矩阵的相似对角形矩阵的特征值与特征向量
1.定义1：
相似，记作与，则称矩阵
，使阶可逆阵阶矩阵，若存在一个都是与设
BAAPPB
PnnBA
1?
=
称为相似变换矩阵。可逆阵P
A~B
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
(2) A~B?A?B,反之不对。
2.相似矩阵的简单性质：
)()(~)( BrArBAi =?
BABAii =?~)(
11
~~)(
BABABAiii，且当可逆时同时可逆或同时不可逆与一、相似矩阵：
0
1
1
1
)(),(~)(~)( axaxaxaxfBfAfBAiv
m
m
m
m
++++=?
L
相似与等价的关系
=?
APPBBA
1
~
EaBaBaBaBf
m
m
m
m 0
1
1
1
)( ++++=
L
EaAPPaAPPaAPPa
m
m
m
m 0
1
1
11
1
1
)()()( ++++=
L
PEaAaAaAaP
m
m
m
m
)(
0
1
1
1
1
++++=
L
PAfP )(
1?
=
3.相似矩阵的简单应用：
例：
。并求验证
k
AAPPPA
1
51
11
,
20
04
,
15
13
=Λ
=
=Λ
=
=
11
15
6
1
1
P
=Λ
k
k
k
)2(0
04
1?
Λ= PPA
=?
k
A
+
+?
kkkk
kkkk
)2(54)2(545
)2(4)2(45
6
1
mm
APPB )(
1?
=
11
)(
Λ=Λ=? PPPPA
kkk
EPPaAPPaPAPaPAPa
m
m
m
m
1
0
1
1
11
1
1
++++= L
APPAPPAPP
111
= L
PAP
m1?
=
问题：
相似？角阵满足什么条件时能与对ΛA)1(
怎样求？及对角阵相似时，可逆阵与对角阵ΛΛ PA)2(
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：
的特征向量。的对应于特征值为矩阵量的特征值，非零向为矩阵，则称数使
，向量为一个数，若存在非零阶矩阵，是设
λα
λλαα
αλ
A
AA
nA
=
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法：
OEAA == αλλαα )(
的非零解是方程组OXEA = )( λα
} 0= EA λ
为特征值；的数满足λλ 0=?∴ EA
的非零解为特征向量。方程组OXEA =? )( λ
(或基础解系)
例1：求矩阵的特征值与特征向量。
λ
λ
λ
λ
=?
242
422
221
EA
=
242
422
221
A
解：
)2(4)1(16)2(41616)2)(1(
2
λλλλλ +++++?=
3224)44)(1(
2
+++?= λλλλ
28243
23
+= λλλ
经试根知，2是一个根。故
)145)(2(
2
+= λλλ上式
)2)(7)(2(?+= λλλ
7,2
321
===? λλλ
（这就是特征值。）
（下面求特征向量。）
=
201
034
011
B
=?
442
442
221
2EA
,2
21
==λλ对
→
000
000
221
321
22 xxx +?=?
TT
)1,0,2(,)0,1,2(
21
=?=∴ ξξ
不全为零）。（；其全部特征向量为的线性无关的特征向量为属于特征值
212211
,,
2
kkkk ξξ +
.)221(7
33
T
=?=，，的特征向量为同理可求ξλ
).0(
3
≠kkξ其全部特征向量为求特征值与特征向量的步骤：
的值；即得到特征值；求出解λλ 0.1 =? EA
征向量。特征值的线性无关的特于这个的基础解系；即得到属，求方程组对每一个OXEA =? )(.2 λλ
))2(( OXEA =?解
=
201
034
011
B
2,1
321
=?==? λλλ
,1
21
==λλ对
T
)1,2,1(
1
=ξ
).0(
1
≠kkξ其全部特征向量为
,2
3
=λ对
=+
001
014
013
2EB
→
013
014
001
→
010
010
001
→
000
010
001
任意；
321
,0,0 xxx ==?
).0(
3
≠kkξ其全部特征向量为线性无关的特征向量只有一个。
的特征值与特征向量。及求CaCr
a
CEX,2)(,
33
351
315
,=
=
T
)100(
3
，，=?ξ
3.特征值的求法公式：的特征值，则为设Aλ
的特征值；为kAki λ)(
的特征值；为
mm
Aii λ)(
的特征值；为)()()( Affiii λ
的特征值；为
11
)(
Aiv λ
的特征值；为
A
A
v
λ
)(
.)(的特征值为
T
Avi λ
可逆。A
非常重要的公式，一定要背过。
4.特征值与矩阵的关系公式：
的特征值，则是A
n
λλλ,,,
21
L;)(
21
Ai
n
=λλλ L
.)(
221121 nnn
aaaii +++=+++ LL λλλ
证明详见课本。
在求行列式时特别有用。
例1：
的特征值。
，，及，求，，的特征值为设三阶方阵
EAA
AAAA
++
2
321
2
1
6=A;
3
1
,
2
1
,1:
1
的特征值A
例2：
.3211 EAA +?，求，，的特征值为设三阶方阵三、特征值与特征向量的性质：
线性无关。特征向量所对应的，，，的相异特征值阶矩阵：性质
m
m
An
ξξξ
40
λλλ
,,,
1
21
21
L
L
证：用数学归纳法。
线性无关；的特征向量
111
,,1.1 ξξλ ∴≠= Om
o
即时结论成立假设,1.2?m
o;2,3,6,
的特征值A
.4,1,4:2
2
的特征值EAA ++
(4,2,5)
线性无关。
所对应的特征向量，，，的相异特征值
121
121
,,,
m
m
A
ξξξ
λλλ
L
L
线性无关。向量所对应的特征，，，的相异特征值即证明
m
m
A
ξξξ
λλλ
,,,
21
21
L
L
回忆线性无关的证明方法！
OkkkA
mm
=+++ )(
2211
ξξξ L
Okkk
mm
=+++ ξξξ L
2211
设
Okkk
mmm
=+++? ξλξλξλ L
222111
左乘A
（1）
（1）左乘
m
λ Okkk
mmmmm
=+++? ξλξλξλ L
2211
（2）
（3）
（2）减（3）得：
Okkk
mmmmmm
=?++?+?
111222111
)()()( ξλλξλλξλλ L
线性无关由归纳假设
121
,,,
m
ξξξ L
0)( =?
mii
k λλ
.1,,2,1,00?==∴≠? mik
imi
LQ λλ
代回（1）得：
0=
m
k
下面证明m时成立。
)(
iii
A ξλξ =Q
线性无关。由归纳原理特征向量
m
ξξξ,,,
21
L
推论：
线性无关。
，，向量特征个征向量，则所对应的线性无关的特是特征值
，，，的相异特征值为阶矩阵
m
i
mrmmrr
m
i
ii
iriim
r
An
ξξξξξξξξξ
λ
ξξξλλλ
,,,,,,,,,,
,,,,
212222111211
1
2121
21
LLLL
LL
∑
=
性质2：相似矩阵有相同的特征值。
EBEABA λλ?=~
注：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一特征值的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的线性组合一般就不是特征向量了。
证明矩阵有相同特征值的方法
1.定义1：
相似，记作与，则称矩阵
，使阶可逆阵阶矩阵，若存在一个都是与设
BAAPPB
PnnBA
1?
=
称为相似变换矩阵。可逆阵P
A~B
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
(2) A~B?A?B,反之不对。
2.相似矩阵的简单性质：
)()(~)( BrArBAi =?
BABAii =?~)(
11
~~)(
BABABAiii，且当可逆时同时可逆或同时不可逆与一、相似矩阵：
0
1
1
1
)(),(~)(~)( axaxaxaxfBfAfBAiv
m
m
m
m
++++=?
L
相似与等价的关系
=?
APPBBA
1
~
EaBaBaBaBf
m
m
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m 0
1
1
1
)( ++++=
L
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m
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m
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1
11
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L
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m
m
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)(
0
1
1
1
1
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L
PAfP )(
1?
=
3.相似矩阵的简单应用：
例：
。并求验证
k
AAPPPA
1
51
11
,
20
04
,
15
13
=Λ
=
=Λ
=
=
11
15
6
1
1
P
=Λ
k
k
k
)2(0
04
1?
Λ= PPA
=?
k
A
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kkkk
kkkk
)2(54)2(545
)2(4)2(45
6
1
mm
APPB )(
1?
=
11
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Λ=Λ=? PPPPA
kkk
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m
m
m
m
1
0
1
1
11
1
1
++++= L
APPAPPAPP
111
= L
PAP
m1?
=
问题：
相似？角阵满足什么条件时能与对ΛA)1(
怎样求？及对角阵相似时，可逆阵与对角阵ΛΛ PA)2(
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：
的特征向量。的对应于特征值为矩阵量的特征值，非零向为矩阵，则称数使
，向量为一个数，若存在非零阶矩阵，是设
λα
λλαα
αλ
A
AA
nA
=
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法：
OEAA == αλλαα )(
的非零解是方程组OXEA = )( λα
} 0= EA λ
为特征值；的数满足λλ 0=?∴ EA
的非零解为特征向量。方程组OXEA =? )( λ
(或基础解系)
例1：求矩阵的特征值与特征向量。
λ
λ
λ
λ
=?
242
422
221
EA
=
242
422
221
A
解：
)2(4)1(16)2(41616)2)(1(
2
λλλλλ +++++?=
3224)44)(1(
2
+++?= λλλλ
28243
23
+= λλλ
经试根知，2是一个根。故
)145)(2(
2
+= λλλ上式
)2)(7)(2(?+= λλλ
7,2
321
===? λλλ
（这就是特征值。）
（下面求特征向量。）
=
201
034
011
B
=?
442
442
221
2EA
,2
21
==λλ对
→
000
000
221
321
22 xxx +?=?
TT
)1,0,2(,)0,1,2(
21
=?=∴ ξξ
不全为零）。（；其全部特征向量为的线性无关的特征向量为属于特征值
212211
,,
2
kkkk ξξ +
.)221(7
33
T
=?=，，的特征向量为同理可求ξλ
).0(
3
≠kkξ其全部特征向量为求特征值与特征向量的步骤：
的值；即得到特征值；求出解λλ 0.1 =? EA
征向量。特征值的线性无关的特于这个的基础解系；即得到属，求方程组对每一个OXEA =? )(.2 λλ
))2(( OXEA =?解
=
201
034
011
B
2,1
321
=?==? λλλ
,1
21
==λλ对
T
)1,2,1(
1
=ξ
).0(
1
≠kkξ其全部特征向量为
,2
3
=λ对
=+
001
014
013
2EB
→
013
014
001
→
010
010
001
→
000
010
001
任意；
321
,0,0 xxx ==?
).0(
3
≠kkξ其全部特征向量为线性无关的特征向量只有一个。
的特征值与特征向量。及求CaCr
a
CEX,2)(,
33
351
315
,=
=
T
)100(
3
，，=?ξ
3.特征值的求法公式：的特征值，则为设Aλ
的特征值；为kAki λ)(
的特征值；为
mm
Aii λ)(
的特征值；为)()()( Affiii λ
的特征值；为
11
)(
Aiv λ
的特征值；为
A
A
v
λ
)(
.)(的特征值为
T
Avi λ
可逆。A
非常重要的公式，一定要背过。
4.特征值与矩阵的关系公式：
的特征值，则是A
n
λλλ,,,
21
L;)(
21
Ai
n
=λλλ L
.)(
221121 nnn
aaaii +++=+++ LL λλλ
证明详见课本。
在求行列式时特别有用。
例1：
的特征值。
，，及，求，，的特征值为设三阶方阵
EAA
AAAA
++
2
321
2
1
6=A;
3
1
,
2
1
,1:
1
的特征值A
例2：
.3211 EAA +?，求，，的特征值为设三阶方阵三、特征值与特征向量的性质：
线性无关。特征向量所对应的，，，的相异特征值阶矩阵：性质
m
m
An
ξξξ
40
λλλ
,,,
1
21
21
L
L
证：用数学归纳法。
线性无关；的特征向量
111
,,1.1 ξξλ ∴≠= Om
o
即时结论成立假设,1.2?m
o;2,3,6,
的特征值A
.4,1,4:2
2
的特征值EAA ++
(4,2,5)
线性无关。
所对应的特征向量，，，的相异特征值
121
121
,,,
m
m
A
ξξξ
λλλ
L
L
线性无关。向量所对应的特征，，，的相异特征值即证明
m
m
A
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,,,
21
21
L
L
回忆线性无关的证明方法！
OkkkA
mm
=+++ )(
2211
ξξξ L
Okkk
mm
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2211
设
Okkk
mmm
=+++? ξλξλξλ L
222111
左乘A
（1）
（1）左乘
m
λ Okkk
mmmmm
=+++? ξλξλξλ L
2211
（2）
（3）
（2）减（3）得：
Okkk
mmmmmm
=?++?+?
111222111
)()()( ξλλξλλξλλ L
线性无关由归纳假设
121
,,,
m
ξξξ L
0)( =?
mii
k λλ
.1,,2,1,00?==∴≠? mik
imi
LQ λλ
代回（1）得：
0=
m
k
下面证明m时成立。
)(
iii
A ξλξ =Q
线性无关。由归纳原理特征向量
m
ξξξ,,,
21
L
推论：
线性无关。
，，向量特征个征向量，则所对应的线性无关的特是特征值
，，，的相异特征值为阶矩阵
m
i
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m
i
ii
iriim
r
An
ξξξξξξξξξ
λ
ξξξλλλ
,,,,,,,,,,
,,,,
212222111211
1
2121
21
LLLL
LL
∑
=
性质2：相似矩阵有相同的特征值。
EBEABA λλ?=~
注：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一特征值的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的线性组合一般就不是特征向量了。
证明矩阵有相同特征值的方法
