电子教案目 录行列式 2
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,排列的逆序与逆序数 2
2,奇偶排列 2
3,对换改变排列的奇偶性 2
4,n阶行列式的定义 2
5,n阶行列式的性质 3
6,余子式、代数余子式的定义 4
7,行列式按行（列）展开定理 4
8,几个特殊行列式的值 4
9,克兰姆法则 5
三、典型例题 6
( 一 ) 关于行列式概念的典型例题 6
( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题 8
( 三 )用展开法计算行列式的典型例题 11
( 四 ) 行列式计算杂例 12
( 五 ) 克莱姆法则 22
行列式一、基本要求
1,了解 n 阶行列式的定义；
2,了解行列式的性质,掌握行列式的计算；
3,掌握克兰姆法则
二、内容提要
1,排列的逆序与逆序数
由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.在一个排列中任取两个数,如果前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.
2,奇偶排列
逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.
3,对换改变排列的奇偶性
把一个排列中两个数的位置互换,其余的数不动,这样得到一个新的排列,这两个数的位置互换称为对换.每一个对换都要改变排列的奇偶性.
4,n阶行列式的定义
设n2个数组成n行n列的方块
称为n阶行列式,它表示数
其中,aij称为第i行第j列的元素,表示对所有n级排列求和.
5,n阶行列式的性质
性质1
性质2
特别地,如果行列式中某一行全为零,则行列式为零.
性质3
性质4 行列式中两行互换,则行列式改变符号.
性质5 若行列式有两行对应元素相同,则这个行列式为零.
性质6 若行列式有一行元素是另一行对应元素的k倍（即两行成比例）,则行列式为零.
性质7 将行列式的某一行的k倍（即将这行的每一个元素乘以k）加到另一行,行列式不变.
注意：性质2～7中将行换成列,其结论均成立.
6,余子式、代数余子式的定义
在n阶行列式中,把aij所在的第i行和第j列划去后,留下的阶行列式称为aij的余子式,记作Mij,将它带上符号后所得的
称为aij的代数余子式.
7,行列式按行（列）展开定理
行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
或
一般地有
或
注意：有时也用来给出n阶行列式的定义.
8,几个特殊行列式的值
9,克兰姆法则
对于线性方程组
（1-1）
如果系数行列式
则方程组（1-1）有唯一解,这个解由下列公式表示
其中,是把D中第j列换成常数项,而其余各列不变的行列式.
特别地,对于齐次线性方程组
（1-2）
如果系数行列式,则方程组（1-2）只有唯一的零解.换句话说,如果方程组（1-2）有非零解,则必有D = 0.
三、典型例题
( 一 ) 关于行列式概念的典型例题
例1 计算排列的逆序数,并指出它是奇排列,还是偶排列.
解 由于与1构成的逆序的数有个,与2构成逆序的数有个,依次类推,与构成逆序的数有1个,故
当或时,是偶数,所以排列是偶排列,当或时,是奇数,所以排列是奇排列.
例2 设排列的逆序数为r,试计算的逆序数.
解 在排列中,任意取出两个数,如果前面的数小于后面的数,则称这两个数构成一个顺序；一个排列中顺序的总数称为顺序数.由于在排列中任取两个数,它们不构成逆序,那么它们就构成顺序；或它们不构成顺序,那么它们就构成逆序,因而有
又因为排列的顺序数就等于排列的逆序数.故
例3 当时,n个数的奇排列与偶排列的个数相等,各为个.
证 设n级排列中,奇排列共有p个,而偶排列共有q个.对这p个奇排列进行同一个对换,即i与j的对换,那么根据对换改变奇偶性可知,原p个奇排列变为p个不同的偶排列,因而.同理可得,因此.
例4 计算n阶行列式
解 因为在行列式Dn中除了第n行外,其余的每一行只有一个非零元素,由n阶行列式的定义可知,Dn只含一项；其中元素的下标（第n个数的第一个下标）正好是它们的行指标,已是一个标准的排列,而它们所在列的下标构成的排列为；这个排列的逆序数；故
例5 回答下列问题：
（1）在一个n阶行列式中等于零的元素如果比还多,那么此行列式等于零,为什么？
（2）如果n阶行列式中所有的元素变号,那么n阶行列式有什么变化,为什么？
解 （1）由n阶行列式的展开式
可知,Dn的值是n!项的代数和,而其中每一项都是n个元素的乘积,这n个元素又需要取自不同行不同列.
又n阶行列式Dn中一共有个元素,如果等于零的元素比还多,那么其中不等于零的元素就一定比还少,也就是说,Dn中最多有个元素不等于零,所以Dn的n!项中每一项的n个元素中必有零元出现.即n!项的每一项都是零,故必有.
（2）设
在行列式Dn中每一个元素均变号,则得
因此,当n为偶数时,在,即n阶行列式不变；当n为奇数时,有,即n阶行列式变号.
( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题例1 计算 阶行列式
其中,.
解 如果χ=0,则容易计算得
如果 时,考虑将 化为一个上（下）三角形式的行列式,即
例2 计算n阶行列式
其中,.
解 由行列式的性质,将n阶行列式为上（下）三角形式的行列式来计算,即
其中,.
值得注意的是,如果一个n阶行列式能够化为形如例6的行列式,用化三角形式计算行列式比较容易掌握,这也是计算行列式的一种常用方法.如下面各行列式都可以使用化三角形法来计算.
（1） （2）
（3）
例3 求下列n+1 阶行列式
解 利用行列式的性质,将第一行加到第二行有
再将第二行加到第三行,有
然后再将第三行加到第四行,以此类推,有
( 三 )用展开法计算行列式的典型例题
例1 求行列式的值
利用按行（列）展开定理,将行列式按第一列展开,可得：
例2 计算n阶行列式
解 将按第一行展开,可得：
由此可得
因此有
因为
故
即
在用展开法计算行列式时，其基本思路是降低原行列式的阶，常常会用到递推、迭代等方法。
( 四 ) 行列式计算杂例
例1 计算下列n阶行列式：
（1） （2）
解 （1）后一行减去前一行,则有
（2）将第一行分别加到第2,3,…,n行,有
例2 计算n阶行列式
解 将Dn按第n行展开,有
于是.令
那么,所以构成一个等比数列,并且
于是有
由可得
例3 当时,计算n阶行列式
解 利用加边法,有
例4 证明下列各式
（1）
（2）
证 （1）根据所给行列式的特点,我们利用按行（列）展开定理使行列式降价.即
由以上递推公式可得：
…………
逐个代入可得
（2）利用数学归纳法来证明
当n = 1时,,结论成立.
假设当时,结论也成立,即
令证当时,利用行列式按第行展开,有
故结论成立.
例5 求下列方程的解：
（1）； （2）
解 （1）由于方程是以行列式的形式出现的,按行列式的展开式可以求得一个未知量x的多项式,然后令该多项式为零,并求出它的所有根,就可以得到原方程的解.因为
令,故得根为0（二重根）,.所以原方程的解为 ,,.
例6 下列方程
是一元几次方程?并求该方程的根.其中为任意的常数.
解 首先求方程左边的行列式
故方程是一元n次方程,由方程可知
故方程的根为
例7 设
其中,互不相同,求f(x)的次数,最高次项的系数和它的全部根.
解 利用范得蒙行列式,有
故f(x)是n次多项式,最高次项的系数为,当时,有
即
故f(x)的全部根为
例8 计算下列行列式
解 将第行依次与第n行,第行,…,第1行交换,有
再将第行依次与第n行,第行,……,第2行交换,以此类推可得
这是范德蒙行列式,故有
…………
……………
.
例9 计算下列2n阶行列式
其中未写出的元素均为零.
解 利用拉普拉斯定理进行展开,故对第n行和第行,利用拉普拉斯公式有
再对第行和第n行,利用拉普拉斯定理有
依此类推,可得
( 五 ) 克莱姆法则
例1 （1）解下列方程组
解 首先我们求出由系数组成的行列式
因此可以利用克兰姆法则来求解，由于
所以方程组的唯一解为
例2 已知a,b,c全不为零,证明：线性方程组
有唯一解，并求出它的解.
证明 因为方程组的系数行列式
又因为a,b,c全不为零，所以，由克兰姆法则可知，方程组有唯一解，又由于
所以方程组的唯一解为
例3 问(、(取何值时，齐次方程组
有非零解？
解 齐次方程组的系数组成的行列式为
要使齐次方程组有非零解，那么必有，即或，同时也容易验证，当或，方程组确有非零解。
例4设齐次线性方程组
只有零解，则应满足何种条件？
解 因齐次方程组只有零解，故
例5? 设a、b、c、d是不全为零的实数，证明方程组
仅有零解。
证 关键是证明D0，为此，考虑到系数行列式的特点，
先计算
=
因，故D0。由克莱姆法则知，所给方程组只有零解
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,排列的逆序与逆序数 2
2,奇偶排列 2
3,对换改变排列的奇偶性 2
4,n阶行列式的定义 2
5,n阶行列式的性质 3
6,余子式、代数余子式的定义 4
7,行列式按行（列）展开定理 4
8,几个特殊行列式的值 4
9,克兰姆法则 5
三、典型例题 6
( 一 ) 关于行列式概念的典型例题 6
( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题 8
( 三 )用展开法计算行列式的典型例题 11
( 四 ) 行列式计算杂例 12
( 五 ) 克莱姆法则 22
行列式一、基本要求
1,了解 n 阶行列式的定义；
2,了解行列式的性质,掌握行列式的计算；
3,掌握克兰姆法则
二、内容提要
1,排列的逆序与逆序数
由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.在一个排列中任取两个数,如果前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.
2,奇偶排列
逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.
3,对换改变排列的奇偶性
把一个排列中两个数的位置互换,其余的数不动,这样得到一个新的排列,这两个数的位置互换称为对换.每一个对换都要改变排列的奇偶性.
4,n阶行列式的定义
设n2个数组成n行n列的方块
称为n阶行列式,它表示数
其中,aij称为第i行第j列的元素,表示对所有n级排列求和.
5,n阶行列式的性质
性质1
性质2
特别地,如果行列式中某一行全为零,则行列式为零.
性质3
性质4 行列式中两行互换,则行列式改变符号.
性质5 若行列式有两行对应元素相同,则这个行列式为零.
性质6 若行列式有一行元素是另一行对应元素的k倍（即两行成比例）,则行列式为零.
性质7 将行列式的某一行的k倍（即将这行的每一个元素乘以k）加到另一行,行列式不变.
注意：性质2～7中将行换成列,其结论均成立.
6,余子式、代数余子式的定义
在n阶行列式中,把aij所在的第i行和第j列划去后,留下的阶行列式称为aij的余子式,记作Mij,将它带上符号后所得的
称为aij的代数余子式.
7,行列式按行（列）展开定理
行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
或
一般地有
或
注意：有时也用来给出n阶行列式的定义.
8,几个特殊行列式的值
9,克兰姆法则
对于线性方程组
（1-1）
如果系数行列式
则方程组（1-1）有唯一解,这个解由下列公式表示
其中,是把D中第j列换成常数项,而其余各列不变的行列式.
特别地,对于齐次线性方程组
（1-2）
如果系数行列式,则方程组（1-2）只有唯一的零解.换句话说,如果方程组（1-2）有非零解,则必有D = 0.
三、典型例题
( 一 ) 关于行列式概念的典型例题
例1 计算排列的逆序数,并指出它是奇排列,还是偶排列.
解 由于与1构成的逆序的数有个,与2构成逆序的数有个,依次类推,与构成逆序的数有1个,故
当或时,是偶数,所以排列是偶排列,当或时,是奇数,所以排列是奇排列.
例2 设排列的逆序数为r,试计算的逆序数.
解 在排列中,任意取出两个数,如果前面的数小于后面的数,则称这两个数构成一个顺序；一个排列中顺序的总数称为顺序数.由于在排列中任取两个数,它们不构成逆序,那么它们就构成顺序；或它们不构成顺序,那么它们就构成逆序,因而有
又因为排列的顺序数就等于排列的逆序数.故
例3 当时,n个数的奇排列与偶排列的个数相等,各为个.
证 设n级排列中,奇排列共有p个,而偶排列共有q个.对这p个奇排列进行同一个对换,即i与j的对换,那么根据对换改变奇偶性可知,原p个奇排列变为p个不同的偶排列,因而.同理可得,因此.
例4 计算n阶行列式
解 因为在行列式Dn中除了第n行外,其余的每一行只有一个非零元素,由n阶行列式的定义可知,Dn只含一项；其中元素的下标（第n个数的第一个下标）正好是它们的行指标,已是一个标准的排列,而它们所在列的下标构成的排列为；这个排列的逆序数；故
例5 回答下列问题：
（1）在一个n阶行列式中等于零的元素如果比还多,那么此行列式等于零,为什么？
（2）如果n阶行列式中所有的元素变号,那么n阶行列式有什么变化,为什么？
解 （1）由n阶行列式的展开式
可知,Dn的值是n!项的代数和,而其中每一项都是n个元素的乘积,这n个元素又需要取自不同行不同列.
又n阶行列式Dn中一共有个元素,如果等于零的元素比还多,那么其中不等于零的元素就一定比还少,也就是说,Dn中最多有个元素不等于零,所以Dn的n!项中每一项的n个元素中必有零元出现.即n!项的每一项都是零,故必有.
（2）设
在行列式Dn中每一个元素均变号,则得
因此,当n为偶数时,在,即n阶行列式不变；当n为奇数时,有,即n阶行列式变号.
( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题例1 计算 阶行列式
其中,.
解 如果χ=0,则容易计算得
如果 时,考虑将 化为一个上（下）三角形式的行列式,即
例2 计算n阶行列式
其中,.
解 由行列式的性质,将n阶行列式为上（下）三角形式的行列式来计算,即
其中,.
值得注意的是,如果一个n阶行列式能够化为形如例6的行列式,用化三角形式计算行列式比较容易掌握,这也是计算行列式的一种常用方法.如下面各行列式都可以使用化三角形法来计算.
（1） （2）
（3）
例3 求下列n+1 阶行列式
解 利用行列式的性质,将第一行加到第二行有
再将第二行加到第三行,有
然后再将第三行加到第四行,以此类推,有
( 三 )用展开法计算行列式的典型例题
例1 求行列式的值
利用按行（列）展开定理,将行列式按第一列展开,可得：
例2 计算n阶行列式
解 将按第一行展开,可得：
由此可得
因此有
因为
故
即
在用展开法计算行列式时，其基本思路是降低原行列式的阶，常常会用到递推、迭代等方法。
( 四 ) 行列式计算杂例
例1 计算下列n阶行列式：
（1） （2）
解 （1）后一行减去前一行,则有
（2）将第一行分别加到第2,3,…,n行,有
例2 计算n阶行列式
解 将Dn按第n行展开,有
于是.令
那么,所以构成一个等比数列,并且
于是有
由可得
例3 当时,计算n阶行列式
解 利用加边法,有
例4 证明下列各式
（1）
（2）
证 （1）根据所给行列式的特点,我们利用按行（列）展开定理使行列式降价.即
由以上递推公式可得：
…………
逐个代入可得
（2）利用数学归纳法来证明
当n = 1时,,结论成立.
假设当时,结论也成立,即
令证当时,利用行列式按第行展开,有
故结论成立.
例5 求下列方程的解：
（1）； （2）
解 （1）由于方程是以行列式的形式出现的,按行列式的展开式可以求得一个未知量x的多项式,然后令该多项式为零,并求出它的所有根,就可以得到原方程的解.因为
令,故得根为0（二重根）,.所以原方程的解为 ,,.
例6 下列方程
是一元几次方程?并求该方程的根.其中为任意的常数.
解 首先求方程左边的行列式
故方程是一元n次方程,由方程可知
故方程的根为
例7 设
其中,互不相同,求f(x)的次数,最高次项的系数和它的全部根.
解 利用范得蒙行列式,有
故f(x)是n次多项式,最高次项的系数为,当时,有
即
故f(x)的全部根为
例8 计算下列行列式
解 将第行依次与第n行,第行,…,第1行交换,有
再将第行依次与第n行,第行,……,第2行交换,以此类推可得
这是范德蒙行列式,故有
…………
……………
.
例9 计算下列2n阶行列式
其中未写出的元素均为零.
解 利用拉普拉斯定理进行展开,故对第n行和第行,利用拉普拉斯公式有
再对第行和第n行,利用拉普拉斯定理有
依此类推,可得
( 五 ) 克莱姆法则
例1 （1）解下列方程组
解 首先我们求出由系数组成的行列式
因此可以利用克兰姆法则来求解，由于
所以方程组的唯一解为
例2 已知a,b,c全不为零,证明：线性方程组
有唯一解，并求出它的解.
证明 因为方程组的系数行列式
又因为a,b,c全不为零，所以，由克兰姆法则可知，方程组有唯一解，又由于
所以方程组的唯一解为
例3 问(、(取何值时，齐次方程组
有非零解？
解 齐次方程组的系数组成的行列式为
要使齐次方程组有非零解，那么必有，即或，同时也容易验证，当或，方程组确有非零解。
例4设齐次线性方程组
只有零解，则应满足何种条件？
解 因齐次方程组只有零解，故
例5? 设a、b、c、d是不全为零的实数，证明方程组
仅有零解。
证 关键是证明D0，为此，考虑到系数行列式的特点，
先计算
=
因，故D0。由克莱姆法则知，所给方程组只有零解
