一、二次型及其标准形：
定义1：
的二次齐次多项式个变量含有
n
xxxn,,,
21
L
nnn
xxaxxaxxaxaxxxf
1131132112
2
11121
222),,,( ++++= LL
nn
xxaxxaxa
223223
2
222
22 ++++ L
nn
xxaxa
33
2
333
2+++ L
L+
2
nnn
xa+
型。元二次型，简称为二次称为n
定义2：
+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
xcxcxcy
xcxcxcy
xcxcxcy
L
LLLL
L
L
2211
22221212
12121111
若线性变换的矩阵
=
×
nnnn
n
n
nn
ccc
ccc
ccc
C
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
正交，则称线性变换为正交变换。
定义3：
22
22
2
1121
),,,(
nnn
xdxdxdxxxf +++= LL
只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准形（或法式）。
二、二次型的矩阵表示法：
可逆，则称线性变换为可逆线性变换；
，则设
jiij
aa =
nnn
xxaxxaxxaxaxxxf
1131132112
2
11121
),,,( ++++= LL
nn
xxaxxaxaxxa
223223
2
2221221
+++++ L
2
33
2
211 nnnnnnnnn
xaxxaxxaxxa +++++ L
LL +
n
x
x
x
M
2
1
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
),,,(
21 n
xxx L=
+++
+++
+++
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLLL
L
L
2211
2222121
1212111
),,,(
21 n
xxx L=
AXX
T
=
二次型的矩阵表示式
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
=
n
x
x
x
X
M
2
1
二次型的矩阵
（显然这是实对称阵）
定义4：
),,,(
21 n
xxxf L
AXX
T
=
设二次型则称对称矩阵A
的秩为二次型f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
),,,(
21 n
xxxf L
AXX
T
=
CYX =
=
换作可逆变
ACCB
T
=
).()( BrAr =
由上讨论可得：
YACCYCYACY
TTT
)()()( =
,,合同与为二次型且BABYYBB
TT
=?
定理1
).()(
,
),,,(
21
BrArACCB
BYYfCYX
AXXxxxf
T
T
T
n
==
==
=
且阵它的矩变成新变元的二次型经可逆线性变换二次型L
四、正交变换化二次型为标准形：
=Λ
n
d
d
O
1
将二次型化为标准形实际上是什么问题？
.,为对角阵使找可逆阵Λ=ACCC
T
问题1：标准形的矩阵=？
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
问题2：
定理2使总有正交变换对实二次型,,QYXAXXf
T
==
YYYAQQYQYAQYAXXf
TTTTT
Λ==== )()()(
22
22
2
11 nn
yyy λλλ +++= L
的特征值。的矩阵为Af
n
n
λλ
λ
λ
,,,
1
1
LO
=Λ
将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵A；;,,,)(
21 m
Aii λλλ L的所有相异的特征值求出的特征向量。它们仍为属于
，；先正交化再单位化为；个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将
i
irii
iriii
i
mi
mir
iv
i
i
λ
ηηη
ξξξ
λ
),,2,1(,,,
),,2,1(,,,
)(
21
21
LL
LL
=
=
为对角阵。
此时即为所求的正交方阵。，则阶方阵一个向量作为列向量，排成将上面求得的正交单位
Λ==
AQQAQQ
QQn
v
T1
)(
.),,,2,1(,,,
)(
1
21
nrmi
riii
m
i
iirii
ii
i
==
∑
=
由性质知；征向量个线性无关的特，求出对应的对每一个重特征值
LL ξξξ
λ
,)( QYXvi =作正交变换
YYYAQQYQYAQYAXXf
TTTTT
Λ==== )()()(
形即可将二次型化为标准自学：
用配方法化二次型为标形的方法及惯性定理。
并求可逆变换矩阵。准形用配方法化二次型为标例,:1
3221
2
3
2
2
2
1321
4252),,(,xxxxxxxxxxf ++++=解
32
2
3
2
221
2
1
4522 xxxxxxx ++++=）（
32
2
3
2
2
2
21
45 xxxxxx ++++=）（
2
3
2
32
2
21
2 xxxxx ++++=）（）（
2
3
2
2
2
1
yyy ++=
=
+=
+=
33
322
211
2
xy
xxy
xxy
=
=
+?=
33
322
3211
2
2
yx
yyx
yyyx
3221
2
3
2
2
2
1321
4252),,( xxxxxxxxxxf ++++=
=
100
210
211
C
。的秩为设二次型例
2
44),,(.2
3231
2
3
2
2
2
1321
xxxxcxxxxxxf ++++=
1),,(.3;.2;.1
321
是什么曲面型化为标准形求一可逆变换将该二次求参数
=xxxf
c
244),,(
3231
2
3
2
2
2
1321
的秩为由xxxxcxxxxxxf ++++=
8=? c
2
32
2
31
)2()2( xxxx +++=
3231
2
3
2
2
2
1321
448),,( xxxxxxxxxxf ++++=
2
2
2
1
yy +=
=
+=
+=
33
322
311
2
2
xy
xxy
xxy
=
=
=
33
322
311
2
2
yx
yyx
yyx
=
100
210
201
C
,2的秩为系数矩阵A?
。的特征值为由9,1,00
321
===?=? λλλλ AEA
化为在正交变换下，可将1=∴ f
19
2
3
2
2
=+ yy
为椭圆柱面。