
A
A
1
1
牢记这个定理满秩非奇异可逆AAA
例1.
的逆。求
=
dc
ba
A

= A
A
A
1
1
=
ac
bd
bcad
1
解：
)0( ≠?bcad
例2.
);,(),(
1
jiEjiE =
));
1
(())((
1
k
iEkiE =
))(,())(,(
1
kjiEkjiE?=
EjiEjiE
证:
=),(),(Q
),(),(
1
jiEjiE =∴
同理证其它两式。
这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。
——这是初等矩阵的第三个性质。
练习：求逆阵
=
12
11
.1 A
=
21
11
.2 B
=
10
22
.3 C
=
12
11
3
1
.1
1
A
=
11
12
.2
1
B
=
20
21
2
1
.3
1
C

=
102
123
111
A
？？
？
的逆怎样求？
逆阵的性质;
1
)(
1
A
AAi =?
可逆;)(,)(
111
AAAAii =?

可逆可逆;)()(
1?
=?== ABEBAorEABiii;)())((
11 TT
AAiv

=;))((
111
= ABABv
).,0(,
1
))((
11
可逆AkA
k
kAvi ≠=

))(()(
11
ABABv Q
E= ∴ ;)(
111
= ABAB
逆阵的求法方法一：求。用
A
方法二：
初等变换法。
,
1
可逆可逆
AA
s
PPPA L
21
1
=?
EAPPP
s
=? L
21
1
21
= AEPPP
s
L
)()(
1?
→?
AEEA MM
行变换的逆。：求例

=
102
123
111
1 A


→
124100
013210
001111
M
M
M

→
124100
235010
112001
M
M
M

=
100102
010123
001111
)(
M
M
M
MEA


→
102320
013210
001111
M
M
M
=∴
1
A
124
235
112
,
153
132
543
1
=

=
AA


=
131
7185
11298
1
A
=

1
001
0001
00001
321
2
aaaa
aa
a
A
nnn
L
MMLMMM
L
L
L
1
=
A
Ex
=
1000
0010
0001
00001
1
a
a
a
A
L
MMLMMM
L
L
L
方法三：用定义求。
..0,2
1
1
1
≠
= Aaa
a
a
A
n
n
求：例LO
猜：
=
n
a
a
B
1
1
1
O
.EAB =对否？只须验证
1?
= AB
Q解：
n
a
a
O
1
n
a
a
1
1
1
O
E=
∴
=
n
a
a
A
1
1
1
1
O
=
1
1
O
.23
12?
= AAOEAAA
n
可逆并求，求证满足：设例
EAA 2
2
=?Q EEAA 2)( =?∴
E
EA
A =
2
2
1
EA
A
=∴
方法四：用定义证明B为A的逆。
:),(,.4证明为正整数设例OA
k
=
121
)(

++++=?
k
AAAEAE L
))((
12?
++++?
k
AAAEAE LQ
)(
1212 kkk
AAAAAAAE ++++?++++=

LL
k
AE?= E=
逆阵的应用——求解矩阵方程可逆。ABAX,.1 =
BAXI
1
:
=解法
XBPPP
s
=L
21
EAPPP
s
=L
21
)()( XEBA MM
行变换
→
可逆。ABXA,.2 =
（初等变换法）解法:II
s
PPPA L
21
1
=
1
:
= BAXI解法
（初等变换法）解法:II
s
PPPA L
21
1
=
XPPBP
s
=L
21
EPPAP
s
=L
21
→
X
E
B
A
列变换
可逆。CABAXC,,.3 =
11
:

= BCAXI解法
:II解法
BAXC
1?
=
1?
= BAAX
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
.,,.1 BBAABA求且已知?=
ABAB =+?
ABEA =+? )(
AEAB
1
)(
+=?
,B或用初等变换求)()( BEAEA MM
行变换
→+
.,,.2
2
XXAEAXA求且已知+=+
))((
2
EAEAEAXAX +?=?=
))(()( EAEAXEA +?=
.,EAXEA +=?则可逆只要
).9()3(,.3
21
EAEAA?+
求已知
)9()3(
21
EAEA?+
)3)(3()3(
1
EAEAEA?++=
EA 3?=