电子教案目 录矩阵 2
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,矩阵的定义 2
2,矩阵的线性运算 2
3,线性运算的性质 3
4,矩阵的乘法及其性质 4
5,转置矩阵及其性质 5
6,方阵的行列式及其性质 5
7,逆矩阵的定义及其性质 6
8,伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 7
9,矩阵的初等变换 7
10,初等矩阵 8
11,利用初等变换求矩阵A的逆矩阵 9
12,矩阵的秩 9
13,矩阵秩的性质及运算后的变化 9
14,利用初等变换求矩阵的秩 10
15,矩阵A与B等价 10
16,分块矩阵 10
三、典型例题 10
（一）矩阵运算 10
（二）方阵可逆的判定 17
（三）解矩阵方程 25
矩阵一、基本要求
1,理解矩阵的概念,掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及其性质；
2,熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其各种运算的规律；
3,知道方阵的行列式及其性质；
4,理解逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充分必要条件,掌握矩阵求逆的方法,会用初等变换或伴随矩阵求逆矩阵；
5,熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵；
6,理解矩阵的秩的概念,会求矩阵的秩；
7,掌握分块矩阵的运算,
二、内容提要
1,矩阵的定义
由mn个数排成的m行n列的矩形数表
称为m行n列的矩阵,简称为矩阵.其中表示第i行第j列的元素,i称为aij的行指标,j称为aij的列指标.
2,矩阵的线性运算
设
为两个矩阵,k为一个数,则矩阵的线性运算为
3,线性运算的性质
（1）加法交换律
（2）加法结合律
（3）零矩阵的作用
（4）负矩阵的作用
其中
（5）
（6）数乘结合律
（7）分配律
（8）分配律
在线性运算的8条性质中,A,B,C均为矩阵,k,l为数,O为阶零矩阵.并由这8条性质还可推出如下结果：
（1）
（2）
（3）
（4）减法的定义
4,矩阵的乘法及其性质
（1）矩阵乘法的定义：设
则由元素
组成的矩阵
称为矩阵A与B的乘积,记为AB = C.
（2）矩阵乘法的性质
结合律：
分配律：
单位矩阵的作用
5,转置矩阵及其性质
转置矩阵的定义：
设
如果将A的行、列交换后,所得的矩阵称为A的转置矩阵,记为AT,即
转置矩阵的性质：
（1）
（2）
（3）
一般地,有
（4）
两个特殊矩阵：
（1）对称矩阵
（2）反对称矩阵
6,方阵的行列式及其性质
方阵行列式的定义：设由方阵
构成的行列式
称为方阵A的行列式,记为.
方阵A的行列式的性质：
（1）
（2）,其中A为n阶方阵
（3）
7,逆矩阵的定义及其性质
逆矩阵的定义：设A是n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B,使
则称A是可逆矩阵,简称A可逆,并称B是A的逆矩阵,记为.
逆矩阵的性质：
若以下的逆矩阵都是存在的,则有
（1）
（2）
（3）
一般地,
（4）
（5）
方阵A可逆的条件：
方阵A可逆的充分必要条件是；在A可逆时,A的逆矩阵唯一.
8,伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系
设n阶方阵为
则称方阵
是A的伴随矩阵,记为A*.其中Aij是A的行列式中元素aij的代数余子式.
因为 ,故
9,矩阵的初等变换
（1）用非零的常数乘矩阵的某一行的全部元素；
（2）矩阵中某两行元素互换位置；
（3）矩阵某一行元素的k倍加到另一行.
以上三种变换都称为矩阵的初等行变换.将上面（1）、（2）、（3）中的“行”全换成“列”,就是矩阵的列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
10,初等矩阵
对单位矩阵任作一次初等变换得到的矩阵就称为初等矩阵.即
11,利用初等变换求矩阵A的逆矩阵
由于可逆矩阵A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵.故求A的逆矩阵的方法为
或
12,矩阵的秩
在矩阵A中,位于任意取定的k行和k列交叉点上的k2个元素,按原来的相对位置组成的k阶行列式就称为A的一个k阶子式.矩阵A的非零子式的最大阶数称为A的秩,记为R(A).
13,矩阵秩的性质及运算后的变化
（1）,当A是n阶可逆矩阵时；
（2）；
（3）,其中A是矩阵；
（4）；
（5）,其中P、Q都是可逆矩阵；
（6）；
（7）.
14,利用初等变换求矩阵的秩
由于初等变换不改变矩阵的秩,因此可利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,此时不为零的行的行数就是原矩阵的秩.
15,矩阵A与B等价
如果矩阵B可由A经过初等变换得到,则称A与B等价.
16,分块矩阵
以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵.求分块矩阵的加、数乘、乘法运算时与矩阵的加、数乘、乘法运算对应一致.特别是求分块对角矩阵的逆矩阵时,可把它化为对对角线上的子矩阵求逆.
三、典型例题
（一）矩阵运算例1 设X是实矩阵,试证：
（1）；
（2）的充要条件是X = 0.
证 （1）设
则,于是
；
（2）必要性：设,即有
显然有,所以X = 0.
充分性：因为X = 0,即故
例2 设矩阵为
求.
解 因为
由于
所以
这个例子表明,对一般的n阶方阵A、B,
一般不成立.如果时,上式才会成立.
例3 设A、B为n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充要条件是AB = BA.
证 必要性：因为AB是对称矩阵,故有
另一方面,因A、B均为对称矩阵,即有
,
从而有
充分性：因为及A、B均为对称矩阵,有
故AB是对称矩阵.
例4 如果,则称A是幂等矩阵,如果,则称A是对合矩阵,则
（1）设A、B都是幂等矩阵,证明是幂等矩阵的充要条件是.
（2）设A、B都是对合矩阵,证明AB是对合矩阵的充要条件是.
证 （1）必要性：因为是幂等矩阵,所以
故
有
充分性：因为,所以
故是幂等矩阵.
（2）因为A、B是对合矩阵,所以
必要性：因为A、B是对合矩阵,所以即
从而有
充分性：因为,所以
故 AB是对合矩阵.
例5 已知A是一个n阶对称矩阵,B是一个n阶反对称矩阵,证明：
（1）、都是对称矩阵；
（2）是一个对称矩阵,是一个反对称矩阵；
（3）AB是反对称矩阵的充要条件是；
（4）如果A可逆时,则A的逆矩阵仍是对称矩阵；
（5）如果B可逆时,则B的阶数n必为偶数,而且B的逆矩阵仍为反对称矩阵.
证 因为A是对称矩阵,B是反对称矩阵,故有
（1）因为
所以、均是对称矩阵；
（2）因为
所以是对称矩阵,又因为
所以是反对称矩阵.
（3）必要性：因为AB是反对称矩阵,故有
另一方面
即
充分性：因为,所以有
因而AB是一个反对称矩阵；
（4）因为A还是可逆矩阵,由逆矩阵与转置矩阵的关系可知
故A的逆矩阵是一个对称矩阵；
（5）因为B还是一个可逆矩阵,故由可逆矩阵的判别条件可知,因此有
因此如果n为奇数时,有,即得与B可逆矛盾,所以n必为偶数.
所以也是一个反对称矩阵.
例6 如果,则称矩阵B与A可交换.
（1）设
求所有与A可交换的矩阵.
（2）对任意n阶矩阵A,均有的充要条件是.其中a为一个数
解 （1）因为
设与A可交换的矩阵为
于是有
即只要
就行了.由此可知
由矩阵相等的定义可得
由此可解得
其中,、、任意常数,所以我们得到所有与A可交换的矩阵是且只能是
（2）必要性：由AB、BA有意义可知B也是一个n阶方阵,设矩阵B为
再设Eij表示第i行第j列元素为1,其余元素为零的n阶方阵,因为B与任一n阶方阵可交换,故B与Eij也可交换,由于
同理可得
因为
且,从而有
故B是数量矩阵.
充分性：因为B是数量矩阵,即,其中a为一个数,故对任何n阶矩阵A,均有
（二）方阵可逆的判定例1 设A是n阶方阵,试证下列各式：
（1）若,则；
（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则；
（3）；
（4）若,则；
（5）；
（6）若,则（l为自然数）；
（7）.
证 （1）因为,故A是可逆矩阵,且
两边同时取转置可得
故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵.
即
（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
（2-7）
另一方面
（2-8）
比较式（2-7）、（2-8）可知
又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘可得
（3）设n阶方阵A为
于是可得A的伴随矩阵为
注意到A的转置矩阵为
可推出的伴随矩阵为
比较与可知
（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由可知
由于,可逆且可得
另一方面,由
由矩阵可逆的定义知,可逆,并且
（5）对于（3）给出的矩阵A,有
即的代数余子式为
故
（6）因为,故A可逆,并且
（7）对于（3）给出的矩阵A,有
类似于（5）可知的代数余子式为,故例2 设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵满足,证明A是可逆矩阵.
证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有
反证,假设A不可逆,故有,由上式及条件,有
（2-6）
设矩阵A为
由式（2-6）可知
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
故
因此有A = O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.
例3 设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：
的充要条件是
证 必要性：因为
因此
即
充分性：因为,故
.
例4 设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明不可逆.
证 因为,故
因此有
所以
故是不可逆矩阵.
例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足,证明是可逆矩阵,并求.
证 由于
故对于方阵A的多项式,仍有
注意到,故有
因此可逆,并且
例6 设A是阶方阵,是A的伴随矩阵的伴随矩阵,证明：
（1）；
（2）.
证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有
即
从而有
对两边取行列式,有
若A可逆,,故,于是有
若A不可逆,则,的秩小于或等于1,故,仍有
（2）对两边取行列式,有
若A可逆,所以,从而有,于是可知
若A不可逆,则
例7 设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足,证明A和都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.
证 因为,由于
所以,
因而有 可逆.
由 可知
由 可知.
例8 设A、B均是n阶方阵,且可逆,则也可逆,并且
证 考察两个矩阵的乘积
因此可逆,并且
例9 设n阶矩阵A、B和均可逆,证明：
（1）也可逆,且
（2）
证 （1）因为
两边取行列式有
因为 A、B、可逆,故 所以有
故 是可逆矩阵.
故
同理可证 .
（2）因为
故
同理可证 .
（三）解矩阵方程
例1 设
求矩阵X使其满足
解 如果、存在,则由左乘上式,右乘上式,有
即
又因为
故
又因为,故易知,于是
例2 设A、B均为三阶方阵,E为三阶单位矩阵,它们满足
其中
求矩阵B.
解 由A、B满足的关系式可知
因为
故可逆,因此有
例3 设n阶矩阵A和B满足条件
（1）证明为可逆矩阵,其中I是n阶单位矩阵；
（2）已知,求矩阵A；
（3）设矩阵方程为
求矩阵X.其中A、B由（2）给出的.
证 （1）由A、B满足的关系式可知
即
故可逆,其逆矩阵；
（2）由A、B满足的关系式有
由已知条件有
故可逆,容易算得
因而有
（3）由于
故B可逆,由
因此有
由矩阵方程可知
例4 设四阶矩阵
,
且矩阵A满足关系式
求矩阵A.
解 由A、B、C所满足的关系式可知
由已知条件可知
易知可逆,其逆矩阵为
故
一、基本要求 2
二、内容提要 2
1,矩阵的定义 2
2,矩阵的线性运算 2
3,线性运算的性质 3
4,矩阵的乘法及其性质 4
5,转置矩阵及其性质 5
6,方阵的行列式及其性质 5
7,逆矩阵的定义及其性质 6
8,伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 7
9,矩阵的初等变换 7
10,初等矩阵 8
11,利用初等变换求矩阵A的逆矩阵 9
12,矩阵的秩 9
13,矩阵秩的性质及运算后的变化 9
14,利用初等变换求矩阵的秩 10
15,矩阵A与B等价 10
16,分块矩阵 10
三、典型例题 10
（一）矩阵运算 10
（二）方阵可逆的判定 17
（三）解矩阵方程 25
矩阵一、基本要求
1,理解矩阵的概念,掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及其性质；
2,熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其各种运算的规律；
3,知道方阵的行列式及其性质；
4,理解逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充分必要条件,掌握矩阵求逆的方法,会用初等变换或伴随矩阵求逆矩阵；
5,熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵；
6,理解矩阵的秩的概念,会求矩阵的秩；
7,掌握分块矩阵的运算,
二、内容提要
1,矩阵的定义
由mn个数排成的m行n列的矩形数表
称为m行n列的矩阵,简称为矩阵.其中表示第i行第j列的元素,i称为aij的行指标,j称为aij的列指标.
2,矩阵的线性运算
设
为两个矩阵,k为一个数,则矩阵的线性运算为
3,线性运算的性质
（1）加法交换律
（2）加法结合律
（3）零矩阵的作用
（4）负矩阵的作用
其中
（5）
（6）数乘结合律
（7）分配律
（8）分配律
在线性运算的8条性质中,A,B,C均为矩阵,k,l为数,O为阶零矩阵.并由这8条性质还可推出如下结果：
（1）
（2）
（3）
（4）减法的定义
4,矩阵的乘法及其性质
（1）矩阵乘法的定义：设
则由元素
组成的矩阵
称为矩阵A与B的乘积,记为AB = C.
（2）矩阵乘法的性质
结合律：
分配律：
单位矩阵的作用
5,转置矩阵及其性质
转置矩阵的定义：
设
如果将A的行、列交换后,所得的矩阵称为A的转置矩阵,记为AT,即
转置矩阵的性质：
（1）
（2）
（3）
一般地,有
（4）
两个特殊矩阵：
（1）对称矩阵
（2）反对称矩阵
6,方阵的行列式及其性质
方阵行列式的定义：设由方阵
构成的行列式
称为方阵A的行列式,记为.
方阵A的行列式的性质：
（1）
（2）,其中A为n阶方阵
（3）
7,逆矩阵的定义及其性质
逆矩阵的定义：设A是n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B,使
则称A是可逆矩阵,简称A可逆,并称B是A的逆矩阵,记为.
逆矩阵的性质：
若以下的逆矩阵都是存在的,则有
（1）
（2）
（3）
一般地,
（4）
（5）
方阵A可逆的条件：
方阵A可逆的充分必要条件是；在A可逆时,A的逆矩阵唯一.
8,伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系
设n阶方阵为
则称方阵
是A的伴随矩阵,记为A*.其中Aij是A的行列式中元素aij的代数余子式.
因为 ,故
9,矩阵的初等变换
（1）用非零的常数乘矩阵的某一行的全部元素；
（2）矩阵中某两行元素互换位置；
（3）矩阵某一行元素的k倍加到另一行.
以上三种变换都称为矩阵的初等行变换.将上面（1）、（2）、（3）中的“行”全换成“列”,就是矩阵的列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
10,初等矩阵
对单位矩阵任作一次初等变换得到的矩阵就称为初等矩阵.即
11,利用初等变换求矩阵A的逆矩阵
由于可逆矩阵A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵.故求A的逆矩阵的方法为
或
12,矩阵的秩
在矩阵A中,位于任意取定的k行和k列交叉点上的k2个元素,按原来的相对位置组成的k阶行列式就称为A的一个k阶子式.矩阵A的非零子式的最大阶数称为A的秩,记为R(A).
13,矩阵秩的性质及运算后的变化
（1）,当A是n阶可逆矩阵时；
（2）；
（3）,其中A是矩阵；
（4）；
（5）,其中P、Q都是可逆矩阵；
（6）；
（7）.
14,利用初等变换求矩阵的秩
由于初等变换不改变矩阵的秩,因此可利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,此时不为零的行的行数就是原矩阵的秩.
15,矩阵A与B等价
如果矩阵B可由A经过初等变换得到,则称A与B等价.
16,分块矩阵
以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵.求分块矩阵的加、数乘、乘法运算时与矩阵的加、数乘、乘法运算对应一致.特别是求分块对角矩阵的逆矩阵时,可把它化为对对角线上的子矩阵求逆.
三、典型例题
（一）矩阵运算例1 设X是实矩阵,试证：
（1）；
（2）的充要条件是X = 0.
证 （1）设
则,于是
；
（2）必要性：设,即有
显然有,所以X = 0.
充分性：因为X = 0,即故
例2 设矩阵为
求.
解 因为
由于
所以
这个例子表明,对一般的n阶方阵A、B,
一般不成立.如果时,上式才会成立.
例3 设A、B为n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充要条件是AB = BA.
证 必要性：因为AB是对称矩阵,故有
另一方面,因A、B均为对称矩阵,即有
,
从而有
充分性：因为及A、B均为对称矩阵,有
故AB是对称矩阵.
例4 如果,则称A是幂等矩阵,如果,则称A是对合矩阵,则
（1）设A、B都是幂等矩阵,证明是幂等矩阵的充要条件是.
（2）设A、B都是对合矩阵,证明AB是对合矩阵的充要条件是.
证 （1）必要性：因为是幂等矩阵,所以
故
有
充分性：因为,所以
故是幂等矩阵.
（2）因为A、B是对合矩阵,所以
必要性：因为A、B是对合矩阵,所以即
从而有
充分性：因为,所以
故 AB是对合矩阵.
例5 已知A是一个n阶对称矩阵,B是一个n阶反对称矩阵,证明：
（1）、都是对称矩阵；
（2）是一个对称矩阵,是一个反对称矩阵；
（3）AB是反对称矩阵的充要条件是；
（4）如果A可逆时,则A的逆矩阵仍是对称矩阵；
（5）如果B可逆时,则B的阶数n必为偶数,而且B的逆矩阵仍为反对称矩阵.
证 因为A是对称矩阵,B是反对称矩阵,故有
（1）因为
所以、均是对称矩阵；
（2）因为
所以是对称矩阵,又因为
所以是反对称矩阵.
（3）必要性：因为AB是反对称矩阵,故有
另一方面
即
充分性：因为,所以有
因而AB是一个反对称矩阵；
（4）因为A还是可逆矩阵,由逆矩阵与转置矩阵的关系可知
故A的逆矩阵是一个对称矩阵；
（5）因为B还是一个可逆矩阵,故由可逆矩阵的判别条件可知,因此有
因此如果n为奇数时,有,即得与B可逆矛盾,所以n必为偶数.
所以也是一个反对称矩阵.
例6 如果,则称矩阵B与A可交换.
（1）设
求所有与A可交换的矩阵.
（2）对任意n阶矩阵A,均有的充要条件是.其中a为一个数
解 （1）因为
设与A可交换的矩阵为
于是有
即只要
就行了.由此可知
由矩阵相等的定义可得
由此可解得
其中,、、任意常数,所以我们得到所有与A可交换的矩阵是且只能是
（2）必要性：由AB、BA有意义可知B也是一个n阶方阵,设矩阵B为
再设Eij表示第i行第j列元素为1,其余元素为零的n阶方阵,因为B与任一n阶方阵可交换,故B与Eij也可交换,由于
同理可得
因为
且,从而有
故B是数量矩阵.
充分性：因为B是数量矩阵,即,其中a为一个数,故对任何n阶矩阵A,均有
（二）方阵可逆的判定例1 设A是n阶方阵,试证下列各式：
（1）若,则；
（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则；
（3）；
（4）若,则；
（5）；
（6）若,则（l为自然数）；
（7）.
证 （1）因为,故A是可逆矩阵,且
两边同时取转置可得
故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵.
即
（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
（2-7）
另一方面
（2-8）
比较式（2-7）、（2-8）可知
又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘可得
（3）设n阶方阵A为
于是可得A的伴随矩阵为
注意到A的转置矩阵为
可推出的伴随矩阵为
比较与可知
（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由可知
由于,可逆且可得
另一方面,由
由矩阵可逆的定义知,可逆,并且
（5）对于（3）给出的矩阵A,有
即的代数余子式为
故
（6）因为,故A可逆,并且
（7）对于（3）给出的矩阵A,有
类似于（5）可知的代数余子式为,故例2 设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵满足,证明A是可逆矩阵.
证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有
反证,假设A不可逆,故有,由上式及条件,有
（2-6）
设矩阵A为
由式（2-6）可知
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
故
因此有A = O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.
例3 设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：
的充要条件是
证 必要性：因为
因此
即
充分性：因为,故
.
例4 设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明不可逆.
证 因为,故
因此有
所以
故是不可逆矩阵.
例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足,证明是可逆矩阵,并求.
证 由于
故对于方阵A的多项式,仍有
注意到,故有
因此可逆,并且
例6 设A是阶方阵,是A的伴随矩阵的伴随矩阵,证明：
（1）；
（2）.
证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有
即
从而有
对两边取行列式,有
若A可逆,,故,于是有
若A不可逆,则,的秩小于或等于1,故,仍有
（2）对两边取行列式,有
若A可逆,所以,从而有,于是可知
若A不可逆,则
例7 设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足,证明A和都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.
证 因为,由于
所以,
因而有 可逆.
由 可知
由 可知.
例8 设A、B均是n阶方阵,且可逆,则也可逆,并且
证 考察两个矩阵的乘积
因此可逆,并且
例9 设n阶矩阵A、B和均可逆,证明：
（1）也可逆,且
（2）
证 （1）因为
两边取行列式有
因为 A、B、可逆,故 所以有
故 是可逆矩阵.
故
同理可证 .
（2）因为
故
同理可证 .
（三）解矩阵方程
例1 设
求矩阵X使其满足
解 如果、存在,则由左乘上式,右乘上式,有
即
又因为
故
又因为,故易知,于是
例2 设A、B均为三阶方阵,E为三阶单位矩阵,它们满足
其中
求矩阵B.
解 由A、B满足的关系式可知
因为
故可逆,因此有
例3 设n阶矩阵A和B满足条件
（1）证明为可逆矩阵,其中I是n阶单位矩阵；
（2）已知,求矩阵A；
（3）设矩阵方程为
求矩阵X.其中A、B由（2）给出的.
证 （1）由A、B满足的关系式可知
即
故可逆,其逆矩阵；
（2）由A、B满足的关系式有
由已知条件有
故可逆,容易算得
因而有
（3）由于
故B可逆,由
因此有
由矩阵方程可知
例4 设四阶矩阵
,
且矩阵A满足关系式
求矩阵A.
解 由A、B、C所满足的关系式可知
由已知条件可知
易知可逆,其逆矩阵为
故
