典型教案第一章 线性方程组的解法 2
1.1,方程组的同解变形 2
1.2,用消去法解方程组 3
附件5 4
第一章 线性方程组的解法线性方程组就是一次方程组。
先来分析中学数学怎样解二元一次方程组。看它的原理和方法是否可以推广到一般的多元一次方程组。
例1、解方程组
3x+4y=2 (1)
2x-5y=9 (2)
解、用加减消去法消元：
5x(1)式+4x(2)式：23x=46 (3)
2x(1)式-3x(2)式,23y= -23 (4)
由（3）和（4）解出
x=2,y= -1。
代入（1），（2）式检验知道它是原方程组的解。
以上解法的基本原理是,由原方程(1)、(2)分别乘以适当的常数再相加，得到各消去了一个未知数的新方程(3)、(4),从中容易解出未知数的值来,
将一组方程分别乘以常数再相加，得到的新方程称为原来那一组方程的线性组合。原来那一组方程的公共解一定是它们的任意一个线性组合的解。
新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的线性组合,(1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解,但反过来,由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？ 这却并不显然。
因此需要将(3)、(4)的解代入(1)、(2)检验。
或者说明(1)、(2)也是(3)、(4)的线性组合。从而由(3)、(4)组成的方程组与原方程组同解,
1.1,方程组的同解变形
1,线性方程组的定义
2,方程的线性组合:
方程的加法
方程乘以常数
方程的线性组合,将 m 个方程分别乘以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相加,得到的新方程称为原来那 m 个方程的一个线性组合
容易验证,如果一组数 (c_1,c_2,…,c_n) 是原来那些方程的公共解,那么它也是这些方程的任一个线性组合的解.
注意,线性组合的系数中可以有些是 0,甚至可以全部是 0,如果某些系数是 0,所得到的线性组合实际上也就是系数不为 0 的那些方程的线性组合。
如果方程组 (II) 中每个方程其余都是方程组 (I) 中的方程的线性组合,就称方程组(II) 是方程组 (I) 的线性组合,此时方程组 (I) 的每一组解也都是方程组 (II) 的解。
如果方程组 (I) 与方程组 (II) 互为线性组合,就称这两个方程组等价。此时两个方程组的同解。将方程组 (I) 变成方程组 (II) 的过程是同解变形。
解方程组的基本方法,就是将方程组进行适当的同解变形,直到最后得到的方程组的可以写出来为止.
3,基本的同解变形:
定理 1、方程组的以下三种变形是同解变形：
1,交换其中任意两个方程的位置,其余方程不变。
2,将任一个方程乘以一个非零的常数,其余方程不变。
3,将任一方程的 $\la$ 倍加到另一方程上,其余方程不变。
证、只须证明原方程组(I)与变形后得到的新方程组(II)互为线性组合。
定理 1 所说的线性方程组的三类同解变形,称为线性方程组的初等变换。
这三类初等变换都是可逆的：如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(II),则方程组(II)也可以通过初等变换变回(I)。
1.2,用消去法解方程组
反复利用定理 1 中所说的三种初等变换,可以将线性方程组消元,求出解来。
例 1、解线性方程组（略）
以上是方程组有唯一解的例子。解的每个分量都是由方程组的系数经过加、减、乘、除四则运算得到,如果原方程组的系数都是实数,由于实数集合对加、减、乘、除四则运算封闭 (当然除数不允许为 0),方程组的唯一解的所有分量就都是实数。 同样,有理数集合对加、减、乘、除运算也封闭,因此有理系数线性方程组的唯一解的分量也都是有理数,还可以考虑一般的系数范围,只要它们对加、减、乘、除四则运算封闭。
定义、设 F 是复数集合的子集,至少包含一个非零的数,并且在加、减、乘、除运算下封闭 (除数不为 0),就称 F是数域。
例：复数集合 C、实数集合 R、有理数集合 Q。
按照这个术语,我们有,如果线性方程组的系数都在某个数域 F的范围内,并且这个方程组有唯一解,则解的分量也都在 F 的范围内。
以后,凡是谈到线性方程组,总假定它的系数全都在某个数域 F 中,称它为F 上的线性方程组。解这个线性方程组的过程就只涉及到 F 中的数之间的加、减、乘、除四则运算。
以上在解方程组的过程中,实际上只对各方程中各项的系数进行了运算 (加、减、乘、除运算),每次将代表未知数的字母抄写一遍实际上是一种累赘,为了书写的简便,更为了突出解方程组中本质的东西 --- 系数的运算,我们采用分离系数法,将线性方程组中代表未知数的字母略去,将等号也略去,只写出各方程的各系数。
将每个方程的各项系数从左到右依次写成一行,将各方程中同一个未知数的系数上下对齐,常数项也上下对齐,这样得到一矩形数表,来表示这个方程组。
例。
定义、对任意自然数 m,n,由数域 F 中 m x n 个数排成 m 行、n 列所得到的数表,称为F 上的m x n矩阵。
按照这个定义,由 m 个 n 元线性方程组成的方程组用m行n+1列矩阵表示。
每一行代表一个方程。每一列是同一未知数的系数或常数项。
定义、由数域 F 中 n 个数 a_i排成的有序数组 (a_1,a_2,…,a_n) 称为 F 上的 n 数组向量。所有分量都为 0 的向量称为零向量。
F 上全体n数组向量组成的集合称为 F 上的 n 数组向量空间,记作 F^n
特别,每个线性方程用行向量表示,方程组的解在平常也可以用行向量表示,
以节省空间,但我们将看到,作理论分析时,用列向量来表示方程组的解有它的优越性.
将线性方程用向量表示,线性方程组用矩阵表示之后,线性方程的加法、数乘、线性组合等运算,以及线性方程组的初等变换,就对应于向量的如下运算和矩阵的如下基本变形。
n数组向量的加法，数乘，线性组合。
矩阵的三类初等行变换。
矩阵的三类初等行变换对应于线性方程组的三类基本同解变形。用基本同解变形对线性方程组消元的过程,也就是用初等行变换将尽可能多的矩阵元素化为零的过程。
例。
附件5
教学效果调查报告线性代数是一门比较困难的基础课程，是学生从具体的内容到抽象内容过渡需要通过的一个难关。特别是数学专业的线性代数，难度就更大。由于我们采用了从问题出发、启发式的教学方法，在引入抽象的概念时尽量从解决具体问题的需要出发、以比较自然的方式来引入，便于学生理解其背景和实质。这种教学方法收到很好的效果，学生普遍克服了害怕线性代数的情绪，培养了对这门课程乃至对代数学科的兴趣。2000年上学期，学校教务处对全校435门课程进行了教学检查，由学生对授课教师课堂教学质量评分。在以前这类检查中，一般是比较易懂的课程更容易得到高分，而比较困难的课程难于得到高分。但在这次检查中，李尚志教授承担的《线性代数》课，以测评分4.89分的高分在全校总共435门课程中名列第三。这反映了该课程建设取得的很好的教学效果。
1.1,方程组的同解变形 2
1.2,用消去法解方程组 3
附件5 4
第一章 线性方程组的解法线性方程组就是一次方程组。
先来分析中学数学怎样解二元一次方程组。看它的原理和方法是否可以推广到一般的多元一次方程组。
例1、解方程组
3x+4y=2 (1)
2x-5y=9 (2)
解、用加减消去法消元：
5x(1)式+4x(2)式：23x=46 (3)
2x(1)式-3x(2)式,23y= -23 (4)
由（3）和（4）解出
x=2,y= -1。
代入（1），（2）式检验知道它是原方程组的解。
以上解法的基本原理是,由原方程(1)、(2)分别乘以适当的常数再相加，得到各消去了一个未知数的新方程(3)、(4),从中容易解出未知数的值来,
将一组方程分别乘以常数再相加，得到的新方程称为原来那一组方程的线性组合。原来那一组方程的公共解一定是它们的任意一个线性组合的解。
新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的线性组合,(1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解,但反过来,由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？ 这却并不显然。
因此需要将(3)、(4)的解代入(1)、(2)检验。
或者说明(1)、(2)也是(3)、(4)的线性组合。从而由(3)、(4)组成的方程组与原方程组同解,
1.1,方程组的同解变形
1,线性方程组的定义
2,方程的线性组合:
方程的加法
方程乘以常数
方程的线性组合,将 m 个方程分别乘以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相加,得到的新方程称为原来那 m 个方程的一个线性组合
容易验证,如果一组数 (c_1,c_2,…,c_n) 是原来那些方程的公共解,那么它也是这些方程的任一个线性组合的解.
注意,线性组合的系数中可以有些是 0,甚至可以全部是 0,如果某些系数是 0,所得到的线性组合实际上也就是系数不为 0 的那些方程的线性组合。
如果方程组 (II) 中每个方程其余都是方程组 (I) 中的方程的线性组合,就称方程组(II) 是方程组 (I) 的线性组合,此时方程组 (I) 的每一组解也都是方程组 (II) 的解。
如果方程组 (I) 与方程组 (II) 互为线性组合,就称这两个方程组等价。此时两个方程组的同解。将方程组 (I) 变成方程组 (II) 的过程是同解变形。
解方程组的基本方法,就是将方程组进行适当的同解变形,直到最后得到的方程组的可以写出来为止.
3,基本的同解变形:
定理 1、方程组的以下三种变形是同解变形：
1,交换其中任意两个方程的位置,其余方程不变。
2,将任一个方程乘以一个非零的常数,其余方程不变。
3,将任一方程的 $\la$ 倍加到另一方程上,其余方程不变。
证、只须证明原方程组(I)与变形后得到的新方程组(II)互为线性组合。
定理 1 所说的线性方程组的三类同解变形,称为线性方程组的初等变换。
这三类初等变换都是可逆的：如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(II),则方程组(II)也可以通过初等变换变回(I)。
1.2,用消去法解方程组
反复利用定理 1 中所说的三种初等变换,可以将线性方程组消元,求出解来。
例 1、解线性方程组（略）
以上是方程组有唯一解的例子。解的每个分量都是由方程组的系数经过加、减、乘、除四则运算得到,如果原方程组的系数都是实数,由于实数集合对加、减、乘、除四则运算封闭 (当然除数不允许为 0),方程组的唯一解的所有分量就都是实数。 同样,有理数集合对加、减、乘、除运算也封闭,因此有理系数线性方程组的唯一解的分量也都是有理数,还可以考虑一般的系数范围,只要它们对加、减、乘、除四则运算封闭。
定义、设 F 是复数集合的子集,至少包含一个非零的数,并且在加、减、乘、除运算下封闭 (除数不为 0),就称 F是数域。
例：复数集合 C、实数集合 R、有理数集合 Q。
按照这个术语,我们有,如果线性方程组的系数都在某个数域 F的范围内,并且这个方程组有唯一解,则解的分量也都在 F 的范围内。
以后,凡是谈到线性方程组,总假定它的系数全都在某个数域 F 中,称它为F 上的线性方程组。解这个线性方程组的过程就只涉及到 F 中的数之间的加、减、乘、除四则运算。
以上在解方程组的过程中,实际上只对各方程中各项的系数进行了运算 (加、减、乘、除运算),每次将代表未知数的字母抄写一遍实际上是一种累赘,为了书写的简便,更为了突出解方程组中本质的东西 --- 系数的运算,我们采用分离系数法,将线性方程组中代表未知数的字母略去,将等号也略去,只写出各方程的各系数。
将每个方程的各项系数从左到右依次写成一行,将各方程中同一个未知数的系数上下对齐,常数项也上下对齐,这样得到一矩形数表,来表示这个方程组。
例。
定义、对任意自然数 m,n,由数域 F 中 m x n 个数排成 m 行、n 列所得到的数表,称为F 上的m x n矩阵。
按照这个定义,由 m 个 n 元线性方程组成的方程组用m行n+1列矩阵表示。
每一行代表一个方程。每一列是同一未知数的系数或常数项。
定义、由数域 F 中 n 个数 a_i排成的有序数组 (a_1,a_2,…,a_n) 称为 F 上的 n 数组向量。所有分量都为 0 的向量称为零向量。
F 上全体n数组向量组成的集合称为 F 上的 n 数组向量空间,记作 F^n
特别,每个线性方程用行向量表示,方程组的解在平常也可以用行向量表示,
以节省空间,但我们将看到,作理论分析时,用列向量来表示方程组的解有它的优越性.
将线性方程用向量表示,线性方程组用矩阵表示之后,线性方程的加法、数乘、线性组合等运算,以及线性方程组的初等变换,就对应于向量的如下运算和矩阵的如下基本变形。
n数组向量的加法，数乘，线性组合。
矩阵的三类初等行变换。
矩阵的三类初等行变换对应于线性方程组的三类基本同解变形。用基本同解变形对线性方程组消元的过程,也就是用初等行变换将尽可能多的矩阵元素化为零的过程。
例。
附件5
教学效果调查报告线性代数是一门比较困难的基础课程，是学生从具体的内容到抽象内容过渡需要通过的一个难关。特别是数学专业的线性代数，难度就更大。由于我们采用了从问题出发、启发式的教学方法，在引入抽象的概念时尽量从解决具体问题的需要出发、以比较自然的方式来引入，便于学生理解其背景和实质。这种教学方法收到很好的效果，学生普遍克服了害怕线性代数的情绪，培养了对这门课程乃至对代数学科的兴趣。2000年上学期，学校教务处对全校435门课程进行了教学检查，由学生对授课教师课堂教学质量评分。在以前这类检查中，一般是比较易懂的课程更容易得到高分，而比较困难的课程难于得到高分。但在这次检查中，李尚志教授承担的《线性代数》课，以测评分4.89分的高分在全校总共435门课程中名列第三。这反映了该课程建设取得的很好的教学效果。
