向量组的正交性一、向量的内积：
1.定义1：设有向量),,(
2,1 n
aaa L=α ),,(
2,1 n
bbb L=β
）。，的内积，记为（与称为向量βαβα
nn
bababa +++= L
2211
），（βα
nn
bababa +++ L
2211
T
i αββα =），（)(
))( αββα，（），（=ii
）（，）（βαβαβα kkkiii,)(,)( ==
）（，）（γβγαγβα,)(,)( +=+iv
），（αα)(v
2
22
2
2
1
α=+++=
n
aaa L
2.向量的单位化
1
11
== α
α
α
α
为单位向量。α
α
1
二、向量的夹角：自学。
三、向量的正交性：
1.定义2.
正交。与则称向量），若（βαβα,0=
2.定义3.
即满足两两正交，维非零向量个如果
m
nm ααα,,,
21
L
)(,0 ji
ji
≠=），（αα
简称为正交组。为正交向量组,,,,
21 m
ααα L
).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(
21
LLLL ===
n
eee
为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。
3.正交向量组的性质线性无关。
则为正交向量组设
mm
αααααα,,,,,,,
2121
LL定理:
回忆:如何证明一组向量线性无关?
则称向量组证:
Okkk
mm
=+++ ααα L
2211
设
0),(),(
2211
==+++? Okkk
immi
ααααα L
0),(),(),(
2211
=+++?
mimii
kkk αααααα L
则为正交向量组,,,,
21 m
ααα LQ )(,0 ji
ji
≠=），（αα
0),( =∴
iii
k αα
00),(,=?≠≠
iiii
kO ααα即由于为线性无关向量组。
m
( i =1,2,···,m )
ααα,,,
21
L∴
问题:线性无关的向量组是否为正交组?
不是!
)1,0,0(),1,0,1(
21
== αα反例：
四、向量组的正交规范化：
为线性无关向量组，令公式：设
m
ααα,,,
21
L
1
11
12
22
β
ββ
βα
αβ
），（
），（
=
11
αβ =
2
22
23
1
11
13
33
β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβ
），（
），（
），（
），（
=
1
11
1
2
22
2
1
11
1
=
m
mm
mmmm
mm
β
ββ
βα
β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβ
），（
），（
），（
），（
），（
），（
L
LLLL
等价；与
mm
i βββααα,,,,,,)(
2121
LL
为正交组。
m
ii βββ,,,)(
21
L
正交向量组。为单位化，即得到单位再将
m
βββ,,,
21
L
五、正交矩阵：
1.定义4：阶正交矩阵。为，则称满足阶方阵若nAEAAAn
T
=
2.性质：
.1)( ±=? AnAi阶正交矩阵为若也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若
1
)(
AAnAii
T
也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii?,)(
3.正交矩阵的判定:
( )
组。向量组为单位正交向量的行（列）为正交矩阵定理：矩阵AaA
nn
ij
=
×
仅证列向量组的情形。
),,,(
21 n
A ααα L=
EAAA
T
=?为正交矩阵
()
n
T
n
T
T
T
AA ααα
α
α
α
L
M
21
2
1
=
==
100
010
001
L
MLMM
L
L
E
)(
0),(,1),(
ji
jiii
≠
==? αααα
为单位正交向量组。即
n
ααα,,,
21
L
方法一、用定理。
方法二、用定义。
正交吗？AA,
9/79/49/4
9/49/19/8
9/49/89/1
=
=
n
T
n
T
n
T
n
n
TTT
n
TTT
αααααα
αααααα
αααααα
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
正交
,
9/79/49/4
9/49/19/8
9/49/89/1
1
=
=
AA T
A
,
744
418
481
1
=
=
AA
TT
ABBAB
9
1
9
1
1
==?=
T
ABAAB
81
1
9
1
9
1111
==?=?
正交吗？AA,
744
418
481
=
不正交
1.定义1：设有向量),,(
2,1 n
aaa L=α ),,(
2,1 n
bbb L=β
）。，的内积，记为（与称为向量βαβα
nn
bababa +++= L
2211
），（βα
nn
bababa +++ L
2211
T
i αββα =），（)(
))( αββα，（），（=ii
）（，）（βαβαβα kkkiii,)(,)( ==
）（，）（γβγαγβα,)(,)( +=+iv
），（αα)(v
2
22
2
2
1
α=+++=
n
aaa L
2.向量的单位化
1
11
== α
α
α
α
为单位向量。α
α
1
二、向量的夹角：自学。
三、向量的正交性：
1.定义2.
正交。与则称向量），若（βαβα,0=
2.定义3.
即满足两两正交，维非零向量个如果
m
nm ααα,,,
21
L
)(,0 ji
ji
≠=），（αα
简称为正交组。为正交向量组,,,,
21 m
ααα L
).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(
21
LLLL ===
n
eee
为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。
3.正交向量组的性质线性无关。
则为正交向量组设
mm
αααααα,,,,,,,
2121
LL定理:
回忆:如何证明一组向量线性无关?
则称向量组证:
Okkk
mm
=+++ ααα L
2211
设
0),(),(
2211
==+++? Okkk
immi
ααααα L
0),(),(),(
2211
=+++?
mimii
kkk αααααα L
则为正交向量组,,,,
21 m
ααα LQ )(,0 ji
ji
≠=），（αα
0),( =∴
iii
k αα
00),(,=?≠≠
iiii
kO ααα即由于为线性无关向量组。
m
( i =1,2,···,m )
ααα,,,
21
L∴
问题:线性无关的向量组是否为正交组?
不是!
)1,0,0(),1,0,1(
21
== αα反例：
四、向量组的正交规范化：
为线性无关向量组，令公式：设
m
ααα,,,
21
L
1
11
12
22
β
ββ
βα
αβ
），（
），（
=
11
αβ =
2
22
23
1
11
13
33
β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβ
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），（
），（
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m
mm
mmmm
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ββ
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L
LLLL
等价；与
mm
i βββααα,,,,,,)(
2121
LL
为正交组。
m
ii βββ,,,)(
21
L
正交向量组。为单位化，即得到单位再将
m
βββ,,,
21
L
五、正交矩阵：
1.定义4：阶正交矩阵。为，则称满足阶方阵若nAEAAAn
T
=
2.性质：
.1)( ±=? AnAi阶正交矩阵为若也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若
1
)(
AAnAii
T
也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii?,)(
3.正交矩阵的判定:
( )
组。向量组为单位正交向量的行（列）为正交矩阵定理：矩阵AaA
nn
ij
=
×
仅证列向量组的情形。
),,,(
21 n
A ααα L=
EAAA
T
=?为正交矩阵
()
n
T
n
T
T
T
AA ααα
α
α
α
L
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21
2
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100
010
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L
MLMM
L
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)(
0),(,1),(
ji
jiii
≠
==? αααα
为单位正交向量组。即
n
ααα,,,
21
L
方法一、用定理。
方法二、用定义。
正交吗？AA,
9/79/49/4
9/49/19/8
9/49/89/1
=
=
n
T
n
T
n
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n
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n
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αααααα
αααααα
αααααα
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21
22212
12111
正交
,
9/79/49/4
9/49/19/8
9/49/89/1
1
=
=
AA T
A
,
744
418
481
1
=
=
AA
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ABBAB
9
1
9
1
1
==?=
T
ABAAB
81
1
9
1
9
1111
==?=?
正交吗？AA,
744
418
481
=
不正交
