线性方程组一、齐次线性方程组
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLLL
L
L
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
称为齐次线性方程组。
系数矩阵
=
n
x
x
x
X
M
2
1
OAX =
方程组的矩阵形式齐次线性方程组解的性质
T
O )0,,0,0(
0
0
0
L
M
=
=
显然是方程组的解；称为零解。
若非零向量
T
n
n
aaa
a
a
a
),,,(
21
2
1
L
M
=
=ξ
是方程组的解，则称为非零解，
也称为非零解向量。
性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：
也是解向量。是解向量，则
2121
,ξξξξ +
性质2：
也是解向量。是解向量，则ξξ k
{ }OAV == ξξ令称为方程组的解空间。
则V 构成一个向量空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基
,,,,
21 s
ξξξ L
则方程组的全部解就是
,
2211 ss
kkk ξξξ +++ L
这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
定义：若齐次方程组的有限个解
,,,,
21 s
ξξξ L
满足：
线性无关；
s
i ξξξ,,,)(
21
L
方程组的任一解都可由)(ii
线性表示；
s
ξξξ,,,
21
L
则称础解系。是齐次方程组的一个基
s
ξξξ,,,
21
L
ss
kkk ξξξ +++ L
2211
齐次线性方程组基础解系的求法也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：
1.行最简形矩阵：
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
=
×
00000
00000
100
010
001
)(1
)(221
)(111
LL
MLMMLMM
LL
LL
MLMMOMM
LL
LL
rnrr
rn
rn
nm
bb
bb
bb
I
显然：
设r(A) =r < n,且不妨设A 中最左上角的r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵A 化为：
IA?
同解。
与
OIX
OAX
=
=
行最简形
OIX =
为：
=+++
=+++
=+++
+
+
+
0
0
0
)(11
)(21212
)(1111
nrnrrrr
nrnr
nrnrr
xbxbx
xbxbx
xbxbx
L
LLLL
L
L
++?=
++?=
++?=
+
+
+
)(
)(
)(
)(11
)(21212
)(1111
nrnrrrr
nrnr
nrnrr
xbxbx
xbxbx
xbxbx
L
LLLL
L
L
r
xxx,,,
21
L
真未知量
nrr
xxx,,,
21
L
++
自由未知量
r
xxx,,,
21
L
nrr
xxx,,,
21
L
++
由自由未知量惟一确定
{ }
:
,,,
21
基为个向量，最简单的一组其基含有构成一向量空间，）（
rn
xxxV
nrr
=
++
L
rn
eee
,,,
21
L
=
r
x
x
x
M
2
1
()
T
r
n
bbb
x
x
x
0,,0,1,,,,
12111
2
1
1
LL
M
=
=ξ
,
1
21
11
r
b
b
b
M
,
2
22
12
r
b
b
b
M
)(
)(2
)(1
rnr
rn
rn
b
b
b
M
()
T
rnrrnrn
n
rn
bbb
x
x
x
1,,0,0,,,,
)()(2)(1
2
1
LL
M
=
=ξ
L
,
0
0
1
2
1
=
+
+
MM
n
r
r
x
x
x
,
0
1
0
M
1
0
0
M
线性无关；
rn
i
ξξξ,,,)(
21
L
线性表示。任一解都可由
rn
ii
ξξξ,,,)(
21
L
LL
就是一组基础解系。是解空间的一组基，也
rn?
∴ ξξξ,,,
21
L
从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于n - r(A).
综上有：
。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系，且基
，的秩组的系数矩阵定理：若齐次线性方程
rn
nrArA
<=)(
必须牢记：基础解系所含向量的个数为未知数个数减系数矩阵的秩。
推论1：对齐次线性方程组，有若r(A)=n 则方程组有惟一零解;
若r(A)=r<n,则方程组有无数多解，其通解为
rnrn
kkk
+++ ξξξ L
2211
系。是解空间的一组基础解
rn?
ξξξ,,,
21
L
例1：求方程组的通解
=?+
=++
=?+
074
032
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解：
=
174
132
121
A
→
310
310
121
12
2rr
→
000
310
121
→
000
310
501
→
000
310
501
=
=
32
31
3
5
xx
xx
同解方程组为
=,1
3
x
=
=
3
5
2
1
x
x
基础解系为
T
)1,3,5(?=ξ
通解为
T
kk )1,3,5(?=ξ
例2：求方程组的通解
=+
=?+?
=+
032
03
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
=
3211
3111
1111
A
→
2100
4200
1111
→
0000
2100
1111
→
0000
2100
1011
同解方程组为
,
0
1
4
2
=
x
x
,
0
1
3
1
=
x
x
T
)0,0,1,1(
1
=ξ
T
)1,2,0,1(
2
=ξ
基础解系为：
2211
ξξ kk +通解为
=
1
x
=
3
x
42
xx +
4
2x
{
1
0
2
1
Ex:
nBrArOABnBA ≤+= )()(,,证明阶方阵且为设
,OAB =Q证：
),,(
,2,1 n
B βββ L=设
niOA
i
,,2,1,L==β则的解向量，都是OAX
n
=? βββ,
,2,1
L
)(),(
,2,1
Arnr
n
≤? βββ L
nBrAr ≤+∴ )()(
推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLLL
L
L
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
称为齐次线性方程组。
系数矩阵
=
n
x
x
x
X
M
2
1
OAX =
方程组的矩阵形式齐次线性方程组解的性质
T
O )0,,0,0(
0
0
0
L
M
=
=
显然是方程组的解；称为零解。
若非零向量
T
n
n
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a
a
a
),,,(
21
2
1
L
M
=
=ξ
是方程组的解，则称为非零解，
也称为非零解向量。
性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：
也是解向量。是解向量，则
2121
,ξξξξ +
性质2：
也是解向量。是解向量，则ξξ k
{ }OAV == ξξ令称为方程组的解空间。
则V 构成一个向量空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基
,,,,
21 s
ξξξ L
则方程组的全部解就是
,
2211 ss
kkk ξξξ +++ L
这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
定义：若齐次方程组的有限个解
,,,,
21 s
ξξξ L
满足：
线性无关；
s
i ξξξ,,,)(
21
L
方程组的任一解都可由)(ii
线性表示；
s
ξξξ,,,
21
L
则称础解系。是齐次方程组的一个基
s
ξξξ,,,
21
L
ss
kkk ξξξ +++ L
2211
齐次线性方程组基础解系的求法也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：
1.行最简形矩阵：
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
=
×
00000
00000
100
010
001
)(1
)(221
)(111
LL
MLMMLMM
LL
LL
MLMMOMM
LL
LL
rnrr
rn
rn
nm
bb
bb
bb
I
显然：
设r(A) =r < n,且不妨设A 中最左上角的r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵A 化为：
IA?
同解。
与
OIX
OAX
=
=
行最简形
OIX =
为：
=+++
=+++
=+++
+
+
+
0
0
0
)(11
)(21212
)(1111
nrnrrrr
nrnr
nrnrr
xbxbx
xbxbx
xbxbx
L
LLLL
L
L
++?=
++?=
++?=
+
+
+
)(
)(
)(
)(11
)(21212
)(1111
nrnrrrr
nrnr
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xbxbx
xbxbx
L
LLLL
L
L
r
xxx,,,
21
L
真未知量
nrr
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21
L
++
自由未知量
r
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21
L
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21
L
++
由自由未知量惟一确定
{ }
:
,,,
21
基为个向量，最简单的一组其基含有构成一向量空间，）（
rn
xxxV
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++
L
rn
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,,,
21
L
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r
x
x
x
M
2
1
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T
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x
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12111
2
1
1
LL
M
=
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,
1
21
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r
b
b
b
M
,
2
22
12
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b
b
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)(2
)(1
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T
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LL
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1
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M
线性无关；
rn
i
ξξξ,,,)(
21
L
线性表示。任一解都可由
rn
ii
ξξξ,,,)(
21
L
LL
就是一组基础解系。是解空间的一组基，也
rn?
∴ ξξξ,,,
21
L
从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于n - r(A).
综上有：
。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系，且基
，的秩组的系数矩阵定理：若齐次线性方程
rn
nrArA
<=)(
必须牢记：基础解系所含向量的个数为未知数个数减系数矩阵的秩。
推论1：对齐次线性方程组，有若r(A)=n 则方程组有惟一零解;
若r(A)=r<n,则方程组有无数多解，其通解为
rnrn
kkk
+++ ξξξ L
2211
系。是解空间的一组基础解
rn?
ξξξ,,,
21
L
例1：求方程组的通解
=?+
=++
=?+
074
032
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解：
=
174
132
121
A
→
310
310
121
12
2rr
→
000
310
121
→
000
310
501
→
000
310
501
=
=
32
31
3
5
xx
xx
同解方程组为
=,1
3
x
=
=
3
5
2
1
x
x
基础解系为
T
)1,3,5(?=ξ
通解为
T
kk )1,3,5(?=ξ
例2：求方程组的通解
=+
=?+?
=+
032
03
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
=
3211
3111
1111
A
→
2100
4200
1111
→
0000
2100
1111
→
0000
2100
1011
同解方程组为
,
0
1
4
2
=
x
x
,
0
1
3
1
=
x
x
T
)0,0,1,1(
1
=ξ
T
)1,2,0,1(
2
=ξ
基础解系为：
2211
ξξ kk +通解为
=
1
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=
3
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42
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4
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1
0
2
1
Ex:
nBrArOABnBA ≤+= )()(,,证明阶方阵且为设
,OAB =Q证：
),,(
,2,1 n
B βββ L=设
niOA
i
,,2,1,L==β则的解向量，都是OAX
n
=? βββ,
,2,1
L
)(),(
,2,1
Arnr
n
≤? βββ L
nBrAr ≤+∴ )()(
推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。
